加权弹性净惩罚均值-方差投资组合设计

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英文标题：
《Weighted Elastic Net Penalized Mean-Variance Portfolio Design and
  Computation》
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作者：
Michael Ho, Zheng Sun, Jack Xin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  It is well known that the out-of-sample performance of Markowitz\'s mean-variance portfolio criterion can be negatively affected by estimation errors in the mean and covariance. In this paper we address the problem by regularizing the mean-variance objective function with a weighted elastic net penalty. We show that the use of this penalty can be motivated by a robust reformulation of the mean-variance criterion that directly accounts for parameter uncertainty. With this interpretation of the weighted elastic net penalty we derive data driven techniques for calibrating the weighting parameters based on the level of uncertainty in the parameter estimates. We test our proposed technique on US stock return data and our results show that the calibrated weighted elastic net penalized portfolio outperforms both the unpenalized portfolio and uniformly weighted elastic net penalized portfolio.   This paper also introduces a novel Adaptive Support Split-Bregman approach which leverages the sparse nature of $\\ell_{1}$ penalized portfolios to efficiently compute a solution of our proposed portfolio criterion. Numerical results show that this modification to the Split-Bregman algorithm results in significant improvements in computational speed compared with other techniques.
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中文摘要：
众所周知，马科维茨均值-方差投资组合准则的样本外性能会受到均值和协方差估计误差的负面影响。在本文中，我们通过用加权弹性净惩罚正则化均值-方差目标函数来解决这个问题。我们表明，这种惩罚的使用可以由直接解释参数不确定性的均值-方差准则的稳健重新表述来驱动。通过对加权弹性净惩罚的这种解释，我们导出了基于参数估计中的不确定性水平校准加权参数的数据驱动技术。我们在美国股票收益率数据上测试了我们提出的方法，结果表明，经过校准的加权弹性净惩罚投资组合优于未授权投资组合和均匀加权弹性净惩罚投资组合。本文还介绍了一种新的自适应支持分割Bregman方法，该方法利用$\\ell_{1}$惩罚投资组合的稀疏性来有效地计算我们提出的投资组合准则的解。数值结果表明，与其他技术相比，对Split-Bregman算法的这种修改导致了计算速度的显著提高。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Weighted_Elastic_Net_Penalized_Mean-Variance_Portfolio_Design_and_Computation.pdf (429.32 KB)

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关键词：投资组合 组合设计 Quantitative Modification Optimization

加权弹性净惩罚均值-方差组合设计与计算Michael Ho+郑孙Jack Xin§2015年10月16日摘要众所周知，马科维茨的均值和协方差组合标准的样本外性能可能会受到均值和协方差估计误差的负面影响。在本文中，我们通过用加权弹性净惩罚正则化均值-方差目标函数来解决这个问题。我们证明，这种惩罚的使用可以由直接解释参数不确定性的均值-方差e准则的稳健重新表述来驱动。通过对加权弹性净惩罚的这种解释，我们导出了数据驱动技术，用于根据参数估计中的不确定性水平校准加权参数。我们在美国股票收益率数据上测试了我们提出的方法，结果表明，校准的加权弹性净惩罚投资组合优于未授权投资组合和均匀加权弹性净惩罚投资组合。本文还介绍了一种新的自适应支撑分离Bregmanapproach，它利用了l惩罚投资组合有效地计算出我们提出的投资组合标准的解决方案。数值结果表明，与其他技术相比，对Split-B regmanalgorithm的这种修改导致了计算速度的显著提高。本文将发表在《暹罗J.金融数学》上。+加州大学欧文分校数学系，加利福尼亚州欧文市，92697，美国。电子邮件：mtho1@uci.edu.——加州大学欧文分校保罗·默拉吉商学院，加利福尼亚州欧文市，邮编92697。电子邮件：zsun@merage.uci.edu.§美国加利福尼亚州欧文市加州大学欧文分校数学系，邮编92697。

电子邮件：jxin@math.uci.edu.该工作得到了NSF拨款DMS-1211179的部分支持。加权弹性净惩罚投资组合21简介随着哈里·马科维茨（Harry Markowitz）的最佳单期投资组合构造准则[29]的初步出版，现代投资组合理论诞生于1952年，该准则平衡了投资组合的风险和回报潜力。现代投资组合理论的一个关键假设是，给定两个预期收益相同的投资组合，投资者总是会选择风险最小的投资组合。马科维茨提出用投资组合收益的方差来衡量投资组合的风险。因此，马尔·科维茨将投资组合选择问题表述为在收益预期值最小的情况下使投资组合收益方差最小化。从数学上讲，马科维茨公式可以写成一个定量规划问题，最优投资组合可以使用各种二次规划方法计算[3,33]。Markowitz投资组合优化标准的一个缺点是，它要求从业者指定每种资产的预期回报和不同资产回报的协方差。这给投资者带来了一个问题，因为未来的均值和协方差矩阵未知。如果使用了不正确的参数值，那么投资组合的表现将是次优的[31,8]。由于参数不确定性而产生的额外风险通常被称为估计风险。当均值和协方差未知时，可以使用一种直觉技术，从历史回归数据[27]估计均值和协方差矩阵，并插入估计参数以代替实际值。估计未知参数的一种方法是使用样本平均法，这是最大似然（ML）最优的方法。i、 d和正态分布。

当数据为正态分布且有效的训练数据可用时，这种方法可能非常准确。对于非正态分布的数据，可以考虑使用方差矩阵的稳健估计技术[35,5]。虽然示例平均值和插件方法直观，但在有效地实现它方面存在困难。主要困难在于，通常只有有限数量的相关历史财务回报数据可用于估计均值和协方差。缺乏相关数据的一个原因是，投资的回报统计数据可能是时变的。因此，在估计当前均值和协方差时，只有少量的过去数据是相关的。由于资产收益的波动性可能很大，因此仅通过对少量样本进行平均得到的参数估计值可能会变大。使问题进一步复杂化的是协方差矩阵可能是病态的。这使得投资组合权重对加权弹性净惩罚投资组合的3个小参数误差非常敏感。这些估计误差的影响是风险回报率表现明显偏离未知统计数据下的最佳表现[8,1,22]。作为样本平均估计的替代方法，已经提出了均值和协方差的贝叶斯估计[16,23,25]。这些估计器有效地“shr ink”了样本平均估计值，使其朝向更结构化的目标（通过凸组合），其中考虑了先验知识。

先验知识可以采用结构化数据模型的形式，如单因素模型[34]或Fama-French三因素模型[12]。将样本平均估计值缩小到更结构化的模型中，可以减少参数估计值的可变性，并可以改善样本外投资组合的绩效。另一种提高样本外绩效的方法是，通过向目标函数[7,4,15,39]中添加惩罚（如投资组合范数惩罚）来规范投资组合的选择标准。[7]l然后平方l提出了最小方差准则的范数约束，并提出了交叉验证程序来校准这些约束。在[39，38]中，弹性净惩罚是在约束最小方差投资组合优化的背景下提出的。作者还推导了一种校准弹性净罚金的方法，该方法旨在确保所得投资组合的方差不会超过未启用的投资组合方差（渐近）。在[15]中，作者研究了凸惩罚，如加权O类方法[40]和非凸惩罚[13]，并将其应用于最小方差投资组合。对于加权套索进近，作者提出了一种校准方案，根据每种资产的波动性选择权重。上述投资组合优化的范数约束和惩罚方法主要集中在最小方差方法上。因此，通过仅考虑投资组合方差，可以对上述标准笔高度进行校准和调整。在校准惩罚时忽略平均回报。在本文中，我们提出了一种方法，可以应用于同时考虑投资组合和方差的均值-方差准则。

在这种情况下，我们建议用加权弹性净惩罚正则化目标函数。加权弹性净违约金是投资组合加权净违约金的线性组合l诺曼投资组合的加权平方l标准我们证明，加权弹性净惩罚的使用可以通过将均值-方差标准重新表述为稳健优化问题[17,36]来证明，其中资产回报的均值和波动率属于已知的不确定性加权弹性净惩罚投资组合4集。基于这种稳健的优化解释，推导出了校准加权弹性净惩罚中权重参数的数据驱动技术。我们提出的惩罚准则等价于鲁棒优化问题的一个特例，与一般的鲁棒投资组合优化问题相比有两个优点。首先，我们的方法可以使用快速且成熟的算法来解决l惩罚优化问题，如Sp-lit-Bregman算法[18]和FISTA算法[2]。在更一般的情况下，解决稳健的投资组合优化问题需要使用半限定的编程技术[19]，这对于大型投资组合来说是难以解决的。最后，我们在sp arseportfolios中对问题结果进行了公式化，这有助于降低投资组合的周转率和交易成本。一般的鲁棒优化问题并不一定会出现在稀疏投资组合中。本文还讨论了计算加权弹性净惩罚投资组合的计算方面。特别是，我们提出了一种新的自适应支持分割Bregman方法来计算加权弹性净惩罚投资组合。这种新算法利用弹性网络惩罚解的稀疏性来最小化计算需求。

我们表明，与其他解算器相比，这会显著提高收敛速度。本文正文的其余部分组织如下：第2节介绍了加权弹性网笔，并对其使用进行了说明。在第3节中，我们讨论了计算最优投资组合的自适应支持分裂Bregman方法。第4节介绍了使用美国股票数据的实验结果，这些数据证明了我们提出的方法的好处。最后在第5节中，我们陈述了我们的结论和未来工作的方向。附录包含第3.2节投资组合选择标准中给出的一些技术结果的证明。在本节中，我们首先回顾了均值-方差投资组合选择标准。然后，我们提出了加权弹性网惩罚投资组合选择准则，并激励其使用。2.1均值-方差投资组合选择标准假设存在一组N个风险资产，并假设{sn（k）}Nn=1是每个资产在k时刻的价格。那么，加权弹性净惩罚投资组合的第N个资产的超额收益率5时段k定义为rn（k）=sn（k+1）-锡（k）锡（k）-r（F）（k）（1）式中，r（F）（k）是无风险资产在时间k的回报。我们将{rn}Nn=1建模为具有有限均值和协方差的随机变量。投资组合定义为一组权重{wn}Nn=1R.如果wi>0，则在ithasset中采取多头仓位，而wi<0则表示空头仓位。Markowitz[29]提出的均值-方差准则增加了单期投资组合选择。

风险资产组合，如果是以下优化问题的解决方案，则w为均值方差最优-uTw（2），其中Γ和u是r在每个感兴趣iod的时间的协方差和平均值，其中Γ>0是一个风险规避系数（因为Γ只会影响投资组合权重达到正的标量倍数，所以我们将Γ设置为1）。假设Γ是对称的正定义，我们得到（2）是一个凸二次规划，其解为w*, 满足感Γw*=u（3）参数估计是实现平均方差标准所必需的。人们已经认识到，平均收益率的估计比协方差更困难[30]，因此，最近的文献[20,7,15]中经常建议使用最小方差标准。在最小方差标准中，忽略资产回报的平均值，以下标准用于投资组合选择MinwwtΓws。t、 Ni=1wi=1。（4） 尽管忽略了关于平均收益的所有信息，但当采用样本外夏普比率[7,20]进行计算时，最小方差标准通常会超出平均方差标准。2.2范数惩罚投资组合优化正如引言中所述，平均方差投资组合优化对参数估计误差敏感。为了解决这些问题，主要在最小方差优化的背景下，提出了若干加权弹性净惩罚准则。常用的凸形惩罚包括l诺姆，平方l定额和弹性净罚款[39]。这个l然后平方l标准惩罚用λN表示i=1wi （5） λNi分别为1wi（6），其中λ>0是加权因子。弹性净罚款是l然后平方l范数惩罚λNi=1wi+λNi=1wi（7），其中λ，λ>0。另一个凸惩罚是自适应LAS SO惩罚[40]，它在[15]中应用于最小方差优化。

adaptiveLASSO pen alty是一个加权l标准Wβ,l=Nk=1βk工作 （8） βk在哪里≥0.上述惩罚的加权参数f的校准主要是为了提高投资组合回报方差[39,15]。使用的几个理由l然后平方l文献中给出了作为惩罚和约束的规范。例如，在[4]中指出，使用均匀加权l当协方差是病态的时，惩罚可以由需求来激励，以获得稀疏的投资组合并正则化均值-方差问题。在[14]中，作者指出，由于平均回报估计中的错误，平均方差设置中的估计风险在以下范围内：u -^u∞Wl（9） 并以此上限作为推广sm all的理由Wl. [26]中提到，使用均匀加权l范数惩罚用于稳定inver-se协方差矩阵，这在金融应用中通常是病态的。加权弹性净惩罚投资组合[15]研究了7个非凸惩罚最小方差投资组合准则。[15]中研究的一种惩罚是软剪裁绝对偏差（SCAD）惩罚[13]。SCAD处罚定义如下：i=1pλ（wi）（10），其中pλ（x）=λ十、 如果十、≤λ-十、-2aSCADλ∣十、∣+λ2（aSCAD-1） 如果λ<十、≤aSCADλ（aSCAD+1）λ如果十、>aSCADλ（11），其中aSCAD>2。这种处罚类似于l惩罚和惩罚最初是在变量选择的背景下提出的。（11）中用于投资组合优化的参数aSCADandλ的校准在文献中尚未得到充分讨论。2.3加权弹性净惩罚投资组合p递减范数惩罚主要根据aminimu m方差推导和校准。在本节中，我们将上述最小方差投资组合设计方法扩展到均值方差投资组合。

在这里，我们建议用加权平均方差的和来增加均值-方差准则l和加权的平方l处罚新的投资组合选择标准中的惩罚项将被称为加权弹性网，在[41]的变量选择背景下对其进行了研究。设{αi}Ni=1和{βi}Ni=1为正实数。那么投资组合w的加权弹性净罚金为Wβ,l+Wα,l（12） 在哪里Wβ,l=Nk=1βk工作 （13） 及Wα, l=Nk=1αk工作. （14） 因此，加权弹性净惩罚均值-方差准则可以写成minwwt^Γw-wT^u+Wβ,l+Wα, l（15） 其中，^Γ和u分别是Γ和u的估计值。加权弹性净惩罚投资组合82.4动机通过将均值-方差准则重新表述为稳健优化问题，可以获得用加权弹性净惩罚增加均值-方差准则的基本原理。正如引言中所述，众所周知，当均值和协方差的估计存在误差时，均值-方差组合的样本外性能会显著降低。通过在优化标准中考虑估计误差，可以降低估计误差带来的风险。对参数估计风险建模的一种方法是假设tru ECOVERANCE和MEANCE属于以下不确定性集合A=R∶Ri，j=i，j+ei，j；艾未未，j≤i、 j；R0B={v∶vi=μi+ci；词≤βi}矩阵 对称且对角占优i、 j≥对于所有i，j.T.这种情况 确保formRi的矩阵R，j=^Γ我，我+i、 iif i=j^Γi，j±i、 jif i≠jRi，j=Rj，iis正半定义（即R∈A） 嗯。由于均值和协方差未知，选择投资组合的保守方法是在不确定性集合上优化最坏情况下的性能。这可以归结为以下鲁棒优化问题[17]minwmaxR∈A、 五∈BwTRw-vTw。