多元止损混合Erlang再保险风险：聚合，

（4.2）例4.3在本图中，我们考虑了与表3.1中相同的放弃保险单的每个单独风险的参数。此外，我们假设分出的保险公司通过止损计划将其两个投资组合再保险给一家保险公司，其中投资组合A和投资组合B的免赔额分别为d=40和d=30。在实践中，人们认识到，对总风险的风险度量对个体风险之间的依赖程度非常敏感。事实上，考虑到与再保险分出人投资组合之间的相关性（由表3.2中的参数确定），再保险人的总风险比独立情况下的风险更高。因此，基于VaR和TVaR作为arisk测度，再保险人在依赖情况下需要更多的风险资本。此外，对于不同的置信水平p，可以看出VaR与独立性假设的偏差大于TVaR。4）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）T）表示（p）T）表示（p）表示（p）表示（p）T）表示（p）T）T）T）T）V V V V V V V）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）表示（p）T）表示（p）T）T）V V）V）V）V）V）V）V）V V V）V）V）V）V）V）V V）V）V）V V）V）V）V V）V V）V）V）V V V V（p）ararar08.69.92 60.4570.31 63.91 73.89表4.1:VaR和TVaR与独立性ca se的偏差。众所周知，投资组合中的风险分散源于个人风险的聚合，参见。g、 ，[20]，[18]。

在这方面，通过将TVaR视为风险资本的衡量标准，分散收益Dp（T，T）被量化为再保险人整个投资组合所需风险资本的相对减少量，该风险资本来自于止损风险和后续收益Dp（T，T）=1的总和-tv-aRR（p）tv-aRT（p）+tv-aRT（p）。如表4.2所示，多元化效益随着信任水平的提高而增加。相反，偏离独立性的情况会导致多元化效益的降低，这一点很明显，因为当风险独立时，就会产生充分的多元化效应。电视艺术（p）电视艺术（p）Dp（T，T）（）独立案例95。00%30.10 24.87 18.26 30.1997.50%37.40 32.34 24.26 33.9299.00%46.85 41.89 31.97 36.5699.90%69.92 64.84 50.55 39.40拉普拉斯箱95。00%30.41 25.11 18.41 30.1397.50%37.73 32.58 24.42 33.8299.00%47.21 42.14 32.13 36.4499.90%70.31 65.07 50.72 39.28女性生殖器切割案例95。00%33.14 27.71 18.64 28.5297.50%40.68 35.40 24.69 32.2999.00%50.40 45.14 32.44 35.0399.90%73.89 68.32 51.08 38.11表4.2：基于总风险和个人风险Ti的TVaR的多元化收益，i=1，2.4.2 TVaR资本分配在本节中，我们推导出了根据TVaR原则分配给保险人每个单独风险的资本额的解析表达式。在企业风险管理框架下，为了吸收巨大的意外损失，再保险人需要为整个保单持有一定数量的经济资本。在这方面，所谓的资本分配包括将所需资本分配给每一条线。这使再保险公司能够识别并有效监控其风险。在文献中，已经开发了许多资本分配技术，例如参见[3,19,20,4,13]和其中的参考文献。

在实践中，众所周知，TVaR原则考虑了风险和满意度之间的依赖结构——完全分配原则。更准确地说，如果Rn=Pni=1等于总风险，其中Ti是一个带有代表再保险人个人风险的要素的rv，则i=1，n、 定义为asT V aRp（Ti，Rn）=E（Ti{Rn>V aRRn（p）}）1- p、 （4.3）其中p∈ （0，1）是耐受水平。完全分配原则简化了V aRRn（p）=nXi=1T V aRp（Ti，Rn），这意味着，根据TVaR作为风险度量，整个投资组合所需的资本等于投资组合中每个风险所需资本的总和。在止损混合二郎型风险的情况下，以下命题为T V aRp（Ti，R），i=1，2开发了一个明确的形式。此外，我们在命题4.1中定义了1，k，S2，k，~S1，k，~S2，kas，我们表示xp:=V aRR（p）。命题4.4 Let（X，…，X2k）~ 带β2k的SME（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1和dj>0，j=1,2。如果进一步的Tj，j=1，则2具有确定的平均值thenT V aRp（T，R）=1- PξFS2，k（d）US1，k（xp，d，Z（β2k））+US1，k（xp，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（xp，d，Z（β2k））+U~S1，k（xp，d，d，Z（β2k））.例4.5在本例中，我们考虑与例3相同的个体风险和依赖性参数。2和再保险计划，如例4.3所示。基于将T V aR作为量化整个投资组合所需风险资本的风险度量，对不同置信水平p的每个最大损失风险Ti，i=1，2的所需资本进行评估。

如表4.3所示，由于其风险高于T，与…所需要的数量相比，所需要的数量与所需要的数量相比，需要更多的资本需要更多的资本与所需要的数量相比，所需要的资本需要更多的资本与所需要的数量相比，所需要的资本与所需要的数量相比，需要更多的资本与所需要的数量相比，所需要的资本需要更多的资本与所需要的数量相比，需要更多的资本需要更多更多的资本与所需要的数量相比，需要的数量比较比较比较，需要更多更多更多更多资本需要更多的资本需要更多的资本与（比较比较比较，需要更多更多更多更多的需要的需要的需要的资本需要更多资本。比较，需要更多更多更多的需要更多的资本需要更多更多的需要更多的资本。比较比较，需要更多更多的需要更多更多的资本需要更多更多的需要更多的资本。比较，需要更多更多的需要更多的资本需要更多资本。比较比较比较，需要更多更多更多的需要更多的需要更多的需要更多的需要更多更多资本。比较，需要更多更多资本。比较，需要更多更多更多更多更多资本。40.0314.22 57.59 42.59 15.0099.90%70.31 54.20 16.11 73.89 56.79 17.10表4.3：根据TVaR资本分配原则，TVaR和每个止损风险Ti的分配资本，i=1,2。4.3再保险人违约分析在企业风险管理框架中，再保险人有义务持有一定数额的资本K>0，以弥补意外的巨额损失。这笔资金的数额是确定的，这样即使在最坏的情况下，保险人也有可能履行其责任。例如，在该列表中，K被量化为总风险Rn=Pni=1的99%的TVaR，其中TiR代表再保险人的个人风险。这意味着，对于99%的可能性，再保险人有足够的能力支付其义务。但是，如果Rn>K，再保险人违约，因此，再保险分出人不受损失的保护，即Rn- K.通过类比保险人和保单持有人之间的情况，参见[1 5]，数量（Rn-K） +被称为再保险人的默认选择权，或者换句话说，投保人的U（K）：=E{（Rn）- K） +}默认选项的值。鉴于全部资本分配原则，对于再保险人整个投资组合所需的给定风险资本K，如果Ki，i=1，nis每个风险所需的风险资本，然后K=Pni=1Ki。

此外，违约期权的价值也被定义为未付损失价值U（Ki，K）：=E的总和（Ti）- Ki）{Rn>K}对于每一个接受再保险的保险公司，特别是（参见[4]）U（K）=nXi=1U（Ki，K）。接下来，我们确定U（K）并推导出再保险人违约概率φ（K）：=P（R>K），其中R=T+T。此外，假设再保险人违约，给出了分出保险人各业务线未付超额损失的解析表达式。命题4.6如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SME（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1和dj>0，j=1，当给定风险资本K>0U（K）=ξFS1，k（d）US2，k（k，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）U~S2，k（k，d，Z（β2k））+F~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k+~S2，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K），其中FR（K）=1- FR（K）与FR（.）在提案4.1中定义。备注4.7根据命题4.1，再保险人违约概率的解析表达式为φ（K）=1- ξFS1，k（d）FS2，k（d+k）+FS1，k（d+s）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，k）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmFS1，k（d）FS2，k（d+k）+FS1，k（d+k）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，k）.（4.4）命题4.8设Ki，i=1，2为再保险人的每个止损再保险组合所需的资本，如K=K+K。假设再保险人违约，如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SM E（β，Qe）≥βi，i=1。

，2k- 1，dj>0，j=1，2和Tj，j=1，2有固定的平均值，那么u（K，K）=ξFS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K）。例4.9将整个投资组合K的所需资本视为T V aRR2（p），并将表4.3中所示的个人风险KIA的T V aRp（Ti，R），i=1，2。从表4.4中，我们可以看到，保险水平p的增加导致再保险人整个投资组合所需的资本增加，这反过来降低了违约概率，也降低了分出保险人每个投资组合的未付损失价值。pkφ（K）U（K）KU（K，K）KU（K，K）95。00%30.10 0.01860 0.19288 19.69 0.15436 10.41 0.0385297.50%37.40 0.00929 0.09483 25.47 0.07928 11.93 0.0155599.00%46.85 0.00370 0.03725 33.35 0.03228 13.50 0.0049799.90%69.92 0.00036 0.00360 53.59 0.00321 16.33 0.00039拉普拉斯箱95。00%30.41 0.01863 0.19338 20.15 0.15586 10.26 0.0375297.50%37.73 0.00930 0.09750 25.99 0.07979 11.73 0.0152599.00%47.21 0.00371 0.03731 33.94 0.03237 13.27 0.00499.90%70.31 0.00037 0.00360 54.20 0.00320 16.11 0.00040FGM外壳95。00%33.14 0.01870 0.19924 22.11 0.16237 11.02 0.0368797.50%40.68 0.00932 0.09740 28.21 0.08212 12.47 0.0152899.00%50.40 0.00372 0.03805 36.39 0.03286 14.01 0.0051999.90%73.89 0.00037 0.00364 56.80 0.00317.10 0.00047表4：再保险人违约概率、违约价值选择权和保险人未付损失。命题3.1的证明（S1，k，S2，k）的联合尾概率根据（X，…，X2k）的联合密度确定，如下p（S1，k>u，S2，k>u）=Z。Zs1，k>u，s2，k>uh（x）dx。dx2k。（5.1）参考（2.1），（X。

，X2k）由（集合γjh:=E{gjh（Xjh）}h（x）=2kYi=1fi（xi）给出1+2kXh=2X16j<j<<jh62khYi=1（gjh（xjh）- γ（jh）= ξ2kYi=1fi（xi）+ξjfj（xj）Yi∈C\\{j}fi（xi）+ξj，j＠fj（xj）~fj（xj）Yi∈C\\{j，j}fi（xi）+…+ξj，。。。，j2k-12k-1Yi=1fji（xji）fj2k（xj2k）+ξj，。。。，j2k2kYi=1fi（xi），其中fi（xi）=g（xi）fi（xi），ξ=1+XjXjαj，jγj-XjXjXjαj，j，jγjγjγj+…+(-1） 2kα1，。。。，2kyi=1γi，ξj=Xj-Xjαj，jγj+XjXjαj，j，jγjγj+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j}γi,ξj，j=XjXjαj，j-Xjαj，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+(-1） 2kα1，。。。，2kYi∈C\\{j，j}γi,ξj，j，j=XjXjXjαj，j，j-Xjαj，j，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+…+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j，j，j}γi,ξj，。。。，j2k-1=Xj。Xj2k-1αj，。。。，j2k-1.- α1,...,2kγj2k，ξj，。。。，j2k=α1，。。。，2k，其中C={1，…，2k}，j∈ C、 j∈ C\\{j}，j∈ C\\{j，j}，j2k∈ C\\{j，…，j2k-1}.经过一些重排后，可以将h（x）表示为以下h（x）=ξ2kYi=1fi（xi）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYh=1fjh（xjh）Yi/∈{j，j，…，jl}fi（xi）=ξ2kYi=1fi（xi）+2kXl=2Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jl2kYi=1f*i（xi），其中i=1，2kf*i（xi）=（fi（xi）如果i/∈ {j，j，…，jl}，~fi（xi）如果我∈ {j，j，…，jl}。根据引理A.4，fi是混合Erlang分布的pdf，因此可以将（5.1）写成混合Erlang风险解的和积，如下所示（S1，k>u，S2，k>u）=ξZ∞乌兹∞U-十、Z∞U-十、-...-xk-2k-1Yi=1fi（xi）Fk（u）- 十、- . . . - xk-1） dxk-1.dx×Z∞乌兹∞U-xk+1。Z∞U-xk+1-...-x2k-22k-1Yi=k+1fi（xi）Fk（u）- xk+1- . . . - x2k-1） dx2k型-1.dxk+1+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjm×Z∞乌兹∞U-十、Z∞U-十、-...-xk-2k-1Yi=1f*i（xi）F*k（u）- 十、- . . . - xk-1） dxk-1.dx×Z∞乌兹∞U-xk+1。Z∞U-xk+1-...-x2k-22k-1Yi=k+1f*i（xi）F*k（u）- xk+1- . . . - x2k-1） dx2k-1.dxk+1。（5.2）前提是β2k≥ βi，i=1，2k- 1，引理A.5每个i-（5.2）的混合Erlang分量可以转换成一个新的混合Erlang分布，并具有一个共同的标度参数Z（β2k）。

因此，在Remar k A.7的帮助下，通过卷积（5.2）可以表示为两个混合Erlang生存函数的和积，如下p（S1，k>u，S2，k>u）=ξFS1，k（u）FS2，k（u）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（u）F~S2，k（u）。因此，证据是完整的。命题4.1的证明类似于引理A.2中描述的独立性，Ris的df是混合分布的，可以用（T，T）的联合df表示为fr（s）=（P（T=0，T=0）表示为s=0P（T=0，0<t6s）+P（0<t6s，T=0）+P（T+t6s，0<t6s，0<t6s，0<t6s）表示为s=：（FS1，k，S2，k（d，d）表示为s=0FS1，k，S2，k+S2，k（s+d，s+d）表示s>0。根据命题3.1和引理A.2，FR（s）可以写成如下两个术语：o离散术语FS1，k，S2，k（d，d）=ξFS1，k（d）FS2，k（d）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）F~S2，k（d），o连续项FS1，k，S2，k（d+s，d+s）=ξFS1，k（d）FS2，k（d+s）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）F~S2，k（d+s）+ξFS1，k（d+s）FS2，k（d）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d+s）F~S2k（d）+ξFS1，k+S2，k（d，d，s）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k+~S2，k（d，d，s）。这就完成了程序。从（4.3）T V aRp（T，R）=E（T{R>V aRR（p）}）1看命题4.4的证明- p=1- pZ∞V aRR（p）E（T{R=s}）ds。（5.3）首先，我们需要计算E（T{R=s}），如下所示：E（T{R=s}）=Z∞ufT，T+T=s（u）du。LetfS1，k+S2，k（d，d，u）：=dduFS1，k+S2，k（d，d，u），fS1，k+~S2，k（d，d，u）：=dduFS1，k+~S2，k（d，d，u）。如命题4.1所示，我们可以将E（T{R=s}）表示为（T{R=s}）=ξFS2，k（d）ZsufS1，k（d+u）du+ZsufS1，k+S2，k（d，d，u）du+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）Zsuf~S1，k（d+u）du+Zsuf~S1，k+S2，k（d，d，u）du.（5.4）引理A.1，对于Xi~ ME（β，Qei）和di>0，i=1，2ZsufX（di+u）du=β∞Xk=0（k+1）k（di，β，Qei）Wk+2（s，β）=:UXi（s，di，β）。

（5.5）类似地，通过引理A.2ZsufX+X（d，d，u）du=β∞Xk=0∞Xj=0（k+1）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（s，β）=:UX（s，d，d，β）。（5.6）考虑到（5.5）和（5.6），一个人可以写（5.4）如下（T{R=s}）=ξFS2，k（d）US1，k（s，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（s，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（s，d，Z（β2k））+U~S1，k（s，d，d，Z（β2k））. （5.7）因此，参考（5.3）（设置xp:=V aRp（R））T V aRp（T，R）=1- PξFS2，k（d）Z∞xpUS1，k（s，d，Z（β2k））ds+Z∞xpUS1，k（s，d，d，Z（β2k））ds+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）Z∞xpUS1，k（s，d，Z（β2k））ds+Z∞xpU~S1，k（s，d，d，Z（β2k））ds.因此，结果很容易得出。通过定义u（K）=E{（R）证明命题4.6- K） +}=FR（K）E{R- K | R>K}。因此，鉴于备注4.2，U（K）=ξFS1，k（d）US2，k（k，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）U~S2，k（k，d，Z（β2k））+F~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k+~S2，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K），建立证据。命题4.8的证明分出保险公司业务线的未付服务水平定义如下u（K，K）=E（T）- K） {R>K}=Z∞KE（T{R=s}）ds- KFR（K）。根据（5.7）U（K，K）=ξFS2，k（d）US1，k（k，d，Z（β2k））+US1，k（k，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S2，k（d）U~S1，k（k，d，Z（β2k））+U~S1，k（k，d，d，Z（β2k））- KFR（K）。因此，证据是完整的。附录附录A混合Erlang分布的性质免赔额d>0的EMMA A.1，如果X~ Me（β，Qe）那么Y的df:=（X- d） +由fy（y）=（FX（d）表示y=0，FX（y+d）表示y>0，（A.1）其中FX（y+d）=∞Xk=0k（d，β，Qe）Wk+1（y，β），带k（d，β，Qe）=β∞Xj=0qj+k+1wj+1（d，β）。（A.2）引理A.2让X和Xbe两个独立的风险，这样Xi~ Me（β，Qei），i=1,2。

如果di，i=1，2为正，那么R=Y+Y，其中Yi=（Xi）- di）+，i=1，2，有dfFR（s）=（FX（d）FX（d）s=0，FX（d）FX（s+d）+FX（d）FX（s+d）+FX1+X（d，d，s）s>0，（A.3）其中FX1+X（d，d，s）=∞Xk=0∞Xj=0k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+2（s，β）。备注A.3考虑到R的df的可控性，Rat的VaR为p的置信水平∈ （0，1）是FX（d）FX（d）+FX（d）FX（V aRR（p）+d）+FX（d）FX（V aRR（p）+d）+FT（V aRR（p））=p的解，可以用数值求解。此外，大鼠的TVaR为置信水平p∈ （0，1）由（setxp:=V aRR（p））T V aRR（p）=β给出-11- PFX（d）UX（xp，d，β）+FX（d）UX（xp，d，β）+UX+X（xp，d，d，β）,whereUXi（xp，d，β）=∞Xk=0（k+1）k（di，β，Qei）Wk+2（xp，β），UX+X（xp，d，d，β）=∞Xk=0∞Xj=0（k+j+2）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（xp，β）。证据由于风险是具有混合分布的独立风险，Rcan的df也可以表示为混合分布的df，其取决于s的值，如下所示：os=0时获得的FRI离散部分，具体来说，我们有fR（0）=P（Y+Y6 0）=P（Y+Y=0）=P（Y=0，Y=0）=FX（d），（A.4）o对于s>0，fri的连续部分由fr（s）=P（Y+y6s）=P（Y+y6s，Y=0，0<y6s）+P（Y+y6s，0<y6s，Y=0）+P（Y+y6s，0<y6s，0<y6s）=P（Y=0，0<y6s，Y=0）+P（Y+y6s，0<y6s，0<y6s）=FX（d）FX（s）+zsd- u+d）外汇（u+d）du。（A.5）让FT（s）：=RsFX（s）- u+d）fX（u+d）du，引理A.1这可以写成ft（s）=∞Xk=0∞Xj=0k（d，β）j（d，β）ZsWk+1（s）- u、 β）wj+1（u，β）du。（A.6）可以看出RSWK+1（s- u、 β）wj+1（u，β）du是两个独立的Erlang风险s与一个公共尺度参数β的卷积，它又是一个具有形状参数k+j+2和尺度参数β的Erlang风险。