具有不可观测市场参数和确定性的最优投资组合

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英文标题：
《Optimal portfolio with unobservable market parameters and certainty
  equivalence principle》
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作者：
Nikolai Dokuchaev
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider a multi-stock continuous time incomplete market model with random coefficients. We study the investment problem in the class of strategies which do not use direct observations of the appreciation rates of the stocks, but rather use historical stock prices and an a priory given distribution of the appreciation rates. An explicit solution is found for case of power utilities and for a case when the problem can be embedded to a Markovian setting. Some new estimates and filters for the appreciation rates are given.
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中文摘要：
我们考虑了一个具有随机系数的多股票连续时间不完全市场模型。我们研究了一类策略中的投资问题，这些策略不使用对股票升值率的直接观察，而是使用历史股价和给定的升值率分布。对于电力设施和问题可以嵌入到马尔可夫环境中的情况，找到了明确的解决方案。给出了升值率的一些新估计和过滤器。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_portfolio_with_unobservable_market_parameters_and_certainty_equivalence_.pdf (220.01 KB)

2022-5-7 11:16:18 上传

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关键词：投资组合 确定性 Appreciation Quantitative Mathematical

具有不可观测市场参数和确定性等价原则的最优投资组合2018年9月18日摘要我们考虑了一个具有随机系数的多股票连续时间不完全市场模型。我们在一类策略中研究投资问题，这些策略不使用股票升值率的直接观察，而是使用历史股票价格和估值率的先验分布。对于电力设施和问题可以嵌入到马尔可夫环境中的情况，找到了明确的解决方案。给出了升值率的一些新估计和过滤器。关键词：最优投资组合，连续时间市场模型，不可观测参数，滤波器分类：D52，D81，D84，G11数学主题分类：49K45，60G15，93E201简介本文研究了一个由局部无风险资产和一个有限数n，假设股价向量s（t）根据一个It^o随机微分方程演化，该方程包含升值率向量a（t）和波动矩阵σ（t）：dSi（t）=Si（t）[ai（t）dt+Xjσij（t）dwj（t）]，i=1。。。，n、 这个问题可以追溯到默顿（1969年），他发现了解决优化问题的策略，其中EU（X（T））最大化，其中X（T）代表最终T的财富，U（·）是一个效用函数。如果观察到市场参数，则最优策略（即股票持有的当前向量）是当前向量（a（t）、σ（t）、S（t）、X（t））的函数；例如，参见Hakanson（1997）和Karatzas and Shreve（1998）的调查。

然而，在实践中，过程（a（t），σ（t））不是直接给出的，必须根据对市场动态的一些事先假设的价格观察进行估计。已经有人尝试构建不使用这些参数的赢取策略；例如，见Dokuchaev和Savkin（2002年），Dokuchaev（2002年和2007年）。然而，主流方法是考虑模型，其中a（t）和σ（t）必须根据历史库存价格或其他观察过程进行估计。有许多论文致力于（a（t），σ（t））的估计，主要基于卡尔曼-布西滤波或最大似然原理的修正；参见例如：Lo（1988）、Chen和Scott（1993）、Pearson和Sun（1994）。不幸的是，在实时市场中，过程a（t）通常很难估计，因为漂移项a（t）通常被扩散项σ（t）所掩盖。另一方面，σ（t）原则上可以从股票价格中找到；见下文（4）。因此，仍然存在不可观测a（t）的最优投资问题。这个问题的一个流行工具是所谓的“确定性等价原理”：知道直接可观测A（t）情况下最优投资问题的解的代理可以通过替换E{A（t）| S（τ），τ<t}（参见Gennotte（1986），Feldman（2007））来解决不可观测A（t）的问题。不幸的是，这一原则不适用于非原木公用事业的一般情况（seeKuwana（1995））。请注意，这一原则与Frittelli（2000）著作中的“确定性等价价值”概念无关。事实上，问题在于线性过滤。如果Ri（t）是第i个股票的收益率，那么dr（t）=a（t）dt+σ（t）dw（t），因此给定{R（τ），τ<t}（或{S（τ），τ<t}）的a（t）的估计是一个线性滤波问题。

如果a（·）是条件高斯分布，则卡尔曼滤波器提供了在均方意义上最小化误差的估计。事实上，在这种情况下，给定过去价格的a（t）的条件均值和条件方差完全描述了a（t），Pa（t）（·S（τ），τ<t）的条件分布。在这种情况下，威廉姆斯（1977年）、德坦普尔（1986年）、多坦和费尔德曼（1986年）、根诺特（1986年）、布伦南（1998年）使用卡尔曼布西过滤器解决了投资问题。该解在一类可容许策略中是最优的，这类策略是电流的函数X（t），S（t），Pa（t）（·S（τ），τ<t）. 但一般来说，对于非高斯a，基于所有历史价格的最优策略不在此集合中，因此他们的方法不会给出最优策略。Karatzas（1997）、Karatzas和Zhao（1998）、Dokuchaev和Zhou（2000）、Dokuchaevand Teo（2000）在π（t）=f（{S（τ）：τ<t}）形式的策略类中获得了最优投资组合策略，其中f（·）是一个确定性函数，当a（t）是随机且不可观测的，但在a和σ是时间独立的关键条件下。该假设确保了最优财富的形式为X（t）=H（S（t），t，其中H（·，·）满足具有NSTOCK的市场的n维确定性抛物线反向方程。即使人们接受了这个限制条件，对于大n（例如，n>4），问题的解决方案也很难在实践中实现，因为通常很难解决抛物线方程。Karatzas（1997）给出了一个股票的目标实现问题的显式解，该股票具有条件范数增长率。Karatzas和Zhao（2001）使用线性滤波（通过鞅）和动态规划来解决一般效用函数n>1、σd对角线和常数，以及具有已知（非高斯）分布的随机a的问题。

在Dokuchaev和Zhou（2000）中，增加了对最终财富的额外限制，从而解决了实现目标的问题。Dokuchaev和Teo（2000）进一步推广了允许的约束和效用函数。三篇开创性论文放宽了常数系数的限制：Karatzasand Xue（1991）和L akner（1995），（1998）。Karatzas和Xue假设布朗运动比股票更多。他们假设r和σ与可观测的S相适应。在投影到产生与S相同滤波的n维布朗运动后，他们得到一个简化的、完全可观测的模型；最优投资组合的存在是允许的，但最优策略通常只被隐式定义。Lakner（1995），（1998）假设S和w有相等的维数（和我们一样），并且r和σ是确定性的。这再次保证了S的过滤是布朗的。过滤理论的结果给出了最优投资组合的表示，当aiare Ornstein-Uhlenbeck过程独立于w.Zohar（2001）提出了一种基于Cameron-Martin公式的替代方法，用于特殊的单只股票模型，参数由Ornstein-Uhlenbeck过程描述时，最优投资组合在Malliavin导数的条件期望方面是明确的。我们还考虑了具有随机不可观测a（t）的最优投资问题，并允许随机系数r，σ依赖于时间。与往常一样，我们的做法是提出一项索赔，以获得最佳的终端财富；因此，该声明的复制策略将是最佳策略。对于非常一般的模型，复制策略被认为是一个Malliavin导数的条件期望。

在本论文中，我们正在尝试其他方法，可以为一些特殊情况提供更明确的解决方案。我们针对两种特殊情况：（i）当U（x）=xδ时；（ii）当nba（t）可以表示为扩散马尔可夫过程的一部分时，它可能具有更高的维度。首先，对于log实用程序和一些power实用程序，我们可以直接计算套期保值组合，对r、a、σ几乎没有限制（至少在log情况下）。对于这些实用程序，可以通过以下更正重新表述“确定性等价原则”：必须导出a（t）的“等价过滤器”（在E{a（t）| S（τ），τ<t}的地方）。一般来说，它既不是E{a（t）|S（τ），τ<t}，也不是Pa（t）的任何其他函数（·S（τ），τ<t）。我们证明了对于a（·）和对数效用的一般先验分布，a（t）的等价滤波器实际上是ba（t）= E{a（t）|S（τ），τ<t}。如果a（t）是高斯的，那么这当然是卡尔曼-布西滤波器；Lakner（1995）、（1998）和Dokuchaev（2005）对该案进行了审议。此外，对于电力效用的情况，即使在高斯假设下，等效滤波器也不是pA（t）（·S（τ），τ<t）的函数。然而，我们证明了在一个新的测度下，这个估计可以写成a（t）的条件期望。因此，在a（t）上的阿加西假设下，等效滤波器可以通过卡尔曼-布西滤波器获得，但需要对参数进行一些修正。换句话说，我们的结果给出了新的滤波器（对于高斯先验），它是经典的K-alman-Bucy滤波器，但具有修改的参数。Cvitani’c et all（2002）提出了U（x）=δ的高斯先验不可观测参数的显式优化策略-1xδ，但仅适用于δ<0的情况。

我们的方法也得到了显式解，但对于正δ；实际上，我们只讨论δ=（l）的情况- 1） /l，l=2，3。。。。第二类考虑的问题包括可以嵌入到阿马尔科夫环境中的问题。Dokuchaev和Zhou（2001）建议，当系数在时间上是常数时，使用线性抛物线方程来复制最佳主张；在这种情况下，最优索赔可以表示为终端时间股价向量的函数（另见Dokuchaev和Teo（2000））。我们将这种方法扩展到一个更一般的模型，该模型涵盖了Θ是一个Ornstein-Ulenbek过程，或Θ是一个完全有价值的马尔科夫过程的情况；在第一种情况下，解决方案需要解一个维数为n+2的线性抛物方程，在第二种情况下，解一个维数等于马尔可夫过程的可能值个数的抛物方程。因此，我们提出了一种比动态规划更简单的方法：将非线性抛物型Bellman方程替换为线性抛物型方程。请注意，Sass和Haussmann（2003）解决了一个更一般的问题，即参数由一个单位值马尔可夫链驱动的情况，但他们的解决方案将复制策略表示为Malliavin导数的条件期望。在第2节中，我们收集了符号和定义，并建立了模型。问题在第3节中说明，在第4节中，在一般情况下给出了最优索赔的公式。第5节详细介绍了一些电力设施的解决方案。在第6节中，我们考虑问题可以嵌入到马尔可夫环境中的情况。

附录包含了大部分证据。2.在给定的概率空间上建立市场模型(Ohm, F、 P）在满足一般条件的情况下，考虑由价格为B（t），t的本地无风险资产或银行账户组成的市场模型≥ 0，以及价格为Si（t），t≥ 0，i=1，2。。。，n、 其中n<+∞ 已给出。股票的价格根据以下等式变化：dSi（t）=Si（t）ai（t）dt+dXj=1σij（t）dwj（t）, t>0，（1）其中(表示转置）w（t）=（w（t），wd（t））是一个标准的d维布朗运动，a（t）=（a（t），安（t）））是升值率的向量，σij（t）是波动系数。初始价格Si（0）>0为非随机常数。低风险资产的价格根据以下方程式B（t）=B（0）exp演变Ztr（t）dt, （2） 式中，B（0）取为1，不失一般性，r（t）为渐进可测随机利率过程。写出n×d维矩阵过程的σ（t）={σij（t）}。通过dRi（t）=dSi（t）/Si（t），Ri（0）=0定义时间t的回归，并引入回归向量R（t）=（R（t）。。。，注册护士（t））超额收益的和seri（t）=Ri（t）-Rtr（τ）dτ。Letbr（t）=r（t）（1，…，1）∈ Rn，ea（t）=a（t）-br（t）。然后dr（t）=a（t）dt+σ（t）dw（t），deR（t）=ea（t）dt+σ（t）dw（t）。（3） 备注2.1。第一个问题是如何校准该模型，即使用什么AIA和σIJ。我们可以观察价格，因此可以观察收益、利率和超额收益，但不能观察布朗运动w。波动系数原则上可以从R（·）或R（·）估计。实际上，Ztσ（τ）σ（τ）dτ=<R>t=<eR>t，（4）R-oreR的（可观察的）四次变化过程。事实上，我们假设σ是超额收益的非随机函数。尤其是由于在短期内，波动性占主导地位，因此更难估计ap准确率ai（t）。

我们采用阿巴斯式的方法。设{FR，rt}是由{R，R}加上F的空集生成的过滤。它是观察过滤，也由{S，B}或{eR，R}（加上增强）生成。为了描述a（·）的先验分布，我们假设存在一个可分离的线性范数空间E，一个Borel可测集T E、 和一个随机向量Θ：Ohm → T与分布ν成正比。此外，我们假设我们得到了可测函数A:[0，T]×T×C（[0，T]；Rn）→Rn，α：[0，T]×C（[0，T]；Rn）→ Rn×n和ρ：[0，T]×C（[0，T]；Rn）→ R、 这样的时间（t，ω）≡ A.t、 Θ（ω），eR（·ω）|[0，t], σ（t，ω）≡ α（t，eR（·，ω）|[0，t]），r（t，ω）≡ ρt、 Θ（ω），eR（·ω）|[0，t].这里f（s，ω）|[0，t]=f（s）∧t、 ω）。这里f（s，ω）|[0，t]=f（s）∧ t、 ω）。假设2.1Θ和w（·）是相互独立的；supt，f，θ（|ρ（t，θ，f）|+|α（t，f）|）∞ a、 s。；存在一个函数K（·）和一个常数Kosuchthatsupt，f | a（t，θ，f）|≤ K（θ）<∞,|A（t，θ，f）- A（t，θ，g）|≤ K（θ）supτ∈[0，t]| f（τ）- g（τ）||α（t，f）- α（t，g）|≤ Kosupτ∈[0，t]| f（τ）- g（τ）|；α（t，f）α（t，f）≥ cIn，其中c>0是常数，Ini是Rn×n中的单位矩阵OhmW= C（[0，T]；Rn），设fw是Ohm由w（·）生成，设f是由Θ生成的T子集的σ-代数的完备。此外，设pw是由w（·）生成的fw上的概率度量。根据定义，ν是FT上的概率度量。在不丧失一般性的情况下，我们假设概率空间(Ohm, F、 P）是这样的Ohm = T×Ohmw、 F是FT的完成 Fw，P是ν×Pw的完成。备注2.2。（i） 这些条件意味着（1）、（2）和（3）的解是明确的。（ii）对于独立于w（·）的p（t）过程，最简单的模型有ea（·）=Θ（·）。像往常一样，使用等效的度量值P将是有成效的*其中，标准化财富过程（参见下一节）是一个鞅。

塞茨= expZT（σ（t）-1ea（t））dw（t）+ZT |σ（t）-1ea（t）|dt！。（5） 显然，存在可测函数f:T×OhmW→ R以至于-1=f（Θ，w（·））。因为Θ和w是独立的，|σ（·）-1ea（·）|≤√Ck（Θ），然后根据富比尼定理，它遵循-1=ZTν（dθ）ZOhmwP（dωw）f（θ，ωw）=ZTν（dθ）1=1，因为A和α上的Lipschitz条件允许我们构造，因此对于Θ的每个值θ，Z。定义P*按dP*/dP=Z-1.让我们一起来*是相应的期望。注意dP/dP*= 根据Girsanov定理，过程（eR（t），FR，r）是关于P的鞅*.我们需要E的表达式*（Z | FR，rT）。为做好准备，定义Q（t，ω）=（σ（t，ω）σ（t，ω）)-1，对于每个θ∈ 引入过程z（θ，T）作为方程的解dz（θ，t）=z（θ，t）At、 θ，eR（·）|[0，t]Q（t）deR（t），z（θ，0）=1。（6） 现在设定“Z”=ZTdν（θ）z（θ，T）。这是P相对于P所需的条件密度*根据观察结果。提议2.1 E*（Z|FR，rT）=Z.备注2.3。命题2.1实际上适用于更一般的σ（不是α形式）。它只要求它几乎肯定是路径有界的，σ（t）σ（t）≥ 中国。s、 σ和w是相互独立的。在这些条件下，A还可以额外依赖于r和σ. 现在K（θ）变成了K（θ，q，ρ），其中最后两个参数代表p athsofσ和r。证据见附录。3问题陈述投资者持有工具组合；这对（π（t），π（t））描述了投资组合的时间t：过程π（t）是对债券的投资，πi（t）是对股票的投资，π（t）=（π（t），πn（t））, T≥ 0.设X>0为t=0时代理人的财富，即投资组合的初始值，设X（t）为t>0时的财富，X（0）=X。然后X（t）=π（t）+nXi=1πi（t）。（7） 如果dX（t）=π（t）dr（t）+π（t），则该投资组合称为自融资博士（t）。