具有不可观测市场参数和确定性的最优投资组合

对于这样的端口组合dx（t）=r（t）X（t）dt+π（t）deR（t），（8）π（t）=X（t）-nXi=1πi（t），因此π单独用于指定投资组合；这被称为自我融资策略。如果我们需要（t）= B（t）-1X（t），theneX（t）=X（0）+ZtB（s）-1π（s）德（s）。（9） 对于每个π，我们用Xπ，eXπ来表示对应的X oreX。投资者的问题是根据某些条件选择π。首先，我们注意到投资者必须在时间t的基础上做出决定，即{S（S），r（S）：S≤t} 或等价地{R（s），R（s）：s≤ t} 。因此，为了满足代理的可观测性要求，π必须适应于FR，r。设fta是由r，r，a所生成的过滤，由F定义的零集扩充。3.1设a（相应地Aa）是所有{FR，rt}可测量（相应地{Ft}可测量）过程π（·）的类，使得（i）rt |π（t）|dt∞ a、 存在常数qπ，使得P{eX（t）- 十、≥ qπ，T∈[0，T]}=1。一个过程π（·）∈ 据说A是一种可接受的策略。对于这样的π，（9）中的积分定义得很好。对于每个π∈ A、 eXπ（t）是P*-带E的超鞅*eXπ（t）≤ 桑德*|eXπ（t）|≤ |X |+2 | qπ|。以下定义为标准定义。定义3.2设ξ为给定的随机变量。如果Xπ（T）=ξa.s，则可容许策略π（·）被称为复制权利要求ξ。我们观察到，当不施加可观测性要求时，即默顿解决的问题时，Aa表示可容许策略的类别。让T>0，letbD R是凸的，在下面有界，设X∈可能会有。

乐土（·）：bD→ R∪ {-∞} 使U（X）>-∞.我们可以将我们的一般问题陈述如下：找到一个可接受的自我融资策略π（·），它解决了以下优化问题：最大化EU（eXπ（T））超过π（·）∈ A（10）受eXπ（0）=X，eXπ（T）∈bD a.s.（11）条件xπ（T）∈bD代表了最小标准化终端财富的要求，如果bD=[k+∞), k>0。大致来说，这个问题的解决方法如下。通过构造最大化找到最佳终值，然后通过复制该终值找到最佳π。确保复制可能性的额外限制是*因此我们想要解：maxξ{EU（ξ）|ξ∈bD，E*ξ=X}，或者，使用一个格兰杰乘数λ，以及ξ是FR，rte可测量的事实*最大ξ∈屋宇署\'ZU（ξ）- λξ+ λX.（12）为了使这个程序工作，我们假设U，XandbD满足以下三个条件。条件3.1存在一个可测量集∧ [0, ∞), 一个可测函数F（·，·）：（0，∞) × Λ →bD，对于每个z>0，bx=F（z，λ）是优化问题的一个解- λx/x∈bD.（13）这个条件允许我们解决（12）中的最大化问题。当然，效用假设暗示了这种情况，但也涵盖了更普遍的效用假设。条件3.2存在sbλ∈ ∧使E*|F（`Z，bλ）|<+∞ 还有E*F（`Z，bλ）=X。在这个条件下，我们现在知道bλ是正确的乘法器。还将看到，可积性意味着最优效用具有明确的预期。问题（10）-（11）在条件3.1-3.2下的最优解是在Aain Dokuchaev和Haussmann（2001）类中在一些附加条件下得到的。

通过Aa的定义，对于某些可测函数，该解的形式为π（t）=（t，S（·）|[0，t]，ea（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）。如果a（·）是高斯过程且U=log，则已知该问题可以通过卡尔曼滤波和“确定性等价”原理来解决，参见Gennotte（1986）。更准确地说，像已知a一样解决问题，以获得π（t，a）和find m（t）的最优策略= E{a（t）|Ft}（卡尔曼滤波器）。π（t，m）是给定问题的最优解。这个结果对于非对数效用函数是不正确的，cf Kuwana（1995）；然而，如果我们允许m定义3.3以外的其他函数的代理，我们可以对其他一些效用函数进行修正。让π（t）=Γ（t，S（·）|[0，t]，ea（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）成为Aa类问题（10）-（11）的最优解，其中Γ是一个可测函数。此外，设bπ（t）是A类问题（10）-（11）的非最优解，并设存在一个n维{FR，rt}自适应随机向量过程b（t），使得bπ（t）≡ Γ（t，S（·）|[0，t]，ba（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）。Thenba（t）被认为是关于问题（10）-（11）的等效滤波器。注意，我们并没有假设ba（t）是ea（t）的当前条件分布pea（t）（·FR，rt）的函数。4最优索赔和策略的存在我们分两步解决问题。首先，我们证明了EU（F（`Z，bλ））是π（·）的归一化终端财富预期效用的上界∈ A.然后我们证明复制权利要求B（T）F（`Z，Bλ）的aportfoliobπ（·）存在。这就建立了最优的yOfBπ（·）。我们在下一节中展示了两个效用函数的bπ，然后在下一节中处理一般情况。设U+（x）= 最大值（0，U（x）），U-（十）= 麦克斯（0，-U（x））。

设F（·）与条件3.1相同。定理4.1在假设2.1和条件3.1,3.2下，letbξ= F（`Z，bλ）（14）与条件3.2中的bλ相同。然后（我）你-（bξ）<∞,bξ∈bD a.s.（ii）欧盟（bξ）≥ EU（eXπ（T）），π(·) ∈ A.（iii）权利要求B（T）Bξ在A中是可实现的，并且在A中存在复制策略。该策略对于问题（10）-（11）是最优的。证据在Ap pendix中。备注4.1现在可以得出，最优终端财富为B（T）F（`Z，Bλ），最优策略通过复制隐式确定。所以我们有一种等价原理：继续处理完全可观测的问题，但替换Z，P的密度*, 由Z表示Z的条件期望，参见命题2.1。定理的前两部分在备注2.3中提到的较弱条件下成立，但我们不能求助于鞅表示定理来获得第（iii）部分的复制。如果我们有另一种技术来建立这种复制，那么这个定理在较弱的假设下成立。我们将在下一节中探讨这个想法。5采用短视策略和等效滤波器的复制我们现在考虑两个特殊的效用函数，U（x）=log（x+δ），δ≥ 对于某些δ，U（x）=xδ，但在备注2.3中较弱的假设下。在这些情况下，我们可以直接计算复制策略，从而明确地解决问题。我们还发现超额累积率SEAI的等效过滤器。引理5.1设U（x）≡ 对数（x+δ），δ≥ 0，X>0和（0+∞) 那么问题（10）-（11）的A类最优解是bπ（t）= （X+δ）B（t）RTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]Q（t）=（Xbπ（t）+δB（t））RTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]RTdν（θ）z（t，θ）Q（t）（15）和xbπ（t）=B（t）（X+δ）ZTdν（θ）z（θ，t）- δ对于所有的t.（16）证明：我们必须复制索赔B（t）Bξ。

根据条件3.1，F（z，λ）=z/λ-δ、 因此，条件3.2给出了sbλ=E*Z/（X+δ）=1/（X+δ）*\'Z=E*E*（Z | FR，rT）=E*Z=EZ-1Z=1。为X+δ写Xδ。因此bξ=F（\'Z，bλ）=Xδ\'Z- δ=XδRTdν（θ）1+RTz（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]Q（t）deR（t）- δ=X+RTB（t）-1bπ（t）deR（t）=eX（t）（17）ifbπ（t）= B（t）XδZTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]Q（t）。因此，该策略复制了B（T）Bξ，因此是最优的。MoreoverXbπ（t）=B（t）eXbπ（t）=B（t）X+ZtB（s）-1bπ（s）德(s)= B（t）XδZTdν（θ）z（t，θ）- δ,实际上是bπ（t）= （X（t）+δB（t））RTdν（θ）z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]RTdν（θ）z（t，θ）Q（t）。推论5.1（i）在引理5.1的条件下，A（t）isba（t）=RTdν（θ）z（θ，t）A的等价滤波器t、 θ，eR（·）|[0，t]，σ（·）σ（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]RTdν（θ）z（θ，t）。（18） （ii）假设E | K（Θ，σ（·），σ（·）, r（·））|<∞. 由（18）定义的过程Ba（t）是这样的：Ba（t）=E{ea（t）|FR，rt}，也就是说，它是基于（S，r）（或（r，r））到时间t的观测值的估计类中的最小方差估计，假设Θ的先验ν。最佳预期效用isE对数（eXbπ（T）+δ）=EZTba（T）Q（t）ba（t）dt+log（X+δ）。（19） 如果我们回想一下，aaa中的最优策略是π（t），那么第（i）部分是显而易见的= （X（t）+δB（t））ea（t）Q（t），参见Dokuchaev和Haussmann（2001）（或者假设t是一个独生子女），和Use（15）。我们在附录中给出了第（二）部分的证明。观察ifea（t）是有条件的高斯分布，即dea（t）=c（t，eR（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）- c（t，eR（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）ea（t）dt+c（t，eR（·）|[0，t]，r（·）|[0，t]）dw′与Θ=w′（·）一个独立的布朗运动，那么卡尔曼滤波器可以用来计算teba和hencebπ（t）=Xbπ（t）Q（t）ba（t）。这个结果扩展了Lakner（1998）的例子4.4。我们现在可以进一步描述“Z”；这将在第6节中有所帮助。

我们补充说，在我们更一般的假设下，下面的推论也给出了Lakner（1998）定理3.1的结果。推论5.2定义Z（t）= E*（\'Z|FR，rt），ba（t）= E（ea（t）| FR，rt）。然后‘Z=’Z（T）和‘Z（T）=exp中巴(s)Q（s）deR（s）-中巴(s)Q（s）ba（s）ds. （20） 证明：我们取δ=0，X=1。那么（17）意味着\'Z=eXbπ（T），所以\'Z（T）=eXbπ（T），因为后者是a（P*, FR，rt）-鞅；因此，对数Z（t）=Y（t，bπ），其中Y与滚动5.1的证明相同。结果遵循f rom（46）。我们还可以对某些幂函数执行该程序，对于这些幂函数，函数F的形式为F（z，λ）=CzL，l>1，即U（x）=xδ/δ，δ=1-l、 如果我们进一步假设A和σ。具体来说，A在θ和rt |σ中应该是线性的-1A（t，θ，eR，σ）, r） |dt必须是确定性的，这实际上意味着我们认为Θ是一个过程，ea（t）=Θ（t），σ是非随机的。此外，我们需要一些可积性，例如=ZTldν（θ）·dν（θl）γ（θ，…，θl）<∞, （21）式中γ（θ，…，θl）= 经验lXi，j=1i<jZTθi（t）Q（t）θj（t）dt.这里每个θ都是一个n维函数，一个ea的样本路径。我们注意到γ和G是非随机的。引入符号“T”很方便={Plk=1θk:θi∈ T，i=1，l} ，让χDbe作为D的指示符，并在“Tby”（D）上定义一个度量单位=RTlχD（Plθk）Dν（θ）·Dν（θl）γ（θ，…，θl）RTldν（θ）·Dν（θl）γ（θ，…，θl）。定理5.1假设A（·，θ，f，q，ρ）=θ（·），σ确定性，（0+∞) bD，X>0，U（X）≡ xδ/δ，δ=（l- 1） /l表示一些整数l>1，而G<∞. 然后（i）F（z，λ）≡ zlλ-landbλ=X-1/l（E）*\'\'Zl）1/l.（ii）问题（10）-（11）的A类最优解是bπ（t）= XB（t）R′Td′ν（θ）z（θ，t）θ（t）Q（t）=Xbπ（t）R′Td′ν（θ）z（θ，t）θ（t）R′Td′ν（θ）z（θ，t）Q（t）、（22）和XBπ（t）=XB（t）z′Td′ν（θ）z（θ，t）。（23）MoreoverEU（eXbπ（T））=XδG1-δ/δ. （24）备注。

下面我们将看到，在定理5的假设下，等效滤波器ba（t）。1与E{ea（t）|FR，rt}不同，一般来说，不是当前条件分布Pea（t）（·FR，rt）of ea（t）的函数。然而，如果我们改变了度量，我们可以将EBA写为对AII的条件期望。当我们将T上定义的ν替换为T上定义的ν时，让P由P给出。推论5.3在定理5.1的条件下，a（t）isba（t）=Q（t）的等价滤波器-1bπ（t）lXbπ（t）=l-1 `E{ea（t）| FR，rt}（25），其中Xbπ（t）是由（23）定义的财富。特别是，ifea（·）=Θ是时间无关的高斯函数，具有密度函数ν，thenG<∞ 只有ifRTQ（t）dt非常小，以至于对数Φ（x，…，xl）是一个负的定义比率形式（加上一个有效项），其中Φ（x，…，xl）=ν（x）··（xl）explXi，j=1i<jxiZTQ（t）dt！xj.因此，ifeΘ=（Θ，…，Θl）被定义为具有密度函数Φ（x，…，xl）/G，则eΘ为高斯分布，因此pLi=1Θi的分布为Θν（·）为高斯分布。这意味着可以使用卡尔曼滤波来计算EBA（t）。Cvitani\'c et all（2002）提出了针对U（x）=δ的高斯先验的不可观测参数的显式优化策略-1xδ，但仅适用于δ<0的情况。我们的方法非常不同，涵盖δ>0，但仅限于δ=（l-1） /l，l=2，3。。。。尽管我们在一定程度上推广了m市场动态（两种情况下均为r随机，第一种情况下为σ随机），但由于所用效用函数的特殊性质，上述两种特殊情况的兴趣有限。然后，让我们找到更多一般效用函数的最优策略，但在我们更严格的假设下，参见。

假设2.1.6嵌入到马尔可夫环境中，为了一般用途，我们可以使用基于偏微分方程的方法进行复制，从而解决我们的问题，如果要复制的声明（这里的函数为“Z”）是马尔可夫过程的函数。下面我们举三个例子。假设存在一个大于0的整数M，一个确定性函数φ：RM→ R、 一个M维马尔可夫过程y（·），使得Z=φ（y（T）），y（·）是一个It^o方程的解dy（t）=f（y（t），t）dt+b（y（t），t）deR（t），y（0）=y∈ RM，（26）式中f（·）：RM×R→ RM，b（·）：RM×R→ RM×nare是可测函数。我们可以附加方程式deR=deR，所以如果需要，我们可以假设Er包含在y中。然后我们假设α（t，eR（·））=α（t，y（t））。为b（y，t）α（t，y）写“b（y，t）”。我们假设函数b（y，t），f（y，t）是H¨older的，并且¨b（y，t）|+f（y，t）|≤ 常数（|y |+1）。此外，我们假设\'b（y，t）/Y\'b（y，t）/Yf（y，t）/y和f（y，t）/是一致有界的，并且是H¨older。让我来*（·）表示（26）枯萎（·）被ER取代的溶液*（·）=R·α（t，eR*（t） 引入函数u:RM×[0，t]的Banach空间→ R和诺姆库（·）基=上| u（y）*（t） ，t）|+EZTUx（y）*（t） ，t）dt！1/2.命题6.1让C（·）：RM→ R是一个可测函数，使得EC（y*（T）+∞和EC（y）*（T））=X。然后存在一个容许策略π（T）=（π（T），πn（t））∈ A复制了权利要求B（T）C（y（T））。此外，π（t）=B（t）B（y（t），t）五、y（y（t），t），eXπ（t）=V（y（t），t），其中五、我们注意到V相对于第一个参数的梯度，以及函数V=V（y，t）：RM×[0，t]→ R是这样的五、t（y，t）+五、Y（y，t）f（y，t）+Tr{五、y（y，t）\'b（y，t）\'b（y，t）}=0，（27）V（y，t）=C（y）。

（28）问题（27）-（28）在类Y中允许一个解。设V（x，t，λ）：RM×[0，t]×∧→ R是偏微分方程（27）的解，条件v（y，T，λ）=F（φ（y），λ）。（29）下面的结果是即时的。定理6.1设函数F（·）为*F（`Z，bλ）<+∞. （30）与条件3.2中的bλ一样，存在容许的自我融资策略π（·）∈ A使权利要求B（T）F（`Z，Bλ）生效。这个策略是问题（10）（11）和π（t）=B（t）B（y（t），t）的最优解五、y（y（t），t，bλ），eXπ（t）=V（y（t），t，bλ）。（31）例1。让我们重复一下Dokuchaev（2005年）对Lakner（1998年）用不同方法首次解决的问题的简单解决方案。两种解决方案都涉及卡尔曼滤波器。假设我们得到了可测量的确定性过程α（t），β（t），b（t）和δ（t），使得dea（t）=α（t）[δ（t）-ea（t）]dt+b（t）deR（t）+β（t）dW（t），（32）式中α（t）∈ Rn×n，β（t）∈ Rn×n，b（t）∈ Rn×n，δ（t）∈ 其中W是n维维纳过程(Ohm , F、 我们假设α（t）、β（t）、b（t）和δ（t）在t中是H¨older，因此矩阵β（t）是可逆的和d |β（t）-1| ≤ c、 当e c>0是常数时。此外，我们假设ea（0）遵循一个具有已知平均向量和协方差矩阵γ的n维正态分布。我们注意到，这个设置覆盖了NEA是一个具有均值回复漂移的n维Ornstein-Uhlenbeck过程的情况。设y（t）=（y（t）。。。，yn+2（t））=（by（t），yn+1（t），yn+2（t））是Rn+2中的一个过程，其中（t）=E{ea（t）| FR，rt}，yn+1（t）=Rtby（s）Q（s）deR（s），yn+2（t）=exp-Rtby（s）Qby(s)ds.显然，yn+2（t）∈ （0，1），因此，ψ（yn+2（t））≡ yn+2（t）。

Liptser and Shiryaev（2000）第396页的定理10.3给出了方程forba（t）=by（t），因此y（t）的方程是by（t）=[A（t）by（t）+α（t）δ（t）]dt+[b（t）σ（t）+ γ（t）]Q（t）deR（t），dyn+1（t）=by（t）Q（t）deR（t），dyn+2（t）=-ψ（yn+2（t））乘（t）Q（t）乘以（t）dt。这里γ（t）是由Riccati方程定义的n×n维矩阵dγdt（t）=-[b（t）σ（t）+ γ（t）]Q（t）[b（t）σ（t）+ γ（t）]-eα（t）γ（t）- γ（t）eα（t）+ β（t）β（t）,γ（0）=γ，（33）A（t）= -eα（t）-γ（t）Q（t）。注意，相应的f，b满足所需的条件。由于σ与y无关，因此y（t）的方程可以写成（26），相应的f，b满足所需条件。由于σ与y无关，因此推论5.2不要求σ是y的一个组成部分，因此'Z=φ（y（T）），其中函数φ（·）：Rn+2→ 对于y=（y，…，yn+1，yn+2），R是φ（y）=yn+2exp-yn+1。因此，理论的所有假设。如果（30）满足，则1满足。特别是，如果F有界，则（30）满足；ifF（\'Z，β，λ）是关于\'Z\'的多项式，如果a（t）的方差足够小，则满足（30）。注意，Lakner（1998）中的解通过对最优索赔的条件期望来表达最优策略；我们从Dokuchaev（2005）那里得到的解决方案更具建设性，前提是我们可以解决Cauchy问题（27）、（29）。对于欧几里德空间E，我们将用B（[0，T]；E）表示有界可测函数集f（T）：[0，T]→ 例2。假设EA的可能路径数是有限的。假设σ是非随机的，A（t，θ，f）=θ（t），存在一个整数d>1和一个集合{θi（·）：i=1，…，d}B（[0，T]；Rn）使得Pdi=1pi=1，其中pi= P（ea（·）=θi（·））。集合y（t）= （y（t）。。。，yd（t））,易（t）在哪里= z（θi，t）。