多元止损混合Erlang再保险风险：聚合，

因此，将（A.4）、（A.5）和（A.6）结合起来，权利要求很容易理解。引理A.4让X~ ME（β，Qe）和pdf f（x，β，Qe），如果g是某个正函数，使得E{g（x）}<∞,然后c（x，β，Qe）=g（x）f（x，β，Qe）E{g（x）}又是一个混合Erlang分布的pdf，具有比例参数Z（β）和混合权重ΘE（Qe）=（θ，θ，…），c（x，β，Qe）=∞Xk=1θkwk（x，Z（β）），其中oZ（β）=2β，θk=k-1Pkj=1k- 1j- 1.qjP∞l=k-j+1ql，对于g（x）=2F（x），oZ（β）=β和θk=0代表k6t，qk-tΓ（k）Γ（k）-t） P∞对于k>t，j=1qjΓ（j+t）Γ（j），对于g（x）=xtt∈ R、 Z（β）=β+t和θk=qkβkP∞j=1qjβj，其中β=ββ+t，对于g（x）=e-TXT∈ N.证据。我们有c（x，β，Qe）=g（x）f（x，β，Qe）E{g（x）}=E{g（x）}∞Xk=1qkβk（k- 1)!g（x）xk-1e-βx（A.7）for g（x）=xtone可以将（A.7）写成如下c（x，β，Qe）=E{Xt}∞Xk=1qkβk（k- 1)!xt+k-1e-βx=∞Xk=1qkΓ（k+t）Γ（k）P∞j=1qjΓ（j+t）Γ（j）wk+t（x，β）=∞Xs=t+1qs-tΓ（s）Γ（s）-t） P∞j=1qjΓ（j+t）Γ（j）ws（x，β）=∞Xs=1θsws（x，β），带θs=0代表s 6 t，qs-tΓ（s）Γ（s）-t） P∞对于s<t，j=1qjΓ（j+t）Γ（j）。for g（x）=e-tx（A.7）可以表示为（setβ：=ββ+t）c（x，β，Qe）=E{E-tX}∞Xk=1qkβk（k- 1)!xk-1e-（β+t）x=∞Xk=1qkβkP∞j=1qjβj！wk（x，β+t）=∞Xk=1θkwk（x，β+t）。对于r g（x）=2F（x），请参见[2]中的证明。接下来两个引理中给出的结果分别可以在[24]的第2.2节和[11]的第7.2节中找到。引理A.5如果X~ ME（β，Qe），那么对于任何正常数β≥ 我们有~ me（β，ψE（Qe）），ψE（Qe）=（ψ，ψ，…），式中ψk=kXi=1qik- 1i- 1.ββ我1.-ββK-i、 k≥ 引理A.6设X，Xbe两个独立的随机变量，如Xi~ Me（β，Qei），i=1，2，然后S=X+X~ ME（β，πe{Qe，Qe}）与πl{Qe，Qe}=（0表示l=1，Pl）-1j=1q1，jq2，l-jl>1。备注A.7根据Cossette等人（2012）（备注2.1），引理A.6中的结果可以扩展到Sn=Pni=1Xi，前提是X，Xnare独立，Xi~ Me（β，Qei）对于i=1，n、 具体来说，Sn~ ME（β，∏e{Qe。

，Qen}），其中单个混合概率可以迭代计算如下πl{Qe，…，Qen+1}=（0表示l=1，…，n，Pl-1j=nπj{Qe，…，Qen}qn+1，l-对于l=n+1，n+2。附录B Sarmanov随机向量和的联合密度Sarmanov分布的一个主要特征是它的pdf可以用来以分析的方式得出一些结果。例如，Vernic[22]已经推导出了由Sarmanov分布连接的数个Rv之和的密度的一般公式。下面我们推导n个随机向量的联合密度，其中每个向量由k个元素组成，我们将每个随机向量中的元素之和表示为Si:=Pikj=（i）-1） k+1Xj，i=1，n、 此外，我们假设总体随机向量（X，…，Xnk）的联合分布具有满足（2.2）的任何核函数的Sarmanov分布。定理B.1（S，…，Sn）的节理密度由ζ（u，…，un）=nYi=1fSi（ui）+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhnYi=1f(*)Si（ui），其中fsi（ui）=（f（i-1） k+1* . . . * fik）（ui），f(*)Si（ui）=（f）(*)（一）-1） k+1* . . . * f(*)ik）（ui），带f(*)m（xm）=（fm（xm）如果m/∈ {j，j，…，jh}，φxm（s）fm（xm）ds如果m∈ {j，j，…，jh}，m=1，nk。证据（S，…，Sn）的接缝密度根据（X，…，Xnk）的接缝密度确定，如下ζ（u，…，un）=Z。Zs=u，s=u，。。。，sn=unh（x）dx。dxnk-1，（B.1）带x=（x，…，xnk），s=x+…+xk，s=xk+1+…+X2k，sn=xnk-k+1+…+xnk。参考（2.1），h（x）=nkYi=1fi（xi）1+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhhYk=1φjk（xjk）=nkYi=1fi（xi）+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，JHYK=1φjk（xjk）fjk（xjk）Ym/∈{j，j，…，jh}fm（xm）=nkYi=1fm（xm）+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhnkYm=1f(*)m（xm），其中对于m=1，nkf公司(*)m（xm）=（fm（xm）如果m/∈ {j，j，…，jh}，φm（xm）fm（xm）if m∈ {j，j。

，jh}。因此，我们可以将（B.1）表示为一组协解的和，如下所示（集合xik:=（x（i））-1） k+1，希克-1） ，i=1，n） ζ（u，…，un）=nYi=1ZRk-1Zik-1Ym=（i）-1） k+1fj（xj）fik（ui）-ik-1Xm=（i）-1） k+1xj）dxik+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhnYi=1ZRk-1Zik-1Ym=（i）-1） k+1f(*)m（xm）f(*)ik（uj）-ik-1Xm=（i）-1） k+1xm）dxik=nYi=1fSi（ui）+nXh=2X16j<j<<jh6nαj，。。。，jhnYi=1f(*)Si（用户界面）。致谢。作者承认从REVERE-318984项目（FP7玛丽·居里·欧文奖学金）和沃多瓦兹保证获得的部分财政支持。参考文献[1]A.巴德斯库、L.龚、林克胜和D.Tang。建模与操作风险管理应用相关的频率。运营风险杂志，即将出版。[2] H.Cossette、M.-P.C^otKe、e.Marceau和K.Moutanabbir。由FarlieGumbel Mor genstern copula和混合Erlang边际定义的多元分布：聚合和资本分配。《保险：数学与经济学》，52:560–572，2013年。[3] J·D·康明斯。保险业资本的分配。《风险管理与保险评论》，3（1）：7-27，2000年。[4] J.Dhaene、A.Tsanakas、E.A.Valde z和S.Vandu ffel。最优资本分配原则。《风险和保险杂志》，79（1）：2012年1月至28日。[5] D.C.M.迪克森。破产时间和破产损失联合密度的一些显式解。《阿斯汀公报》，38（1）：259-2762008。[6] D.C.M.迪克森和G.E.威尔莫特。经典泊松风险模型中破产时间的密度。Astin Bulletin，35（1）：45-602005。[7] E.Hashorva和G.Ra tovomirija。论萨马诺夫混合Erlang风险在保险中的应用。《阿斯汀公报》，2015年1月1日，45:175–205。[8] A.Hern’andez Bastida和M.P.Fern’andez-S’anchez。具有beta和gamma边际分布的Sarmanov族：集体风险模型中Bayes保费的应用。《统计方法与应用》，21（4）：391–4092012。[9] 美国。

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