加权弹性净惩罚均值-方差投资组合设计

此处W（ti）是ti日的投资组合，根据之前的一组培训数据计算，并在63个交易日的间隔内保持固定。4.1参数估计和校准由于大量资产和少量训练数据，我们在实验中使用加权弹性净惩罚收缩技术来估计协方差和平均值[10]。我们使用[24]中描述的技术估计协方差矩阵。本文提出了紧随其后的s收缩估计量f或Γ^Γ=ρΓs+ρI（41），其中Γ是从训练数据获得的样本平均协方差，其中ρ，ρ>0。在我们的实验中，我们使用了文献[24]中推导的ρ>0和ρ>0的最佳值。请注意，这种收缩目标的选择保证了^Γ将为正定义。由于加权弹性净罚金由加权l通常，当应用第2.3节中的加权弹性网正则化时，（41）中的收缩可能显得多余。然而，情况并非如此，因为（41）中的加权弹性网和收缩参数是根据不同标准自适应选择的。因此，协方差sh-rinkage目标成为自举目标和根据[24]导出的目标的组合。这种方法的一个好处是，总会有某种程度的l正则化，无论引导标准是什么。对于均值的估计，我们使用了James Stein估值器[9,21]，该估值器在[23]中提出用于投资组合优化。当应用James Stein方法时，我们使用方程^u=（1）计算u的估计值- ρ） uS+ρη1.（42）这里us是样本平均向量，η是样本平均值和1928年至2000年美国股市每日历史收益的最大值[6]η=NNi=1uS，i∨ 0.0004.

（43）根据[23]将ρ的值设置为ρ=min 1，（N）- 2） Ttrain（微秒）- η1） T^Γ-1（微秒）- η1). （44）使用第2.5节中描述的bootstrap技术对加权弹性净惩罚的权重进行校准，具有相同的均方和平方波动率估计风险规避因子，即p=p。使用[15]中描述的技术对加权套索惩罚进行校准。由于[15]中的加权套索校准仅限于常数，我们对各种常数进行了参数研究。C校准使用第1节中描述的技术处理弹性净惩罚的加权弹性净惩罚投资组合21。第6.2页，共[38]页。[38]中的校准方法只确定了（7）中的λ+λ之和，而没有说明λ和λ的相对权重。因此，我们对弹性网络中参数λ和λ之间的相对权重进行了形式参数分析。对于SCAD，没有已知的校准方法。因此，对于SCAD，我们对各种λ值和[13]中建议的3.7的固定ASCAD参数进行了参数研究。4.2夏普比率性能在本节中，我们给出了以下5个均值-方差标准的性能结果：1）未启用2）加权弹性净惩罚，3）加权套索惩罚[15]，4）弹性净p启用[39]，以及5）SCAD惩罚。作为比较案例，我们还测试了1N等权投资组合。估计风险规避系数0。2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.020.020.040.060.080.1夏普比率惩罚加权弹性净值1/N组合图2：加权弹性净值表现作为估计风险规避因子的函数图2我们检查加权弹性净值惩罚的夏普比率作为估计风险规避因子的函数，也就是说，自举加权弹性净惩罚投资组合22厘。

作为比较，1图中还显示了N和未启用的投资组合。该图表明，加权弹性净惩罚标准和自举校准在1当估计风险规避因子在0.5到0.95之间时，N和未启用的投资组合。在这个区间之外，加权弹性n和pen alty并没有改善绩效，这表明适度的估计风险规避是最佳的。估计风险规避系数0。2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1×10-40.51.52.5α25百分位数的四分位数50百分位数75百分位数图3：作为估计风险规避因子函数的α权重四分位数图3和图4我们展示了从自举技术获得的α和β参数的四分位数，作为估计风险规避因子的函数。当平均因子从0.95移动到1.0时，数值急剧增加。这可以解释图2中从0.95到1.0的性能大幅下降的原因。为了进行比较，图5、6和7显示了加权套索、弹性网和SCAD惩罚投资组合的S harpe比率，作为其各自惩罚比例参数的函数。我们看到，两权弹性净惩罚投资组合23估计风险规避系数0。2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1×10-30.51.52.53.54.5β25百分位数的四分位数50百分位数75百分位数图4：作为估计风险规避系数函数的β权重四分位数加权套索和弹性网的表现不如加权弹性网惩罚。这可能是从最小方差角度进行校准的结果。如果λ参数选择正确，SCAD惩罚组合的性能与加权弹性净惩罚相当。

然而，对于如何在港口组合优化问题的SCAD惩罚中自动选择最佳λ，仍然是一个开放的问题。5结论与推广本文提出在均值-方差目标函数中加入加权弹性净惩罚，以提高样本外投资组合在参数估计不确定时的性能。我们已经证明，这种方法可以通过将均值-方差标准重新表述为一个机器人优化问题来实现。基于这一观点，我们开发了18个弹性净惩罚投资组合24个惩罚参数0 0.005 0.01 0.015-0.020.020.040.060.080.1加权套索惩罚均值-方差标准的比率图5：作为惩罚标准化因子函数的加权套索表现。使用[15]中的技术校准相对重量值。一种基于自举和投资者对模型估计风险厌恶的数据驱动的弹性净权重校准方法。为了高效地计算投资组合权重，我们提出了一种新的自适应SupportSplit-Bregman算法来解决我们提出的优化准则。该技术利用加权弹性网络惩罚的稀疏性促进特性来减少计算需求。我们的实验结果表明，与为最小方差投资组合设计的其他范数惩罚技术相比，使用加权弹性净惩罚和校准方法可以产生更高的样本外锐化率。

此外，我们的MATLAB运行时结果表明，与Split-Bregman和FISTA等其他算法相比，所提出的自适应支持Split-Bregman算法显著减少了计算时间。本文提出的一个有趣的问题是，权重越大的弹性净值是否会惩罚25λ的投资组合- λ-1-0.8-0.6-0.4-0.20.2 0.4 0.6 0.8 1-0.020.020.040.060.080.1弹性净惩罚平均方差标准的比率图6：弹性净性能作为l平方l重量。使用[38]中的技术进行校准（19）中的所有成对弹性净惩罚将提供比加权弹性净惩罚更进一步的性能提升。成对惩罚似乎很有希望，因为它来自一个更灵活的模型，其中允许Γ的作用对角线存在不确定性。然而，成对弹性网要求规格为吨（N-1） 与加权弹性网相比，不确定性参数更多。此外，计算（19）解的数值算法在文献中还没有广泛报道。我们计划在未来的工作中调查这些问题。6致谢我们要感谢审稿人对我们论文的宝贵意见。他们的评论使我们提高了工作质量。加权弹性净惩罚组合26惩罚参数0。5 1.5 2.5 3.5 4 4.5 5-0.020.020.040.060.080.1 SCAD惩罚平均方差标准的严格比率图7:SCAD性能作为λ参数的函数。作为定理2和定理3的3.7A证明，在本节中，我们提供定理2和定理3的证明。

为了便于验证，我们首先将（15）中的标准重新表述为二次规划。A.1通过引入辅助变量d，minw，dΦ（w，d）（45）s.t.可以将二次规划重新表述为具有线性不等式约束的二次规划问题（15）。- di≤wi- di≤-加权弹性净惩罚投资组合，其中Φ（w，d）=wTRw- wT^u+∑Ni=1β，其中R=^Γ+Dα。这个问题的拉格朗日l（w，d，λ）=wTRw- wT^u+Ni=1βidi+Ni=1λi(-di- wi）+Ni=1λi+N(-di+wi）（46）在我们接下来的分析中起着重要作用。A.2近似最优性证明我们用二次规划的重新形式（45）证明定理2和3。我们的首要任务是推导固定λ的拉格朗日下界，当d=W. 首先要注意的是，R是对称正定义，其最小特征值为≥αo=min{αi∶ 1.≤我≤N}。因此对于di来说=wi,~di=~wiλ>0我们有Φ（w，d）≥ L（w，d，λ）=L（w，d，λ）+wL（~w，~d，λ）T（w）- ~w）+dL（~w，~d，λ）T（d）-~d）+（w- ~w）THw（~w，~d，λ）（w）- ~w）≥ L（~w，~d，λ）+wL（~w，~d，λ）T（w）- ~w）+dL（~w，~d，λ）T（d）-~d）+αoW- ~wl≥ L（~w，~d，λ）+wL（~w，~d，λ）T（w）- ~w）+dL（~w，~d，λ）T（d）-~d）+αoW- ~wl+αoD-~dl（47）式中，Hw是Lw.r.t对w变量的Hessian。现在我们给出两个引理，它们将有助于推导停止判据。当L的梯度很小时，我们的第一个引理a给出了L的上界。引理7假设di=wi我和w、 dL（~w，~d，λ）l≤√2αo.ThenL（~w，~d，λ）≤Φ（w）*, D*)+ w在哪里*解（15）和d*我=W*我对于等式（47）的所有证明6，我们有Φ（w）*, D*)≥L（w）*, D*, λ) ≥ L（~w，~d，λ）+wL（~w，~d）T（w）*- ~w）+dL（~w，~d）T（d）*-~d）+αoW*- ~wl+αoD*-~dl.加权弹性净惩罚投资组合：通过替换使右侧最小化-αo对于（d）的dL（~w，~d，λ）*-)d）和-αowL（~w，~d，λ）in代表（w）*- ~w）。

通过这些代换，我们得到Φ（w）*, D*) ≥ L（~w，~d，λ）-2αow、 dL（~w，~d，λ）l≥ L（~w，~d，λ）- .下一个引理很容易验证。引理8假设A.≤b、 然后就有了x，x≥0使得x+x=b-x+x=a.a.2.1定理2的证明我们现在准备证明定理2，该定理建立了在加权弹性网准则（15）下投资组合近似最优性的条件。定理2选择d的证明7*d，这样d*我=W*我和?=~wi. 因为我∈补充（w）定义λ，使λi=如果wi>0，则为0∈supp（~w）βiif wi<0，i∈supp（~w）和i∈s upp（~w），定义λi+N=βi- λi代表i我们想定义λi和λi+n确保λi≥0，λi+N≥0，λi+λi+N=βi（48）和- λi+λi+N=-wiwTRw- wT^u通过引理8，等式（29）表明，这样的λi，λi+连接。让我们形成拉格朗日L（w，d，λ），如等式（46）所示。那是因为∈供应（▄w）wiL（w，d，λ）∣（~w，~d）=wiwTRw- wT^u+Wβ,lw=魔杖diL（w，d，λ）∣（w，~d）=0。29i的加权弹性净惩罚投资组合我们通过等式（49）得到的supp（~w）wiL（w，d，λ）∣（~w，~d）=0，并通过等式（48）diL（w，d，λ）∣（w，~d）=0。然后根据等式（28）得出：w、 dL（~w，~d，λ）l≤√2αo通过引理7和λ的选择，我们得到Φ（~w，~d）=L（~w，~d，λ）≤ Φ（w）*, D*)+ .这显然意味着ψ（~w）≤ψ（w）*)+ .A.2.2定理3的证明现在我们证明定理3，它可以用来建立比定理2更实用的收敛准则。定理3的构造证明8ζ - ~wl∞≤ζ - ~wl≤∧√。因此我∈补充（ζ）wiwTRw- wT^u+Wβ,lw=ζ≤(√2+1）αo和-βi≤wiwTRw- wT^uw=ζ≤如果我s upp（ζ）。根据定理2，我们得到ζ满足（33）。参考文献[1]C.巴里，《不确定均值、方差和协方差下的投资组合分析》，金融杂志，29（1974），第515-522页。加权弹性净惩罚投资组合30[2]A.贝克和M。

Teboulle，线性反问题的快速迭代收缩阈值算法，暹罗成像科学，2（2009），第183-202页。[3] S.Boyd和L.Vandenberghe，剑桥大学凸优化。新闻，2004年。[4] J.布罗迪、I.道贝奇斯、C.冈特克、Y.王和Y.O.《稀疏和稳定的马科维茨投资组合》，PNAS，106（2009），第12267-12272页。[5] Y.Chen，A.Wiesel和A.Hero，《高维协方差矩阵的稳健收缩估计》，IEEE信号处理学报，59（2011），第4097-4107页。[6] A.Damodaran，《股票、国债和国库券的年度回报率：1928年——当前》。http://www.stern.nyu.edu/adamodar/pc/datasets/histretSP。xls。[7] V.DeMiguel、L.Garlappi、F.Nogales和R.Uppal，《投资组合优化的广义方法：通过约束投资组合规范来改善绩效》，管理科学，（2009），第798-812页。[8] V.DeMiguel、L.Garlappi和R.Uppal，《最优与幼稚多元化：1/N投资组合策略的效率如何？》？，《金融研究回顾》，22（2009），第1915-1953页。[9] B.Efron和C.Morris，《斯坦估计规则及其竞争对手——经验贝叶斯方法》，美国统计协会杂志，68（1973），第117-130页。[10] B.Efron和C.Morris，《统计学中的斯坦悖论》，科学杂志，237（1977），第119-127页。[11] B.Efron和R.Tibshirani，《标准误差的自举方法、置信区间和其他统计准确性度量》，统计科学，1（1986），第54-75页。[12] E.Fama和K.French，《股票和债券收益中的常见风险因素》，金融经济学杂志，33（1993），第3-56页。[13] 范志强、李瑞华，变量选择与惩罚似然及其预言性质，美国统计分类杂志，96（2001），第1348-1360页。加权弹性净惩罚投资组合31[14]J.Fan，J.Zhang和K。

俞，具有总体位置限制的大量对开本选择，美国统计协会杂志，107（2012），第592-607页。[15] B.Fastrich，S.Paterlini和P.Winker，《利用正则化方法构建最优稀疏投资组合》，计算管理科学，12（2014），第417-434页。[16] P.Frost和J.Savarino，《有效投资组合选择的经验Bayes方法》，《金融与定量分析杂志》，21（1986），第293-305页。[17] D.Goldfarb和G.Iyengar，《稳健投资组合选择问题》，运筹学数学，28（2003），第1-38页。[18] T.Goldstein和S.Osher，分裂布雷格曼法l正规化问题，暹罗图像科学杂志，2（2009），第323-343页。[19] B.Halldorsson和R.Tutuncu，《一类鞍点问题的内点法》，最优化理论与应用杂志，116（2003），第559-590页。[20] R.Jagannathan和T.Ma，《大型投资组合中的风险降低：为什么引入错误的约束会有所帮助》，金融杂志，58（2003），1651-1684页。[21]W.James和C.Stein，《带质量损失的估计》，第四届伯克利数学统计与概率研讨会论文集，1961年，第361-379页。[22]J.Jobson和B.Korkie，《马科维茨效率投资组合的估计》，美国统计协会杂志，75（1980），第544-554页。[23]P.Jorion，《投资组合分析的Bayes-Stein估计》，金融与定量分析杂志，21（1986），第279-292页。[24]O.Ledoit和M.Wolf，大维协方差矩阵的条件良好的e刺激，多元分析杂志，88（2004），第365-411页。[25]，亲爱的，我缩小了样本协方差矩阵，投资组合管理杂志，30（2004），第110-119页。加权弹性净惩罚投资组合32[26]J。

李，参数不确定的稀疏稳定投资组合选择，商业与经济统计杂志，即将出版。[27]R.Litterman和K.Winkelmann，估计协方差矩阵，风险管理系列，（1998年）。高盛。[28]A.Loret、D.Eis、V.Kostina和P.Ramadge，通过成对弹性网络利用稀疏回归中的协变量相似性，摘自第13届国际艺术情报与统计会议，第9卷，意大利撒丁岛Chia Laguna度假村。，2010年[29]H.Markowitz，《投资组合选择》，金融杂志，第7期（1952年），第77-91页。[30]R.Merton，《关于估计市场预期回报：一项探索性调查》，金融经济学杂志，8（1980），第323-361页。[31]R.Michaud，《马科维茨优化之谜：优化了吗？》？，菲南，肛门。J.，45（1989），第31-42页。[32]，高效助理管理：股票投资组合优化实践指南，牛津大学出版社，纽约，1993年。[33]J.Nocedal和S.Wright，数值优化，斯普林格，1999年。[34]W.Sharpe，《投资组合分析的简化模型》，管理科学，9（1963），第277-293页。[35]Y.Sun，P.Babu和D.Palomar，正则化泰勒散射估计：存在性、唯一性和算法，IEEE信号处理交易，62（2014），第5143-5156页。[36]R.T¨ut¨unc¨u和M.Koenig，《稳健资产配置》，运营研究年鉴，132（2004），第157-187页。[37]E.Treister和I.Yavneh，多层次迭代收缩法l惩罚最小二乘最小化，IEEE Trans。S ignalProc。，60（2012），第6319-6329页。[38]严彦，金融计量经济学的三篇论文，博士论文，唐教授，2012年。加权弹性净惩罚投资组合33[39]日元和T。