混合随机局部波动的Euler格式的收敛性

此外，它们在x处相等*, soinfx>1maxfω（x），gω（x）= gω（x）*) =ω+p（ω）- 1)ω. （3.109）考虑满足q=p/（p）的H¨older对（p，q）- 1） 这样p=1+rω- 1ω和q=1+rω- 1.（3.110）这个特殊的H–older对确保了一个最佳的下限T*关于爆炸时间。接下来，定义数量a=pω- ω并引入随机过程mt=pωZtσ（u，Su）√具有二次变量Hmit=pωZtσ（u，Su）vudu的Vudwsu。然后我们可以重写（3.106）如下：Lωt= SωeωhmaxtE经验PMt-嗯+aZtσ（u，Su）vudu. （3.111）应用H¨older不等式和（3.110）中的对（p，q），并取[0，T]的上确界，supt∈[0，T]ELωt≤ SωeωhmaxTsupt∈[0，T]E经验Mt-嗯p×E经验qωpω- 1.σmaxZTvuduq、 （3.112）如果满足Novikov的条件，即经验嗯≤ E经验pωσmaxZTvudu< ∞.（3.112）中两个预期的一致性来自（3.107）-（3.110）和命题3.5。区间[1，ω）的扩展来自Jensen不等式。命题3.13。Letα≥ 1.在假设（A1）和（A3）下，如果T<T*, 存在ω>α，对于所有ω∈ [1，ω）和δT<k-1，以下情况成立：supδt∈（0，δT）supt∈[0，T]E（\'Rt）ω< ∞, （3.113）式中φ（α）=α+p（α- 1） α，ζ=ξσmax和T*如下所示。（1） 当k≤ν（α）ζ，T*=φ(α)ζ - k、 （3.114）（2）当k>а（α）ζ，T*=4k~n（α）ζ。（3.115）证据。为方便起见，定义一个新的随机过程≡ 性爱hmaxt-Zt'σu、 “苏“vudu+Zt”σu、 “苏√“vudWsu. （3.116）自≤“所有人的LTT∈ [0，T]，必须证明T和δT上的上确界的唯一性（\'Lt）ω= SωE经验ωhmaxt+ωZt′σu、 “苏√“vudWsu-ωZt′σu、 “苏“vudu. （3.117）假设T<T*, 和T*从（3.114）到（3.115）。如果k≤ψ（α）ζ，通过连续性参数，我们可以找到ω>α，这样，对于所有ω∈ （α，ω），k<~n（ω）ζ和T<~n（ω）ζ- K

（3.118）另一方面，如果k>ψ（α）ζ，通过连续性参数，我们可以找到ω>α，这样，对于所有ω∈ （α，ω），k>~n（ω）ζ，T<4k~n（ω）ζ。（3.119）此后，我们如命题3.12所述进行论证，并使用定理3.6来推导（3.117）的t上的上界和δt的完整性。Higham等人[23]证明，对于局部Lipschitz SDE，对于某些p>2，精确解和数值解的pth动量的有界性确保了Euler-Maruyama方法的强均方收敛性。然而，显式欧拉近似的矩界的存在性仍然是一个悬而未决的问题。最近，Hutzenthaler等人[26]研究了超线性增长系数的SDE，并证明了所有p≥ 1，而且据我们所知，力矩约束假设并不满足，对于Heston模型及其扩展，阶矩大于1的离散化方案的一致性尚未确定——文献中的这一差距在Kloeden和Neuenkirch[30]中也被发现——我们的命题3.13是解决这一问题的第一个结果。由于外汇合约的典型收益在汇率中最多呈线性增长，因此必须了解Lto贴现过程的强收敛性，才能将时间离散化误差的收敛性推至零。下列定理可以相对地推广到所有α的Lα情形≥ 1.注意到临界时间T*从（3.103）到（3.104）总是比从（3.114）到（3.115）更大。定理3.14。在（A1）到（A3）的假设下，如果2kfθf>ξfand T<T*, 式中ζ=ξσmaxandT*≡4kζζ<2k+ζ- kζ≥2k，（3.120）贴现过程在L中强收敛，即limδt→0supt∈[0，T]呃Rt-“Rti=0。（3.121）证据。

修理 > 0并定义事件A=nRt-“Rt> o、 然后监督∈[0，T]呃Rt-“Rt我≤ 监督∈[0，T]呃Rt-“RtAci+supt∈[0，T]呃Rt-“Rt人工智能。因此，支持∈[0，T]呃Rt-“Rt我≤  + 监督∈[0，T]ERtA+ 监督∈[0，T]E“RtA.选择一些1<ω<min{ω，ω}并将H¨older不等式应用于配对（p，q）右侧的两个期望值=ω,ωω-1.返回以下上限：supt∈[0，T]呃Rt-“Rt我≤  +监督∈[0，T]ERωtω+supt∈[0，T]E（\'Rt）ωω监督∈[0，T]PRt-“Rt> 1.-ω.注意，如果ζ≥ 2k，然后pζ- Kπ+arctankpζ- K>√pζ- K≥pζ- ksζ+kζ- k=ζ- k、 此外，如果k<ζ<2k，则pζ- Kπ+arctankpζ- K>pζ- K≥pζ- kskζ1.-kζ=4kζ。因此，命题3.12和命题3.13（α=1）确保了折扣过程及其近似的ω阶矩的有界性。此外，贴现过程的概率收敛是命题3.11的一个简单结果，即国内短期利率为零。最后，采取行动 小到足以得出结论。3.5期权估值我们现在研究当汇率动态由Heston–2CIR++SLV模型控制且假设（A1）至（A3）满足时，计算外汇期权价格的蒙特卡罗估值器的收敛性。作为旁白，请注意，我们在第2节中讨论了其他衍生定价模型，包括股票市场中流行的模型，如何作为特例进行表述。首先，我们考虑欧洲的选择。定理3.15。设P=Ehe-RTrdtdtK- 装货单+ibe欧洲期权的无套利价格，且¨P=Ehe-RT¨rdtdtK-圣+近似值。如果2kfθf>ξf，则limδt→0P-\'P= 0.（3.122）证据。一组简单的不等式给出了以下上界：P-\'P≤ 嗯E-RTrdtdt- E-RT¨rdtdtK- 装货单++ E-RT¨rdtdtK- 装货单+-K-圣+我≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+ehmaxTEhK- 装货单+-K-圣+我

（3.123）然而，对于任何非负数x和y，|e-十、- E-y|≤ |十、- y |，因此我们可以使用Fubini的理论来获得第一个期望值supt的上界∈[0，T]呃E-RTtgdudu- E-RTt’gdudu我≤ 监督∈[0，T]ZTtEh|gdu- “gdu”idu≤ 托普∈[0，T]呃| gdt- “gdt|i.（3.124）根据命题3.9，右边趋于零。定义A中的两个事件=ST<K和“A”=\'ST<K, 并用J表示（3.123）中的最后一个期望值K- 装货单+-K-圣+A.∩\'A+1A∩\'Ac+1Ac∩\'A+1Ac∩“Aci、 因此，J≤ 嗯装货单-圣A.∩“‘唉’K- 装货单A.∩“Aci+EhK-圣交流电∩“哎≤ 嗯装货单-圣A.∩“Ai+K PA.∩“Ac+ KP交流电∩“A. （3.125）假设δ是一个任意的正数，那么我们有以下事件：A∩“Ac=装货单≤ K- δ∪K- δ<ST<K∩圣≥ K装货单≤ K- δ∩圣≥ K∪K- δ<ST<KN装货单-圣≥ δo∪K- δ<ST<K.就事件发生的概率而言，我们有A.∩“Ac≤ P装货单-圣≥ δ+ PK- δ<ST<K, δ > 0. （3.126）我们可以用一种类似的方式从上面束缚第二个概率，Ac∩“AN装货单-圣≥ δo∪K≤ ST<K+δ=> P交流电∩“A≤ P装货单-圣≥ δ+ PK≤ ST<K+δ, δ > 0. （3.127）对于δ的适当选择，（3.126）和（3.127）右侧的最后一项可以非常小，而根据命题3.11，第一项趋向于零。因此，（3.125）中的两个概率收敛为零，即δt→ 0.最后，fix > 0，让B=|装货单-\'ST|>.我们可以将（3.125）右边的期望约束为：装货单-圣A.∩“哎≤ 嗯装货单-圣A.∩\'ABci+Eh装货单-圣A.∩“阿比≤ KP装货单-圣> + . （3.128）取极限为δt→ 0，使用命题3.11并利用以下事实： 可以任意做出小的结论。定理3.16。设C=Ehe-RTrdtdt装货单- K+ibe欧洲看涨期权的无套利价格，C=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+近似值。如果2kfθf>ξfand T<T*, 和T*从（3.120）开始，然后是limδt→0C-\'C= 0

（3.129）证据。一组简单的不等式给出了以下上界：C-\'C≤ 嗯RT- 柯-RTrdtdt+-“RT- 柯-RT¨rdtdt+我≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdt我+嗯RT-“RTi、 （3.130）右边的两个期望值随着δt趋于零→ 0来自（3.124）和定理3。分别为14个。亚洲期权取决于预定时间段内的平均汇率。由于平均汇率的波动性小于基础汇率，因此亚洲期权通常比欧洲期权便宜，并且通常用于货币和商品市场，例如，减少预期以外币支付的公司的外汇风险。对于任何0≤ s≤ T≤ 定义贴现系数：Ds，T=e-Rtsrduduand\'Ds，t=e-Rts’rdudu。（3.131）定理3.17。考虑无套利价格U=Ehe的固定行使亚洲期权-RTrdtdtψ（A（0，T）- （K）+i、 \'U=Ehe-RT¨rdtdtψ（`A（0，T）- （K）+i、 如果2kfθf>ξfand T<T*, 和T*从（3.120）开始，然后是limδt→0U-“U”= 0.（3.132）这里，A（0，T）表示算术平均值，ψ=±1取决于支付（买入或卖出）。对于连续监测，A（0，T）=TRTStdt和‘（0，T）=TRT’Stdt。证据绝对差异可以从上面用U-“U”≤ 嗯ψ（D0，TA（0，T）- KD0，T）+-ψ（\'D0，T\'A（0，T）- K¨D0，T）+i、 因此，我们得出以下上限：U-“U”≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdt我+嗯D0，TA（0，T）-\'D0，T\'A（0，T）i、 （3.133）我们在（3.124）中推导了第一个预期的收敛性。用富比尼定理，嗯D0，TA（0，T）-\'D0，T\'A（0，T）我≤TEZTD0，TSt-“D0，T”Stdt≤ 监督∈[0，T]呃Dt，TRt-\'Dt，T\'Rti、 三角形不等式得出以下上界：supt∈[0，T]呃Dt，TRt-\'Dt，T\'Rt我≤ ehmaxTsupt∈[0，T]EhRtE-RTtgdudu- E-RTt’gdudui+ehmaxTsupt∈[0，T]呃Rt-“Rt我

（3.134）由于Gd和¨Gd都是非负过程，对于任何大于1的γ，我们都有E-RTtgdudu- E-RTt’gduduγ≤E-RTtgdudu- E-RTt’gdudu, T∈ [0，T]。将H¨older不等式应用于（3.134）右侧的第一个期望，其中1<ω<ω，γ=ω/（ω）-1） 利用上一个不等式，我们发现∈[0，T]EhRtE-RTtgdudu- E-RTt’gdudu我≤ 监督∈[0，T]ERωtωsupt∈[0，T]呃E-RTtgdudu- E-RTt’gdudu我知道。（3.135）第一项在（3.134）右侧的收敛是（3.124）和命题3.12（α=1）的结果，而第二项的收敛是由于定理3.14。在离散监控或洪水袭击的情况下，我们遵循完全相同的步骤。障碍期权在包括FXmarket在内的许多场外市场继续受到欢迎。它们的受欢迎程度可以由两个关键因素来解释。首先，障碍期权有助于限制投资者在外汇市场的风险敞口。其次，它们提供了额外的灵活性，能够以比普通期权更低的价格与投资者的市场观点相匹配。定理3.18。考虑一个无套利价格U=Ehe的向上和向外的障碍买入-RTrdtdt装货单- K+{supt∈[0，T]街≤B} i，\'U=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+监督∈[0，T]\'St≤Bi、 其中K是执行价，B是障碍。如果2kfθf>ξf，则limδt→0U-“U”= 0.（3.136）证据。定义事件A=监督∈[0，T]街≤ B和“A”=监督∈[0，T]\'St≤ B, 然后U-“U”≤ 嗯D0，T-\'D0，T装货单- K+A+-D0，T装货单- K+A.-圣- K+“A我≤B-K+ehmaxTEhE-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+ehmaxTEh装货单- K+A.-圣- K+“Ai、 第一项趋向于零（3.124），我们可以将第二项改写为：装货单- K+A.∩“-Ac+1A∩“A-圣- K+A.∩\'A+1Ac∩“A我≤ 嗯装货单- K+A.∩“Aci+Eh圣- K+交流电∩“‘唉’装货单-圣A.∩“哎≤B-K+NPA.∩“Ac+ P交流电∩“Ao+Eh装货单-圣A.∩“唉。

（3.137）我们可以将（3.128）中的最后一个期望值绑定到findeh装货单-圣A.∩“哎≤ B-P装货单-圣> + ,  > 0.（3.138）因此，根据命题3.11，随着时间的推移，期望值收敛到零。修正δ>0，并遵循[22]中定理6.2的论点，得出∩“Ac监督∈[0，T]圣-圣≥ δ∪B-δ<supt∈[0，T]街≤ B.就事件发生的概率而言，我们有A.∩“Ac≤ P监督∈[0，T]圣-圣≥ δ+ PB-δ<supt∈[0，T]街≤ B. （3.139）我们可以用类似的方式将（3.137）中的第二个概率约束在上面，P交流电∩“A≤ P监督∈[0，T]圣-圣≥ δ+ PB<supt∈[0，T]St<B+δ. （3.140）结论来自命题3.11，因为δ可以任意小。定理3.19。考虑任何类型的无套利价格为U=Ehe的障碍看跌期权-RTrdtdtK- 装货单+Ai，\'U=Ehe-RT¨rdtdtK-圣+“Ai”，其中事件A和“A”取决于屏障的类型。如果2kfθf>ξf，则limδt→0U-“U”= 0.（3.141）例如，向下和向内的屏障与设置a相关联=输入∈[0，T]街≤ B.证据绝对差异的上界如下所示：U-“U”≤ 嗯D0，T-\'D0，TK-装货单+A+-D0，TK-装货单+A.-K-圣+“A我≤ 基马克斯泰E-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+ehmaxTEhK- 装货单+A.-K-圣+“Ai、 第一项趋向于零（3.124），我们可以将第二项限定为（3.137）：呃K- 装货单+A.-K-圣+“A我≤ KnPA.∩“Ac+ P交流电∩“Ao+EhK- 装货单+-K-圣+i、 （3.142）事件A和“A”与障碍物不同（向下和向内、向下和向外、向上和向内、向上和向外），但是可以用与（3.139）和（3.140）相似的方式来表示→0PA.∩“Ac= 0和limδt→0P交流电∩“A= 0（3.143）表示任何类型的屏障。最后，在定理3.15中导出了（3.142）右边最后一项的收敛性，从而结束了证明。定理3.20。

考虑一个向下和向内/向外或向上和向内的障碍看涨期权，套利价格U=Ehe-RTrdtdt装货单- K+Ai，\'U=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+“Ai”，其中事件A和“A”取决于屏障的类型。如果2kfθf>ξfand T<T*, 和T*从（3.120）开始，然后是limδt→0U-“U”= 0.（3.144）证据。绝对差异的上界如下所示：U-“U”≤ 嗯RT- KD0，T+-“RT- K’D0，T+A.∩“‘唉’RT- KD0，T+A.∩“Aci+Eh“RT- K’D0，T+交流电∩“唉。因此，我们以U-“U”≤ 嗯RT-“RTi+KehmaxTEhE-RTgdtdt- E-RT¨gdtdti+EhRTA∩“Aci+Eh”RTAc∩“唉。右手边前两项的收敛分别是定理3.14和（3.124）的结果。将H¨older不等式（ω，γ）应用于最后两项，其中1<ω<min{ω，ω}，我们发现：EhRTA∩“Aci≤ 嗯RTωiωPA.∩“Acγ-安第斯RTAc∩“哎≤ 嗯“RTωiωP交流电∩“Aγ.使用命题3.12和命题3.13（α=1）以及（3.143）中的极限得出结论。外汇市场上最发达的异国情调衍生品包括双屏障期权。定理3.21。考虑一个无套利价格为U=Ehe的双淘汰看涨期权-RTrdtdt装货单- K+{inft∈[0，T]街≥五十、 监督∈[0，T]街≤B} i，\'U=Ehe-RT¨rdtdt圣- K+输入∈[0，T]\'St≥五十、 监督∈[0，T]\'St≤Bi、 其中K为走向，L、B分别为上下两层屏障。如果2kfθf>ξf，则limδt→0U-“U”= 0.（3.145）证据。首先，请注意，我们包含以下事件：输入∈[0，T]街≥ 五十、 监督∈[0，T]街≤ B∩输入∈[0，T]\'St≥ 五十、 监督∈[0，T]\'St≤ BC监督∈[0，T]街≤ B∩监督∈[0，T]\'St>B∪输入∈[0，T]街≥ L∩输入∈[0，T]\'St<L.其余的论点紧跟定理3.18，因此被省略。4数值结果在本节中，我们考虑了异国产品的定价问题，尤其是嵌入屏障特征的结构化节点。

受欢迎的外汇异国情调产品包括电力反向双货币纸币（PRDC）[9]，尤其是长期（如30年）和远期累加器[42]。增加随机利率可以改善中长期到期合同的定价。此外，虽然普通的PRDC可以被视为一条普通期权，但添加随机局部波动性动态可以改善合同某些变体的定价，比如触发式PRDC（具有淘汰功能的PRDC）。此后，我们考虑一种自动消除障碍的双货币票据（ABDC），该票据以欧元-美元货币对为索引，以美元为本国货币，以欧元为外币，按季度支付息票。虽然屏障双货币票据通常是短期投资，但我们研究了一种具有嵌入式自动可赎回票据结构的中期替代方案。对于名义N（美元）、汇率（罢工）K和到期T，合同的生命周期如下所述。（1） 为汇率S制定了月度融资计划，以便：o如果S越过上限BUO，则提前赎回合同并支付优惠券。提前赎回时间用τ表示，在没有敲打事件的情况下，提前赎回时间可以是有限的如果S越过下行障碍BDI，则卖空合约在到期时激活。敲击时间用τKI表示。（2） 如果S高于BDI，则在息票日期{ti，i=1，…，M}每季度支付一次息票C（以美元计，以名义利率的百分比计），共计M个期间，这样累计息票（以美元计）的到期日为nmxi=1ddtidtc1ti<τERSti>BDI+NDdτERDdTCERτER≤T

（4.1）（3）到期时，如果S低于K，下行屏障已被激活，且未发生提前赎回，则名义利率按K转换为欧元。该产品适合希望通过承担名义价值转换为外币的风险，跑赢货币市场账户的投资者。自动调用功能由于提前终止而降低了产品的价格，以防汇率越过向上和向外的壁垒，而向下和向内的壁垒功能以增加净现值（NPV）为代价提供了转换风险保护。因此，如果投资者预计未来市场波动较小，这意味着由于提前赎回和转换的机会增加，NPV较低，那么在当前动荡的市场条件下，他们会发现该产品具有吸引力。在一个较长的时间范围内，一个非常稳定的市场将是投资者的最佳结果，因为他们将获得所有的息票，而不转换到期时的名义利率。如果转换在到期时发生，投资者将收到N/K欧元，以换取名义N欧元。如果投资者将该金额转换为美元，则损失为N圣公会- 1.. 因此，产品的盈亏（PnL）为nmxi=1DdtiDdTC 1ti<τERSti>BDI+NDdτERDdTCERτER≤T-NK（K）- ST）+τKI≤T<τER。（4.2）因此，本产品为无资本担保的收益增加合同。应计耦合有时在到期时转换为名义利率K。最后，合同的NPV（名义利率的百分比）为NPV=E“MXi=1DdtiC 1ti<τERSti>BDI+DdτERCERτER≤T-DdTK（K- ST）+τKI≤T<τER#，（4.3），其中预期是在风险中性度量下进行的。