动态市场均衡中的信息和交易目标

此外，（1.29）和（1.31）以及终端条件βRN=1意味着∑（1）N=∑（3）N=0。归纳步骤：每次n时，算法将以下项作为输入：∑（1）n、∑（2）n、∑（3）n、（I（I，j）n）1≤我≤J≤2，（L（i，j）n）1≤我≤J≤3.（1.57）我们首先找到常数（λn，rn，∑（1）n）-1，∑（2）n-1，∑（3）n-通过要求（1.25）（1.26）、（1.29）-（1.31）和∑（1）n-1> 0，∑（2）n-1> 0和∑（3）n-1.≤ ∑（1）n-1∑（2）n-1，（1.40），（1.50）的第一部分，以及二阶条件（1.39）-（1.49）保持不变。这些是七个未知常数中的偶数多项式方程。然后，我们可以通过（1.27）-（1.28）定义（un，sn），并通过（1.50）的第二部分定义αrn。接下来，值函数系数（I（I，j）n-1)1≤我≤J≤2和（L（i，j）n-1)1≤我≤J≤3时间n-1通过递归（B.1）-（B.3）和（B.4）-（B.9）找到。终止：上述迭代继续到时间n=0。如果n=0时的结果值满足（1.22），算法终止，计算系数产生线性贝叶斯纳什均衡。否则，我们将调整（1.54）中的捕获起始输入值，然后重新启动算法。2数值结果由于离散时间Kyle型模型很常见，我们没有关于模型性质的分析比较结果。然而，我们已经进行了大量的数值实验来说明模型的性质。我们模型的基线规格为N=10轮交易，终端库存值的方差v标准化为σv=1，布朗运动噪声在N个周期内的总方差固定为σw=4，交易目标的方差a为σa=1，交易目标a和终端股票价值v之间的相关性为ρ=0（即，＠v和＠a事先独立）。

在我们的分析中，我们改变了交易目标σa的相关性ρ和方差。图1中的两个图表显示了订单流量参数λnovertime对价格的影响。各种虚线用于模型的不同参数化。相比之下，实线（蓝色）是Kyle（1985）中相应的价格影响，其中没有再平衡。在时间n=1的第一轮交易中，再平衡噪声本身会降低λ相对于Kyle（1985）的值。然而，由于不平衡，内幕交易策略也发生了变化。本例中的净影响是λ相对于Kyle（1985）增加。在n>2的后期，价格影响低于凯尔。结果是在λnover时间内出现S形扭曲。我们模型中的价格影响轨迹也不同于Degryse、de Jong和van Kervel（2014），其中价格影响呈倒U形（见图1）。图1A改变了交易目标σ一段时间内保持ρ为0的方差。我们发现，σa的值越大，λnbe中的S形扭曲就越强烈。当σa足够高时，订单流动的价格影响甚至可以随时间而非单调（见对应于σa=3.7的虚线，这与dailynoise交易员订单总方差σw=4相当）。图1B在将方差σa固定为1的情况下，改变了终端股票价值v和交易目标a之间的相关性ρ。这里再次说明，相对于ρ=0的基线模型，ρ随时间的影响是不对称的。在早期，λnis在相关系数ρ中增加，但在后期，λnis在相关系数ρ中减少。

这是因为增加ρ会将一些再平衡贸易从噪声变为信息流。图1：参数σ~v=1、σw=4、n=10、σ~a=1（仅右）和ρ=0（仅左）的（λn）Nn=1的曲线图。2 4 6 8 100.300.350.400.450.500.550.602 4 6 100.300.350.400.450.550.60A:Kyle（-），σa=0.48(- --), B:Kyle（---），ρ=0(- - -),σa=1(- ·- ·-), σa=3.7(- ·· -· · -). ρ = 0.25 (- · - ·-), ρ = 0.47 (- · · - ·· -).图2显示了方差∑（2）nofv的轨迹- pn-1（pn）Nn=1为均衡价格的时间。在ρ=0的基线情况下，早期信息披露速度较快，但后期信息披露速度较慢。当ρ>0时，在我们的模型中，公众对v的不确定性下降得比我们在方程（1.25）中看到的更快，即λ在知情交易的攻击性中是非单调的。因此，在凯尔的模型中，我们的模型中也可能存在λn为倒U形的参数化。这是因为，当ρ>0时，再平衡者从一开始就根据股票价值的信息进行交易。图2：∑（2）n）Nn=1的参数∑v=1，σw=4，n=10，σa=1（仅右）和ρ=0（仅左）的曲线图。0 2 4 6 8 100.00.20.40.60.81.00 2 4 8 100.20.60.81.0A:Kyle（-），σa=0.48(- --), B:Kyle（---），ρ=0(- - -),σa=1(- ·- ·-), σa=3.7(- ·· -· · -). ρ = 0.25 (- · - ·-), ρ = 0.47 (- · · - ·· -).图3显示了内幕人士的战略系数βIn，它衡量了她在私人信息上交易的积极程度- pn-随着时间的推移。与凯尔一样，在我们的模型中，知情交易的强度随着时间接近终点N而增加。这与图1所示的订单流量对价格的影响随着时间的推移而缩小这一事实是一致的。

我们还看到，随着交易目标σ▄方差的增加，知情投资者在早期交易更为积极，在中期交易较少，然后在接近尾声时再次稍微更为积极。知情交易者最初的攻击性增加反映了这样一个事实，即由于再平衡者的交易目标a（隐藏内幕人士的指令），存在更多的噪音。此外，如果ρ>0，由于阿霍尔登·苏布拉曼尼亚姆竞争对交易的影响，内幕交易的攻击性有所增加。由于垂直缩放（由于βI的大小），图3中的βI变化的表观大小（约为10%）在视觉上被低估。ρ>0时，与Holden和Subrahmanyam（1992）相比，存在两种差异。首先，如果ρ<1，内幕人士仍然比再平衡者拥有更好的信息。因此，我们用ρ>0进行的分析与Foster和Viswanathan（1994）更具可比性，后者有两个信息不对称的交易者，其中一个比另一个更知情。第二，我们的再平衡者在得知▄v时的交易受到其最终目标▄a的限制。这可以通过极其激进的再平衡交易来对抗老鼠赛跑。图3：参数σ~v=1、σw=4、N=10、σ~a=1（仅右）和ρ=0（仅左）的（βIn）Nn=1曲线图。0 2 4 6 8 100.00.51.01.50 2 4 6 8 100.00.51.01.5A:Kyle（---），σ~a=0.48(- --), B:Kyle（---），ρ=0(- - -),σa=1(- ·- ·-), σa=3.7(- ·· -· · -). ρ = 0.25 (- · - ·-), ρ = 0.47 (- · · - ·· -).图4显示了内幕人士在一天中的预期交易（即，以她的信息为条件），具体的价值实现v=1，并在a和noisetrader路径上平均。Kyle的模型是实线（蓝色），而虚线代表我们模型的各种参数化。

与凯尔的模型不同，我们的模型产生了一种轻U型交易模式；也就是说，我们的内部人士预计，事前会先交易一些东西，然后在一天结束时再进行交易。然而，U形不是很大。由于图4中的交易预期在v的实现中是线性的，因此对于v的其他实现，预期形成的交易量也略微呈U形。接下来，我们转向再平衡。再平衡者的交易反映了多种考虑：首先，再平衡者需要在时间N达到其交易目标a。其次，他希望以尽可能最低的成本达到该目标。因此，在订单对价格有影响的范围内，他将订单拆分，以考虑价格影响系数λ的模式。第三，重新平衡者参与“阳光交易”特别是，早期订单预示着可预测的后期订单，从（1.23）开始，将不会对价格产生影响。第四，重新平衡表明，来自他的交易的价格压力为内幕人士创造了交易动机。在以后的日子里，这实际上有利于再平衡。例如，如果早期不知情的再平衡订单提高了价格，那么，预期内部人在未来会减少购买/增加销售，从而给后来的价格带来下行压力，进而降低后续再平衡的预期成本图4:E图[n=1，2，…，的θIn |σ（~v）]。。。，10.参数为∑v=1、σw=4、N=10、σa=1（仅右）、ρ=0（仅左），~v的实现为1.0 2 4 6 8 100.10.20.30.40.50 2 4 6 8 100.10.20.30.40.5A:Kyle（---），σa=0.48(- --), B:Kyle（---），ρ=0(- - -),σa=1(- ·- ·-), σa=3.7(- ·· -· · -). ρ = 0.25 (- · - ·-), ρ = 0.47 (- · · - ·· -).购买。第五，再平衡者根据有关资产价值的信息进行交易。如果ρ>0，再平衡者从股票估值信息开始。

然而，即使再平衡者最初不了解v（即ρ=0），他仍然会随着时间的推移获得股票估值信息（见1.10），他可以使用这些信息来降低再平衡成本，甚至可能获得交易利润。特别是，他可以过滤汇总订单流，以了解内幕交易，从而比做市商更好地了解v。为了获得进一步的直觉，我们重新安排（1.5）以分解再平衡器在时间n的顺序，如下所示：θRn=βRn（~a）- θRn-1.- qn-1） +（αRn+βRn）qn-1.（2.1）来自（1.9），第二组分，（αRn+βRn）qn-1.做市商的期望值是多少[θRn |σ（y，…，yn）-1） 【参考译文】再平衡者在时间n时的订单数量。该数量在时间n时交易，没有价格影响。第一组分，βRn（~a-θRn-1.-qn-1） ，代表再平衡者对其私人信息的战略交易的综合影响- θRn-1.- qn-1，这是关于v的信息- pn-1（见1.10）和ii）再平衡交易，考虑到再平衡者实际需要交易的剩余金额（即a- θRn-1） 总体而言，与做市商的预期qn不同-1.图5显示了再平衡者的战略系数βRn和αRn的轨迹。我们使用分解（2.1）来解释它们。由于αRn+βRn为正，但在时间N之前很小，因此再平衡者交易的是其预期交易缺口qn的一小部分-1直到时间N，此时αRN+βRN=1，然后他交换剩余的全部间隙。此外，βRN为正这一事实意味着重新平衡的方向是他的私人信息。

他这样做有两个原因：第一，较大的a相对于θRn-1（给定qn-1） ，与做市商对其交易缺口的预期相比，再平衡者必须进行更多的交易以实现其目标。第二，较小的θRn-1是相对于qn的-1（给定a），相对于做市商的预期，再平衡者实际购买的越少，这反过来意味着，鉴于之前观察到的总订单流量，根据再平衡者的信息，内幕人士购买的预期越少。因此，在这种情况下，再平衡指的是，做市商平均低估了股票的价格，因此，在n<n时，策略性地买入/卖出更多/更少的股票。图5：（αRn）Nn=1（x轴下方）和（βRn）Nn=1（x轴上方）的曲线图，n=1，2。。。，10.参数为∑v=1、σw=4、N=10、σa=1（仅右侧）和ρ=0（仅左侧）。2 4 6 8 10-0.50.00.51.02 4 6 8 10-0.50.00.51.0A：σa=0.48(- --), σa=1(- ·- ·-), B：ρ=0(- - -), ρ = 0.25 (- · - ·-),σa=3.7(- ·· -· · -). ρ = 0.47 (- ·· -· · -).图6显示了再平衡者在交易目标a等于1的特定实现情况下，一天内的事前预期订单。这些预期会影响终端股价v和噪声交易者订单路径w。这些预期与交易目标a的实现呈线性关系。图表显示，再平衡者的交易策略在一天中也有一个U形模式。Degryse、de Jong和van Kervel（2014）在他们的模型中获得了类似的结果，即内部人士的短期信息和再平衡者的静态交易。特别是，由于信息的短暂性，他们的内幕人士无法随时间动态交易，这使得再平衡者能够（不完全地）将自己的订单与内幕人士的订单分开。相比之下，在我们的模型中，内幕交易也是动态的。

因此，贸易再平衡的U型模式并不依赖于短期信息的假设。图6:E的曲线图[n=1，2，…，的θRn |σ（~a）]。。。，10.参数为∑v=1，σw=4，N=10，σa=1（仅右），ρ=0（仅左），且＠a的实现等于1.0 2 4 6 8 100.10.20.30.40.50 2 4 6 8 100.10.20.30.40.5A：σa=0.48(- --), σa=1(- ·- ·-), B：ρ=0(- - -), ρ = 0.25 (- · - ·-),σa=3.7(- ·· -· · -). ρ = 0.47 (- ·· -· · -).关于最优订单执行的文献包括许多也产生U形最优策略的模型，参见Predoiu、Shaikhet和Shreve（2011）及其参考文献。然而，该文献中的阳光交易源于外部特定的流动性弹性和补货动态。相比之下，我们的均衡模型中的流动性是内生决定的。在我们的模型中，U形再平衡交易量有两个来源。首先，当天重新平衡的订单向做市商发出信号，表明他在一天结束时的订单中可预测的组成部分的规模。其次，再平衡订单的标准差中也存在U型模式。特别是，由于再平衡者的交易取决于通过qn的累计订单流量历史，因此再平衡者的订单流量路径存在变化。图7A显示了以再平衡者目标a为条件的一天内再平衡者订单的事前标准偏差。在这里，我们再次看到一个U形模式。图7B描绘了再平衡者的订单流随时间变化的一些路径。这里，股票的实际价值v为1，实际交易目标a为0。噪声交易者的订单有10种不同的路径选择实现。

沿着这些路径，我们看到，再平衡者在早期（n>1）买入/卖出超过其交易目标a的股票，然后在后期平仓以实现其交易目标。这不是操纵。相反，再平衡者的订单反映了信息交易动机（约为v）和非信息再平衡动机（由于a）的组合。再平衡者不在时间1交易，因为他不需要再平衡，而且他最初没有任何股票估值信息（即ρ=0）。然而，在时间2时，再平衡者的交易依据是——考虑到他从订单过滤中收集到的价值信息比做市商更好——他是否认为股票估值过高或过低。然而，最终，他必须平仓这些早期头寸，以便在一天结束时实现其已实现的交易目标约束θRN=~a=0。路径中的离散度与再平衡顺序流量标准偏差的范围一致。a非零值的路径涉及将这些路径的平均值从零转移到给定a的适当前提平均值（例如，图6说明了a=1的一个条件平均顺序流轨迹）。图7：再平衡者订单的属性。参数为N:=10，σw:=4，σv:=1，σa:=1，ρ：=0.246100.0050.0100.0150.02024610-0.03-0.02-0.010.02A:EθRn- E[θRn |σ（~a）]σ（~a）, B:10条道路θRn表示实现≈a=1。对于a=0和v=1的实现。这是另一个不同交易者在不同时间获取信息和/或必须在正式公告前平仓的情况。参见alsoFoucault、Hombert和Rosu（2015）。图8显示了不同σ~a和ρ值的总订单流量超时的无条件自相关。

尽管自相关的绝对水平较低，但在一天的开始和结束时（图6所示，当再平衡者交易更多时），有一个明显的高阶流量自相关的U型模式，而在一天的中间（当再平衡者交易较少时），自相关较低。有些令人惊讶的是，当目标信息相关性ρ较高时，订单流量自相关在一天中可能为负。图8:E[ynyn+1]曲线图√E[yn]E[yn+1]表示n=1，2。。。，9.参数为N:=10，σw:=4，σv:=1，σa=1（仅右侧），ρ=0（仅左侧）。2 4 6 80.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0352 4 6 8-0.010.010.02A：σa=0.48（---），σa=1(- - -), B：ρ=0（---），ρ=0.25(- - -),σa=3.7(- ·- ·-). ρ = .47 (- ·- ·-), ρ = .86 (- · · - ·· -).图9显示了价格随时间变化的无条件标准差。Kyle的模型是实线（蓝色），它是单调递增的，而SOUR模型产生U形虚线（对于各种相关参数ρ和目标方差σa）。换句话说，我们的模型产生的均衡价格在交易日开始和结束时相对于交易日中间波动更大。再平衡者的交易策略考虑了订单中的两种可预测性。根据之前的总订单流量，做市商可以预测他的订单的一部分。如（2.1）之后所述，再平衡者在时间n时的订单交易部分（即，对做市商来说是可预测的部分）为（βRn+αRn）qn-1.阳光交易可预测性的再平衡者的优势在于，他的这部分交易没有价格影响（见1.23）。图9:PE[（pn）的曲线图- pn-1） ]对于n=1，2。。。，10