具有可交换传染的系统性风险：在欧洲的应用

请注意，如果我们有兴趣表示系统性冲击和违约时间之间的依赖结构，我们得到了Kendall的ττj，对（τj，X）中的0是τj，0=τψ+4Z∞（ψ′（x））·ψ-1.o\'Foψ-1.o\'F+ψ-1.o“Fj-1（x）DX第一个术语只是分析中使用的阿基米德连接函数的肯德尔τ，而另一个更复杂的术语既涉及阿基米德连接函数的生成器，也涉及系统性和特异性冲击的相对相关性。在模型中由线性失真和Gumbel copula引起的多元分布中，这些关系大大简化。事实上，假设^Cj，k（u，v）是一般的边缘2-copula，^Cj，k（u，v）=expn-(- lnu）θ+（1）- αk）(- lnv）θθo{αjψ-1（u）≥αkψ-1（v）}++expn-(1 - αj）(- lnu）θ+(- lnv）θθo{αjψ-1（u）<αkψ-1（v）}由于这个连接函数族代表了Cap\'era\'a等人（2000）的阿基米德连接函数和Mulinaci（2014）的基于阿基米德的马歇尔-奥尔金连接函数的一个特定规范，其肯德尔的τ为τj，k=θ- 1θ+τMOj，kθ（7），其中τMOj，k=αjαkαj+αk- αjαkis是Marshall-Olkin copula中的Kendall\'s tau。现在，每个默认时间和系统性冲击时间之间的依赖关系是线性的τ0，j=θ- 1θ+αjθ（8）这种关系将用于我们的估计策略，以验证模型的规格。2.3估计策略在模型的估计中，我们假设观察到一组数据uk（ti），代表k=1,2，数据组件，用于{t，t，…，tm}dates。我们的任务是估计代表每个债务人对系统性休克的敏感性的αK参数集，以及测量系统中传染程度的参数θ。

我们还想检查一下模型的规格。由于我们方法的主要特点是确定对系统性冲击的敏感性和违约时间依赖结构的传染程度的权重，自然估计策略将是基于模型的方法，类似于Genest和Rivest（1993）提出的校准程序。特别是，我们基于线性畸变和Gumbel相关性的模型规格使得基于Kendall的tau校准的程序非常容易。由于建立的模型完全由二元边缘变量表征，因此通过校准系统的二元Kendallτ统计量自然地进行估计。对于每个我们期望成为同一个可交换系统一部分的集群，包括ofd单元，我们校准我们模型的d+1参数集。形式上，我们首先估计样本所有部分的Kendallτ统计量，然后通过求解^Θ=argmin{α，α，…，αd，θ}来估计参数集Θ={α，α，…，αd，θ}-1Xi=1dXj=i+1dist（τi，j，τi，j（αi，αj，θ）），其中dist（x，y）是一个合适的距离度量，τi，j（αi，αj，θ）是基于估计的理论肯德尔τ，τi，jis是相应的经验肯德尔τ统计。对于参数set，αire表示组分i对系统性休克的敏感性，θ表示传染参数，假设所有对中的传染参数相同。该模型的结构也提供了一个简单的程序来检查模型的规格是否提供了良好的数据。我们的想法是，如果模型的规格很好，我们可以使用它从大量数据中估计系统性冲击的强度，并使用这些信息直接验证模型的规格。

在这种情况下，Gumbel规范的指数分布边缘特性特别有用。考虑到对d强度的MO观测，我们可以估计系统性休克m强度的时间序列。使用方程（6）和αkit的定义可以直接计算^λ（ti）=Pdk=1μθk（ti）Pdk=1αk（9），其中^λ（ti）表示在ti时系统冲击强度的估计。然后，对模型规格的直观检查将是估计系统性冲击到达时间和边际违约时间之间的肯德尔τ值。如果模型规格良好，则Kendall的tau值应与方程式（8）所述的直线对齐。在这种情况下，该程序还提供了一个代表系统性休克隐含强度的新系列，可用于进一步研究集群和整个系统。例如，我们可以验证最初与该集群无关的系统其他元素是否与集群的其他元素对系统性冲击具有相同的依赖性。作为第二个例子，我们可以使用不同集群的估计系统冲击强度来检查集群之间的关联程度。我们的应用程序旨在说明这一估算过程，将集中于一组欧洲银行。我们将假设同一个国家的银行构成一个集群，我们将验证在这种情况下，数据证实了这一假设。3.对层次阿基米德风险系数的扩展在本节中，我们将考虑上述具有可交换依赖结构的模型的可能扩展。显然，任何d+1维copula都可以被认为是阿基米德copula的替代，并且可以实现相同的构造。

在可能的合理选择中，藤-阿基米德连接函数和层次连接函数（HAC）可以被认为是不可交换的扩展。在本文中，我们将考虑d+1维HAC连接函数。这些都是通过简单阿基米德连接函数的组合得到的：这种组合是通过对所涉及的随机变量进行不同的分段递归应用的。从初始变量u开始，ud+1，这些被归为C1，1，C1，l。然后，这些连接词被分组为C2，1，C2，l，直到最后一级，我们只有一个copula。为了确保这样得到的HAC copula确实是一个copula，所涉及的copula的生成元ψi，jof必须是完全单调的，并且它们的组成ψ也必须是完全单调的-1i+1，joψi，kwhenever-Ci，kis是Ci+1，j的一个参数。当生成元ψi，jare在同一个参数化族中时，如果内部copula的参数高于外部copula，则所描述的过程产生一个copula：在本文中，我们将考虑属于同一族的g生成元（参见Savuand Trede 2008和McNeil 2008 amog其他关于该主题的参考文献）。在完全嵌套的情况下，我们有C（u）=Cd（…C（C（u，u），u），u），ud+1）。如果系统性冲击X的概率分布与u相对应，则特殊风险Xi，i≥ 1，可以根据对XbeingCX的依赖性递减排序，Xi（u，v）=Ci-1（u，v）。相反，如果x的概率对应于ud+1，那么cx，Xi（u，v）=Cd（u，v）。对于所有的特殊触发因素，每个特殊风险和系统风险之间的依赖结构是相同的。在中间情况下，对于某些j=2。

我们有cxi，X（u，v）=Cj-1（u，v）对于那些概率与i<j，cx，Xi（u，v）=Ci对应的Xi-1（u，v）表示那些与i>j的UIX相对应的概率。当然，在其他层级结构下，系统风险和特殊风险之间完全不同的关系可以建模。例如ifC（u）=C（Ch，1（u，…，uj-1） ，Ch，2（uj，uj+1，…，ud+1）），其中，Ch，1和Ch，2再次是连接函数，并且X对应于touj，我们有cxi，X（u，v）=C（u，v）对于所有概率xit，对应于那些i<j的ui和cx，Xi（u，v）=Ch，2（u，v）对于Xi，对应于i>j的概率Xi。因此，在第一种情况下，与第二种情况相比，Xian和Xis之间的依赖结构更为稳定，但根据Ch，2的结构不同，依赖结构也有所不同。然而，请注意，不管是什么情况，X和XI之间的依赖结构始终是阿基米德的，就像第2节中研究的可交换情况一样。因此，在系统性冲击和每次违约时间之间为肯德尔的tau提供的公式仍然有效。特别地，如果：i）层次结构中涉及的所有连接函数都是Gumbel类型，并且ii）对于每个特殊冲击到达时间，存在一个函数Kisuch，即‘F（t）=ψθ（λ0，iKi（t）），并且‘Fi（t）=ψθ（λiKi（t）），则（8）适用。

此外，对于所有这些默认时间τj，对应的特异性休克到达时间xi与由同一个甘贝尔copula表达的系统性休克时间x具有依赖关系，这些对（αj，τ0，j）必须位于同一条直线（8）上。那么，请注意，在完全可交换系统和完全不可交换系统之间，我们可以确定一个中间案例，其中可交换性概念仅适用于系统性冲击到达时间和异质性冲击之间的双变量关系，无论异质性冲击之间的依赖性如何。3.1观察到的违约时间的依赖结构然而，由于第2.3节中给出的统计程序基于对违约时间τj的成对依赖结构的估计，我们现在将计算任意一对违约时间的Kendall函数和Kendallτ。显然，所涉及的冲击是系统性的，以及与我们正在考虑的违约时间相关的两种特殊冲击。正式地说，让Xi、Xj、Xkbe这三次冲击到达我们正在考虑的时间。无论等级结构是什么，它们的联合生存分布都是F型（xi，xj，xk）=CψφCψθ\'Fi（xi），\'Fj（xj）,\'\'Fk（xk）其中Cψφ和Cψθ是具有生成元ψφ和ψθ的二元e阿基米德copula函数。下面我们用符号表示系统冲击时间X，这样我们就可以把它移动到水文结构的不同位置。特别是，有必要研究这两种情况：系统性缺陷由Xian代表，在Xk代表的情况下。

为了简单起见，我们假设所有基本生存分布在需要时都是不同的。3.1.1 Xi是系统性休克的到达时间假设Xibe是系统性休克的到达时间，τj=min（Xi，Xj），τk=min（Xi，Xk）是默认时间。那么Fτj，τk（tj，tk）=ψφψ-1φo ψθψ-1θo\'Fi（max（tj，tk））+ψ-1θo\'Fj（tj）+ ψ-1φo\'\'Fk（tk）,\'Fτj（t）=ψθψ-1θo\'Fi（t）+ψ-1θo\'Fj（t）= ψθo H0，j（t）和‘Fτk（t）=ψφψ-1φo\'Fi（t）+ψ-1φo\'\'Fk（t）= ψφo 其中H0，j（t）=ψ-1θo\'Fi（t）+ψ-1θo\'Fj（t）和H0，k（t）=ψ-1φo\'Fi（t）+ψ-1φo“Fk（t）。因此，多亏了Sklar定理，fromtj=H-10，jo ψ-1θ（uj）和tk=H-10，ko ψ-1φ（uk）我们得到相关的生存copula是^Cτj，τk（uj，uk）=ψφψ-1φo ψθψ-1θo\'Fi（最大）H-10，jo ψ-1θ（uj），H-10，ko ψ-1φ（uk））++ψ-1θo“Fjo H-10，jo ψ-1θ（uj）+ ψ-1φo“Fko H-10，ko ψ-1φ（英国）.SetDij=ψ-1θo“‘Fi’oH-10，j，Dik=ψ-1θo“‘Fi’oH-10，k，Dji=ψ-1θo“FjoH-10，j，Dki=ψ-1φo“FkoH-10，k.然后^Cτj，τk（uj，uk）=ψφψ-1φo ψθ麦克斯（Dij）o ψ-1θ（uj），Diko ψ-1φ（英国））+Djio ψ-1θ（uj）+ Dkio ψ-1φ（英国）==ψφψ-1φ（uj）+Dkio ψ-1φ（英国）, 英国≥ h（uj）ψφψ-1φo ψθ迪克o ψ-1φ（英国）+Djio ψ-1θ（uj）+ Dkio ψ-1φ（英国）, uk<h（uj）（10），其中h（x）=ψφo D-1iko Dijo ψ-1θ（x）。对Xi，Xj，xkasume分布的限制，即存在两个函数K和^K，使得ψ-1θo\'Fi（t）=λi^K（t），ψ-1θo\'Fj（t）=λj^K（t）和ψ-1φo\'Fi（t）=λiK（t），ψ-1φo\'Fk（t）=λkK（t），这意味着^K（t）=^λiψ-1θo ψφ（λiK（t））。（11） 现在，设置uij=λi+λjanduik=λi+λk，H0，j（t）=uij^k（t）和H0，k（t）=uikK（t）和dij（x）=^iuijx，Dik（x）=λiuikx，Dji x）=λjuijx，Dki（x）=λkuikx，其中Fτj（t）=ψθuij^K（t）和¨Fτk（t）=ψφ（uikK（t））和^Cτj，τk（uj，uk）=ψφψ-1φo ψθmax^λiuijψ-1θ（uj），^λiuikψ-1φ（英国）+λjuijψ-1θ（uj）+λkuikψ-1φ（英国）！。（12） 备注3.1。Gumbel case假设ψθ（x）=e-xθ和ψφ（x）=e-xφ，带θ≥ φ ≥ 1.

然后ψ-1φo ψθ（x）=xφθ和（12）写出^Cτj，τk（uj，uk）=exp-最大λiuij(- 对数（uj））θ，λiuik(- 日志（英国）+λjuij(- log（uj））θ！φθ++λkuik(- 原木（英国）φφ).必要条件y，由（11）可知，^λi^K=λθφiKθφ，可容许选择为^λi=λθφi和^K=Kθφ。特别是，如果K（t）=tφ和^K（t）=tθ，我们恢复指数边缘分布，即¨Fτj（t）=e-μθijtand’Fτk（t）=e-我很喜欢。肯德尔函数和肯德尔定理3.1。如果ρ=ψ-1φo ψθ，let（见（10））C（u，v）==ψφψ-1φ（u）+Dkio ψ-1φ（v）, 五、≥ h（u）ψφρ迪克o ψ-1φ（v）+Djio ψ-1θ（u）+ Dkio ψ-1φ（v）, v<h（u），其中h（x）=ψφo D-1iko Dijo ψ-1θ（x）。我们得到了相应的肯德尔函数K（t）=P（C（u，v）≤t） 和肯德尔的τ分别是K（t）=t-ψ′φoψ-1φ（t）·“Dkio ψ-1φ（t）-兹迪克oG-1.oψ-1φ（t）Dikoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1(ψ-1φ（t）- Dkio D-1ik（z））dz#（13）和τ=1+4Zψ′φo ψ-1φ（t）·Dkio ψ-1φ（t）dt-- 4Zψ′φo ψ-1φ（t）ZDikoG-1.oψ-1φ（t）Dikoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1(ψ-1φ（t）- Dkio D-1ik（z））dzdtg（x）=ψ-1φo ψθo D-1ijo Dik（x）+Dki（x）。证据见附录6。备注3.2。在备注3的背景中，甘贝尔干酪。1，我们得到k（t）=t-tφ(- 日志t）1-φ·λkuik(- 对数t）φ-φθZ^λiuikG-1((- 对数t）φ）^λiuik(- 对数t）φ(- 对数t）φ-λk^λiz1.-θφdzτ=1+λkuikφ-θZt（对数t）1-φZ^λiuikG-1((- 对数t）φ）^λiuik(- 对数t）φ(- 对数t）φ-λk^λiz1.-θφdz其中，G（x）=uijuikφθxφθ+λkuikx。3.1.2 Xkis系统性冲击的到达时间我们假设Xkis为冲击的到达时间，τi=min（Xi，Xk）和τj=min（Xj，Xk）为默认时间。

那么Fτi，τj（ti，tj）=ψφψ-1φo ψθψ-1θ（`Fi（ti））+ψ-1θ（`Fj（tj））+ ψ-1φ（Fk（最大（ti，tj））和¨Fτi（ti）=ψφo H0，i（ti）和‘Fτj（tj）=ψφo H0，j（tj）。式中，i=ψ-1φo\'Fi+ψ-1φo\'fk和H0，j=ψ-1φo\'Fj+ψ-1φo“Fk。如果ρ=ψ-1φo ψθ，\'Fτi，τj（ti，tj）=ψφρρ-1.o ψ-1φo\'Fi（ti）+ρ-1.o ψ-1φo\'Fj（tj）+ ψ-1φo\'\'Fk（最大（ti，tj））并且，应用Sklar定理，我们恢复了相关的生存空间是^Cτi，τj（ui，uj）=ψφρρ-1.o ψ-1φo“‘Fi’o H-10.我o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o ψ-1φo“Fjo H-10，jo ψ-1φ（uj）++ψ-1φo\'\'Fk（最大高度-10.我o ψ-1φ（ui），H-10，jo ψ-1φ（uj）））.设Dik=ψ-1φo“‘Fi’oH-10，i，Djk=ψ-1φo“FjoH-10，j，Dki=ψ-1φo“FkoH-10，iand Dkj=ψ-1φo“Fko H-它遵循^Cτi，τj（ui，uj）=ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（uj）+ 麦克斯（Dki）o ψ-1φ（ui），Dkjo ψ-1φ（uj））==ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（uj）+ Dkio ψ-1φ（ui）, uj≥ h（ui）ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（ui）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（uj）+ Dkjo ψ-1φ（uj）, uj<h（ui）（14），其中h（x）=ψφo D-1kjo Dkio ψ-1φ（x）。Xj，Xj，xkasume分布的限制存在一个函数K，使得ψ-1φoFv（x）=λvK（x）表示v=i，j，k，并设置uik=λi+λ和ujk=λj+λk。因此，dik（x）=λiuikx，Djk（x）=λjujkx，Dki（x）=λkujkx和Dkj（x）=λkujkx，其边缘生存分布可写成*fτs（t）=ψφ（skK（t）），s=i，而相关的生存copula为*τCui，τi，τujρρ-1.λiuikψ-1φ（ui）+ ρ-1.λjujkψ-1φ（uj）+ 最大值（λkuikψ）-1φ（ui），λkujkψ-1φ（uj））.备注3.3。Gumbel case假设ψθ（x）=e-xθ和ψφ（x）=e-xφ，带θ≥ φ ≥ 1.那么ρ（x）=xφθ和^Cτi，τj（ui，uj）=exp-λiuikθφ(- log（ui））θ+λjujkθφ(- log（uj））θ！φθ++ma xλkuik(- log（ui））φ，λkujk(- 对数（uj））φφ） 而当K（t）=tφ时，我们得到了先验的边际分布Fτi（t）=e-uφiktand＠Fτj（t）=e-我是jkt。肯德尔函数和肯德尔定理3.2。

让（见14）C（u，v）==ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（u）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（v）+ Dkio ψ-1φ（u）, 五、≥ h（u）ψφρρ-1.o 迪克o ψ-1φ（u）+ρ-1.o Djko ψ-1φ（v）+ Dkjo ψ-1φ（v）, v<h（u），其中h（x）=ψφo D-1kjo Dkio ψ-1φ（x）。我们有肯德尔函数K（t）=P（C（u，v）≤ t） 和kerndall\'s tau分别为k（t）=t+ψ′φo ψ-1φ（t）·“Zρ-1.oψ-1φo“FjoG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.oDjkoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1jo ψφo ρ（z）dz++Zρ-1.oψ-1φo“‘Fi’oG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.o迪克oψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1io ψφo ρ（z）dz+-（Dkj+Dki）o ψ-1φ（t）+2ψ-1φo“Fko G-1.o ψ-1φ（t）（15） τ=1- 4Zψ′φo ψ-1φ（t）·“Zρ”-1.oψ-1φo“FjoG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.oDjkoψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1jo ψφo ρ（z）dz++Zρ-1.oψ-1φo“‘Fi’oG-1.oψ-1φ（t）ρ-1.o迪克oψ-1φ（t）ρ′o ρ-1.ψ-1φ（t）- ψ-1φo“Fko\'F-1io ψφo ρ（z）dz#dt+- 4Zψ′φo ψ-1φ（t）·（2ψ）-1φo“Fko G-1.- （Dkj+Dki）o ψ-1φ（t）dtg（z）=ρρ-1.o ψ-1φo\'Fi（z）+ρ-1.o ψ-1φo\'Fj（z）+ ψ-1φo“Fk（z）。（16） 证据。见附录6。备注3.4。在备注3的背景中，甘贝尔干酪。1 we ge tK（t）=t-tφ(- 日志t）1-φ·φθZλθφj（G）-1((- 对数t）φ）θφλjujkθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλjzφθ1.-θφdz++φθZλθφi（G）-1((- 对数t）φ）θφλiuikθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλizφθ1.-θφdz+-λkuik+λkujk(- 对数t）φ+2λkG-1((- 对数t）φ）τ=1-θZt(- 日志t）1-φ·Zλθφj（G）-1((- 对数t）φ）θφλjujkθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλjzφθ1.-θφdz++Zλθφi（G）-1((- 对数t）φ）θφλiuikθφ(- 对数t）θ(- 对数t）φ-λkλizφθ1.-θφdzdt+-φZt(- 日志t）1-φ2λkG-1((- 对数t）φ）-λkuik+λkujk(- 对数t）φDTG（z）=λθφi+λθφjφθzφ+λkz。4对欧洲银行业的应用在本节中，我们将该模型应用于评估一系列欧洲银行系统的系统性风险和传染问题。