混合随机局部波动的Euler格式的收敛性

标准的赫斯顿SLV模型是特殊情况kd=ξd=kf=ξf=hd，f=0。我们也可以把（2.1）看作是股票市场中的一个模型，股票价格过程S，随机利率Rd和随机股息收益率rf，在这种情况下，量子修正项消失。我们考虑布朗驱动{Ws，Wv，Wd，Wf}之间的完全相关结构，即对常数相关矩阵∑不作假设，其中∑=1ρsvρsdρsfρsv1ρvdρvfρsdρvd1ρdfρsfρvfρdf. （2.2）此外，我们在以下假设下工作：（A1）杠杆函数是有界的，即存在一个非负常数σmax，因此，对于所有∈ [0，T]和x∈ [0, ∞), 我们有≤ σ（t，x）≤ σmax.（2.3）（A2）存在非负常数A、B和正实数α，因此，对于所有t，u∈ [0，T]和x，y∈ [0, ∞), 我们有|σ（t，x）- σ（u，y）|≤ A | t- u |α+B | x- y |。（2.4）（A3）存在一个非负常数hmax，对于所有t∈ [0，T]和我∈ {d，f}，我们有| hi（t）|≤ 嗯最大。（2.5）因此，根据[11]，我们假设σ在t和St.的Lipschitz中是有界的、H¨older连续的，为了使杠杆函数与买入和卖出价格一致，它必须由公式（2.9）给出，该公式取决于校准的Dupire局部波动率。在实践中，localvolatility函数通常是从Dupire公式的离散化版本中获得的离散值的插值。因此，从实用的角度来看，杠杆函数是Lipschitz连续的，并且有界于[0，T]×[xmin，xmax]形式的R+的紧致子集上，而且σ（T，x）=σT∧ T、 xminx≤xmin+x1x∈（xmin，xmax）+xmaxx≥最大值. （2.6）那么σ是全局Lipschitz连续的，第二个假设在α=1时成立。我们还认为hd，票价有限制。

根据[7]，为了完美拟合利率的初始期限结构，两个转移函数中的每一个都必须由（远期）市场瞬时远期利率和时间的连续函数之间的差异给出。然后hd，分段连续，第三个假设成立。2.2模型校准对4因素Heston–2CIR++SLV模型（2.1）的校准至关重要，是有效定价衍生品合同的一个强制性步骤。在[11]中，我们考虑了四因素SLV模型，并提出了一种新的校准方法，该方法建立在[20]的粒子方法基础上，结合了一种新的高效方差缩减技术，该技术利用PDE校准来提高其稳定性和准确性。[11]中的数值实验表明，该方法几乎可以从相关的2因子SLV模型中恢复标定速度，且具有确定性速率。这里我们假设一个偏相关结构，其中只有ρsv、ρsda和ρsf可能不为零，并用dda和dft表示与各自货币市场账户相关的国内外贴现因子，即任何∈ [0，T]，滴滴涕=e-RTRDUDU和Dft=e-Rtrfudu。（2.7）除了（2.1）之外，我们还考虑了纯局部波动（LV）模型dSLVt=fdt- 快速傅立叶变换SLVtdt+σLVt、 SLVtSLVtdWst，SLV=S，（2.8）其中i∈ {d，f}，fit=-tlog Pi（0，t）是指到期日t在时间0的市场瞬时远期利率，Pi（0，t）是指到期日t在时间0的市场零息票债券价格。假设LV模型（2.8）已校准，且σLV已确定。校准程序的主要组成部分是用局部波动函数σLV表示杠杆函数σ。我们在[11]中证明的定理中陈述了完美校准到普通选项的必要和充分条件。定理2.1（文献[11]中的定理1]）。

如果模型（2.1）下的现货过程边际密度函数在空间上是连续的，并且在假设（A1）和（A3）下，模型（2.1）下的买入价格与任何履约K和到期T<T的市场报价相匹配*当且仅当σ（T，K）=E滴滴涕| ST=KEDdTvT | ST=K（σLV（T，K）+KCLVKEhDdTrfT- 快速傅立叶变换装货单- K+我- K EhDdTrdT- fdT装货单≥Ki+K EhDdTrfT- 快速傅立叶变换装货单≥基), （2.9）如果CLVis是模型（2.8）下的买入价，则所有预期均在国内风险中性测量值下，ν=2+√2，ζ=ξσmax和T*如下所示。（1） 当k<ψζ，T*=pаζ- Kπ+arctankp~nζ- K. （2.10）（2）当k≥ ηζ，T*= ∞. （2.11）该结果将[20]中的公式推广到随机外国短期利率。Deelstra和Rayee[13]获得了一个类似的公式，用于具有赫尔-怀特短速率过程的4因子SLV模型。推导过程中的一个重要步骤是随机积分≥Kσ（t，St）√VTDDTSTDWST是一个真正的鞅。一方面，T*是贴现现货过程DdtSt第二时刻爆炸时间的下限（见命题3.12）。另一方面，Heston模型的动量可以在有限时间内爆炸[5]，这一特性由Hestontype模型继承（2.1）。也请注意定理3.1和3.6，关于数值近似的可能力矩爆炸。因此，公式（2.9）可能不适用于模型参数的某些值和大到期日T。然而，在实践中，T*它很大。例如，按照我们对[11]中欧元兑美元市场数据的校准程序，我们发现*= 28.6.另一方面，请注意，如果模型（2.1）中的波动率是纯局部的，即，如果v=1，我们在[9]中恢复公式，而如果两个短期利率是确定性的，即，如果gd=gf=0，我们在[20,35]中恢复公式，即σ（T，K）=σLV（T，K）pE[vT | ST=K]。（2.12）在第4节的计算中，我们假设一个简单的相关结构，其中只有ρsv可能非零。

我们使用五步校准程序，详细说明见[11]。首先，我们校准LV模型（2.8）并确定σLV。我们还通过PDE方法，使用公式（2.12）和文献[9,35]中的结果，用确定性比率校准了相关的2因素SLV模型。独立地，我们在各自的市场下校准了两个CIR++过程。然后，我们通过校准相关的4因子SV模型（即Heston–2CIR++SV模型）来确定Heston参数，该模型使用[1]中的买入价封闭式解决方案，扩展到CIR++过程，并使用上述校准中的其他参数。最后，我们通过使用[20]中的粒子方法，并使用确定性速率作为控制变量的校准2因子SLV模型对其进行扩展，来校准Heston–2CIR++SLV模型（2.1）中的σ。对于可能具有非零ρsda和ρsf的部分相关结构，我们可以使用即期汇率和短期零息票债券之间相关性的历史值，并将买入价格的近似公式[18]从三因素Heston–CIR模型扩展到四因素Heston–2CIR++模型。3.收敛性分析。1模拟方案我们采用[32]中的全截断欧拉（FTE）方案来离散方差和两个短速率过程。考虑CIR processdyt=ky（θy- yt）dt+ξy√ytdWyt。（3.1）设T为所考虑期权的到期日，并创建一个均匀分布的gridT=NδT，tn=NδT，N∈ {0，1，…，N}。首先，我们引入了离散时间辅助过程&ytn+1=~ytn+ky（θy）- 其中y+=max（0，y）和δWytn=Wytn+1- Wytn，及其连续时间插值yt=~ytn+ky（θy- ~y+tn）（t- tn）+ξyqy+tn怀特- Wytn, （3.3）对于任何t∈ [tn，tn+1]，如[22]所示。然后，我们定义了当t∈ [tn，tn+1]。

设“v”和“gd”分别为v和gd的FTE离散化。考虑到外国短期利率漂移中存在的量子修正项，我们大致定义了gft=~gftn+hkfθf-kf~gftn+-ρsfξfσ田纳西州qv+tn~gftn+i（t）-tn）+ξfq~gftn+Wft-Wftn, （3.6）式中，S是下文定义的S的连续时间近似值，以及（^gft）=~gft+（3.7）gft=~gftn+（3.8）无论何时∈ [tn，tn+1]对于我来说∈ {d，f}，国内外短期利率离散化为`rit=`git+hi（t）。（3.9）最后，我们使用Euler–Maruyama方案离散对数汇率。设x和¨x为实际和近似的对数过程，设¨S=e¨x为S的连续时间近似。此外，定义h=hd- 高频。然后离散方法读取：\'xtn+1=\'xtn+Ztn+1tnh（u）du+“-gdtn- “gftn-σ田纳西州“vtnδt+σ田纳西州√\'vtnδWstn。（3.10）然而，我们发现使用连续时间近似值“xt=”xtn+Zttnh（u）du很方便+“gdt- “gft-σt、 圣“vtT- tn+ σt、 圣√“vtWst，（3.11）其中Wst=Wst- wstand′σt、 圣= σtn，Stn无论何时∈ [tn，tn+1）。因此，\'xt=x+Zt“rdu- \'\'rfu-σu、 “苏“似曾相识du+Zt′σu、 “苏√“vudWsu。（3.12）注意，连续时间近似的收敛性确保了离散方法在网格点处精确地逼近真实解。利用它的^o公式，我们得到了^St=s+Zt“rdu- \'\'rfu“苏都+Zt”σu、 “苏√“vu”SudWsu。（3.13）与标准欧拉格式相比，我们更喜欢对数欧拉格式来离散汇率过程，因为当σ为常数时，前者保持正性，并且在S方向上不产生离散偏差。此外，如果v、gd和gf也是常数，那么log-Euler格式是精确的。3.2主要理论定义了期权的无套利价格及其在（3.13）下的近似值，U=Ehe-RTrdtdtf（S）i，（3.14）`U=Ehe-RT¨rdtdtf（¨S）i。

（3.15）支付函数f可能取决于基础流程的整个路径，预期在国内风险中性措施下。定理3.1。如果在假设（A1）到（A3）下2kfθf>ξfand，则以下陈述成立。（1） （3.15）中定义的欧式看跌期权、向上和向外看跌期权和任何看跌期权的近似值收敛为δt→ 0.（2）如果ζ=ξσmaxandT<T*≡4kζζ<2k+ζ- kζ≥2k，（3.16）则（3.15）中定义的欧式看涨期权、亚式期权、向下和向内/向外看涨期权以及向上和向内看涨期权的近似值收敛为δt→ 0.备注3.2。如果假设（A1）成立，那么为了本文的目的，我们选择杠杆函数的最小上界，即σmax=supσ（t，x）|t∈ [0，T]，x∈ [0, ∞). （3.17）备注3.3。如果汇率和外国短期汇率动态相互独立，即如果ρsf=0，则外国短期汇率漂移中的量子修正项消失，定理3.1与费勒条件2kfθf>ξf无关，尽管有更简单的证明。如果国内和国外的短期利率在期权的整个有效期内保持不变，并且如果σ（t，x）=1表示所有的t∈ [0，T]和x∈ [0, ∞), 然后方程组（2.1）简化为赫斯顿模型，定理3.1适用于ζ=ξ。这将海姆和毛[22]的收敛结果扩展到了具有无限支付的期权。备注3.4。田等人。

[37]使用10个期限结构和最长5年的期限，根据欧元兑美元的市场隐含波动率数据校准了赫斯顿SLV模型的期限结构参数。表1中的数据表明，（3.16）中的条件在实践中通常是满足的，无论是短期还是长期。表1:2012年8月23日欧元兑美元市场数据的校准赫斯顿SLV参数[37]。tkξσmaxζT*1个月0.885 0.342 1.600 0.547 11.8年5年0.978 0.499 1.300 0.649 9.3年在[11]中，Heston–2CIR++SLV模型根据2016年3月18日的欧元-美元市场数据进行了校准，期限最长为5年。表2中的数据表明，（3.16）中的条件即使对于非常长的到期日也是满足的。此外，表2的以下参数值为：2016年3月18日欧元兑美元市场数据的校准Heston–2CIR++SLV参数[11]。tkξσmaxζT*5年1.412 0.299 1.399 0.418 32.3年短期利率过程恢复：kf=0.011，θf=1.166，ξf=0.037，因此伐木条件也成立，即2kfθf=0.0257 0.0014=ξf。在股票市场中，平均回归速度通常比波动率的波动率大几倍。例如，Hurn等人[25]在1990年1月至2011年12月期间使用两种货币期权组合对标准普尔500指数的赫斯顿模型进行了校准，发现k=1.977 0.456 = ξ. 此外，我们通常有ζ<1，因此（3.16）中的条件甚至适用于更长的到期日。3.3平方根过程为了证明（3.13）中近似方案的收敛性，我们首先需要检查高于实际过程和离散过程1阶矩的稳定性。然而，这个问题与CIR过程及其近似的指数可积性直接相关。

设y为（3.1）中的CIR过程，y为（3.5）中的分段常数FTE插值。提案3.5。设λ>0并定义随机过程Θt≡ 经验λZtyudu, T≥ 0.（3.18）如果T<T*, 然后，Θ的第一个时刻是有界的，即ΘT< ∞, （3.19）其中T*如下所示。（1） 当基尼<√2λξy，T*=√2λξy- 基尼π+arctan基尼√2λξy- 基尼. （3.20）（2）当≥√2λξy，T*= ∞. （3.21）证据。直接遵循[5]中的命题3.1。定理3.6。设λ>0并定义随机过程Θt≡ 经验λZt′yudu, T≥ 0.（3.22）如果T≤ T*δT<k-1y，则“Θ”的第一个矩是一致有界的，即supδt∈（0，δT）EΘT< ∞, （3.23）其中T*如下所示。（1） 当基尼≤√0.5λξy，T*=√2λξy- ky.（3.24）（2）当ky>√0.5λξy，T*=2kyλξy.（3.25）证明。首先，我们证明了η的存在性≥ 1独立于δt，因此，对于所有ω∈ [0,1]，ηωλξyT- 2ηωkyT- 2η + 2 ≤ 0.（3.26）固定任何η≥ 定义多项式η（ω）=ωηλξyT- 2ωηkyT- 2(η - 1） ，（3.27）具有两个不同的实根ω±=ky±√ky+2（η）- 1） λξyηλξyT。（3.28）因为ω-≤ 0<ω+，我们有fη（[0，1]）≤ 0当且仅当fη（1）≤ 0，即ηλξyT- 2η（1+kyT）+2≤ 0.（3.29）这适用于一些η≥ 1当且仅当左边η中的二次多项式的面积根大于或等于1。因此，我们找到了必要且充分的条件：√2λξy- 基尼T≤ 1和2λξyT≤ ky+qky+4λξyor ky+qky+4λξy<2λξyT≤ 4ky，相当于T≤ T*, 和T*定义见（3.24）-（3.25）。修正任何满足（3.26）的η。接下来，我们通过0上的归纳证明≤M≤N对于所有δt<δt，EΘT≤ 经验ηkyθy+νyξyλ（δt）（m）- 1） mE经验λδtN-M-1Xi=0\'yti+ηmλδt\'ytN-M, （3.30）式中，νy=vuutξy4π（1）- kyδT）+2πsξy4（1）- kyδT）+kyθy（1）- kyδT）。（3.31）设{Gyt，0≤T≤T}是布朗运动产生的自然过滤，考虑到简写符号Eyt·= E·|吉特对于条件期望。注意，当m∈ {0, 1}.

接下来，让我们假设（3.30）保持1≤m<N，并证明归纳法。关于σ-代数GytN的条件-M-1.我们可以ΘT≤ 经验ηkyθy+νyξyλ（δt）（m）- 1） m×E经验λδtN-M-1Xi=0’yti艾顿-M-1.经验ηmλδt′ytN-M. （3.32）为方便起见，定义w=\'ytN-M-1.如果Z~ N（0，1），然后是GytN-M-1.⊥⊥ δWytN-M-1法律=√δtZ。让我在（3.32）中表达内心的期待，然后≤ E0，whexpnηmλδt maxh0，w+ky（θy- w） δt+ξy√wδtZioi。有两种可能的结果，即w=0，在这种情况下≤ expnηmkyθyλ（δt）o，（3.33）和w>0，现在处理的是：≤Z∞Z√2πexp-z+ηmξyλ√w（δt）3/2z+ηmλδtw+ky（θy）- w） δtdz+Zz-∞√2πexp-Zdz，（3.34），其中z=-kyθyδt+（1）- kyδt）wξy√wδt.（3.35）回想一下δt<k-1扬和德涅兹=z- ηmξyλ√w（δt）3/2。（3.36）然后z<z<0。如果φ和Φ是标准的正常PDF和CDF，则i≤ Φ（z）+expηmλδtkyθyδt+（1）- kyδt）w+ηmξyλw（δt）n1- Φ（z）o和henceI≤ 经验ηmkyθyλ（δt）+aλwδtn1+Φ（z）- Φ（z）o，（3.37）式中=2ηm（1- kyδt）+ηmξyλ（δt）>0。（3.38）将中值定理应用于Φ∈ C、 我们可以找到z∈ [z，z]使得Φ（z）- Φ（z）=（z）- z） φ（z）≤ （z）- z） φ（z）。因此，从（3.35）和（3.36），Φ（z）- Φ（z）≤√2πηmξyλ（δt）3/2 |{z}=b，常数w.r.t.w·√w exp(-kyθyδt+（1）- kyδt）w2ξywδt）。（3.39）我们可以把右手边看作w的函数，比如f:（0，∞) 7.→ R.接下来，我们展示F（w）≤ ηmνyξyλ（δt），w>0。

（3.40）为了确定其全球最大值，我们需要计算一阶导数。f（w）=be-z/2(√w+√w“kyθyδt2ξyw-(1 - kyδt）2ξyδt#）。因此，f（w）=0<=> -(1 - kyδt）w+ξywδt+kyθy（δt）=0。为了解这个二次型方程，我们用（δt）整除并引入一个新变量，^w=w/δt。然后存在一个导数为零的唯一正解^wf，即^w=ξy2（1）- kyδt）+sξy4（1）- kyδt）+kyθy（1）- kyδt）。从（3.31）中，我们得到了^w<2πνy=> w<2πνyδt。由于第二根是负的，因此f（w）必须在这一点之后增加到wand减少，因此函数在w处达到其全局最大值。因此，f（w）≤ f（w）=b√我们-z/2≤ bq2πνyδt=ηmνyξyλ（δt）。利用（3.40）中的上界，我们导出以下不等式：1+Φ（z）- Φ（z）≤ expnηmνyξyλ（δt）o.（3.41）用（3.41）替换回（3.37），我们得到≤ 经验ηmkyθy+νyξyλ（δt）+aλwδt.从（3.33）中注意到，当w=0时，这一点也成立。应用ω=mn的（3.26）得到ηmξyλ（δt）- 2ηmkyδt- 2η + 2 ≤ 因此，从（3.38）开始≤ 2η（m+1）- 2、因此，我≤ 经验ηmkyθy+νyξyλ（δt）- λwδt+η（m+1）λwδt.将其替换回（3.32）给出了归纳步骤。最后，在（3.30）中取m=N将导致toEΘT< 经验ηλTkyθy+νyξy+ ηλT y. （3.42）右侧是有限的，与δt无关，结论如下。接下来的两个结果为原始和离散化方差和短速率过程建立了统一的矩界。注意，在假设（A3）下，对于i∈ {d，f}自然延伸到|ri |和|ri |。提案3.7。以下两种说法成立。（1） （3.1）中的平方根过程具有一致有界矩，即监督∈[0，T]ypt< ∞, P≥ 1.（3.43）（2）（3.4）中关于平方根过程的FTE方案具有一致有界矩，即supδt∈（0，δT）E监督∈[0，T]^ypt< ∞, P≥ 1.δT>0。（3.44）证据。