混合随机局部波动的Euler格式的收敛性

（1） 平方根过程的多项式矩可以用反超几何函数表示，并且根据[24]或[14]中的定理3.1，它们是统一边界的，即∈[0，T]E埃及< ∞, p>-2kyθyξy.（3.45）另一方面，我们利用H¨older不等式推导出∈[0，T]ypt≤ 3p-1.y+kyθyTp+3p-1kpyTp-1ZTypudu+3p-1ξpysupt∈[0，T]Zt√尤德尤p、 （3.46）利用Burkholder–Davis–Gundy（BDG）不等式，我们可以找到一个常数Cp>0，即监督∈[0，T]Zt√尤德尤P≤ CpE梓潼都p/2≤Cp+CpTp-1EZTypudu. （3.47）取（3.46）中的期望值，并利用富比尼定理，我们得到监督∈[0，T]ypt≤ 3p-1.y+kyθyTp+p-1ξpyCp+3p-1.kpy+0.5ξpyCpTpsupt∈[0，T]E埃及. （3.48）右侧由（3.45）确定，由此得出结论。（2） 综合（3.3）中定义的辅助过程y，我们推导出y=y+kyZt（θy- \'yu）du+ξyZt√“yudWyu。（3.49）对于任何p， > 存在一个常数c（p，) > 使max（0，x）p≤ c（p，)Ex或所有x∈ 特别是，这意味着^ypt≤ c（p，)E~ytt∈ [0，T]。因此，支持∈[0，T]E^ypt≤ c（p，)E（y+kyθyT）支持∈[0，T]EΓt, （3.50）在哪里≡ 经验- kyZt“玉都”ξyZt√“yudWyu”. （3.51）假设∈ [tn，tn+1]在σ-代数Gytn上，我们得到了Γt= Γtnexpn0.5ξy- 基尼T- tn“没有。（3.52）然而，我们可以发现 非常小，以至于≥ 0.5ξy.然后EytnΓt≤ 艾顿Γtn重复期望法确保了这一点Γt≤ EΓtn≤ EΓtn-1.≤ . . . ≤ EΓ=> 监督∈[0，T]EΓt= 1.替换回（3.50），我们推断出∈[0，T]E^ypt≤ c（p，)E（y+kyθyT），（3.53），与δt无关。另一方面，由于^yT≤ |~yt |利用H¨older不等式，我们得到∈[0，T]^ypt≤ 3p-1.y+kyθyTp+3p-1kpyTp-1ZT’ypudu+3p-1ξpysupt∈[0，T]Zt√“yudWyu”P

（3.54）对双方都抱有期望，并使用（3.47）中的BDG不平等导致监督∈[0，T]^ypt≤ 3p-1.y+kyθyTp+p-1ξpyCp+3p-1.kpy+0.5ξpyCpTpsupt∈[0，T]E^ypt, （3.55）对于某些常数Cp>0。不过，谢谢∈[0，T]E\'埃及≤ 监督∈[0，T]E^ypt, 结论如下（3.53）。提案3.8。根据假设（A1），以下两种说法成立。（1） 该过程具有一致有界矩，即监督∈[0，T]gftP< ∞, P≥ 1.（3.56）（2）来自（3.7）的过程^gf具有一致有界矩，即supδt∈（0，δT）E监督∈[0，T]^gftP< ∞, P≥ 1.δT>0。（3.57）证据。（1） 从（2.1）中，我们知道gft=gf+kfθft- kfZtgfudu- ρsfξfZtσ（u，Su）qvugfudu+ξfZtqgfudWfu。（3.58）由于gf是非负的，并且使用2p | ab |≤ |a |+| b |，我们找到一个上界≤ gf+kfθft+|ρsf |ξfσmaxZtvudu+2kf+|ρsf |ξfσmaxZtgfudu+ξfZtqgfudWfu.修正t∈ [0，T]。利用H¨older不等式，我们得到SUP∈[0，t]gfsP≤ 4p-1.gf+kfθfTp+2p-2 |ρsf | pξpfσpmaxTp-1ZTvpudu+2p-2.2kf+|ρsf |ξfσmaxpTp-1Ztgfupdu+4p-1ξpfsups∈[0，t]ZsqgfudWfup、 （3.59）对双方都抱有期望，并使用（3.47）中的BDG不平等性得出结论小吃∈[0，t]gfsP≤ 4p-1.gf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfσpmaxtpuspu∈[0，T]Evpu+P-2.2kf+|ρsf |ξfσmaxpTp-1+22便士-3ξpfCpTp-1.中兴通讯小吃∈[0，u]gfsPdu，（3.60）对于某些常数Cp>0。应用Gronwall不等式（见[15]），我们得到监督∈[0，T]gftP≤P-1.gf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfσpmaxtpuspu∈[0，T]Evpu×expnp-2.2kf+|ρsf |ξfσmaxpTp+22p-3ξpfCpTpo。（3.61）结论来自命题3.7。（2） 综合（3.6）中定义的辅助过程gft，我们推断gft=gf+kfθft- kfZt’gfudu- ρsfξfZt′σu、 “苏q‘vu’gfudu+ξfZtq‘gfudWfu。

（3.62）自^gft≤ |根据前面的论点，我们推断小吃∈[0，t]^gfsP≤ 4p-1.gf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfσpmaxtpuspu∈[0，T]E\'\'vpu+P-2.2kf+|ρsf |ξfσmaxpTp-1+22便士-3ξpfCpTp-1.ZtEh“gfu皮杜。（3.63）自苏普∈[0，T]E\'\'vpu≤ 苏普∈[0，T]E^vpu和“gfu”≤ 小吃∈[0，u]^gfs，利用Gronwall不等式，我们得到监督∈[0，T]^gftP≤P-1.gf+kfθfTp+22p-3ξpfCp+2p-2 |ρsf | pξpfσpmaxtpuspu∈[0，T]E^vpu×expnp-2.2kf+|ρsf |ξfσmaxpTp+22p-3ξpfCpTpo。（3.64）结论来自命题3.7。接下来，我们建立了离散化方差和国内短期利率过程的强均方收敛性。与[32]中的重点在于连续时间近似^y的情况不同，我们对当时间步长变为零时^y在极限中的行为相当感兴趣。请注意，“GD”的收敛自然延伸到“rd”命题3.9。（3.5）中关于平方根过程的完全截断方案在Lsense中收敛很强，即limδt→0supt∈[0，T]E|yt- “yt|= 0.（3.65）证据。首先，fix t∈ [0，T]。自| yt起- ^yt|≤ |yt- ~yt |，使用柯西不等式，我们得到∈[0，t]| ys- ^ys|≤ 2kytZt（yu）- \'yu）du+2ξysups∈[0，t]Zs√于-√“于德尤. （3.66）获取期望值，然后使用Doob的鞅不等式和Fubini定理小吃∈[0，t]| ys- ^ys|≤ 4kyTZtE小吃∈[0，u]| ys- ^ys|du+4kyTsupu∈[0，T]E|^yu- “于|+ 8ξyT supu∈[0，T]E|于- ^yu|+ 8ξyT supu∈[0，T]E|^yu- “于|. （3.67）应用Gronwall不等式，我们得到监督∈[0，T]| yt- ^yt|≤ e4kyT4kyTsupt∈[0，T]E|^yt- “yt|+ 8ξyT supt∈[0，T]E|^yt- “yt|+ 8ξyT supt∈[0，T]E|yt- ^yt|. 另一方面，我们知道∈[0，T]E|yt- “yt|≤ 2支持∈[0，T]E|yt- ^yt|+ 2支持∈[0，T]E|^yt- “yt|.

（3.69）用（3.68）中的上限代入（3.69），我们得到∈[0，T]E|yt- “yt|≤ 2.1+4字节4字节监督∈[0，T]E|^yt- “yt|+ 16ξyT e4kyTsupt∈[0，T]E|^yt- “yt|+ 16ξyT e4kyTsupt∈[0，T]E|yt- ^yt|. （3.70）在（3.70）的右边，三项的收敛是引理a.3和定理4.2在[32]中的结果，定理4.2总结了证明。3.4四维系统尽管弱收敛性在估计支付预期时很重要，但强收敛性在多层蒙特卡罗方法中起着关键作用，并且可能需要复杂的依赖导数。首先，我们证明了（3.13）中停止离散即期汇率过程的一致均方收敛性。提案3.10。设Ls>S，Lv>v，Ld>gd，Lf>gf>κ-1，并确定停止时间τ=infT≥ 0:St≥ Lsor vt≥ 利沃夫≥ 利沃尔^gdt≥ Ldor^gft≥ Lfor gft≤ κ-1.. （3.71）在（A1）到（A3）的假设下，停止的过程在L中一致收敛，即limδt→0E监督∈[0，T]圣∧τ-圣∧τ= 0.（3.72）证据。原始过程和离散化停止过程之间的绝对差异可以从上面定义如下：，圣∧τ-圣∧τ≤Zt∧τh（u）苏-“苏杜+Zt∧τgdu- “gdu宿都+Zt∧τ′gdu苏-“苏杜+Zt∧τgfu- “gfu宿都+Zt∧τ\'gfu苏-“苏杜+Zt∧τσu、 “苏√“似曾相识苏-“苏德瓦苏+Zt∧τσu、 苏- σu、 “苏√“Vusudsu”+Zt∧τσu、 苏√似曾相识-√“似曾相识苏德苏.两边都成直角，占据上界∈ [0，s]，其中0≤ s≤ 然后利用柯西-施瓦兹不等式得到上界∈[0，s]圣∧τ-圣∧τ≤ 8.Ld+Lf+4hmaxTZs∧τ苏-“苏du+8LsTZTgdu- “gdudu+8支持∈[0，s]Zt∧τσu、 苏√似曾相识-√“似曾相识苏德苏+ 16LsTZT^gfu- “gfudu+8支持∈[0，s]Zt∧τσu、 “苏√“似曾相识苏-“苏德瓦苏+ 16LsTZs∧τgfu- ^gfudu+8支持∈[0，s]Zt∧τσu、 苏- σu、 “苏√“Vusudsu”.

（3.73）请注意∧τgfu- ^gfu杜≤Zsgfu∧τ- ^gfu∧τ杜≤ 托普∈[0，s]gft∧τ- ^gft∧τ. （3.74）因此，利用（3.73）中的期望，利用富比尼定理、杜布鞅不等式和Ite^o等距，在注意到停止的鞅也是鞅时，我们得到监督∈[0，s]圣∧τ-圣∧τ≤ 8LsTsupt∈[0，T]呃gdt- “gdti+32σ最大支持∈[0，T]呃及物动词- “vti+16L支持∈[0，T]呃^gft- “gfti+hLd+Lf+4hmaxT+32σmaxLviEZs∧τ苏-“苏杜+ 32LsLvEZs∧τσu、 苏- σu、 “苏杜+ 16LsTE监督∈[0，s]gft∧τ- ^gft∧τ. （3.75）首先，我们将最后一个期望值绑定在上方（3.75）的右侧。从（3.58）到（3.62），自| gft∧τ- ^gft∧τ| ≤ |gft∧τ- ~gft∧τ|，我们得到gft∧τ- ^gft∧τ≤- kfZt∧τgfu- ^gfu杜- kfZt∧τ^gfu- “gfudu+ξfZt∧τqgfu-q^gfudWfu+ξfZt∧τq^gfu-q’gfu德福- ρsfξfZt∧τσu、 苏√似曾相识qgfu-q^gfu杜- ρsfξfZt∧τσu、 苏√似曾相识q^gfu-q’gfu杜- ρsfξfZt∧τσu、 苏q’gfu√似曾相识-√“似曾相识杜- ρsfξfZt∧τq\'vu\'gfuσu、 苏- σu、 “苏杜. （3.76）两边都成直角，在所有t上占据上界∈ [0，s]，其中0≤ s≤ s、 利用Cauchy–Schwarz不等式，然后取期望值，利用Doob的鞅不等式和Fubini定理，我们推导出监督∈[0，s]gft∧τ- ^gft∧τ≤ 8kfTZsEhgfu- ^gfuu<τidu+8kfTZTEh^gfu- “gfuidu+32ξfZsEqgfu-q^gfuu<τdu+32ξfZTEh^gfu- “gfuidu+8ρsfξfσmaxLvTZsEqgfu-q^gfuu<τdu+8ρsfξfσmaxLvTZTEh^gfu- “gfuidu+8ρsfξfσmaxLfTZTEh似曾相识- “似曾相识idu+8ρsfξfLvLfT EZs∧τσu、 苏- σu、 “苏杜.然而qgfu-q^gfuu<τ≤qgfu∧τ-q^gfu∧τ≤ κgfu∧τ- ^gfu∧τ, （3.77）因此≤ s、 E监督∈[0，s]gft∧τ- ^gft∧τ≤8kfT+32ξfκ+8ρsfξfσmaxLvκTZsE监督∈[0，u]gft∧τ- ^gft∧τdu+8ρsfξfLvLfT EZs∧τσu、 苏- σu、 “苏杜+ 8ρsfξfσmaxLfTsupt∈[0，T]呃及物动词- “vt我+32ξfT+8ρsfξfσmaxLvT监督∈[0，T]呃^gft- “gfti+8kfTsupt∈[0，T]呃^gft- “gft我

（3.78）因此，将Gronwall不等式应用于（3.78），因为≤ T，我们到了监督∈[0，s]gft∧τ- ^gft∧τ≤ eβT8ρsfξfLvLfT EZs∧τσu、 苏- σu、 “苏杜+ 8ρsfξfσmaxLfTsupt∈[0，T]呃及物动词- “vti+8kfTsupt∈[0，T]呃^gft- “gft我+32ξfT+8ρsfξfσmaxLvT监督∈[0，T]呃^gft- “gft我, （3.79）其中β=8kfT+32ξfκ+8ρsfξfσmaxLvκT。其次，杠杆函数的假设（A2）确保Zs∧τσu、 苏- σu、 “苏杜≤ 3AT（δt）2α+3BEZT圣- 科技t<τdt+ 3BEZs∧τsupt∈[0，u]圣-圣杜, （3.80）式中，t=δttδt. 此外，我们知道∧τ苏-“苏杜≤Zs∧τsupt∈[0，u]圣-圣杜≤Zssupt∈[0，u]圣∧τ-圣∧τ杜。（3.81）用（3.79）-（3.81）替换回（3.75），我们推断监督∈[0，s]圣∧τ-圣∧τ≤ βZsE监督∈[0，u]圣∧τ-圣∧τdu+β（δt）2α+βsupt∈[0，T]呃及物动词- “vti+βsupt∈[0，T]呃gdt- “gdti+βsupt∈[0，T]呃^gft- “gfti+βsupt∈[0，T]呃^gft- “gfti+βZTEh圣- 科技t<τidt，（3.82），其中常数βi为2≤ 我≤ 8、定义如下。β=32σmaxLv+8Ld+Lf+4hmaxT+96BLsLv1+4ρsfξfLfTeβT,β=96ALsLv1+4ρsfξfLfTeβTT、 β=32σmaxLsT1+4ρsfξfLfTeβT,β=8LsT，β=128ξfLs4+ρsfσmaxLvTTeβT，β=16LsT1+8kfTeβT,β=96BLsLv1+4ρsfξfLfTeβT.因此，将Gronwall不等式应用于（3.82），我们得到监督∈[0，T]圣∧τ-圣∧τ≤ eβTβ（δt）2α+βsupt∈[0，T]呃及物动词- “vti+βsupt∈[0，T]呃gdt- “gdti+βsupt∈[0，T]呃^gft- “gfti+βsupt∈[0，T]呃^gft- “gfti+βZTEh圣- 科技t<τidt. （3.83）右侧第一项的收敛为δt→0是微不足道的，而接下来两项的收敛是命题3.9的结果。我们现在展示了^gf和^gf之间的本地设计院差异的收敛性。假设t∈ [tn，tn+1]。

自|^gft-“gft|≤ |~gft-~gftn |并使用2p | ab |≤ |a |+| b |，我们可以从上面定义Ldi差异，如下所示：^gft- “gft≤kfθfδt+0.5 |ρsf |ξfσmaxδt^vtn+kf+0.5 |ρsf |ξfσmaxδt^gftn+ξfq^gftnWft- Wftn≤ 4kfθf（δt）+ρsfξfσmax（δt）^vtn+2kf+|ρsf |ξfσmax（δt）^gftn+ 4ξf^gftnWft- Wftn.因此，支持∈[0，T]呃^gft- “gft我≤ 4kfθf（δt）+ρsfξfσmax（δt）sup0≤N≤氖^vtn+ 4ξfδt sup0≤N≤氖^gftn+2kf+|ρsf |ξfσmax（δt）sup0≤N≤嗯^gftni、 （3.84）左侧项的收敛遵循命题3.7和3.8。最后，（3.83）中最后一项中的被积函数可以从上面有界，如下所示：圣- 科技t<τi=E“Zt\'tgdu- gfu+h（u）Sudu+Zt′tσ（u，Su）√武苏德苏t<τ#≤ 4δte中兴通讯gdu+gfu+ h（u）iSuu<τdu+ 4 E“Zt′tσ（u，Su）√vuSuu<τdWsu#≤ 4Ls（δt）苏普∈[0，T]呃gdui+supu∈[0，T]呃gfui+4H最大值+ 4σmaxLsLvδt.（3.85）右侧与时间t无关，并且随着δt趋于零→0来自命题3.7和命题3.8，这是证明的结论。接下来，我们证明了离散化的即期汇率过程在概率上的一致收敛性。提案3.11。如果在假设（A1）到（A3）下2kfθf>ξfand，\'S一致收敛于概率，即limδt→0P监督∈[0，T]圣-圣> = 0 ,  > 0.（3.86）证据。修理 > 0，请注意，我们包含以下事件：，ω：supt∈[0，T]St（ω）-\'St（ω）> ω：supt∈[0，T]St（ω）-\'St（ω）> , τ(ω) ≥ T∪ω：supt∈[0，T]St（ω）-\'St（ω）> , τ（ω）<T.因此监督∈0，T]圣-圣> 监督∈[0，T]圣∧τ-圣∧τ> ∪τ<T. （3.87）就事件发生的概率而言，前面的包含意味着P监督∈[0，T]圣-圣> ≤ P监督∈[0，T]圣∧τ-圣∧τ> + Pτ<T. （3.88）停止过程的概率收敛是命题3的直接结果。10和马尔可夫不等式。

此外，从（3.71）中停车时间的定义，我们得到τ<T监督∈[0，T]vt≥ 吕∪监督∈[0，T]^vt≥ 吕∪监督∈[0，T]^gdt≥ Ld∪监督∈[0，T]^gft≥ 如果∪监督∈[0，T]街≥ Ls∪τκ<T, （3.89）我们定义τκ=infT≥ 0:gft≤ κ-1.. （3.90）然而，假设Ls>1，我们有监督∈[0，T]街≥ Ls=监督∈[0，T]xt≥ 原木监督∈[0，T]| xt |≥ 原木. （3.91）因此，利用（3.89）、（3.91）和马尔可夫不等式，我们找到了一个上界τ<T≤ L-1vE监督∈[0，T]vt+ L-1vE监督∈[0，T]^vt+ L-1dE监督∈[0，T]^gdt+ L-1fE监督∈[0，T]^gft+原木-1E监督∈[0，T]| xt|+ Pτκ<T. （3.92）首先，回想一下即期汇率过程的对数公式，xt=x+Ztgdu- gfu+h（u）-σu、 苏似曾相识du+Ztσu、 苏√武德苏。（3.93）在所有t∈ [0，T]利用a<a+1的事实，然后取期望值，利用Doob的鞅不等式和It^o等距，我们得到监督∈[0，T]| xt|≤ 1+| x |+2hmaxT+te监督∈[0，T]gdt+T E监督∈[0，T]gft+4.5σmaxte监督∈[0，T]vt. （3.94）其次，我们证明了过程gf在Feller条件下几乎肯定的正性，即当n2kfθf>ξf时。为此，设α=（2kfθf）- ξf）/2ξf定义函数f：（0，∞) 7.→ R byF（x）=x-α. 用它的公式，我们得到了EHFgfT∧ τκi=F女朋友- 埃兹特∧ τκαgfu-（1+α）kfθf- kfgfu- ρsfξfσu、 苏qvugfudu+EZT∧ τκα（1+α）ξfgfu-（1+α）du- 埃兹特∧ τκαξfgfu-（0.5+α）dWfu。（3.95）注意αkfθf-α（1+α）ξf=α4kfθf- 2ξf- 2αξf=αξf，以及EZTαξfgfu-（1+2α）u<τκdu≤ αξfκ1+2αT<∞,所以（3.95）右边的随机积分是真鞅。因此，流行性出血热gfT∧ τκ我≤ F女朋友-αξfEZTgfu-（1+α）u<τκdu+αkfEZTgfu-αu<τκdu+α|ρsf |ξfσmaxEZTv0。5ugfu-（0.5+α）u<τκdu。

（3.96）利用Fubini定理和H¨older不等式，我们推导出EHFgfT∧ τκ我≤ F女朋友-αξfZT嗯gfu-（1+α）u<τκi- 2α-1kfξ-2fEhgfu-（1+α）u<τκiα1+α- 2α-1 |ρsf |ξ-1fσmaxsupt∈[0，T]Ehv1+αti2（1+α）Ehgfu-（1+α）u<τκi1+2α2（1+α）杜。（3.97）然而，平方根过程的矩受命题3.7的限制。此外，ifp，q∈ （0,1），cp，q≥ 0且c=cp+cq>0，则对于所有x≥ 我们有- cpxp- cqxq=cpc十、- cxp+cqc十、- cxq= CP1-phc-1.-二甲苯-C-1.-二甲苯pi+cq1-qhc-1.-qx-C-1.-qx气≥ -CP1-P- Cq1-q、 因此，（3.97）中的被积函数由一个常数和thusEhF从下方限定gfT∧ τκ我≤ C、 （3.98）对于一些与κ无关的常数C。由于gf有连续的路径，gfτκ=κ-1和F（gfτκ）=κα。因此，从（3.98）和F的正性，我们推导出Pτκ<T= κ-α-流行性出血热gfτκτκ<Ti≤ κ-α-流行性出血热gfT∧ τκ我≤ Cκ-α. （3.99）取极限为δt→（3.88）中的0，使用（3.92），（3.94）和（3.99）中导出的上界，然后使用命题3.7和3.8，我们可以选择任意大的Lv、Ld、LF和κ。许多具有随机波动动力学的模型，包括赫斯顿模型，都具有不希望出现的矩不稳定性特征，即阶数高于1的矩可能在有限时间内爆炸[5]。这在实践中可能会导致问题，例如，当计算具有超线性支付的期权的无套利价格时。此外，确定过程及其近似值的阶数大于1的矩的存在性是收敛分析的一个重要组成部分（见[23]）。由于最受欢迎的外汇合约在外汇汇率上最多呈线性增长，且其风险中性估值涉及计算预期贴现收益，因此研究贴现时刻的完整性非常有用。

定义为贴现汇率过程，Rt=Sexp-兹特富杜-Ztσ（u，Su）vudu+Ztσ（u，Su）√武德苏, （3.100）并让R为其连续时间近似值，\'Rt=Sexp-Zt’rfudu-Zt'σu、 “苏“vudu+Zt”σu、 “苏√“vudWsu. （3.101）下一个结果建立了折扣过程中高于1阶矩的爆炸时间的下界，是证明定理2.1（文献[11]中的定理1]）的重要步骤，而定理1在模型的校准中起着关键作用。提案3.12。让α≥ 1.在假设（A1）和（A3）下，如果T<T*, 存在ω>α，对于所有ω∈ [1，ω），以下结论成立：supt∈[0，T]ERωt< ∞, （3.102）式中φ（α）=α+p（α- 1） α，ζ=ξσmax和T*如下所示。（1） 当k<~n（α）ζ时，T*=p~n（α）ζ- Kπ+arctankp~n（α）ζ- K. （3.103）（2）当k≥ ν（α）ζ，T*= ∞. （3.104）证据。首先，我们发现定义一个新的随机过程很方便≡ 性爱hmaxt-Ztσ（u，Su）vudu+Ztσ（u，Su）√武德苏. （3.105）作为Rt≤ LTT∈ [0，T]，必须证明T of e上的上确界的唯一性Lωt= SωE经验ωhmaxt+ωZtσ（u，Su）√武德苏-ωZtσ（u，Su）vudu. （3.106）其次，假设T<T*, 和T*定义见（3.103）-（3.104）。如果k<ν（α）ζ，因为在[1]上，ρ（·）是递增的，∞) 通过连续性论证，我们可以找到ω>α，这样，对于所有ω∈ （α，ω），k<~n（ω）ζ和T<p~n（ω）ζ- Kπ+arctankp~n（ω）ζ- K. （3.107）如果k=а（α）ζ，因为а（·）在[1]上严格增加，∞) andlimω↓ α+p~n（ω）ζ- Kπ+arctankp~n（ω）ζ- K= ∞,我们可以找到ω>α，使得（3.107）适用于所有ω∈ (α, ω). 最后，如果k>ν（α）ζ，通过一个连续方程，我们可以找到ω>α，这样，对于所有ω∈ （α，ω），k>ν（ω）ζ。（3.108）第三，fixω∈ 函数fω，gω：（1，∞) 7.→ (1, ∞) 定义为fω（x）=ωxandgω（x）=ωxx- 1.ωx- 1.=ω+p（ω）- 1)ω+ωx- 1.十、- 1.-p1- 1/ω.第一个函数严格递增，而第二个函数达到全局最小值atx*= 1+p1- 1/ω .