动态市场均衡中的信息和交易目标

很像Pn是一个状态变量，给出了市场庄家对股票估值的看法，Qn是一个状态变量，表明了市场庄家对再平衡者的剩余交易的看法，给出了之前的交易历史。关于qn，有两件事需要注意。首先，再平衡者的交易不限于其目标a的确定函数。相反，他的交易也可以取决于qn中反映的已实现的优先订单流量历史。这与Degryse、de Jong和van Kervel（2014）中的决定性再平衡交易形成对比。其次，如果方程（1.5）到（1.8）定义了一个线性贝叶斯纳什均衡，那么如果rnand snare替换为XRAND XS，unandαRnare替换为un/x，αRn/x替换为任何刻度x>0，则获得相同的均衡（价格和订单相同）。因此，在下面考虑的均衡中，我们将RNA和SNQ正常化，从而使做市商对再平衡者剩余需求的预期a正常化-θRnattime n给定观察到的聚合顺序历史：qn=E[~a- θRn |σ（y，…，yn）]，n=1。。。，N.（1.9）术语a- θRn-1in（1.5）在再平衡者的策略中扮演着两个角色：一是再平衡者当前位置与其最终交易目标a之间的距离，二是在均衡状态下，私人信息有助于了解可能的存货价格误估- pn-1:E[~v- pn-1 |σ（~a，y，…，yn）-1） ]=E[~v- pn-1 |σ（| a）- θRn-1.- qn-1，y。。。，伊恩-1） ]=E[~v- pn-1 |σ（| a）- θRn-1.- qn-1)].（1.10）第一个等式来自qn-1，θRn-1.∈ σ（~a，y，…，yn）-1). 第二个等式来自v之间的独立性- pn-1和y。。。，伊恩-1以及a之间的独立性-θRn-1.-qn-1和y。。。，伊恩-1.因此，a-θRn-1.-qn-一般来说，除了过去的订单流量信息已经反映在pn中之外，它还增量提供了关于v的信息-1.

特别是，在n>1时，即使ρ=0（即，即使a和v事先是独立的，a也会对v产生影响），这是有用的，因为重新平衡替代比例将qnequal设置为e[yn |σ（y，…，yn）]。能够过滤过去的订单流量历史，以便比做市商更好地了解v。这与确定性再平衡规则有很大区别。类似地，术语v- pn-1in（1.6）在内幕人士的策略中扮演着两个角色：一是关于股票价值的私人信息，二是在均衡状态下，剩余需求的信息性- θRn-1对于再平衡者：E[~a- θRn-1 |σ（v，y，…，yn）-1） ]=qn-1+E[~a-θRn-1.- qn-1 |σ（v）- pn-1，y。。。，伊恩-1） ]=qn-1+E[~a-θRn-1.- qn-1 |σ（v）- pn-1)].（1.11）第一个等式来自qn-1，pn-1.∈ σ（y，…，yn）-1). 第二个平等源于v之间的独立性-pn-1和y。。。，伊恩-1以及a之间的独立性- θRn-1.- qn-1和y。。。，伊恩-1.1.1平衡本节描述了（1.5）至（1.8）中形式的线性Bayesianash平衡存在的充分条件。该分析遵循了Oster和Viswanathan（1996）的逻辑。首先，我们考虑平衡常数λn，un，rn，sn，βrn，αrn，βIn，n=1，N、 （1.12）βRN=1，αRN=0。（1.13）截至日期（1.13）中的限制反映了这样一个事实，即再平衡者必须在其上一轮交易后实现其目标a。本节的目标是确定一组特定系数候选值成为均衡的充分条件。

我们分三步来做。第一步采用一组候选常数（1.12）-（1.13），并计算（使用Foster和Viswanathan 1996的术语和符号）以下系统的“帽子”价格和订单流程^θIn:=βIn（~v）- ^pn-1） ^θI:=0，（1.14）^θRn:=βRn（~a）-^θRn-1） +αRn^qn-1，^θR:=0，（1.15）^yn:=^θIn+^θRn+wn，^y:=0，（1.16）^pn:=λn^yn+un^qn-1，^p:=0，（1.17）^qn:=rn^yn+sn^qn-1，^q:=0。（1.18）过程系统(θIn，θRn，yn，^pn，^qn，）由系数（1.12）完全指定（自主）。此外，考虑到v、~a和w的零均值和联合正态性，“hat”系统（1.14）-（1.18）也是零均值和联合正态性。我们确定了“帽子”动力学的方差和协方差，n=0，1。。。，N、 由∑（1）N:=V~a-^θRn- ^qn, （1.19）∑（2）n:=V[~V- ^pn, （1.20）∑（3）n:=E~a-^θRn- ^qn（~v）- ^pn）. （1.21）这些时刻是时间n的“交易后”时刻，因为它们反映了包括时间n订单流在内的整个交易过程。换句话说，它们是n+1交易的输入。n=0时的初始方差和协方差由∑（1）=σa，∑（2）=σv，∑（3）=ρ给出。（1.22）“帽子”过程（1.14）-（1.18）将用于使问题（1.3）和（1.4）在分析上易于处理，因为内部人的问题和再平衡者的问题都可以用低维状态过程来描述（见下文1.33和1.42）。特别地，“帽子”过程表示代理相信其他代理相信描述平衡的过程。在平衡中，这些信念必须是正确的。该一致性要求规定了两组条件，一组候选常数（1.12）必须满足这两组条件才能成为平衡常数。

接下来的两个步骤解释了这些条件。第二步要求价格和订单流状态变量过程（pn，qn）的系数（λn，un，sn，rn）Nn=1与Bayesian保持平衡。我们注意到，∑（2）n必须不随时间增加（如Kyle 1985），但∑（1）n可能不增加。更新。特别是，如果做市商认为内幕人士和再平衡者正在遵循“帽子”策略，那么我们可以将（1.2）改写为^pn=λn^yn- E[^yn |σ（^y，…，^yn）-1)]= λn^yn- [βRnE[~a-^θRn-1 |σ（^y，…，^yn）-1） ]+αRn^qn-1]= λn^yn- （αRn+βRn）^qn-1.,（1.23）对于n=1。。。，N.第一个等式来自这样一个事实，即考虑到“帽子”过程的联合高斯结构，条件期望是线性预测。第二个等式来自（i）总订单流量的定义（1.16），（ii）之间的独立性- ^pn-1和过去的订单流量，以及（iii）假设噪音交易者订单为零——平均值和i.i.d.随着时间的推移。最终的等式来自于^qn-1=E[~a-^θRn-1 |σ（^y，…，^yn）-1)]. 将（1.23）的最后一行与（1.7）进行比较，并使用该λ等于投影系数- ^pn-1，^yn- E[^yn |σ^y，…，^yn-1） ）V（yn- E[^yn |σ（^y，…，^yn）-1） ]）（1.24）根据内部人和平衡器策略系数对价格过程的系数进行了限制。

类似的逻辑也可用于推导出关于投资者策略系数的^qn过程系数限制。这些计算导致对n=1的线性贝叶斯纳什均衡中的状态变量和策略常数有以下四个限制。。。，N（参见附录A.1中引理A.1的顶部）：λN=βin∑（2）N-1+βRn∑（3）n-1（βIn）∑（2）n-1+（βRn）∑（1）n-βRn∑（3）n中的1+2β-1+σw, （1.25）rn=（1）- β（Rn）∑（3）n中的β-1+βRn∑（1）n-1.（βIn）∑（2）n-1+（βRn）∑（1）n-βRn∑（3）n中的1+2β-1+σw, （1.26）un=-λn（αRn+βRn），（1.27）sn=-（1+rn）（αrn+βrn）。（1.28）这里（1.19）-（1.21）的条件方差和协方差可以递归地计算为∑（1）n=（1）-β（Rn）(1 - βRn- rnβrn）∑（1）n-1.- rnβIn∑（3）n-1., （1.29）∑（2）n=（1）-λnβIn∑（2）n-1.- λnβRn∑（3）n-1，（1.30）∑（3）n=（1-β（Rn）(1 - λnβIn∑（3）n-1.- λnβRn∑（1）n-1.. （1.31）我们注意到“块”结构：更新系数λ和rnjust的值取决于日期n的策略系数βRnandβ，以及时间n的传入方差和协方差-1（以及外部噪声交易方差σw）。交易后方差和协方差∑（1）n、∑（2）n和∑（3）nat时间n仅取决于时间n的更新系数λ和RNA、时间n的策略系数以及时间n之前的方差和协方差-1.最后，unand SN取决于λnandunas以及再平衡者的一组策略系数（βRn，αRn）。第三步也是最后一步，首先推导两个战略投资者的价值函数（见1.3和1.4）。首先考虑一般时间的内幕人士n。作为inFoster和Viswanathan（1996），内幕人士不仅知道最终股票价值v，还知道实际“未修正”价格、数量预期和再平衡者的头寸（即1.5、1.7和1.8给出的pn、qn和θrn）在实际交易中的程度θI。

, 如果她按照候选人“帽子”内幕交易流程进行交易，则θ从“帽子”值^pn、^qn和^θRngivenby（1.17）、（1.18）和（1.15））中去除θI，^θInin（1.14）。在推导均衡时，我们需要考虑过去次优发挥的可能性。因此，“无帽子”变量是给定实际（可能任意）顺序的变量值，而“帽子”变量不受实际顺序的影响。当再平衡者的策略由（1.5）确定时，其特征是候选系数βR，βRNandαR，αRN。然而，尽管再平衡者的策略是固定的，但其实现取决于内部人士的选择，即总订单流量影响再平衡者的实际订单。类似的声明适用于价格Pn和^Pn以及数量预期qn和^qn。根据Foster和Viswanathan（1996年）的研究，考虑v是很自然的- ^pn，^qn，^θRn- θRn，^qn- qn，^pn- 请注意。（1.32）作为内部问题的状态变量。然而，我们证明了以下两个复合状态变量是内幕价值函数的有效统计信息：X（1）n:=~v- pn，X（2）n:=（^θRn- θRn）+（^qn- qn）+∑（3）n∑（2）n~v- ^pn, n=0。。。，N、 （1.33）从技术角度来看，这是从（1.32）大幅减少了状态变量集。这似乎是内幕人士问题所需的最小状态变量数。附录A中的引理A.2确保这些过程对于内部人员是可观察的。从（1.33）中，我们可以看到，在平衡状态下，pn=^pn，qn=^qn，θRn=^θRn，我们有关系x（2）n=∑（3）n∑（2）nX（1）n，n=0，1。。。，N

（1.34）附录A中的引理A.2表明，对于n=0，1。。。，N具有二次形式maxθIk∈σ（~v，y，…，yk）-1） n+1≤K≤NEhNXk=n+1（~v）- （主键）θIkσ（~v，y，…，yn）i=i（0）n+i（1,1）n（X（1）n）+i（1,2）nX（1）nX（2）n+i（2,2）n（X（2）n），（1.35），其中i（0）n，i（1,1）n，i（1,2）n和i（2,2）n是常数。此外，引理A.2还表明，内幕问题（1.35）是二次的θIn。（1.35）的第一个订单条件产生了内部人的最佳订单候选流程θIn=γ（1）nX（1）n-1+γ（2）nX（2）n-1，n=1。。。，N、 （1.36）式中γ（1）N：=-1+I（1,2）nrn+2I（1,1）nλn2（I（2,2）nrn+λn(-1+I（1,2）nrn+I（1,1）nλn）），（1.37）γ（2）n:=-βRn+-2I（2,2）nrn(-1+βRn）+I（1,2）nλn-βRnλn（I（1,2）n+1）2（I（2,2）nrn+λn(-1+I（1,2）nrn+I（1,1）nλn）。（1.38）内部人最优策略的相关二阶条件isI（2,2）nrn+I（1,2）nrnλn+I（1,1）nλn<λn。（1.39）通过将内部人的候选策略（1.36）-（1.38）插入（1.35）中的期望，我们可以递归地确定内部人的价值函数系数。更具体地说，期望值在附录A的方程式（A.8）中计算，由此产生的递归由附录B的B.1-B.3给出。通过将（1.36）中的系数与（1.6）中的系数相等，并使用平衡条件（1.34），我们得到内幕策略系数βin=γ（1）n+γ（2）n∑（3）n的以下条件-1∑（2）n-1，n=1。。。，N.（1.40）对于固定∑（1）N。。。，∑（3）n，我们可以用线性方程组（1.29）-（1.31）来表示∑（1）n-1.∑（3）n-1关于rn，λn，βIn，βrn。方程（1.37）-（1.38）和（1.25）-（1.26）可以用来证明（1.40）是∑（i）n，i=1,2,3和i（i，j）n，i=1,2和i时的第五次多项式（βRn，βin）≤ J≤ 2、是固定的。接下来，我们将讨论再平衡者的问题。同样，根据Foster和Viswanathan（1996年）的研究，考虑-θRn，qn，θRn- θRn，^qn- qn，^pn- pn，（1.41）作为再平衡者的状态变量。

然而，现在只有三个复合状态变量能够有效地统计再平衡器的值函数y（1）n:=a- θRn，Y（2）n:=（^pn）- pn）+∑（3）n∑（1）n（~a）-^θRn- ^qn），Y（3）n:=qn，n=0，1。。。，N.（1.42）附录A中的引理A.4确保这些过程对于再平衡器是可观察的。基于（1.42），我们看到在平衡状态下，pn=^pn，qn=^qn，θin=^θin，我们有关系Y（2）n=∑（3）n∑（1）n（Y（1）n- Y（3）n），n=1。。。，N.（1.43）当内幕人士的策略如（1.6）所示固定时，附录A中的引理A.4表明再平衡者的价值函数变得最大θRk∈σ（~a，y，…，yk）-1） n+1≤K≤N-1.- EhNXk=n+1（~a- θRk-1)主键σ（a，y，…，yn）i=L（0）n+X1≤我≤J≤3L（i，j）nY（i）nY（j）n，（1.44）式中，L（0）n。。。，L（3,3）nare常数。引理A.4还确保了再平衡问题（1.44）是二次的θRn。相应的一阶条件为再平衡者的订单生成候选优化器θRn=δ（1）nY（1）n-1+δ（2）nY（2）n-1+δ（3）nY（3）n-1，n=1。。。，N、 （1.45）式中δ（1）N:=2L（1,1）N- L（1,3）nrn+λn+L（1,2）nλnL（1,1）n- L（1,3）nrn+L（3,3）nrn+λn（L（1,2）n- L（2,3）nrn+L（2,2）nλn）, （1.46）δ（2）n:=-βIn+L（1,2）n- rn（L（2,3）n+L（1,3）nβIn）+L（1,2）nβInλn+2（L（1,1）nβIn+L（2,2）nλn）L（1,1）n- L（1,3）nrn+L（3,3）nrn+λn（L（1,2）n- L（2,3）nrn+L（2,2）nλn）, （1.47）δ（3）n：=- 2L（3,3）nrn- L（1,3）n(-1+αRn+RnαRn+βRn+RnβRn）+L（2,3）nλn+（αRn+βRn）2L（3,3）nrn（1+rn）+λn（L（1,2）n- L（2,3）n- 2L（2,3）nrn+2L（2,2）nλn）L（1,1）n- L（1,3）nrn+L（3,3）nrn+λn（L（1,2）n- L（2,3）nrn+L（2,2）nλn）.（1.48）再平衡者最优策略的相关二阶条件为：L（1,1）n+L（3,3）nrn+L（1,2）nλn+L（2,2）nλn<L（1,3）nrn+L（2,3）nrnλn。

（1.49）与内部人士的问题类似，通过将再平衡者的候选策略（1.45）-（1.48）插入（1.44）中的预期，我们可以递归地找到再平衡者的价值函数系数（见附录B中的方程式B.4-B.9）。通过将（1.45）中的系数与（1.5）相等，并使用平衡条件（1.43），我们得到了βRn=δ（1）n+δ（2）n∑（3）n的要求-1∑（1）n-1，αRn=δ（3）n- δ（2）n∑（3）n-1∑（1）n-1，n=1。。。，N.（1.50）与（1.40）类似，（1.50）的第一部分是∑（i）N，i=1,2,3和L（i，j）N，i=1,2,3和i时的第五次多项式in（βRn，βin）≤ J≤ 3、是固定的。我们的主要理论结果如下：定理1.2。如果常数（1.12）和相关项∑（1）n，∑（2）n，∑（3）n，（I（I，j）n）1≤我≤J≤2，（L（i，j）n）1≤我≤J≤3，n=1。。。，N、 （1.51）满足定价系数关系（1.25）-（1.28）、方差和协方差（1.29）-（1.31）、再平衡者的目标约束（1.13）、价值函数系数递归（B.1）-（B.3）和（B.4）-（B.9）、二阶条件（1.39）和（1.49）以及平衡条件（1.40）和（1.50），然后，线性贝叶斯纳什均衡存在（1.5）-（1.8）中给出的形式。此外，wehaverN=0，uN=-λN，sN=-1，β-IN=2λN-∑（3）N-12∑（2）N-1., λN>0。（1.52）该表征结果类似于Foster和Viswanathan（1996）中的命题1。如前所述，与Foster和Viswanathan（1996）和Kyle（1985）相比，我们模型的新特点是均衡价格动态中存在QNP过程（1.7）。这产生了新的风格化特征，包括平衡聚合顺序流的自相关：E[yn |σ（y，…，yn）-1） ]=E[θIn+θRn+wn |σ（y，…，yn）-1） ]=αRnqn-1+E[βIn（~v- pn-1） +βRn（~a）- θRn-1） |σ（y，…，yn）-1） ]=（αRn+βRn）qn-1，（1.53），通常不是零。

最后一个等式在一定程度上源于早期的观察，即在平衡状态下，qn-1这是a的条件期望-θRn-1查看之前的交易记录。1.2算法本节描述了一种数值搜索线性Bayesianash平衡的算法。该算法在逻辑上与第五节inFoster和Viswanathan（1996）中的算法类似，只是我们的算法需要三个常量作为输入（由于存在两个战略代理），而Foster和Viswanathan（1996）只需要一个常量作为输入。该算法首先将最后一轮交易的三个推测条件矩作为输入：∑（1）N-1> 0，∑（2）N-1> 0，∑（3）N-1.∈ R如此∑（3）N-1.≤ ∑（1）N-1∑（2）N-1.（1.54）然后，算法进行反向归纳。交易时间N的起始步骤：我们需要（λN，βIN）满足N=N的（1.25）和（1.52）的最后两部分。给定这两个常数（λN，βIN），我们可以定义βRN:=1，αRN:=RN:=0，uN:=-λN，sN:=-1.（1.55）由于再平衡者的终端约束，他的最后一轮交易（即在timeN）不涉及任何优化，因此我们有-（a）- θRN-1)pN |σ（~a，y，…，yN）-1)= -Y（1）N-1.λN（Y（1）N-1+βINY（2）N-1) - λNY（3）N-1..这种关系意味着再平衡者的价值函数系数为n=n- 1被赋予（1,1）N-1= -λN，L（1,2）N-1= -λNβIN，L（1,3）N-1=λN，L（2,2）N-1=L（2,3）N-1=L（3,3）N-1= 0. （1.56）另一方面，内幕人士在上一轮交易中的问题与她在其他任何一轮交易中的问题相似。通过将边界条件si（1,1）N=I（1,2）N=I（2,2）N=0插入递归（B.1）-（B.3），我们得到了值函数系数I（I，j）N-1.我们不将交易日后的N个时刻（∑（1）N、∑（2）N、∑（3）N）作为输入，因为它们是在最后一轮交易之后。