回望期权的定价与二项式近似

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英文标题：
《The pricing of lookback options and binomial approximation》
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作者：
Karl Grosse-Erdmann and Fabien Heuwelyckx
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Refining a discrete model of Cheuk and Vorst we obtain a closed formula for the price of a European lookback option at any time between emission and maturity. We derive an asymptotic expansion of the price as the number of periods tends to infinity, thereby solving a problem posed by Lin and Palmer. We prove, in particular, that the price in the discrete model tends to the price in the continuous Black-Scholes model. Our results are based on an asymptotic expansion of the binomial cumulative distribution function that improves several recent results in the literature.
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中文摘要：
通过改进Cheuk和Vorst的离散模型，我们得到了在排放和到期之间的任何时间，欧洲回望期权价格的闭合公式。当周期数趋于无穷大时，我们推导出价格的渐近展开式，从而解决了Lin和Palmer提出的一个问题。我们特别证明了离散模型中的价格趋向于连续Black-Scholes模型中的价格。我们的结果基于二项式累积分布函数的渐近展开，它改进了文献中最近的一些结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_pricing_of_lookback_options_and_binomial_approximation.pdf (289.57 KB)

2022-5-7 11:34:41 上传

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关键词：二项式 Mathematical Quantitative distribution mathematica

回望期权的定价和二项式近似法卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比恩·赫韦利克斯克克苏大学的摘要。通过建立Cheuk和Vorst的离散模型，我们得到了排放量和成熟度之间任何时间的欧洲回望期权价格的封闭公式。随着周期数趋于一致，我们导出了p rice的渐近展开式，从而解决了Lin和Palmer提出的一个问题。我们特别证明了离散模型中的价格与连续BlackScholes模型中的价格成正比。这些结果是基于二项式累积分布函数的一个简单扩展，它改进了文献中的一些新结果。1.引言Cheuk和Vorst[4]提出了一个离散模型，用于带浮动罢工的欧洲回望期权的定价；他们含蓄地表示，他们评估了排放价格。在本文中，我们将建立eir模型，以便在排放后的任何给定时间对期权进行定价，并随着时间间隔的数量趋于一致，对价格进行渐近展开。这完全解决了林和帕尔默[14]提出的一个问题；在p大米排放的特殊情况下，第二作者已经解决了这个问题[11]。回望期权赋予持有人在到期时以最低或最高的价格购买（认购）或出售（卖出）标的资产的权利。因此，到期时的支付函数由T给出- 造币厂≤TStand maxt≤TSt- 分别是圣。在传统的连续模型中（即，当标的资产价格遵循Black和Scholes[2]和Merton[15]提出的带漂移的维纳过程时），Goldman、Sosin和Gatto[10]在假设即期汇率r非零的情况下导出了价格公式。

Babbs[1]通过超限获得r=0的价格。Hulland White[13]提出了回望期权价格的discr-ete模型，另见Hull[12]，该模型基于Cox、Ross和Rub instein（CRR）[6]的二元模型，见图1.1。然而，2010年的数学科目分类。小学91G20；中学34E05，91G60。关键词和短语。回望期权，Cheuk-Vorst模型，定价，二项累积分布函数，渐近展开。作者得到了比利时国家银行（BNB）的资助。2 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEUWELYCKXsince回溯选项依赖于路径、Hull和White h ad将每个节点细分为不同的状态。Cheukand Vorst[4]解决了这个问题，他提出了一种等价树（CV），其中每个节点都对应于一个状态，见图1.2（调用）。图1.1。n=3的CRR树图1.2。对于n=3的呼叫，无论是赫尔和怀特，还是C赫克和沃斯特，CV treefor在他们的模型中获得了价格的封闭公式。这种公式首先由F¨ollmerand Schied[9]和第二作者[11]通过不同的方法获得（另见[11，附录a]中的讨论）。然而，所有这些论文只评估了排放时期权的价格。本文的目的是双重的。在第2节中，我们将在离散模型中推导一个封闭的公式，用于在发布带有浮动结构的欧洲回望期权后的任何时间的价格。在第四节中，我们证明了离散模型中的价格收敛于连续模型中的价格，并导出了渐近展开式。这回答了byLin和Palmer[14]提出的一个问题，并推广了[11]中的早期结果。

为了推导这些渐近性，我们需要二项式累积分布函数的已知渐近展开式的一部分，这将在第3节中实现。最后一节是数值例子。2.带有浮动删除线的回望期权在Cheuk和Vorst的离散模型中，传统的CRR树（见图1.1）仍然用于建模基础资产的评估。我们首先介绍各种参数的常用符号：T是从排放到成熟的时间，T为0≤ t<t是当前时间，τ=t- t是到期前的剩余时间，Sti是t时标的资产的价值。此外，r≥ 0表示即期汇率，σ>0表示标的资产的波动率。现在，基础的二叉树只针对时间间隔【t，t】（t之前的价格已知）建立。这个区间被等分为n个子区间。在每个节点上，价格可以增加一个系数u，也可以减少一个系数d，其中u=eσ√τ/nand d=u-1=e-σ√τ/n。增加的概率由（2.1）p=erτ/n给出- 杜- D我们取n足够大，因此0<p<1。让我们首先考虑t=0，然后集中讨论看涨期权。对于回望期权的定价，Ch euk和Vorst引入了第二个树状回望期权和二项式近似3（CV），见图1.2。在CV tr ee中，时间tm（0）时的j级≤ M≤ n） 表示时间Tm的值与自排放以来的最低值之间u的幂差。

换句话说，j是非负整数，比如stm=造币厂*≤tmSt*uj。如[4]所示，并在[11，定理2.1]中明确表示，然后通过cfln（0）=SnXj=0（1）给出排放时的期权价格- U-j） nXk=0∧j，k，nqk（1- q） n-k、 式中（2.2）q=pue-rτ/n=u- E-rτ/nu- d（如果p存在，则位于（0，1）中）和∧j，k，nis是CVtree中从初始节点（0，0）到成熟时的水平j的路径数，这些路径具有精确的k向上跳跃。[11，定理2.1]表明∧j，k，n=(nk-J-nk-J-1.如果j≤ K≤ n+j,还有0个。在本文中，我们感兴趣的是在任意给定时间t（0）确定回望（看涨）期权的价格≤ t<t）。在这种情况下，市场价格*,0≤ T*≤ t、 已知发射和时间t之间的基本关系。当然，t时刻的价格不一定是最小值；实际上，有一个由T定义的初始水平=造币厂*≤tSt*uj。在续集中，我们将为brevityMt=mint撰写文章*≤tSt*.那么我们有（2.3）j=log（St/Mt）σpτ/n≥ 0不一定是整数，初始节点位于位置（0，j）。这将导致修改的CV树（见图2.1，其中McOrrespond to time tm）。请注意，在足够多的向下跳跃之后，一个到达一个新的最小值，从而达到0级。从那以后，所有级别都是整数。如[4]所示，（2.4）Cfln（t）=StXj∈J（1）- U-j） nXk=0∧jj，k，nqk（1- q） n-k、 式中，J是成熟度时可能的水平集，q由（2.2）给出，之前，∧jj，k，nis是从初始节点（0，J）到成熟度时水平jat th的路径数，正好有k个向上跳跃。这些数字还有待评估。4卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比恩·霍伊·韦利克克克斯杰=1.6j=6.6j=4.6j=3j=2.6j=2j=1j=0.6j=0m=0m=1m=2m=3m=4m=5图2.1。对于n=5和j=1.6的调用，我们有以下问题。L和j≥ 0是一个正数，n∈ N

我们创建一个图，初始节点位于（0，j），每个节点（m，jm）的周期为m，0≤ m<n，我们在周期m+1上创建两个节点，由（m+1，jm+1）upand（m+1，max，jm）给出- 1，0）向下，带有连接边。设∧jj，k，n表示从初始节点（0，j）到最终节点（n，j）的路径数，该节点正好有k个向上跳跃。以下结果可能也具有独立利益。引理2.1。让j≥ 0和n∈ 然后∧jj，k，N=nk, 如果j=j+2k- nand n-J ≤ K≤ Nnk-nk+J + 1., 如果j=j+2k- nand n-n+j ≤ K≤ N- J - 1.nk- J-nk- J- 1., 如果0≤ J≤ N- J - 1和j≤ K≤ N-J-1+j.λjj，k，nar的所有其他值都为零。证据（一） 我们将首先考虑jis不是整数的情况，见图2.1。在这种情况下，有三类不相交的终端节点。证明将分三个步骤进行，分别针对每一类中的节点。（1） 第一类由简单实线的端点给出。这些节点的访问集（返回到ookback选项和二项式近似值5m=0）与传统的二项式树中的相同。这样就很容易计算路径的数量。要到达这样一个节点，至少有tk=n- J 最多k=n向上跳跃，有nk路径正好是k向上跳跃。相应的终端电平为j=j+k- （n）- k） =j+2k- n、 因此∧jj，k，n=nk对于j=j+2k- n和n- J ≤ K≤ N为了便于以后使用，我们注意到这个类中的级别j的范围是j+n- 2.J 到j+n，以2步为单位，向上跳跃的次数k为（2.5）k=n+j- j、 （2）第二类由从（0，j）开始属于传统二叉树的所有剩余终端节点构成；在图2.1中，它们用虚线表示。

我们这里有一个部分二叉树：传统二叉树中通往这些节点的一些路径已经丢失。实际上，有些路径至少有一个中间节点级别为零。可能的终端电平范围为{j}（如果J + n iseven）或从{j}+1（如果J + n是奇数）到j+n- 2.J - 2分两步进行；此外，只有当n≥ J+ 2.我们可以将这两种情况下的下界改写为j+n- 2.n+j. 通过（2.5），每个级别对应一个唯一的向上j ump数k，第二类节点k的可能值范围为n- n+j 到n- J - 1.（0，a）（0，-a） （n，b）图2.2。反射原理现在，再次指向jis级别的第二类节点的路径数nk, 但我们必须收回所有迷失的道路。通过使用反射原理，可获得最短路径的数量，见图2.2。它指出，连接节点（0，a）和（n，b）（与a，b）的一元树中的路径之间存在一对一的对应关系∈ N） 与x轴接触或交叉，以及连接节点的路径（0，-a） 和（n，b）。我们的情况相当于a=J + 1和b=j-{j} +1=j-j+J+ 1.它需要从（0，-a） 到（n，b）。向上跳跃的次数（U）和向下跳跃的次数（D）之和是周期数n，而U和D之间的6 KARL GROSSE-ERDMANN和FABIEN HEU WelyckxD之差是总体上的差异，即a+b。因此，U=n+a+b。因此，丢失路径的数量是nn+a+b=nn+2J+J-j+2=nk+J + 1.,我们使用的地方（2.5）。

因此∧jj，k，n=nk-nk+J + 1.对于j=j+2k- n和n- n+j ≤ K≤ N- J - 1.（3）第三类节点由剩余节点构成；它们在图2.1中用双线（实线或虚线）表示。它们是较小的Cheuk Vorst树的终端节点，初始节点位于(J+1, 0). 此外，只有当n时才有这样的节点≥ J+1.可能的终端电平范围为j=0至j=n- J - 1.与前两种情况不同，连接初始节点（0，j）和终端级j w的路径不会像传统的Cheuk Vorst树那样具有固定数量的向上jum p。我们将证明，在第三类中，到达j级的正k向上跳跃的路径数由∧jj，k，n给出=nk- J-nk- J- 1.为了0≤ J≤ N-J-1和j≤ K≤ N-J-1+j, 而且k的其他值是不可能的。我们以索赔为理由提出索赔≥ J + 1.对于n=J+ 1.对于n=J+ 2，我们可以达到水平j=0（k=0）或j=1（k=1）。在这两种情况下，只有一条可能的路径。现在让我们来看看≥ J+ 3.同样，对于j=n-J-1（k=n）-J-1） j=n- J - 2（k=n）- J - 2） 结果微不足道。在这两种情况下，只有一种可能的路径，分别是J + 1后接n-J-1 ups和J+ 2个向下，然后是n-J-2个ups。0时的情况仍有待讨论≤ J≤ N- J - 3.

如果j=0，则从周期n开始有两条向下的路径- 1如果n+J 是平的，否则有三条向下的路径。（i） 如果n+J 如果是偶数，则它们来自位于第n周期0或1级的节点- 1.如果k=0，唯一可能的路径是fr om j=0，因此∧j0,0，n=∧j0,0，n-1= 1.如果1≤ K≤N-J-那么我们有∧j0，k，n=j0，k，n-1+λj1，k，n-1=N- 1k-N- 1k- 1.+N- 1k- 1.-N- 1k- 2.=nk-nk- 1..没有k>n的路径-J-2.回溯选项和二项式近似7（ii）如果n+J 奇怪的是，部分二项式tree还有其他向下的路径。到了（2.5），这些路径做得很好-J-1在进入卓沃斯特树之前，请注意。因此，如果0，则它们不起作用≤ K≤N-J-3，所以我们像（i）中那样争论。如果k=n-J-1，在周期n时，不可能从水平j=0得出- 所以我们有（2）∧j0，k，n=j1，k，n-1+j{j}，k，n-1=N- 1k- 1.-N- 1k- 2.+N- 1k-N- 1k+J + 1.=N- 1k- 1.-N- 1k- 2.+N- 1k-N- 1k- 1.=nk-nk- 1..没有k>n的路径-J-1.如果1≤ J≤ N- J - 3.从periodn到它有两条路-1，一条从位于j层的节点向上的路径-1 d一条从位于j+1层的节点e向下的路径。如果0≤ k<j没有带k ups的路径。

如果k=j，几乎可能的路径来自j- 所以∧jj，j，n=jj-j，1-1，n- 1= 1.如果j+1≤ K≤ N-J-1+j, 那么我们有∧jj，k，n=jj-1，k-1，n-1+jj+1，k，n-1=N- 1k- J-N- 1k- J- 1.+N- 1k- J- 1.-N- 1k- J- 2.=nk- J-nk- J- 1..没有k>N-J-1+j.这证明了当jis不是整数时的引理。（二） 当jis为整数时，情况略有变化，见图2.3。三类节点的定义与之前相同：从（0，j）开始的传统二叉树中的访问集相同的节点（用实线表示）；传统二叉树的剩余终端节点（用虚线或粗实线表示）；从（j+1，0）开始的较小的Cheu k-Vorst树的终端节点（用双线、粗实线或虚线表示）。然而，请注意，一些终端节点同时属于第二类和第三类。（1） 对于第一节课，我们采用与之前相同的论点。（2） 对于第二类中的节点，我们只计算b二叉树中的路径。和以前一样，只有当n≥j+2，向上路径的可能数量k从n开始- n+j 吨-J-1，终端电平由j=j+2k给出-n、 相应路径的数量（在二叉树内）为nk减去8个卡尔·格罗斯·埃尔德曼和法比恩·赫伊·韦利克克什的数字，xj=1j=6j=4j=3j=2j=2j=1j=0m=0m=0m=1m=2m=3m=4m=5图2.3。n=5且j=1条路径的呼叫的CV树。但现在丢失的路径是二叉树中达到水平的路径-1在某个时刻。这相当于计算从（0，j+1）到（n，j+1）达到0级的路径，这样的路径的数量与之前一样，nk+j+1.