多元止损混合Erlang再保险风险：聚合，

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英文标题：
《Multivariate Stop loss Mixed Erlang Reinsurance risk: Aggregation,
  Capital allocation and Default risk》
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作者：
Gildas Ratovomirija
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we address the aggregation of dependent stop loss reinsurance risks where the dependence among the ceding insurer(s) risks is governed by the Sarmanov distribution and each individual risk belongs to the class of Erlang mixtures. We investigate the effects of the ceding insurer(s) risk dependencies on the reinsurer risk profile by deriving a closed formula for the distribution function of the aggregated stop loss reinsurance risk. Furthermore, diversification effects from aggregating reinsurance risks are examined by deriving a closed expression for the risk capital needed for the whole portfolio of the reinsurer and also the allocated risk capital for each business unit under the TVaR capital allocation principle. Moreover, given the risk capital that the reinsurer holds, we express the default probability of the reinsurer analytically. In case the reinsurer is in default, we determine analytical expressions for the amount of the aggregate reinsured unpaid losses and the unpaid losses of each reinsured line of business of the ceding insurer(s). These results are illustrated by numerical examples.
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中文摘要：
在本文中，我们讨论了相依止损再保险风险的集合，其中分出保险人风险之间的相依性由萨马诺夫分布决定，每个风险都属于Erlang混合类。我们通过推导综合止损再保险风险分布函数的闭合公式，研究了分出保险人风险依赖性对再保险人风险状况的影响。此外，通过推导再保险人整个投资组合所需的风险资本的封闭表达式，以及根据TVaR资本分配原则为每个业务单元分配的风险资本，来检验聚合再保险风险的多元化效应。此外，考虑到再保险人持有的风险资本，我们解析地表达了再保险人的违约概率。如果再保险人违约，我们确定再保险未付损失总额和再保险分出保险人各再保险业务线未付损失的分析表达式。数值算例说明了这些结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Multivariate_Stop_loss_Mixed_Erlang_Reinsurance_risk:_Aggregation,_Capital_alloc.pdf (244.11 KB)

2022-5-7 09:49:13 上传

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关键词：ERLANG lang 再保险 LAN Erl

多元止损混合Erlang再保险风险：加总、资本分配和违约风险Gildas Ratovomirija1 2016年11月9日摘要：本文讨论了非独立止损再保险风险的加总，其中，分保风险中的非独立e由Sarmanov分布控制，每个单独的风险都属于Erlang混合类型。我们通过推导综合止损保险风险分布函数的闭合公式，研究了再保险分出保险人风险依赖性对再保险人风险收益的影响。此外，通过推导再保险人整个业务组合所需的风险资本的闭合表达式，以及根据TVaR资本分配原则为每个业务单元分配的风险资本，来检验聚合再保险风险的不同影响。此外，考虑到再保险人持有的风险资本，我们解析地表达了再保险人的违约概率。在再保险人违约的情况下，我们确定再保险分出保险人各再保险业务线的总未付损失金额和未付损失的分析表达式。这些结果用数值例子加以说明。关键词：风险聚集；萨马诺夫分布；混合Erlang分布；资本配置；止损保险；再保险违约风险；违约概率。1简介再保险公司在世界许多地区开展业务，承保各种保险业务。在这方面，人们充分认识到，再保险分出损失是相互依存的。这种风险依赖性可以体现在每个保险组合中的单个风险之间，也可以体现在各个业务线之间。

此外，依赖现象也会发生在全球风险因素中，这些因素会同时对每个业务线产生索赔，例如飓风会损坏建筑物或汽车，影响财产线，同时会导致人员受伤，从而影响事故线。在风险管理框架中，例如瑞士偿付能力测试（SST），与保险公司类似，再保险公司有义务持有一定水平的风险资本，以避免意外的巨额损失。该资本的确定需要对每个再保险组合产生的损失进行汇总，其分布取决于再保险分出人的损失分布。Meyers等人[14]是第一批致力于将从属再保险风险汇总以评估风险资本的贡献之一。在这方面，为了推导风险资本衡量的明确公式，包括风险价值（VaR）、总风险的尾部风险价值（TVaR），一项重要任务是适当选择边际和风险之间的依赖结构。在我们的框架中，选择了混合Erlang分布作为再保险分出人个人风险的索赔规模模型。这种分布的可处理性的原因之一是，此类风险的卷积再次属于Erlang混合类，见[9]。因此，止损和亏损超额有一个闭合表达式，这在再保险ris k建模中非常有用，见Lee和Lin[11,12]。

在这篇文章中，我们通过萨马诺夫分布讨论了风险之间的依赖结构。本文的目的是分析再保险分出保险人的风险依赖性对再保险人风险的影响。瑞士洛桑大学商业与经济学院精算学系，瑞士洛桑UNIL Dorigny 1015，瑞士洛桑洛桑，Vaudoise Assurances，Place de Milan CP 120，1001 Loushane，Switzerlandpro file，该公司仅有stop los再保险组合。通过推导整个投资组合的风险资本和每个业务部门的分配风险资本的封闭表达式，来检验聚合再保险风险的分散效应。还分析了再保险人违约的影响。本文组织如下：在第二节中，我们描述了萨马诺夫分布作为保险风险和混合二元分布之间依赖结构模型的背景，该混合二元分布具有共同的标度参数，即索赔规模模型。第3节通过推导两个投资组合的总风险的联合尾部概率，探讨了分出保险人的风险模型，并给出了数值例子。在第4节中，通过确定聚合风险的分布函数（df）的闭合形式，讨论了再保险人的止损混合Erlang ris ks的聚合。数字研究也展示了资本配置和多元化效应。我们还通过推导预期无赔付损失和违约概率的解析形式，并用数字说明，分析了再保险人的无过失风险。所有的证据都归入第5节。

混合Erlang分布的一些性质见附录。2.准备工作2。1 Sarmanov分布由于其对随机变量（rv）之间的依赖结构建模的灵活性，Sarmanov分布在Sarmanov[17]中引入，已被广泛应用于许多领域。关于保险应用，Hernandez等人[8]利用多元Sarmanov分布计算了集体风险模型中的Bayes保费。Sarabia和Gomez[16]使用了带有泊松-贝塔边缘的Sarmanov分布到Fit多元保险计数数据。共同贡献[27,26]在破产概率的背景下探索了可提取的渐近公式，其中保险风险之间的依赖性由萨拉马诺夫分布决定。参考文献[10]，一个随机向量（X，…，Xn）具有多变量的马尔可夫分布，其联合密度由h（X）=nYi=1fi（xi）给出1+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhhYk=1φjk（xjk）, x:=（x，…，xn），（2.1）式中，φiare kerne l函数，假定为有界且非常数，使得e{φi（Xi）}=0,1+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhhYk=1φjk（xjk）>0，xi∈ R（2.2）已满。Lee[10]针对不同类型的边缘词，给出了一些求核函数φi的一般方法。特别是，它通常用于选择φi（xi）=gi（xi）- E{gi（Xi）}表示在R+中有支持的边缘分布（参见E.g.[26]）。

以下三种情况是gi（xi）的常见规格：（i）gi（xi）=2Fi（xi），对应于远里冈贝尔-摩根斯坦（FGM）分布，其中FI是xi的存活函数，（ii）gi（xi）=xti- E{Xti}使得xi的t阶矩E{Xti}是有限的，（iii）gi（xi）=E-txi- EE-tXiE在哪里E-tXi< ∞ 是Xiat t.2.2 Mixed Erlang Marginals的拉普拉斯变换。最后一个例子是，具有公共尺度参数的混合Erlang分布是最有用的保险损失模型之一。在风险理论中，Dickson和Willmot[6]和Dickson[5]使用混合e d Erlang分布作为索赔规模模型，推导出了有限时间破产概率的分析公式。最近，利用EM alg算法，混合Erlang分布已适用于美国Byley和Lin[11]的灾难性损失数据，以及Verbelen等人[21]的删失和截断数据。此外，Lee和Lin[12]、Willmot和Woo[25]开发了多元混合Erlang分布，以克服copula方法的一些缺点，而Badescu等人[1]使用多元混合泊松分布和混合索赔规模来模拟运营风险。此外，Hashorva和Ratovomirija[7]已经通过混合Erlang ma rginals和Sarmanov分布解决了风险聚集和资本分配问题。在续集中，wedenote分别是wk（x，β）=βkxk-1e-βx（k）- 1)!, Wk（x，β）=∞Xj=k（βx）je-βxj！，Wk（x，β）=k-1Xj=0（βx）je-βxj！，x>0，（2.3）Erlang分布的pdf、df和生存函数，其中k∈ N*是形状参数，β>0是比例参数。正如其名称所示，混合Erlang分布是从Erlang分布中提炼出来的，其pdf和df分别定义为asf（x，β，Qe）=∞Xk=1qkwk（x，β），F（x，β，Qe）=∞Xk=1qkWk（x，β），（2.4），其中Qe=（q，q。

）是一个非负权重向量∞k=1qk=1。此后我们写X~ME（β，Qe），如果X的pdf和df由（2.4）给出。在保险风险建模中，混合Erlang分布的一个主要优点是，许多有用的风险相关量，如矩和平均超额函数，都有明确的表达式，如[11,23,12,25]。此外，混合Erlang分布是Sarmanov分布的一个表外边缘分布。接下来，我们将展示corre latedinsurance投资组合的一个结果。3割让保险风险模型在本案例中，我们考虑两个保险组合，它们都由k个风险组成，我们表示1，k=Pki=1xind S2，k=P2ki=k+1xit每个组合的总风险，其中，Xi，i=1，2k是一个具有有限平均值的正连续随机变量（rv）。此后，我们将迎来Xi~ ME（Qei，βi），i=1，2k，投资组合内部和整个投资组合中风险之间的依赖结构由Sarmanov分布控制，核函数φi（xi）=gi（xi）- E（gi（Xi）），缩写为（X，…，X2k）~ SM E（β，Qe），其中β=（β，…，β2k），Qe=（Qe，…，Qe2k）。在本协议的其余部分中，我们考虑放弃（i）、（ii）和（iii）中描述的三种情况。此外，我们定义了混合权重Θe（Qei）和ψe（Qei）的两个向量，其中它们的分量取决于核函数φi。特别是，Θe（Qei）的分量=（θi，1，θi，2，…）由以下公式得出：o对于gi（xi）=2F（xi），θi，s=s-1Pkj=1s- 1j- 1.齐，jP∞l=s-j+1qi，l，s=1，2对于gi（xi）=xti，θi，s=0代表s6 t，qi，s-tΓ（s）Γ（s）-t） P∞对于s>t，j=1qjΓ（j+t）Γ（j），对于gi（xi）=e-txi，θi，s=qi，sβsP∞j=1qi，jβj与β=ββ+t，s=1，2，而ψe（Qei）=（ψi，1，ψi，2。

）由ψi，s=sXj=1qi，jk给出- 1j- 1.βiZ（β2k）J1.-βiZ（β2k）s-j、 其中Z（β2k）=2β2k代表gi（xi）=2F（xi），Z（β2k）=β2k代表gi（xi）=x，Z（β2k）=β2k+t代表gi（xi）=e-txi。此外，对于给定的混合重量Vei=（vi1，vi2，…），i=1，n+1我们将混合概率∏（Ve，…，Ven+1）的向量定义为πl{Ve，…，Ven+1}=（0表示l=1，…，n，Pl）-1j=nπj{Ve，…，Ven}vn+1，l-对于l=n+1，n+2。我们将介绍本节的主要结果。命题3.1如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SM E（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1，那么S1，k（u）FS2，k（u）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（u）F~S2，k（u），其中ξ=1+XjXjαj，jγj-XjXjXjαj，j，jγjγjγj+…+(-1） 2kα1，。。。，2kyi=1γi，ξj=Xj-Xjαj，jγj+XjXjαj，j，jγjγj+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j}γi,ξj，j=XjXjαj，j-Xjαj，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+(-1） 2kα1，。。。，2kYi∈C\\{j，j}γi,ξj，j，j=XjXjXjαj，j，j-Xjαj，j，j，jγj+XjXjαj，j，j，jγjγj+…+(-1） 2k+1α1，。。。，2kYi∈C\\{j，j，j}γi,ξj，。。。，j2k-1=Xj。Xj2k-1αj，。。。，j2k-1.- α1,...,2kγj2k，ξj，。。。，j2，k=α1，。。。，2k，其中C={1，…，2k}，j∈ C、 j∈ C\\{j}，j∈ C\\{j，j}，j2k∈ C\\{j，…，j2k-1} ，S1，k~ me（π{ψE（Qe），…，ψE（Qek），Z（β2k）}），S2，k~ me（π{ψE（Qek+1），…，ψE（Qe2k），Z（β2k）}），S1，k~ me∏{ψE（Qe）*), . . . , ψe（Qe）*k） ，Z（β2k）}），~S2，k~ me∏{ψE（Qe）*k+1），ψe（Qe）*Z（β2k）}），对于i=1，2kQe*i=（Qeiif i）/∈ {j，j，…，jl}，Θe（Qei）如果我∈ {j，j，…，jl}。例3.2假设分出保险人有两个投资组合，即投资组合A和投资组合B。考虑到风险之间的依赖结构，两种情况下的核函数被视为φi（xi）=2Fi（xi）- 1.定义了[2]和φi（xi）=e中探讨的FGM分布-xi- EE-xi由Hashorva andRatovomirija[7]为混合Erlang边缘语引入。

在本文的其余部分，我们将后者称为拉普拉斯案例。表3.1给出了每个单独风险的参数Xi，i=1，4和他们的核心时刻，而表3。2显示X、X、X和X之间的依赖性参数。我们注意到这些依赖性参数的选择使（2.2）保持不变。XiβiQeiMean方差偏度峭度分布组合AX0。12（0.4,0.6）13.33 127.78 1.55 6.50X0。14（0.3,0.7）12.1497.451.494.33BX0组合。15（0.5,0.5）10.0077.781.626.80X0。16（0.8,0.2）7.50 53.13 1.88 8.16表3.1：Xi的参数和中心力矩，i=1，2，3，4。α1,2α1,3α1,4α2,3α2,4α3,4α1,2,3α1,2,4α1,3,4α2,3,4α1,2,3,4 FGM 0.6 0.1 0.1 0.0.04 0.5 0.11 0.12 0.10 0.15 0.07Laplace 16 5 3 5 3 8 56 30 20 170表3.2（X，X，X，X，X，X）的相关参数。从表3.3可以看出，两个保险组合之间的相互依赖性导致每个组合的总风险同时超过某个阈值的可能性很高。阈值独立性案例拉普拉斯案例FGM案例（u，u）P（S1,2>u，S2,2>u）P（S1,2>u，S2,2>u）P（S1,2>u，S2,2>u）（20,15）0.1494 0.1569 0.1573（25,20）0.0697 0.0751 0.0795（30,25）0.0304 0.0331 0.0374（35,30）0.0125 0.0138 0.0165表3.3：S1,2=X+X和S2,2=X+X+X.4的联合尾部概率，在本节中，我们表示风险模型T1+k，k总再保险止损风险，其中T1，k:=（S1，k）-d） +和t2，k:=（S2，k- d） +代表两个止损再保险组合，其中S1，k=Pki=1Xiand S2，k=P2ki=k+1Xit分出保险公司的总风险和di，i=1，2一些正的免赔额。

此外，对于给定的riskX~ Me（β，Qe）和df F，对于免赔额d>0，我们在剩余的文件中表示fx（y+d）=∞Xk=0k（d，β，Qe）Wk+1（y，β），UX（c，d，β）=∞Xk=0（k+1）k（d，β，Qe）Wk+2（c，β），带k（d，β，Qe）=β∞Xj=0qj+k+1wj+1（d，β）。此外，对于Xi~ ME（Qei，β），di>0，i=1，2，我们定义fx+X（d，d，s）=∞Xk=0∞Xj=0k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+2（s，β），UX（c，d，d，β）=β∞Xk=0∞Xj=0（k+1）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（c，β），UX（c，d，d，β）=β∞Xk=0∞Xj=0（j+1）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（c，β），UX+X（c，d，d，β）=β∞Xk=0∞Xj=0（k+j+2）k（d，β，Qe）j（d，β，Qe）Wk+j+3（c，β）。4.1再保险止损风险的聚合在下面的结果中，我们证明了聚合止损风险的df是一种封闭形式，这使我们能够推导其平均超额函数的分析公式。命题4.1如果（X，…，X2k）~ 带β2k的SM E（β，Qe）≥ βi，i=1，2k- 1和dj>0，j=1，2，则由fr（s）=（FS1，k，S2，k（d，d）为s=0，FS1，k，S2，k（d+s，d+s）为s>0（4.1），其中FS1，k，S2，k（d），d）=ξFS1，k（d）FS2，k（d）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmF~S1，k（d）F~S2，k（d），FS1，k，S2，k（d+s，d+s）=ξFS1，k（d）FS2，k（d+s）+FS1，k（d+s）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，s）+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmFS1，k（d）FS2，k（d+s）+FS1，k（d+s）FS2，k（d）+FS1，k+S2，k（d，d，s）,命题3.1中定义了S1，k，S2，k，~S1，k，~S2，kare。备注4.2考虑到（4.1）中df的可处理形式，许多风险相关的量化都有一个例外形式，例如，对于c>0，Ris的平均超额函数为{R- c | R>c}=FR（c）ξFS1，k（d）US2，k（c，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（c，d，Z（β2k））+US1，k+S2，k（c，d，d，Z（β2k））+2kXl=1Xj，j，。。。，jlξj，j，。。。，jllYm=1γjmFS1，k（d）US2，k（c，d，Z（β2k））+FS2，k（d）US1，k（c，d，Z（β2k））+US1，k+~S2，k（c，d，d，Z（β2k））- C