混合随机局部波动的Euler格式的收敛性

我们假设在（2.1）中规定的这种测量下的S的动态。接下来，考虑表3中的合同参数以及经校准的模型参数和杠杆函数，以及[11]中2016年3月18日的欧元兑美元市场数据。假设每月在完工日期对障碍物进行监控，并按季度支付优惠券。我们采用第3节中定义的蒙特卡罗模拟方案，每年5×10个样本路径和376个时间步来为该合同定价，数值结果如表4所示。请注意，我们计算了与参考模型（即Heston–2CIR++SLV模型）相关的保费变动百分比（NPV）。表3：可自动清除障碍物的双币种票据的合同参数，其中名义N为inUSD，到期T为年，罢工K和障碍物Buoa和BDIare为S的百分比，couponsC和Cerre为美元，N.N.T SK BUOBDIC CER100000 5Y的百分比为1.1271 105%100%95%2.5%1.5%。表4：合同的NPV为N的百分比，95%蒙特卡罗置信区间，表3所示的四因素混合SLV模型（2.1）、具有确定率的二因素SLV模型和LV模型（2.8）下的可自动消除障碍双货币的早期赎回和敲入概率以及净现值的百分比变化。模型净现值95%置信区间。基普。ChangeHybrid SLV 1.7247（1.7228，1.7265）95.1%19.5%–SLV 1.7456（1.7438，1.7474）95.1%19.5%+1.21%LV 1.2079（1.2062，1.2097）95.9%19.5%-29.96%我们从表4中推断，2因素SLV模型下的合同价格比4因素SLV模型下的合同价格高1.21%，而两种模型下的提前赎回和敲入概率相同。这表明，即使合同到期5年，随机利率也会对合同价格产生重大影响。

我们还从表4中推断，在LV模型（2.8）下，合同定价过低，提前赎回概率被高估。此外，我们在[11]中根据2016年3月18日的欧元兑美元市场数据校准了四因素SLV和SV模型，并观察到前者与普通期权几乎完美匹配，而后者则差。总之，我们注意到两件事。首先，在随机局部波动动态下，为具有障碍特征的外来产品定价至关重要。众所周知，纯SV模型低估了淘汰概率，而纯LV模型高估了淘汰概率，合同的真实价格被认为介于纯SV和纯LV模型价格之间。在我们的案例中，无淘汰概率的微小差异（由合同生命周期内拆下的优惠券数量所反映）可能会导致净现值中的abig差异，这解释了需要使用SLV模型来改善定价绩效。第二，在SLV模型中加入随机利率仅在中长期结构性票据定价时相关，其中随机利率的影响更为明显。在即期汇率和短期汇率之间存在非零相关性的情况下，随机汇率对合同价格的影响预计将增加。无淘汰可能性的微小差异会导致NPV的巨大差异，因为它是由合同生命周期内分离的优惠券数量决定的。我们可以将模型（2.1）扩展到多因素短期利率，在为利率明确出现在支付中的异国产品定价时，例如，带有支付的差价期权装货单- 党卫军- 书信电报- K+, （4.4）其中LTT指的是截止日期T的伦敦银行同业拆借利率。

在这种情况下，第2节描述的校准算法仍然可以应用，由于模拟方案更复杂，因此计算成本更高。我们以蒙特卡罗模拟模式的经验收敛性分析来结束本节。由于乘积可以分解为一阶外显子的线性组合，因此蒙特卡罗估计量的理论收敛性（无速率）自动遵循第3节中的分析。表5中的数据表明时间离散误差的一阶收敛性。另外，请注意，在连续监测障碍的情况下，我们可以使用布朗桥技术来恢复一阶收敛。表5：不同时间步数（每年）和5×10样本路径（标准偏差为9.29×10）下，表3中规定的合同NPV的蒙特卡罗估计值-4） ，与之前NPV估计的差异以及经验收敛顺序。时间步长NPV差异顺序12 1.9081–24 1.8110 0.0971–48 1.7623 0.0487 0.99696 1.7388 0.0234 1.057192 1.7285 0.0103 1.184本节的经验发现证明了随机局部波动动力学以及随机短期利率动力学对长期奇异外汇产品定价的重要性。此外，我们对一个这样的产品验证了蒙特卡罗模拟方案的收敛性。5结论目的是建立混合随机局部波动模型的欧拉格式的强收敛性。我们所知的唯一一项与这个问题相关的先前发表的工作是[22]，它证明了在Heston的模型和有界支付的期权的背景下，欧拉离散化的收敛性。

我们建立了贴现汇率近似的强L-收敛性（无速率），对于所有p≥ 1，尽管是在更严格的到期条件下，这在证明蒙特卡罗模拟对无边界支付期权估值的收敛性时特别有用。本文进行的分析可以扩展到其他金融衍生工具，包括数字期权、远期启动期权和双不接触二进制期权，仅举几例。此外，我们可以考虑对短期利率模型进行多因素扩展，在这种情况下，收敛性分析适用于对证明进行一些轻微修改。然而，一些尚未解决的问题仍然存在，比如CIR过程的完全截断格式的精确强收敛速度，或者本文研究的DES类型的格式的强收敛速度。除了这些本身有趣且实际相关的问题外，高阶模拟还可以使用多级模拟，如[16]中所述，对预期财务收益的估计有实质性的提高。参考文献[1]R.Ahlip和M.Rutkowski，赫斯顿随机波动率模型和CIR利率下的外汇期权定价，量化金融，13（2013），第955-966页。[2] A.阿方西，关于CIR（和贝塞尔平方）过程的离散化方案，蒙特卡罗方法和应用，11（2005），第355-384页。[3] A.Alfonsi，《漂移隐式Euler格式的强一阶收敛性：对CIR过程的应用，统计学和概率字母》，83（2013），第602-607页。[4] L.Andersen，《Heston随机波动率模型的简单有效模拟》，计算金融杂志，11（2008），第1-42页。[5] 安徒生和V。

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