回望期权的定价与二项式近似

然后1+a√n+an+On3/2η=1+aη√n+aη-η(1 -η） 安+On3/2.证据我们有，对于大n，1+a√n+an+On3/2η=expη对数1+a√n+an+On3/2= 经验ηA.√不适用-安+On3/2= 经验aη√n+（a）-a） ηn+On3/2= 1+aη√n+（a）-a） ηn+aηn+On3/2,这证实了这一说法。这里需要注意的是，每个大条件都包含一个绝对常数。本质上，引理说我们可以扩展函数（1+a）√n+an+O（n3/2））η，就好像η是一个常数。因此，Diener和Diener[7]提出了一个冻结的参数。我们首先考虑回望调用的渐近展开。它在布莱克-斯科尔斯模型中的价格是众所周知的。如果r>0，那么Goldman、Sosin和Gatto[10]发现（4.1）CflBS（t）=St- StθB- MtB+St（1）- θ） 其中θ=1+σ2r，θ=1-σ2r，B=Φ(-d） ，22 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU WELYCKXB=e-rτΦ（d），B=e-rτStMt-2r/σΦ（d）。通过传递到（4.1）中的极限，Babbs[1]获得了在r=0 asCflBS（t）=St的情况下的价格- 机顶盒- 曼恩商用车公司- St（B）*- B*),在哪里*=logStMt+στΦ(-d） ，B*= σ√τe-d/2√2π.定理4.2。让0≤ t<t和n∈ N.在N期CRR二元模型中，具有浮动行使权的欧洲回望看涨期权在t时的价格满足以下条件：（i）如果r>0，则CfLn（t）=CflBS（t）- Stσ√τθB+θB√N-hStστ（θ+2）B+（θ+2）- T） B- MtTBin+On3/2,其中B=σ√τStMt(1-2r/σ）/2e-（d+d）√2π，T=12rσθκn- （1+4rσ）logStMtand T=+κn+d6σ√τlogStMt；（ii）如果r=0，则CfLn（t）=CflBS（t）- Stσ√τ2B+B*- B*√N-hStστ3+3κn-στB+B*- StT*B*输入+输出n3/2,T在哪里*=+ κn+στ-d6σ√τlogStMt。证据

证明的第一步是将（2.6）作为（互补）二项累积分布函数的组合。至于大众汽车，请注意，根据（2.1）和（2.2），联合国-J-2kqk（1）- q） n-k=u-日本脑炎-rτpk（1）- p） n-k、 所以v=B*n、 q（j）- 1) -MtSte-rτB*n、 p（j）- 1） ，其中j=n- n+j.对于Vwe，首先更改指数k→ k+J+ 1，然后对vt进行处理，以获得v=Q-J-1B*n、 q（j）- 1) -MtSte-rτP-J-1B*n、 p（j）- 1） ，回溯选项和二项式近似23Q=q1- q、 P=p1- pand j=j+J + 1.对于Vwe，按照[11]进行。我们先把内部的和分开，然后用骰子k来改变→ K- j和k→ K- J- 1.接下来我们交换出现的两个双和s，注意0≤ J≤ N- J - 1和0≤ K≤ N-J-J-1. 等于0≤ K≤ N-J-1. 和0≤ J≤N-J-1.-2k；那是0≤ J≤ N-J-1和0≤ K≤ N-J-J-1.-1等于0≤ K≤ N-J-1.-1和0≤ J≤ N-J-3.-2k。注意N-J-1. = J- 1.现在，如果r>0，那么作为内部和出现的几何级数的比率不同于1，因此通过继续如[11]中所述，我们得到v=Q（1）- d） （Q）- 1） （Qd）- 1)Bn，q（j）- QBn，q（j）- 1)+Q-J-1Q- 1.QBn，1-q（j）- Bn，1-q（j）- 1)+ E-rτ（Qd）-J-1d（1）- Qd）P Bn，1-p（j）- Bn，1-p（j）- 1)j=j时- 1.我们在哪里使用过u-1=d。但是，如果r=0，那么Q=u，这样就会出现比率为1的几何级数。使用knk= NN-1k-1., 然后计算得出=J - N-U- 1.Bn，q（j）- uBn，q（j）- 1)- 2uBn，q（j）- 1） +u-J-1u- 1.uBn，p（j）- Bn，p（j）- 1)+ 2nqBn-1，q（j）- 1) - 乌本-1，q（j）- 2),我们在哪里使用了1- 在这种情况下q=p。我们注意到，Vand Vare的公式不受影响，但可以用u代替Q，用V代替Pby d。证明的第二步是使用推论3.5和备注3.6扩展每个项。我们注意到，我们使用引理4.1和η={j}来展开一个包含J. 例如，我们写-J-1=Q{j}Q-J-1并分别展开。

经过一系列的计算和简化，我们得到了结果。我们转向这个问题的渐近解。我们必须用运行中的最大值替换运行中的最小值*≤tSt*,初始水平变为j=log（Mt/St）σpτ/n（>0）。24 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU Welyckx通过这种重新解释，数字d、d、d和K被重新定义。对于r>0，Goldman、Sosin和Gatto[10]发现PFLBS（t）=-St+StθB+MtB- St（1）- θ） B=Φ（d），B=e-rτΦ(-d） ，B=e-rτStMt-2r/σΦ(-d） 当r=0时，Babbs[1]得到了pFlbs（t）=-St+StB+MtB+St（B）*+ B*)用b*=logStMt+στΦ（d），B*= σ√τe-d/2√2π.定理4.3。让0≤ t<t和n∈ N.在N期CRR二元模型中，具有浮动履约的欧洲回望看跌期权在t时的价格满足以下条件：（i）如果r>0，则PFLN（t）=PflBS（t）- Stσ√τθB+θB√n+hStστ（θ+2）B+（θ+2）- T） B+ MtTBin+On3/2,其中B=σ√τStMt(1-2r/σ）/2e-（d+d）√2π，T=12rσθκn- （1+4rσ）logStMtand T=+κn+d6σ√τlogStMt；（ii）如果r=0，则pfln（t）=PflBS（t）- Stσ√τ2B+B*+ B*√n+hStστ3+3κn-στB+B*+ StT*B*输入+输出n3/2,T在哪里*=+ κn+στ-d6σ√τlogStMt。该证明与定理4.2的证明非常相似，因此被省略。备注4.4。如果期权的价值是在排放量，我们得到的是St=m，因此κn=0。这里得到的公式与第二作者之前发现的公式一致[11]。回望选项和二项式近似254.5。在定理4.2和4.3中，我们得到了n的非有界函数的系数。事实上，这些系数是κn={j}（1）的一个有效函数- {j} ），以n为界。函数x7→ x（1）- x） 因此，导致了图4.1中的抛物线状振荡。备注4.6。r=0的系数是r>0.5的极限。数值例子在这一部分我们给出定理4.2和定理4.3的数值例子。

这些结果告诉我们CfLn=CflBS+C√n+Cn+On3/2和PFLN=PflBS+P√n+Pn+On3/2对于某些常数C、函数C、p，它们以n为界。例如，对于调用，我们应该找到（Cfln- CflBS）√n和（Cfln）-CflBS- C/√n） n几乎分别与大n的c和c重合。这将在下面的四个表中考虑。我们选择的值为ss=80，σ=0.2，τ=1.27。对于每种类型的期权，我们都会生成一个即期汇率为正值（r=0.08）的示例，以及一个r=0的示例。对于看涨期权，我们将Mt=60作为标的证券的最低价格（见表1和表2）。所得结果与定理4.2一致。周期数n 1000 5000 50000 1000000CFLN26。3647 26.3765 26.3794 26.3832 26.3842CflBS26。386426.386426.386426.386426.386426.3864（Cfln- CflBS）√n-0.6866-0.6987-0.7004-0.7040-0.7050C-0.7071-0.7071-0.7071-0.7071-0.7071-0.7071（Cfln- CflBS- C/√n） n 0.6491 0.5931 0.6658 0.6868 0.6746C0。6640 0.5961 0.6635 0.6808 0.6681表1。例如，对于调用（r>0），我们对put采用相同的参数，但在这里，我们认为时间t时基础的最大价格为Mt=100（见表3和表4）。结果与定理4.3.6一致。结论本文的主要目的是推导n的幂级数的渐近展开式-1/2欧洲lo okback期权的价格，带有浮动罢工。为了实现这一点，我们必须重新定义Cheuk和Vorst的离散模型。他们的树只适用于排放评估的选项。

在我们的工作中，我们考虑了在排放和到期之间的任何时间期权的价格。26 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU Welyckx周期数n 1000 5000 50000 100000 cfln21。3779 21.4016 21.4074 21.4151 21.4169CflBS21。4214 21.4214 21.4214 21.4214 21.4214 21.4214（Cfln- CflBS）√n-1.3755-1.3956-1.3985-1.4044-1.4060C-1.4095-1.4095-1.4095-1.4095-1.4095-1.4095- CflBS- C/√n） n 1.0746 0.9868 1.1024 1.1371 1.1173C1。1144 1.0069 1.1136 1.1410 1.1209表2。呼叫（r=0）周期数n 1000 5000 50000 1000000PFLN16的示例。3662 16.4536 16.4747 16.5031 16.5098PflBS16。5260 16.5260 16.5260 16.5260 16.5260 16.5260（Pfln- PflBS）√n-5.0523-5.1200-5.1274-5.1325-5.1394P-5.1466-5.1466-5.1466-5.1466-5.1466（Pfln- PflBS- P/√n） n 2.9814 1.8813 1.9153 3.1439 2.2781P3。0671 1.9652 1.9524 3.1866 2.3146表3。周期数n 1000 5000 50000 1000000PFLN23的put（r>0）示例。4800 23.5410 23.5559 23.5759 23.5806PflBS23。592123.592123.592123.592123.592123.5921（Pfln- PflBS）√n-3.5462-3.6140-3.6217-3.6271-3.6340P-3.6413-3.6413-3.6413-3.6413-3.6413-3.6413（Pfln- PflBS- P/√n） n 3.0079 1.9330 1.9554 3.1721 2.3143P3。0623 1.9703 1.9577 3.1807 2.3166表4。例如put（r=0），这种更一般的情况使你需要一种新类型的树，它混合了部分二项树和一个Cheuk-Vorst树。通过计算这棵树中的路径数，我们导出了期权价格的封闭公式。为了描述这个公式的渐近行为，我们需要一个二项累积分布函数的渐近展开式，其误差项比文献中已知的要小。

继Chang、Lin和Palmer[3]，[14]的工作之后，我们的工作基于二项累积分布函数的积分表示，这是由Uspensky[16]引起的。回溯选项和二项式近似我们得到了n的系数的显式公式-1/2和n-1在同态展开中，包括调用和put，以及参数的任何值；特别是，我们允许即期汇率为零。这些公式证实了Black-Scholes价格的收敛性。我们的结果在随机样本上进行了测试。作为我们工作的后续行动，可以提出几个问题。一个可以继续研究lo okback期权；到目前为止，还没有已知固定打击情况的渐近展开式。Cheuk和Vorst[4]建立了一个单一状态树，可以作为这项工作的基础。然而，从他们的树中推断出的价格不能先验地用二项式累积分布函数来表示。有必要为一些新的函数类型提供一个渐近展开式。另一种可能性是研究亚洲期权，其收益由债券的平均价值决定。平均值可以是几何值，也可以是算术值。此外，还有固定打击和浮动打击选项。到目前为止，在算术平均的情况下，还没有已知价格的封闭形式[5]。因此，通过确定等价CRR树得到的价格的渐近展开，也可以在算术情况下找到一个闭式解。附录A.一些积分我们在这里计算定理证明所需的一些积分。1.回想一下R=-V和α=y√五、第一个积分是Fouriersine变换：2πZ∞eRа2аsin（αа）dа=πZ∞E-xxsin（yx）dx=√2πZye-xdx=Φ（y）-采用Φs标准正态累积分布函数；见[16，pp.128-129]，[8，p。

73].剩下的积分是函数x7的傅里叶正弦或傅里叶余弦变换→ xme-x、 m≥ 1.众所周知，它们的值与厄米多项式Hm:πZ有关∞xme-x（sin（yx）如果m是oddcos（yx）如果m是偶数）dx=(-1)m/2E-Y√2πHm（y），见[8，第15页，第74页]。对于m=1，我们有2πZ∞eR~nJ k dа=24VπZ∞xe-xsin（yx）dx=24V E-Y√2πy.28 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU Welyckxf，m=2,2πZ∞eR k J k dа=-P- Q√VπZ∞xe-xcos（yx）dx=p- Q√Ve-Y√2π（y）- 1).对于以下m值，我们得到2πZ∞eR k J k dа=J*2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*2Ve-Y√2πy（3）- y） 和J*=+五、- pq;2πZ∞eR k J k dа=J*（p- q） 2V3/2πZ∞xe-xcos（yx）dx=J*（p- q） 2V3/2e-Y√2π(3 - 6y+y）带J*= -+1.- 12pq;2πZ∞eR k J k dа=J*2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*2Ve-Y√2πy（15- 10y+y）和J*=- pq--pq+pq-V（p- q） )；2πZ∞eR k J k dа=J*（p- q） 2V3/2πZ∞xe-xcos（yx）dx=J*（p- q） 2V3/2e-Y√2π(15 - 45岁+15岁-y） 和J*= -(- pq）；2πZ∞eR k J k dа=J*2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*2Ve-Y√2πy（105- 105y+21y- y） 和J*=(- pq）+（p- q） （1）- 12pq）-（p- q） )；2πZ∞eR k J k dа=（p- q） 1296V3/2πZ∞xe-xcos（yx）dx=（p- q） 1296V3/2e-Y√2πH（y）回溯选项和H（y）=105的二项式近似-420y+210y-28y+y；2πZ∞eR k J k dа=J*（p- q） 2VπZ∞xe-xsin（yx）dx=J*（p- q） 2Ve-Y√带J的2πH（y）*= -(- pq）和H（y）=y（945-1260y+378y-36y+y）；2πZ∞eR k J k dа=（p- q） 31104VπZ∞xe-xsin（yx）dx=-（p- q） 31104Ve-Y√2πH（y），其中H（y）=y(-10395+17325y-6930y+990y-55y+y）。参考文献[1]Babbs S.（2000）：回望期权的二项估值。J.经济。迪纳姆。控制241499-1525。[2] Black F.和Scholes M.（1973）：期权定价和公司负债。J.政治经济学。81, 637–654.[3] Chang L.B.和Palmer K.（2007）：二项模型中的平滑收敛。金融斯托奇。11, 91–105.[4] Cheuk T.H.F.和Vorst T。C.F（1997）：货币回溯选项和观察频率：二项式方法。J.国际。

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