加权弹性净惩罚均值-方差投资组合设计

（16） 注意，对于固定的R和v，这个问题在w中是凸的。因为凸函数族的点最大值仍然是凸的，所以我们得到了maxr∈A、 五∈BwTRw-vTw（17）在w中是凸的。执行关于u的内部最大化将问题简化为MinWMAxr∈AwTRw+Ni=1(-^ui+βisgn（wi）wi（18）加权弹性净惩罚投资组合9SGN（wi）=wi∣wi∣如果wi≠还有100人。这可以重新写入为minwmaxr∈Atr（RwwT）-wT^u+Wβ,l,关于R的内部最大化可以用封闭形式求解。执行这个最终的m最大化给了我们以下凸优化问题Minwwt^Γw-wT^u+WTW+Wβ,l（19） 其中N×1向量W定义为W我=wi. （20） 因此，我们看到问题（16）相当于用加权成对弹性净惩罚对均值方差标准进行分段[28]。什么时候 等于对角矩阵Dα，其中Dα=α0 . . . 00     00 . . . 0αN（21）该标准简化了问题（15）minwwT^Γw中定义的加权弹性净惩罚问题-wT^u+Wβ,l+Wα,l（22）αi在哪里=i、 i.这一观察结果总结在以下g定理中：定理1（15）中的加权弹性网惩罚问题等价于（16）中的鲁棒优化问题，当 =Dα.2.5加权参数的数据驱动校准我们现在解决选择加权参数α和β的问题。回想一下，定理1指出问题（15）和（16）是等价的。这意味着α和β代表每项资产的平均和加权弹性净惩罚投资组合方差的不确定性水平。因此，我们建议sα和β与参数估计中的误差量相关联。由于参数估计中的误差量未知，我们需要对其进行估计。估计误差量的一种方法是bootstrap方法[11]。

Bootstrapping是一种非参数方法，已应用于投资组合优化[32]和稳健投资组合优化问题的校准[36]。自举的一个优点是，它不需要指定返回数据的分布。bootstrapping的第一步是测量过去训练数据的训练时间样本，以分别估计ui和Γi，使用估计器fui和fΓi。fui和fΓi的常见选择是样本平均值或收缩估计值。获得参数估计值后，使用替换和使用重采样数据形成的ui和Γi的额外估计值对训练数据进行重采样。重采样可以用独立的、均匀分布的整数值随机变量vk、m来描述，取值范围在1和Ttrain之间。这里是k∈{1，…，K}和m∈{1，…，Ttrain}。在估计量fui和fΓi，i对训练数据的顺序不变的情况下，估计误差的自举估计可以定义为ui，err（k）=fui（ri（vk，1），ri（vk，Ttrain））-^ui而Γi，呃（k）=fΓi，i（ri（vk，1），ri（vk，Ttrain））-^Γ我，我分别地这里ri（t）是训练样本中ithasset的retur n。{i，err（k）经验分布的百分位数k=1。K} 和{ui，err（K）k=1。K} 然后可以引用来推导αi和βi。例如，假设为0≤p、 p≤1.那么αi和βi的值可以定义为αi=min{x∶{n∶Γi，呃（n）≤x}≤pK}（23）和βi=min{x∶{n∶ui，err（n）≤x}≤pK}（24），其中K是引导估计数。百分位参数的经济解释和模型估计风险规避因素的经济解释。这里表示对平方波动率估计风险的厌恶，以及对平均估计风险的厌恶。

百分位值0对应于不厌恶估计风险，而值1对应于高度厌恶估计风险。注意，对估计风险的厌恶程度越高，弹性网络中的权重就越大。加权弹性净惩罚投资组合113数值方法在本节中，我们回顾了确定（15）解的一些数值算法。首先，我们回顾了Split-Bregman算法[18]在求解（15）中的应用。然后，我们提出了一种新的自适应SupportSplit-Bregman方法，该方法利用投资组合权重的稀疏性，比Split-Bregmanalm算法更快地求解（15）。3.1最优性和近似最优性条件在本节中，我们推导（15）的近似最优性条件。然后利用这些条件设计一个数值算法来确定（15）的解。设ψ（w）表示等式（15）中加权弹性净投资组合问题的目标函数ψ（w）=wT^Γw-wT^u+Wβ,l+Wα,l（25）=wTRw-wT^u+Wβ,l式中R=^Γ+Dα。因为ψ是凸的，w*最小化ψ当且仅当0∈ψ（w）*) （26）在哪里ψ（w）是在w[3]处计算的ψ的次梯度。注意，由于Ris正定义，ψ是严格凸的，因此（15）有一个唯一的解。在大多数情况下，我们只对近似最优的投资组合感兴趣。因此，我们可以放松最优性条件，为（15）的任何迭代解算器推导一个停止准则。在介绍我们的relaxedconditions之前，我们定义了一个投资组合w assupp（w）={i的支持∶wi>0}并将最小方差不确定性定义为αo=min{αi∶0≤我≤N}。（27）根据上述定义，我们得到了以下定理，该定理建立了近似最优性条件。定理2设w*是（15）的解。

假设w满足我∈支持（w）wiwTRw-wT^u+Wβ,lw=~w≤2αo（28）加权弹性净惩罚投资组合12和-βi≤wiwTRw-wT^uw=~w≤βi（29）为所有is upp（~w）。然后ψ（w）≤ψ（w）*)+（30）证据1见附录。在数值算法中，投资组合权重的非e值可能正好为0，尽管它们可能非常接近于零。因此，上述定理可能不太实用，无法用作停止标准。因此，让我们将较小的组合权重f与较大的组合权重f分开。为此，我们定义了（w）={i∈补充（w）∶wi<}.根据这一定义，我们得到了以下推论，这表明了一个比定理2更实用的停止规则。定理3设M≥2.Rl让>0成为given。选择η<∧√αo√纳米。让*是（15）的解决方案。假设w满足我∈ 供应（▄w）\供应η（西）wiwTRw-wT^u+Wβ,lw=~w≤2αo（31）和-βi+≤wiwTRw-wT^uw=~w≤βi-（32）为我∈供应η（西）∪补充（w）。然后ψ（ζ）≤ψ（w）*)+(√2+1）（33）式中ζi=如果我∈补充η（~w）~wielse。证据2见附录。加权弹性网惩罚投资组合133.2 Split Bregman算法加权弹性网问题可以重新表示为四次比率p程序，并使用通用求解器求解。然而，重新计算需要添加额外的N个原始变量以及2N个对偶变量。因此，这种方法可能不适用于大规模问题。一种更适合处理（15）类问题的算法是SplitBregman算法。[18]中介绍了Split-Bregman算法，用于解决涉及l正规化，如（15）。当使用SplitBregman方法求解（15）时，我们解决了一个等价的问题Minw，dwTRw-wT^u+Dls、 t.d=ψ（w）（34），其中R=ρ^Γ+dα，其中ψ（w）=（βw，…，βNwN）。

应用于（34）的Split-Bregman算法是求解（34）的算法1 Split-Bregman算法初始化：k=1，bk=0，wk=0，dk=0工作-工作-1.l>tol dowk+1=arg minwwTRw-wT^u+λdk-ψ（w）-bkldk+1=arg mindλD-ψ（wk+1）-bkl+Dlbk+1i=bki+βiwk+1i-当算法1中的两个内部优化问题都有闭式解时，dk+1ik=k+1。第一个问题是一个无约束的严格凸二次规划，第二个问题可以使用收缩算子dK+1j=收缩（βjwk+1j+bkj，λ），其中收缩（x，γ）=x来解决十、· 麦克斯(十、- γ, 0).算法1中的停止标准不能确保objectivevalue在所需的公差范围内。可以对算法进行修改，以确保实现这一点。其中一个修改使用定理3推导停止标准。加权弹性净惩罚投资组合14算法2求解（34）的改进分裂布雷格曼算法初始化：k=0，bk，wk，dk=工作, tol>0，而Wk不满足定理3关于的条件=(√2+1）tol和)w=wkdowk+1=arg minwwTRw- wT^u+λdk- ψ（w）- bkldk+1=arg mindλD- ψ（wk+1）+bkl+ Dlbk+1i=bki+βiwk+1i- dk+1ik=k+1end，同时输出ζ和dk，其中ζ的定义如定理3所示，使用=(√2+1）托兰w=wk。根据定理3，该算法确保目标值不超过最优值。3.3自适应支持拆分Bregman算法1和算法2中的第一个ub问题涉及求解N×N方程组。当资产数量很大时，完成这一步的计算成本就会很高。对于协方差矩阵病态且密集的金融数据尤其如此。因此，在需要实时结果或计算性能有限的应用中，算法1和2可能不切实际。投资组合优化问题具有l正则化项可以导致稀疏的投资组合，即。

（15）的解在少数指数中仅为非零。图1显示了使用准则15获得的1600项资产的投资组合权重，从而说明了这种行为。在这个例子中，只有不到11%的资产具有非零权重。可以利用投资组合权重的稀疏性来降低计算复杂度。看到这一切*求解（15）和I=supp（w*)是先验的（在计算解之前）。然后将问题（15）放松为等价的问题minwwtr∣Iw- wT^u∣I+Wβ,lR在哪里∣土地∣我给出了限制于I的协方差和均值。这个问题是维数问题我 并且需要更少的运算来计算包层。这表明，自适应支持分割Bregman算法加权弹性网惩罚投资组合150 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600-0.4-0.200.20.40.60.811.2在投资组合权重中设置了弹性净惩罚的投资组合权重图1：弹性净惩罚促进了投资组合权重的稀疏性，它试图在较小的子空间I上求解（15），其中*)我可以节省计算时间。为了开发有效的算法，我们首先导出一个最优性条件，该条件可用作停止标准。引理4W*解（15）当且仅当（2Rw）*)我- ^ui ≤ 如果我∈补充（w）*)和（2Rw）*)我- ^ui+βisgn（w*i） =0代表所有我∈补充（w）*).证明3假设w*解决（15）并让我∈补充（w）*). 那么自从w*等时和w*我≠0目标函数对wi的偏导数存在且等于0。砰=wiψ（w）w=w*= 2（Rw）*)我- ^ui+βisgn（w*i） 。现在我想补充（w）*). 现在目标函数的偏导数不存在。

然而，根据最优性，我们有0∈ψ（w）*)加权弹性净惩罚投资组合16Thuslimh↓0ψ（w）*+ hδi）- ψ（w）*)H≥安德里姆↑0ψ（w）*+ hδi）- ψ（w）*)H≤0这意味着（2Rw）*)我- ^ui≥-β-iand（2Rw）*)我- ^ui≤反过来，假设（2Rw）*)我- ^ui≤如果我∈补充（w）*)和（2Rw）*)我- ^ui+βisgn（w*i） =0代表所有我∈补充（w）*). 选择=m英寸{wi∶ 我∈补充（w）}。那么对于任何这样的wW- W*∞<ψ（w）- ψ（w）*) ≥我∈补充（w）*)（（2Rw）*)我- ^ui+βisgn（w*i） ）（wi- W*（一）++我/∈补充（w）*)（（2Rw）*)我- ^ui）wi+βiwi≥ 0.因此w*是局部最优的，这意味着全局最优。引理4可以用来导出一个确定投资组合x中哪些指标属于支持项的条件。例如，假设我∈附录（x），以及（2Rx）i- ^ui>βi。然后，通过将i加入supp（x）中，可以减少（15）中的目标函数。因此x不是最优的，我们应该把i合并到supp（x）中。接下来我们来看看如何将分裂的Bregman变量（w，d，b）从低维空间延长到高维空间。w和d的延长可以通过简单的零填充实现。b的延长更为微妙。下面的引理暗示了一种有效的延长。引理5假设（w）*,D*) 是用算法1得到的（34）的解。特林克→∞bki=-（2Rw）*- ^u）i（βiλ）。（35）用算法1证明4我们对所有k2（Rwk+1）i- ^ui- λ（dk）- ψ（wk+1）- bk）iβi=0。加权弹性净惩罚投资组合→∞wk=w*还有limk→∞dk=d*和d*=ψ（w）*i） 我们有利姆→∞2（Rwk+1）i- ^ui+λ（bk）iβi=0，这意味着→∞（bk）i=^ui- 2（Rw）*)iβiλ。这表明，可以从方程（35）中确定b延长时的th。例如，假设（~w，~d，~b）在受限域I上解（34）{1, 2, . . .

N}并让w和d表示w和d对集合j的扩散I.e.wj=~wjif j∈I0如果j∈J- I（36）dj=~djif j∈I0如果j∈J- 我（37）然后从等式（35）中得出一个线索，~b的延长可以定义为aSBI=(-2R∣Jw+^u∣J） 我（βiλ）。（38）给出了求解（34）的主动支持分裂Bregman算法。算法3：求解34W的自适应支持分裂布雷格曼算法：k=0，w=0，d=0，b=0，>0，M>0定义d=2Rw- ^Dki>如果我∈supp（wk）和k<N确定集合Jk={Dki∶ 我∈支持集K=M∨ （k+1）- 补充（周）)将+Jk设置为等于Jk集合中最大的K个元素Ik=~Jk∪ 支持（wk）在IK上运行算法2，并初始化wk∣Ik，bk∣Ik，dkik和公差集（wk+1，dk+1）对前一步集bk+1i输出的延长=-2（Rwk+1）- ^u）i（βiλ），设置Dk+1=2Rwk+1- ^uk=k+1，而下一个定理表明算法3收敛。加权弹性净惩罚投资组合*是（15）的最优解，设w′是算法3对=tol产生的解。然后ψ（w′）≤ψ（w）*)+ 托尔。（39）证明5通过设计，算法在最多N次迭代后终止。假设算法终止于k<N次迭代。设I（k）为自适应支持分裂Bregman算法迭代k中的支持度。然后通过定理3的证明，w′满足定理2的条件，=tol。因此，根据定理2ψ（w′）<ψ（w*)+ 托尔。现在假设算法在N次迭代中终止。Si nce I（N）-1） 包含算法2的设计所遵循的所有资产指数，算法2的ψ（w′）小于ψ（w*)+ 托尔。为了评估自适应支持分割Bregman算法的执行速度，我们与文献中描述的以下快速算法进行了比较：分割Bregman算法（算法2）、FISTA[2]和多级迭代收缩[37]。

据我们所知，这些算法被认为是大规模应用的最新技术l-二次规划。对于[37]中提出的多层算法，我们对所有松弛和最低层解算器使用FISTA[2]算法。为了进行公平的比较，我们使用了相同的误差容限10-6foreach算法。表1和表2给出了一大篮子和一小篮子美国股票求解（15）的MATLAB运行时间。运行模拟的机器有一个eWindows 7操作系统和一个32.0 GB内存的英特尔i7-3740处理器。表1：自适应支持Sp lit Bregman FISTA[37]2000 88 0.1秒20.6秒0.4秒0.2秒2000 142 0.2秒14.5秒0.8秒0.2秒450 0.9秒14.6秒3.6秒1.5秒2000 853 4.8秒23.0秒8秒9.2秒1692 10.4秒38.0秒21.4秒22.7sec3000 237 0.3秒48.2秒12.9秒2.7 sec3000 805 1.3秒49.9秒55.7秒24.6 sec4000 234 0.5秒107.6秒24.6秒2.2秒在表1中，我们看到自适应支持分割布雷格曼算法的收敛速度远远快于分割布雷格曼、FISTA和多级加权弹性净惩罚投资组合19FISTA。

另一方面，表1和表2显示，当资产集的基数较小或投资组合的支持度较大时，自适应支持拆分布雷格曼算法的优势降低。表2：当维度为小维度稀疏度时，自适应支持分裂布雷格曼FISTA的效益降低自适应支持分裂布雷格曼FISTA多级分裂布雷格曼FISTA[37]500 53 0.03秒0.8秒0.02秒0.02秒500 150 0.09秒0.6秒0.04秒0.03秒261 0.2秒0.5秒0.2秒4实验结果在本节中，我们量化了使用根据2001年1月1日至2014年7月1日期间收集的630只市值超过40亿美元的美国股票的每日回报数据，通过测试（15）中的标准，加权弹性净罚款。然后将结果与第2节中描述的其他投资组合选择标准和朴素的等权投资组合进行比较。在我们的实验中，我们每63个交易日计算一次新的投资组合，使用前252个交易日的每日收益作为参数估计和弹性净权重校准的训练数据。我们评估投资组合绩效的标准是每日投资组合回报的样本外夏普比率。夏普比率定义为投资组合的超额回报除以其标准偏差。用于计算夏普比的公式如下所示：∑τi=1w（ti）Tr（ti）τ∑τi=1w（ti）Tr（ti）-τ∑τj=1w（tj）Tr（tj）（40）式中，τ是我们13.5年数据集中的总交易日数。