具有交易费用的凸对偶

回想一下停车时间τ（）k:=τ（）k（S），k的定义≥ 0，K:=K（S）=min{K:τ（）K=T}-1.集合，^τ（）k:=kXi=1^τ（）i，其中^τ（）i=max{T∈ U（）i：t<τ（）i:=τ（）i- τ（）i-1}.很明显，0=^τ（）<^τ（）<对于所有K=0，K.我们现在定义ψ：Ohm → D（）乘以ψt（S）：=K-1Xk=0Sτ（）kχ[^τ（）k，^τ（）k+1）（t）+Sτ（）kχ[^τ（）k，t]（t）。最后，定义对冲π=（c，γ），其中c=（c，c，…，cN）和γ（S）：=KXk=1γ^τ（）k（ψ（S））χ（τ（）k，τ（）k+1]（t）。我们继续估计投资组合的价值ZπT（S）。SetI:=I（S）=γTST- κ|γT | ST+（1）- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u-(1 - △κ）Z[0，T]ψu（S）d△γ-u（ψ（S））+（1+~k）Z[0，T]ψu（S）dγ+u（ψ（S））。从第2.2节可知，对于任何x，y>0 | lnx- 在y |<=> q（x）≥(1 - L（e- 1） ）q（y）- L（e- 1） y1+L（e- 1).因此，从2.1，2.2和（5.3）的假设来看，zπT（S）- G（S）≥ 我- （G（S）- G（ψ（S）））-NXi=1ci（fi（ψ（S））- fi（S））（5.4）≥ 我- L1+N-1Xi=1ci！e2+∞Xj=12-J- 1.kSk- LcN（e- 1） 2fN（S）+kSk1+L（e）- 1)≥ 我- L1+N-1Xi=1ci！e2+- 1） kSk- LcN（e- 1.（2fN（S）+kSk）。仍然需要估计项I。为了简化计算，我们使用表示法γ=γ（S）和△γ=△γ（ψ（S））。然后，在（5.1）中，γTST- κ|γT | ST+（1）- κ） Z[0，T]Sudγ-U- （1+κ）Z[0，T]Sudγ+u≥ γTST- κ|γT | ST+KXk=1Sτ（）k-1Z[τ（）k，τ（）k+1][（1）- ~k）dγ-U- （1+/κ）dγ+u]=γTST- κ|γT | ST+KXk=1Sτ（）k-1Z[τ（）k，τ（）k+1][-dγu- |κ| dγu |]≥ γTST- κ|γT | ST+K-1Xk=0ψτ（）k（S）Z[τ（）k，τ（）k+1][-d~γu- |κ| d |γu |]=γTST- κ|γT | ST+（1）- ~K）Z[0，^τ（）K]ψu（S）d ~γ-U- （1+～κ）Z[0，^τ（）K]ψu（S）d~γ+u≥ (1 - △κ）Z[0，T]ψu（S）d△γ-U- 因此，我们得出以下结论：≥ 我们将这个不等式与（3.2）和（5.4）一起使用。

结果是，Vκ（G）≤ L（c）+L（e2+）- 1） （1+NXi=1ci）Vκ（kSk）+2L（e- 1） cNVκ（fN（S））≤ L（c）+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ（1+NXi=1ci）+2L（e）- 1） cNLN。这与（5.2）一起产生（5.5）Vκ（G）≤ infc，。。。，cN≥0supQ∈MκEQ[ξ]+NXi=1ciAi！+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ），式中ξ：=G（~S）-N-1Xi=1cifi（~S）- cN（fN（~S）∧ ∧（∧ST+1）），Ai：=Li+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ+2L（e）- 1） LN=Li+B- ，我≤ N.18 Y.多林斯基和H.M.索纳斯第二步：下一步是交换in（5.5）中的上确界和上确界的顺序。考虑紧集H:=[0，K/]N，其中reca all K满足G≤ K.定义函数G:H×Mκ→ R byG（h，~Q）=E ~Q“G（~S）-N-1Xi=1hifi（~S）- hN（fN（~S）∧ ∧（ST+1））#+NXi=1hiAi，其中h=（h，…，hN）。请注意，G在每个变量中都是一个函数，在第一个变量中是连续的。集合M)κ可以自然地看作向量空间RD（）的一个子集。让我们来证明Mκ是一个凸的set∈ M~κ与letλ∈ (0, 1). 考虑测量值<<Q=λ>>Q+（1- λ） Q.对于i=1，2，设{M（i）t}Tt=0是一个关于∧qindF的鞅，这样（1）- ~k）~St≤~M（i）t≤ （1++κ）St＠PA.s.定义随机过程＠Mt=λ＠M（1）t“d＠Qd＠Q＠Ft＠+（1）- λ） ~M（2）t“dQdQ | Ft#，t∈ [0，T]。显然，{Mt}Tt=0是一个关于![Q]和![F]的鞅。而且，因为![M]是![M（1）和![M（2）t]的（随机）凸组合，（1- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St~P a.s.因此，~Q∈ M~κ，。这就证明了M~κ是一个凸集。接下来，我们将Beiglb¨ock，Henry Labord\'ere和Penkner[3]中的最小-最大定理，定理2，应用于G∈hsupq∈M~κG（h，~Q）=sup~Q∈M~κinfh∈HG（h，~Q）≤ 超级Q∈M)κG（h)Q，)Q，其中h)Qi=Kχ{E)Q[fi（~S）]≥Li+B}，我≤ N- 1，hqn=KχQ[fN（~S）∧∧（~ST+1）]≥LN+B}。h)Q的定义，集合M，λ)κ，证明了G≤ K表示thatG（hQ，Q）≤ 0, ~Q∈ Mκ但Q 6∈ M∧κ，特别是L，sup)Q∈M~κG（h~Q，~Q）≤ 0，如果集M∧κ，Lis为空。

这些结合（5.5）意味着Vκ（G）≤ 超级Q∈M~κG（h~Q，~Q）+L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ)≤超级Q∈M∧!κ，LE!Q[G（~S）]++ L（e2+）- 1） ^C2（1）- 8κ).二元性与交易成本196。本节中边界的渐近分析。我们完成了定理2.7的证明。这是通过证明第4节和第5节的上界和下界是渐近相等的来实现的。回想一下假设2.3中的概率度量Q。集合，Di=EQ[fi（S）]，i≤ N.名称D=QNi=1（Di，∞). 设H=（H，…，HN）∈ D，并让√κ∈ (0, 1).定义M~κ，Hto是^上所有概率测度的集合Ohm := Ohm ×C++[0，T]，它满足定义2.5的条件，带有κ，L。。。，ln替换为∧κ，H。。。，嗯。观察Q∈ 手，所以，集合，他的手不是空的。定义函数Γ：D×（0,1）→ R byΓ（H，Γκ）：=sup^Q∈M~κ，HE^Q[G（S（1））]，其中，重述规范过程^S=（S（1）t，S（2）t）0≤T≤t定义为2.5。下面的引理是分析界的渐近行为的核心。引理6。1.函数Γ：D×（0,1）→ R是连续的。证据必须证明，对于任何紧集J D×（0，1）存在一个连续函数mJ:R+→ R+（连续性的modulus）与mJ（0）=0，这对于ny（H（i），*κi）∈ J、 i=1,2Γ（H（1），Γκ）- Γ（H（2），Γκ）≤ mJNXk=1 | H（1）k- H（2）k |+|κ- ~κ|!.选择>0。

存在^Q∈ 使（6.1）Γ（H（1），κ）<+E^Q[G（S（1））]。关于空间^Ohm, 定义s-tochastic过程ρ和˙ρ，ρt:=s（2）tS（1）和˙ρt:=（1）- ~κ) ∨ （ρt）∧（1+/κ），t∈ [0，T]。接下来，介绍随机过程s˙s=（˙s（1）t，˙s（2）t）0≤T≤Tby˙S（1）t:=S（2）t˙ρt˙ρρ=ρt˙ρt˙ρS（1）tand˙S（2）t:=˙ρS（2）t，t∈ [0，T]。观察存在一个常数C（1）Jsuch，它（6.2）sup0≤T≤T | ln˙S（1）T-ln S（1）t |=sup0≤T≤T | lnρT+ln˙ρ-ln˙ρt-lnρ|≤ C（1）J |κ-~κ|.在不损失一般性的情况下，我们假设C（1）J | |κ- κ|<ln（1+1/L）。定义过程˙S背后的想法是构造一个与S“接近”的随机过程，并满足定义2.5的性质（1）和（2），即˙κ而不是˙κ。此外，我们要求˙S（1）=1。的确，请注意˙S:^Ohm →^Ohm.因此，将概率测度^qt定义为20年多林斯基和H.M.Sonerprobability测度^Q下的˙分布。也就是说，^qi是^Q上的概率测度Ohm 也就是givenby^Q（A）=^Q（˙S-1（A））对于任何Borel集合A^Ohm.

很明显，不管怎么说∈ [0，T]（1）- ˙κ）S（1）t≤˙S（2）t≤ ˙S（1）t，^Qa。s、 andE^Q（˙s（2）TSu，u≤ t） =˙S（2）t。因此，对于任何t∈ [0，T]，（6.3）（1）- ~k）S（1）t≤ S（2）t≤ （1+）κS（1）t，^Qa。s、 和（6.4）E^Q（s（2）T^Ft）=s（2）T。接下来，与（4.14）类似，我们得到存在一个常数C（2）Jsuch that E^Q[|s（1）|≤ C（2）J.通过以与（4.12）-（4.13）类似的方式应用假设2.1–2.2，并使用（6.2）我们得到，我们可以构造另一个常数C（3）jsatizing，| E^Q[G（S（1））]- E^Q[G（S（1））]|=|E^Q[G（˙S（1））]- E^Q[G（S（1））]|≤ LC（2）J（exp（C（1）J |- ~κ|) - 1)(6.5)≤ C（3）J |κ- |κ| E^Q[fi（S（1））]- E^Q[fi（S（1））]|=|E^Q[fi（˙S（1））]- E^Q[fi（S（1））]|≤ LC（2）J（exp（C（1）J |- ~κ|) - 1)(6.6)≤ C（3）J |κ- ~kκ|，i≤ N-对于i=N | E^Q[fN（S（1））]=E^Q[fN（˙S（1））]|（6.7）≤E^Q[fN（S（1））]（1+L（exp（C（1）J|)κ- ~κ|) - 1))]1 - L（exp（C（1）J |κ- ~κ|) - 1） +L（exp（C（1）J |- ~κ|) - 1） E^Q[|S（1）||1]- L（exp（C（1）J |κ- ~κ|) - 1)≤ E^Q[fN（S（1））]+C（3）J |κ- ~κ|.接下来，我们修改了概率测度，它将满足H（2）定义2.5的性质（3）。。。，H（2）N.显然，测量QQ是^上的概率测度Ohm, 其中，假设2.3中给出了概率度量Q。对于任何λ∈ （0，1）考虑概率测度^Qλ=√λ[Q] Q] +（1）-√λ） ^Q.观察这个等式Q[fi（S（1））]=EQ[fi（S）]=Di，i≤ N.交易成本为21Set∧=PNk=1 | H（1）k的对偶性-H（2）k |+|κ-~κ|. 从（6.6）-（6.7）和Di<H（1）iit遵循∧充分小| E^Q∧[fi（S（1））]≤√∧Di+（1）-√∧）（H（1）i+C（3）J | |κ- ~κ|) ≤H（1）i-√∧（H（1）i- Di）+C（3）J∧<H（1）i- Λ ≤ H（2）i.这与（6.3）-（6.4）一起产生^Q∧∈ M~κ，H（2）。最后，从（6.1）和（6.5）中，我们得到Γ（H（1），Γκ）- Γ（H（2），Γκ）≤ +E^Q[G（S（1））]- (1 -√∧E^Q[G（S（1））]≤ +C（3）J |- ~κ| +√由于>0是任意的，这就完成了证明。现在，我们准备证明定理2.7的下界。引理6。2.VPκ（G）≥ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]。证据

根据引理6.1，证明（6.8）VPκ（G）是有效的≥ E^Q[G（S（1））]，每^Q∈ Mκ，l带有κ<κ和Li<Li，i≤ N.我们分两步进行。在第一步中，我们修改了流程S（1）。在第二步中，我们将引理4.2应用于修改后的过程。第一步：让>0。确定停车时间，τ（）：=τ（）（S（1））=0和fork>0，τ（）k:=τ（）k（S（1））=T∧ inft>τ（）k-1:S（1）t=exp（±）S（1）τ（）k-1.,随机变量K:=min{K:τ（）K=T}- 1 < ∞. 让n∈ N.介绍随机过程S（N）t=N-1Xi=0S（1）τ（）iχ[τ（）i，τ（）i+1）（t）+S（1）τ（）K∧nχ[τ（）n，T]（T），T∈ [0，T]。随机过程S（n）是一个纯跳跃过程，在跳跃时间τ（）与S（1）一致。。。，τ（）n∧之后，Kand保持不变。我们认为，对于足够大的n，术语E^Q | fi（~S（n））-fi（S（1））|，i=1。。。，Nand E^Q|G（~S（n））- G（S（1））|很小。事实上，在这之前∈ Mκ，最清晰的E^Q[kS（1））k]≤^C（其中，回忆定义4.1中的常数^C）和solimn→∞E^Q[kS（1）kχ{k≥n} ]=0。根据假设2.1，我们得到→∞E^Q[fi（S（1））]- E^Q[fi（~S（n））]≤ 林尚→∞E^Q[|fi（S（1））- fi（~S（n））|χ{K<n}]+2L limn→∞E^Q[kS（1）kχ{k≥n} ]≤ L（e- 1） E^Q[kS（1））k]≤ L（e- 1） ^C.22 Y.Dolinsky和H.M.Sonersily，（6.9）lim supn→∞E^Q[G（S（1））]- E^Q[G（~S（n））]≤ L（e- 1） ^C.仍需处理C ase i=N。

根据假设2.2，可以得出δ>0的存在使得| lnx- lny |<δ=> q（y）<2（q（x）+x）。我们得出结论，存在一个常数Cs，或者任何x，y>0，我们有（1）- ~k）x≤ Y≤1.- κx=> q（y）≤ C（q（x）+x）。这与定义2.5 yieldsE^Q[Q（S（1）τ（）n）χK的性质（2）一起≥n} ]≤ CE^Qhq（S（2）τ（）n）+S（2）τ（）nχ{K≥n} 因为S（2）是鞅和{K≥ n} ={τ（）n<T}∈^Fτ（）n，然后从je n不等式（对于凸函数q（x）+x）我们得到，e^q[q（S（1）τ（）n）χ{K≥n} ]≤ CE^Qhq（S（2）T）+S（2）Tχ{K≥n} 我≤ CE^QhCq（S（1）T）+（1+~k）S（1）Tχ{K≥n} i.因此不等式E^Q[（Q（S（2）T）]<∞ 默许→∞E^Q[fN（S（1））]- E^Q[fN（~S（n））]≤ 林尚→∞E^QhfN（S（1））+fN（S（n））χ{K≥n} 我≤ 林尚→∞CE^Qh（C+1/C）q（S（1）T）+（1+/κ）S（1）Tχ{K≥n} i=0。我们得出结论，对于足够大的nE^Q[G（S（1））]- E^Q[G（~S（n））]≤ 2L（e- 1） ^C和（6.10）E^Q[fi（S（1））]- E^Q[fi（~S（n））]≤ 2L（e- 1） ^C i≤ N.我们充分证明了上述不等式成立，并设置了S:=~S（N）。接下来，我们修改跳转时间，使其位于网格上。让我∈ N.通过递归定义以下随机变量序列，^τ（）k:=kXi=1^τ（）i，其中^τ（）i=min{T∈ {T/m，2T/m，…，T}T≥ τ（）i:=τ（）i- τ（）i-1} 和σk=Tχ{τ（）k=T}+^τ（）k∧ （T（1）- 2.-k/m）χ{τ（）k<T}，k=0，1。。。，n、 交易成本的二元性23观察任何i，σi+1≥ σi和σi+1=σiif，且仅当σi=T。注意。。。，σn（通常）不考虑过滤的停止时间。定义随机过程˙St:=˙S（m）t=n-1Xi=0S（1）τ（）iχ[σi，σi+1）（t）+S（1）τ（）K∧nχ[σn，T]（T），T∈ [0，T]。第二步：该过程仍然是一个分段常数过程，跳时位于一个有限的网格上。因此，由˙S生成的自然过滤是右连续的，因此鞅^Mt:=E^Q（S（2）TSu，u≤ t） 是一个c\'adl\'ag鞅。让k≤ N

显然，σk是相对于˙S产生的自然过滤的停止时间。此外˙S[0，σk]相对于^Fτ（）k是可测量的-≤˙SσkS（1）τ（）k≤ 定义2.5中的e和性质（1）-（2）意味着|Mσk-˙Sσk |=E^QE^Q[S（2）T^Fτ（）k]| Su，u≤ σk-˙Sσk≤˙Sσk（（1+)κ）e- 1) ≤˙Sσk（κ+2），在最后一个等式中，我们假设足够小。设σn+1=T。那么，对于任何k≤ n和t∈ [σk，σk+1]，我们得出结论-2(1 - ~κ - 2）˙街≤^Mσk+1≤ e2（1+～κ+2）St.由于^M是一种马丁酒，与˙S的自然过滤相对应，我们得出结论，对于足够小的（6.11）|Mt-˙St|≤ （1+/κ+5）˙显然是圣，林姆→∞k~S-˙S（m）k=0，^Q a.S.观察上述过程是一致有界的。因此，根据假设2。1-2.2，E^Q[G（~S）]=limm→∞E^Q[G（˙S（m））]和（6.12）E^Q[fi（~S）]=limm→∞E^Q[fi（˙S（m））]，i≤ N.用˙qm表示˙S（m）在空间D[0，T]上的分布。我们可以选择这样一种方式，即κ：=κ+6是令人满意的1 + κ1 + ^κ,1 - ^κ1 - κ≥ e2，安德利- L（^C+LN）（e4+LN）- 1） >3L（e- 1） ^C+~Li，i<N，LN（1）- L（e- 1)) - L^C（e- 1） 1+L（e- 1） >3L（e- 1） ^C+~LN。24 Y.Dolinsky和H.M.SonerFrom（6.10）-（6.12），可以得出，对于足够大的M，测量值为˙Qm∈ MT，^κ，l选择T:={kT 2-n/m}nmk=0。因此，根据引理4.2，我们有vpκ（G）≥ E^Q[G（˙S（m））]- L^C（e4+）- 1).我们现在应用（6.10），（6.12）并在m趋于完整时采用限制。结果是vpκ（G）≥ E^Q[G（S（1））]- 2L（e- 1） ^C- L^C（e4+）- 1).现在，当趋于零时，在取极限后，（6.8）如下。接下来，我们列出上限（2.4）。引理6。3.Vκ（G）≤ sup^Q∈Mκ，LE^Q[G（S（1））]。证据假设Q是假设2.3中的概率度量。然后，Q Q∈Mκ，（L，…，LN）。因此，如果Vκ（G）≤ 0，那么（2.4）是微不足道的。因此，我们可以假设Vκ（G）>0，而不失一般性。选择>0、∧>1、^κ>κ和∧Li>Li，i≤ N

假设足够小，所以L（e2+）-1） ^C2（1）-8κ）<Vκ（G）和/κ满意度（5.1）。这与引理5.3一起得出存在一个可能性度量eQ∈ M∧κ，也就是（6.13）Vκ（G）<E)Q[G（)S）]+L（e2+- 1） ^C（1）- 8κ).接下来，我们分三步进行。在第一步中（类似于引理6.2），我们修改了随机过程。在第二步中，我们使用维纳空间来构造一个具有（almos t）所需性质的连续一致价格系统。在最后一步中，我们再次修改所构造的连续一致价格系统，以消除fN（S（1））项中的截断∧ 最后，我们应用引理6.1。第一步：让（1）- ~k）~St≤~Mt≤ （1+~k）~St，t∈ [0，T]，是对应于概率测度Q的相关鞅∈ M∧κ，L.Let)τ（）：=τ（）（S）=0，对于k>0集，τ（）k:=τ（）k（S）=T∧ 信息>τ（）k-1:|ln)S)τ（）k+1- ln)S)τ（）k |=oand)k=min{k:)τ（）k=T}- 1 < ∞. 观察D（）和soτk，k上支持的概率度量qs≥ 0确实是停止时间。让n∈ N.集合，~S（N）t:=N-1Xi=0Sτ（）iχ[τ（）i，τ（）i+1）（t）+Sτ（）K∧nχ[)τ（）n，T]（T），T∈ [0，T]。从集合M的定义∧!∧∧（~ST+1）]<∞, a ndso和E)Q[)ST]<∞, 也此外，E)Q[)S)τ（）nχ{K≥n} ]≤ （1+）κE)Q[~M)τ（）nχ{K≥n} ]=（1+~K）E~Q[~MTχ{K]≥n} ]≤ （1+/κ）E~Q[~STχ{K]≥n} ]。交易成本的二元性25我们得出结论（6.14）limn→∞E)Q[（)S)τ（）n+~ST）χ{K≥n} ]=0。在引理5.3中，我们将使用一个事实，即fi（S），i<N（从两侧）由1+ST的乘积来限定。