动态市场均衡中的信息和交易目标

参数为∑v=1、σw=4、N=10、σa=1（仅右）和ρ=0（仅左）。2 4 6 8 100.260.280.300.320.340.362 4 6 8 100.260.280.300.320.340.36A:Kyle（---），σa=0.48(- --), B:Kyle（---），ρ=0(- - -),σa=1(- ·- ·-), σa=3.7(- ·· -· · -). ρ = 0.25 (- · - ·-), ρ = 0.47 (- · · - ·· -).内部人士可以预见到再平衡者的另一部分指令。特别是，如（1.11）所示，内幕人士可以比市场庄家更好地过滤总订单流量，以确定再平衡订单。对他们来说是可预测的部分[θRn |σ（~v，y，…，yn）-1） ]=βRnE[（~a）- θRn-1） |σ（v，y，…，yn）-1） ]+αRnqn-1=βRnE[（~a）- θRn-1.- qn-1） |σ（v）- pn-1） ]+（αRn+βRn）qn-1=βRn∑（3）n∑（2）n（~v）- pn-1） +（αRn+βRn）qn-1.（2.2）因此，再平衡者订单的一部分θRn是内幕人士（而不是做市商）所期望的[θRn |σ（~v，y，…，yn）-1)] - E[θRn |σ（y，…，yn）-1） ]=βRn∑（3）n∑（2）n（~v）- pn-1). （2.3）同样，内幕人士的指令部分θ给出了再平衡者（而不是做市商）预期的θ[θIn |σ（~a，y，…，yn）-1)] - E[θIn |σ（y，…，yn）-1） ]=βIn∑（3）n∑（1）n（~a）- θRn-1.- pn-1). （2.4）这种平等源于做市商不希望内幕人士进行交易。图10A测量了再平衡者在时间n时的订单分数，该分数预计随着时间的推移以做市商可以预测的方式进行交易。我们看到阳光分量存在，但不是特别大（当σa=1时小于5%）。然而，图10B显示，内部人士的交易（考虑到做市商的信息）可以预测（考虑到再平衡者的信息）会对均衡器订单的不可预测部分产生影响。这种可预测性对再平衡者和内部人士都有好处。

通过反向交易，它们相互提供共生流动性，降低价格影响。这一点在图11中得到了证明，图11显示了内幕人士的指令和再平衡者的指令之间产生的条件相关性在当天晚些时候为负。图10：再平衡者预期区间的条件预期图（左边是做市商的估计，右边是内部人士的估计）。这些图形独立于（~a，~v，w）的实现。参数为∑v=1、σw=4、N=10和ρ=0。交易目标的方差变化：σa=0.48(-·-·-), σa=1(- --), σa=3.7（-）.02468100.050.100.150.200.250.30246810-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2A:E[E][θRn |σ（y，··，yn）-1） ]|σ（~a）]E[θRn |σ（~a）]B:E[θIn |σ（~a，y，··，yn）-1)]θRn-E[θRn |σ（y，··，yn）-1） 图11:corr曲线图(θIn，θRn）对于n=1，2。。。，10（无条件）。参数为∑v=1、σw=4、N=10、σa=1（仅右侧）和ρ=0（仅左侧）。A：σ≈A=0.48(- ·- ·-), σa=1(- --), B：ρ=0（---），ρ=0.25(- --),σa=3.7（---）。ρ = 0.47 (- ·- ·-).3结论本文探讨了多期Kyle（1985）市场中战略动态知情交易、战略动态投资组合再平衡、价格发现和流动性之间的均衡互动。据我们所知，我们的论文是第一次在给定终端交易目标的情况下，利用长期信息和动态平衡来研究这些问题。我们发现，不知情交易对市场均衡有显著影响。订单流量自动相关，流动性和价格发现动态变化。我们还表明，在均衡状态下，最优的不知情交易策略包括了解知情交易者的信息，并利用这些信息来降低成本。

此外，我们发现，随着时间的推移，非固定交易者和再平衡者的订单之间存在一种有趣的负相关结构。由于内部人和再平衡者的订单部分相互抵消，它们可以在降低价格影响的情况下为彼此提供流动性。未来的工作可能会有很多有趣的扩展。一个可能的扩展是在连续时间内建模交易。我们还可以考虑其他形式的投资组合再平衡约束。第三个扩展是放宽所有投资者都是风险中性的假设。对于这种扩展，考虑具有不同绝对风险规避系数的指数效用是很自然的。最后，将模型扩展到包括多个内部人和再平衡者，这将是一件有趣的事情。证据。1卡尔曼滤波引理A.1。考虑对应于任意系数（βIn，βRn，αRn）Nn=1的“帽子”系统（1.14）-（1.18）。无论何时（1.25）-（1.28）保持，我们都有^pn=E[~v |σ（^y，…，^yn）]，（A.1）^qn=E[~A-^θRn |σ（^y，…，^yn）]，（A.2），其中^p由（1.17）定义，^q由（1.18）定义。此外，方差和协方差（1.29）-（1.31）的递推关系成立。证据对于n=1。。。，N、 我们在（1.19）-（1.21）中有力矩定义，其中起始值在（1.22）中给出。然后我们定义了过程^zMnas^zMn:=^yn- （αRn+βRn）^qn-1=β英寸（~v）- ^pn-1） +βRn（~a）-^θRn-1.- ^qn-1) + wn。（A.3）这些高斯变量^zM，^zM。。。。，^zmnar相互独立，满足σ（^zM，…，^zMn）=σ（^y，…，^yn）。

高斯随机变量的投影定理^pn=E[~v |σ（^zM，…，^zMn）]- E[~v |σ（^zM，…，^zn）-1） ]=E[~v^zMn]v[^zMn]^zMn，^qn=E[~a-^θRn |σ（^zM，…^zMn）]- E[~a-^θRn-1 |σ（^zM，…，^zMn）-1） ]=E[~a-^θRn-1 |σ（^zM，…^zMn）]- E[~a-^θRn-1 |σ（^zM，…，^zMn）-1)] - E[^θRn |σ（^zM，…，^zMn）]=E[（)a-^θRn-1） ^zMn]V[^zMn]^zMn- EβRn（~a）-^θRn-1.- ^qn-1） +（αRn+βRn）^qn-1.σ（^zM，…，^zMn）=E[（~a）-^θRn-1.- ^qn-1） ^zMn]V[^zMn]^zMn- βRnE[~a-^θRn-1.- ^qn-1 |σ（^zMn）]- （αRn+βRn）^qn-1=(1 - βRn）E[（~a）-^θRn-1.- ^qn-1） ^zMn]V[^zMn]^zMn- （αRn+βRn）^qn-1.要继续，我们首先需要计算v[^zMn]=EhβIn（~v）- ^pn-1） +βRn（~a）-^θRn-1.- ^qn-1) + wni=（βIn）∑（2）n-1+（βRn）∑（1）n-βRn∑（3）n中的1+2β-1+σw,E[~v^zMn]=E[（~v）- ^pn-1） ^zMn]=Eh（~v）- ^pn-1)βIn（~v）- ^pn-1） +βRn（~a）-^θRn-1.- ^qn-1) + wni=βIn∑（2）n-1+βRn∑（3）n-1，E[（~a）-^θRn-1.- ^qn-1） ^zMn]=Eh（~a）-^θRn-1.- ^qn-1)βIn（~v）- ^pn-1） +βRn（~a）-^θRn-1.- ^qn-1) + wni=βIn∑（3）n-1+βRn∑（1）n-1.结合这些表达式，通过将系数与（1.17）和（1.18）匹配，我们发现引理的陈述相当于限制条件（1.25）-（1.28）。基于这些表达式，∑（1）n，n=1。。。，N、 in（1.29）是∑（1）N:=V[~a-^θRn- ^qn]=V[~a-^θRn-1.- ^qn-1.- ^θRn- ^qn]=V[~a-^θRn-1.- ^qn-1.- ^θRn- 恩恩- sn^qn-1] =Vha-^θRn-1.- （1+sn）^qn-1.- （1+rn）（βrn（~a）-^θRn-1） +αRn^qn-1)- 注册护士βIn（~v）- ^pn-1)- 注册护士wni=Vh1.- （1+rn）βrn（a）-^θRn-1) -1+sn+（1+rn）αrn^qn-1.- rnβIn（~v）- ^pn-1) - 注册护士wni=Vh1.- （1+rn）βrn（a）-^θRn-1.- ^qn-1) - rnβIn（~v）- ^pn-1) - 注册护士wni=1.- （1+rn）βrn∑（1）n-1+（rnβIn）∑（2）n-1+rnσw - 2.1.- （1+rn）βrnrnβIn∑（3）n-1= (1 -β（Rn）(1 - βRn- rnβrn）∑（1）n-1.- rnβIn∑（3）n-1.,最后一个等式使用（1.26）。

∑（2）与∑（3）n，n=1。。。，N、 在（1.30）和（1.31）中也可以找到类似的结果。A.2内幕优化问题我们从下面的引理开始，它包含了我们以后需要的大部分计算。我们记得内幕人士的状态过程（X（1）n，X（2）n）由（1.33）定义。引理A.2。修理θRnby（1.5），并让常数（1.12）和相关项（1.51）满足定价系数关系（1.25）-（1.28）以及方差和协方差递归（1.29）-（1.31）。允许θIn∈ σ（~v，y，…，yn）-1） n=1。。。，N、 这对内部人士来说是一种恐惧。我们定义了高斯随机变量^zIn:=^yn- ^θIn- （αRn+βRn）^qn-1.- βRn∑（3）n-1∑（2）n-1（~v）- ^pn-1） n=1。。。，N.（A.4）然后^zIkis独立于（A，^y，…，^yk）-1） 为了k≤ N且满足以下可测量属性：^θRn- θRn∈ σ（~v，y，…，yn）=σ（~v，^y，…，^yn）=σ（~v，^zI，…，^zIn），n=1。。。，N.（A.5）此外，对于N=1。。。，N、 我们有马尔可夫动力学X（1）n=-λnθIn+βRnX（2）n-1.- λn^zIn，X（1）=v（A.6）X（2）n=-注册护士θIn- （1+rn）βRnX（2）n-1.-∑（3）n∑（2）nλn^zIn，X（2）=ρ∑a∑vv（a.7）最后，对于任何常数I（1,1）n，I（1,2）n和I（2,2）n，我们有条件期望（~v）- （请注意）θIn+I（1,1）nX（1）n+ I（1,2）nX（1）nX（2）n+I（2,2）nX（2）nσ（~v，y，…，yn）-1)= X（1）n-1.θIn- (θIn）λn- θInλnβRnX（2）n-1+I（1,1）nX（1）n-1.- 2λnX（1）n-1.θIn+βRnX（2）n-1.+ λnθIn+βRnX（2）n-1.+ λnV[^zIn]+ I（1,2）nX（1）n-1X（2）n-1.- X（1）n-1.注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.- X（2）n-1λnθIn+βRnX（2）n-1.（A.8）+λnθIn+βRnX（2）n-1.注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.+ λn∑（3）n∑（2）nV[^zIn]+ I（2,2）nX（2）n-1.- 2X（2）n-1.注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.+注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.+ λn∑（3）n∑（2）nV[^zIn],这是二次的θIn，其中方差V[^zIn]可以计算为beV[^zIn]=（βRn）∑（1）n-1.-∑（3）n-1.∑（2）n-1.+ σw. （A.9）证据。联合正态性声明之后是归纳论证。

要了解独立性声明，我们首先要注意~a-^θRn-1.- ^qn-1.- 呃a-^θRn-1.- ^qn-1 |σ（~v，^y，…，^yn）-1） 我+ wn=βRn~a-^θRn-1.- ^qn-1.-∑（3）n-1∑（3）n-1（~v）- ^pn-1)+ αRn^qn-1.- αRn^qn-1+ wn=^yn- ^θIn- （αRn+βRn）^qn-1.- βRn∑（3）n-1∑（3）n-1.~v- ^pn-1.,这就是^zIn（见A.4）。为了了解随机变量（A.4）的独立性，我们让≤ N-1.不要武断。迭代期望产生零相关特性：E[^yk^zIn]=E[E[E[E^yk^zIn |σ（~a，^y，…，^yk）]=E[E[E^yk[^zIn |σ（~a，^y，…，^yk）]=0。然后，独立性从共同的常态开始。接下来，我们观察到（A.5）中的最后一个等式直接来自（A.4）。我们继续归纳并观察σ（~v，y）=σ（~v，βR~a+w） =σ（v，y），θR- θR=0，从θI，θI开始∈ σ（v）。假设（A.5）保持n，那么，θRn+1- θRn+1=（1）-βRn+1）（^θRn- θRn）+αRn+1（^qn）- qn）∈ σ（~v，y，…，yn），σ（~v，y，…，yn+1）=σ（~v，y，…，yn，yn+1）=σ（~v，y，…，yn，yn+1）^θIn+1- θIn+1+^θRn+1- θRn+1）=σ（v，y，…，yn+1），这证明了（A.5）。动力学（A.6）如下所示X（1）n=-pn=-λnθIn+βRn（~a）- θRn-1） +αRnqn-1+ wn- unqn-1= -λnθIn+βRn（~a）- θRn-1） +αRnqn-1+^yn- ^θIn- ^θRn+ λn（αRn+βRn）qn-1= -λnθIn+βRn（^θRn）-1.- θRn-1） +^zIn+βRn（^qn）-1.- qn-1） +βRn∑（3）n-1∑（2）n-1.~v- ^pn-1.= -λnθIn+βRnX（2）n-1+^zIn,使用表达式（1.25）-（1.26）和（1.30）（1.31）可以类似地发现动力学（A.7）。方差（A.9）的表达式如下所示：V[^zIn]=VhβRn~a-^θRn-1.- ^qn-1.- 呃a-^θRn-1.- ^qn-1 |σ（~v，^y，…，^yn）-1） 我+ wni=VβRn~a-^θRn-1.- ^qn-1.-∑（3）n-1∑（2）n-1（~v）- ^pn-1)+ σw= （βRn）∑（1）n-1.-∑（3）n-1.∑（2）n-1.+ σw.为了计算条件期望（A.8），我们计算四个独立项。

（A.8）中的第一项等于- （请注意）θIn |σ（~v，y，…，yn）-1） ]=（~v）- pn-1)θIn- θInE[pn |σ（~v，y，…，yn）-1） ]=X（1）n-1.θIn- λnE中的θ[θIn+βRn（~a）- θRn-1.- qn-1） |σ（v，y，…，yn）-1） ]=X（1）n-1.θIn- (θIn）λn- θInλnβRn^θRn-1.- θRn-1+^qn-1.- qn-1+E[~a-^θRn-1.- ^qn-1 |σ（v，y，…，yn）-1)]= X（1）n-1.θIn- (θIn）λn- θInλnβRn^θRn-1.- θRn-1+^qn-1.- qn-1+∑（3）n-1∑（2）n-1（~v）- ^pn-1)= X（1）n-1.θIn- (θIn）λn- θInλnβRnX（2）n-1.isE（A.8）中的第二学期[X（1）n|σ（~v，y，…，yn）-1)]=X（1）n-1.+ 2X（1）n-1E[X（1）n |σ（~v，y，…，yn）-1） ]+E[X（1）n|σ（~v，y，…，yn）-1)]=X（1）n-1.- 2λnX（1）n-1.θIn+βRnX（2）n-1.+ λnθIn+βRnX（2）n-1.+ λnV[^zIn]。（A.8）isE[X（1）nX（2）n |σ（~v，y，…，yn）中的第三项-1） ]=X（1）n-1X（2）n-1+X（1）n-1E[X（2）n |σ（~v，y，…，yn）-1） ]+X（2）n-1E[X（1）n |σ（~v，y，…，yn）-1） ]+E[X（1）nX（2）n |σ（~v，y，…，yn）-1） ]=X（1）n-1X（2）n-1.- X（1）n-1.注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.- X（2）n-1λnθIn+βRnX（2）n-1.+ λnθIn+βRnX（2）n-1.注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.+ λn∑（3）n∑（2）nV[^zIn]。最后是（A.8）isE中的最后一个学期[X（2）n|σ（~v，y，…，yn）-1)]=X（2）n-1.+ 2X（2）n-1E[X（2）n |σ（~v，y，…，yn）-1） ]+E[X（2）n|σ（~v，y，…，yn）-1)]=X（2）n-1.- 2X（2）n-1.注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.+注册护士θIn+（1+rn）βRnX（2）n-1.+ λn∑（3）n∑（2）nV[^zIn]。定理A.3。修理θRnby（1.5），让常数（1.12）和关联项（1.51）满足定价系数关系（1.25）-（1.28）、方差和协方差递归（1.29）-（1.31）、值函数系数递归（B.1）-（B.3）和二阶条件（1.39）。然后，内幕人士的价值函数具有二次形式（1.35），其中X（1）和X（2）在（1.33）中定义，并且PNI定义为（1.7）。此外，内幕人士的最佳交易策略由（1.36）给出。证据我们用反向归纳法证明了这个定理。假设（1.35）保持n+1。

在第n次迭代中，内部人员的值函数变得最大θIk∈σ（~v，y，…，yk）-1） n≤K≤NEhNXk=n（~v）- （主键）θIkσ（~v，y，…，yn）-1） i=maxθIn∈σ（~v，y，…，yn）-1） 呃- （请注意）θIn+I（0）n+X1≤我≤J≤2I（i，j）nX（i）nX（j）nσ（~v，y，…，yn）-1） i.（A.10）因为（1.39）成立，引理A.2表明前面的系数(（A.10）中出现的θRn）是严格负的。因此，一阶条件是最优性的充分条件，最大值是（1.36）。通过将优化器（1.36）插入（A.10）中获得值函数系数递归（B.1）-（B.3）。A.3再平衡者的优化问题在引理A.2的以下类似物中，我们记得再平衡者的状态变量（Y（1）n，Y（2）n，Y（3）n）在（1.42）中定义。引理A.4。我们定义θInby（1.6），并让常数（1.12）和关联项（1.51）满足定价系数关系（1.25）-（1.28）以及方差和协方差递归（1.29）-（1.31）。允许θRn∈ σ（~a，y，…，yn）-1） n=1。。。，N为重新平衡者承担责任。我们定义了高斯随机变量^zRn:=^yn- ^θRn- ∑（3）n中的β-1∑（1）n-1（a）-^θRn-1.- ^qn-1） n=1。。。，N.（A.11）那么^zRkis独立于（~v，^y，…，^yk）-1） 为了k≤ N和以下可测量属性满足σ（~a，y，…，yk）=σ（~a，y，…，yk）=σ（~a，^y，…，^yk）=σ（~a，^zR，…，^zRk）。（A.12）此外，对于n=1。。。，N、 我们有马尔可夫动力学Y（2）n=-λnθRn+βInY（2）n-1.- （αRn+βRn）Y（3）n-1.- rn∑（3）n∑（1）n^zRn，Y（2）=σ~vρσ~aa，（a.13）Y（3）n=rnθRn+βInY（2）n-1.- （1+rn）（αrn+βrn）Y（3）n-1+rn^zRn，Y（3）=0。

（A.14）对于常数L（1,1）n，L（1,2）n，L（1,3）n，L（2,2）n，L（2,3）n和L（3,3）n，我们有条件期望[-（a）- θRn-1)pn+X1≤我≤J≤3L（i，j）nY（i）nY（j）n |σ（~a，y，…，yn）-1)]= -Y（1）n-1.λn(θRn+βInY（2）n-1） +unY（3）n-1.+ L（1,1）n（Y（1）n-1.- θRn）+ L（1,2）n（Y（1）n-1.- θRn）Y（2）n-1.- λnθRn+βInY（2）n-1.- （αRn+βRn）Y（3）n-1.+ L（1,3）n（Y（1）n-1.- θRn）Y（3）n-1+rnθRn+βInY（2）n-1.- （1+rn）（αrn+βrn）Y（3）n-1.+ L（2,2）n（Y（2）n-1)- 2Y（2）n-1λnθRn+βInY（2）n-1.- （αRn+βRn）Y（3）n-1.+ λnθRn+βInY（2）n-1.- （αRn+βRn）Y（3）n-1.+ 注册护士∑（3）n∑（1）nV[^zRn]（A.15）+L（2,3）nY（2）n-1Y（3）n-1+Y（2）n-1.注册护士θRn+βInY（2）n-1.- （1+rn）（αrn+βrn）Y（3）n-1.- Y（3）n-1λnθRn+βInY（2）n-1.- （αRn+βRn）Y（3）n-1.- rn∑（3）n∑（1）nV[^zRn]- λnθRn+βInY（2）n-1.- （αRn+βRn）Y（3）n-1.注册护士θRn+βInY（2）n-1.- （1+rn）（αrn+βrn）Y（3）n-1.+ L（3,3）n（Y（3）n-1） +2Y（3）n-1.注册护士θRn+βInY（2）n-1.- （1+rn）（αrn+βrn）Y（3）n-1.+注册护士θRn+βInY（2）n-1.- （1+rn）（αrn+βrn）Y（3）n-1.+ rnV[^zRn],这是二次的θRn，其中方差V[^zRn]由V[^zRn]=（βIn）给出∑（2）n-1.-∑（3）n-1.∑（1）n-1.+ σw. （A.16）证据。这个证明类似于引理A.2的证明，因此被省略。定理A.5。修理θInby（1.6），并让常数（1.12）和相关项（1.51）满足定价系数关系（1.25）-（1.28）、方差和协方差递归（1.29）-（1.31）、值函数系数递归（B.4）-（B.9）和二阶条件（1.49）。对于n=0，1。。。，N- 1再平衡者的价值函数具有二次形式（1.44），其中（Y（1）n，Y（3）n，Y（3）n）由（1.42）和（1.42）定义PNI定义为（1.7）。此外，再平衡者的最优交易策略由（1.45）给出。证据该证明类似于定理A.3的证明，因此省略。A.4定理1.2的剩余证明。定义1.1的第（iii）部分来自引理A.1。

一旦我们证明优化器（1.36）和（1.45）符合（1.14）和（1.15），定义1.1的第（i）（ii）部分就适用于定理A.3和定理A.5。