显式逼近均值回复CEV过程

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英文标题：
《Approximating explicitly the mean reverting CEV process》
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作者：
Nikolaos Halidias and Ioannis Stamatiou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we want to exploit further the semi-discrete method appeared in Halidias and Stamatiou (2015). We are interested in the numerical solution of mean reverting CEV processes that appear in financial mathematics models and are described as non negative solutions of certain stochastic differential equations with sub-linear diffusion coefficients of the form $(x_t)^q,$ where $\\frac{1}{2}<q<1.$ Our goal is to construct explicit numerical schemes that preserve positivity. We prove convergence of the proposed SD scheme with rate depending on the parameter $q.$ Furthermore, we verify our findings through numerical experiments and compare with other positivity preserving schemes. Finally, we show how to treat the whole two-dimensional stochastic volatility model, with instantaneous variance process given by the above mean reverting CEV process.
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中文摘要：
在本文中，我们希望进一步利用Halidias和Stamatiou（2015）提出的半离散方法。我们对金融数学模型中出现的均值回复CEV过程的数值解感兴趣，这些过程被描述为具有形式为$（x_t）^q$的亚线性扩散系数的某些随机微分方程的非负解，其中$\\frac{1}{2}<q<1.$我们的目标是构造保持正性的显式数值格式。我们证明了所提出的SD格式的收敛性，速度取决于参数$q。$此外，我们通过数值实验验证了我们的发现，并与其他保正格式进行了比较。最后，我们展示了如何处理整个二维随机波动率模型，其中瞬时方差过程由上述均值回复CEV过程给出。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Approximating_explicitly_the_mean_reverting_CEV_process.pdf (425.26 KB)

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关键词：均值回复 cev Differential coefficients coefficient

显式逼近均值回复CEV过程n。HALIDIAS和I.S.STAM ATIOUAbstract。在本文中，我们希望进一步利用Halidias和Stamatiou（2015）提出的半离散方法。我们对出现在金融数学模型中的均值回复CEV过程的数值解感兴趣，这些过程被描述为具有（xt）q形式的亚线性扩散系数的某些随机微分方程的非负解，其中<q<1。我们的目标是构造保持正性的显式数值格式。我们证明了所提出的SD格式的收敛性，其收敛速度取决于参数q。此外，我们通过数值实验验证了我们的发现，并与其他保正格式进行了比较。最后，我们展示了如何用上述均值回复过程给出的瞬时方差过程来处理整个二维随机波动率模型。1.导言。考虑以下随机模型（1.1）St=S+Rtu·Sudu+Rt（Vu）p·SudWu，t∈ [0，T]，Vt=V+Rt（k- kVs）ds+Rtk（Vs）qdfWst∈ [0，T]，其中Stre表示潜在的财务可观察变量，Vt表示Np=1时的瞬时波动率，或p=1/2时的瞬时方差，以及Wiener-proce-sses Wt，fWthave相关性ρ。我们假设VT是上述形式的均值回复CEV过程，对于I=1、2、3和q>1/2，系数ki>0，因为过程VT必须是非负的。更准确地说，上述限制意味着VT是积极的，即0是无法达到的，以及非爆炸性的，即。∞ 这是无法实现的，正如费勒对边界的分类[17，第5.22条]所证实的那样。VT的稳态水平为k/k，平均回复率为k。p=q=1/2的系统（1.1）为Heston模型。当q=1时，我们得到布伦南-施瓦茨模型[4，秒。

二] 由于其简单的形式，无法为q=1/2的St.Process vt提供解析表达式，也被称为CIR过程[6，Rel 13]，由提出利率期限结构的作者的首字母缩写而成，已经受到了很多关注，我们只提到了对这类过程研究的两项最新贡献（见[1]，[12]和其中的参考文献）。1/2的过程≤ Q≤ 1也被考虑用于短期利率的动态[5，Rel（1）]。[2，Prop 2.2]中还推导了该过程的平稳分布。我们的目标是为过程Vt提供一个正的保持方案。我们提出的方案，并将其表示为半离散（SD），保持了Vt保持正的分析性质。显式Euler格式和标准的Milstein格式都可以用来表示概率。我们打算将se-mi离散方法应用于1/2<q<1的Vtin模型（1.1）的数值逼近，并与其他保正方法进行比较，如具有保正性质的平衡隐式方法（BIM）（由[23，Rel（3.2）]引入[16，第5节]）和平衡米尔斯泰因方法（BMM）[16，Th.5.9]。最后，我们用p=1/2近似（1.1）的随机波动率模型。在[15]中，可以找到一个彻底的处理方法，其中还提出了另一个随机波动率模型。第2节提供了关于L的设置和主要结果，即定理2.1和2.2-提出的半离散（SD）方法对（1.1）中随机波动率形式的均值回复CEV过程真解的收敛性，以及定理2.3（涉及定理的类似物）日期：2021 7月7日。关键词和短语。

显式数值格式，均值回复CEV过程，正性保持，强近似误差，收敛阶，随机波动模型。2010年AMS学科分类：60H10、60H35。我们在附录中给出了上述所有近似Vt.2 N.HALIDIAS和I.S.STAMATIOU2的格式。1和2.2，遵循另一种方法。受[12]启发，这种方法的主要组成部分是简化了所提出的数值格式，将初始布朗运动（Wt）改为另一个布朗运动（^Wt），由Levy对布朗运动的鞅特征调整，得到与定理2.1相同的对数率，但得到更好的多项式率（q）-) 而不是（q-) ∧如定理2.2所示。第三节是定理2.1的证明，而第四节和第五节是定理2的证明。分别为2和2.3。最后，第6节给出了关于收敛顺序的prop-osedscheme行为的说明图，并与BIM和BMM方案进行了比较。在第7节中，我们将完整模型（1.1）视为特殊情况。结束语见第8节，在附录A中，我们简要介绍了方差波动过程（Vt）积分的数值方案。设置和主要结果。我们考虑以下SDE（2.1）xt=x+Zt（k- kxs）ds+Ztk（xs）qdWs，t∈ [0，T]，其中k，k，kare为阳性，1/2<q<1。然后，Feller的检验表明存在一个唯一的强解，比如xt>0a。s、 当x>0a.s.设（2.2）fθ（x，y）=k- k（1）- θ） x-k4（1+kθ）)x2q-1.- kθy |{z}f（x，y）+k4（1+kθ）)x2q-1 |{z}f（x）和（2.3）g（x，y）=kxq-√y、 其中f（x，x）=a（x）=k- kx和g（x，x）=b（x）=kxq。让分区0=t<t<…<tN=T，带 = T/N并考虑以下过程dt（q）=ytn+f（ytn，yt）· +ZTNF（ytn）ds+Zttnsgn（zs）g（ytn，ys）dWs，其中y=xa。s

或者更明确地说yysdt（q）=ytn+K- k（1）- θ） ytn-k4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1.- kθyt· +Zttnk4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1ds+k（ytn）q-Zttnsgn（zs）√ysdWs（2.4）代表t∈ （tn，tn+1），其中θ∈ [0,1]代表含蓄程度和（2.5）zt=√yn+k2（1+kθ）)（ytn）q-（Wt）- Wtn），带（2.6）yn:=ytn1.-K1+kθ+K1+kθ-k4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1..当yn≥ 这是真的，当（1+kθ）)K≤ 4（k）∧k） 及(2-θ) ≤k、 此外，（2.4）在节点tn处有跳跃。求解yt，我们最终得到以下显式格式（2.7）ySDt（q）=yn+Zttnk4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1ds+k1+kθ（ytn）q-Zttnsgn（zs）√ysdWs，每个步骤的解由[19，Rel.（4.39），p.123]ySDt（q）=（zt）给出，其具有令人愉快的特征ySDt（q）≥ 0.明确逼近均值回复CEV过程3假设A使参数k，k，kbe为正，并且（1+kθ)K≤ 4（k）∧ k） 考虑一下 > 0以至于(2 - θ） <k，对于θ∈ [0, 1]. 而且假设x≥ 0 a.s.和E（x）p<a对于某些p≥ 4.定理2.1。[对数收敛速度]让假设成立。半离散格式（2.7）在均方意义下收敛到（2.1）的真解，其速率由（2.8）E sup0给出≤T≤T|ySDt（q）- xt|≤Cpln()-1，其中C独立于 特别是yc:=72r（k）Te6Tk+kT，其中等于0<<∧（q）-).假设B让假设A保持现在的x∈ R和x>0。定理2.2。【多项式收敛速度】假设B成立。

s emi离散格式（2.7）在均方意义下收敛到（2.1）的真解，其速率由（2.9）E sup0给出≤T≤T|ySDt（q）- xt|≤ C（q）-)∧,式中c:=812kT（qA4q（x+kT）4qCk，k，θ，∨ 1） 3kTpA（x+kT）q^A4q-2.×2e6kT+CHK- 1（x）（1）-q） ν（λ）,CHKis是（4.11）中描述的常数，λ是一个适当选择的正参数，满足（4.12）且始终存在，ν（λ）：=λ2（1）-q） （k）- 1，量Ck，k，θ，引理3.4和>1中给出。受[12]的启发，我们通过考虑过程（2.10）fWt=Ztsgn（zs）dWs，将术语sgn（zs）从（2.4）中删除，这是一个二次变化的鞅<fWt，fWt>=t，因此是一个标准的B罗文运动w.r.t。它自己的过滤，由Levy定理[17，Th.3.16，p.157]证明。因此，（2.4）的紧形式变成了comesysdt=x+Zt（k- k（1）- θ） y^s- kθyes）ds+Ztn+1tK- k（1）- θ） ytn-k4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1.- kθytds+kZts（y^s）q-√ysdfWs，代表t∈ （tn，tn+1）。还要考虑过程ss（2.11）ext=x+Zt（k）- kexs）ds+Ztk（exs）qdfWs，t∈ [0，T]。（2.1）的过程（xt）和（2.11）的过程（ext）具有相同的分布。我们在下面的例子中展示了E sup0≤T≤T|ySDt（q）- 分机|→ 0作为 ↓ 因此，对于（2.1）的唯一解，也同样适用，即sup0≤T≤T|ySDt（q）- xt|→ 0作为 ↓ 为了简化符号，我们把fw，（ext）写成W，（xt）。我们最终得到以下显式格式（2.12）ySDt（q）=yn+Zttnk4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1ds+k1+kθ（ytn）q-Zttn√ysdWs，其中ynis为（2.6）。4 N.HALIDIAS和I.S.STAMATIOUTheorem 2.3。[对数和多项式收敛速度]让假设成立。

半离散格式（2.12）在均方意义下收敛到（2.1）的真解，其速率由（2.13）E sup0给出≤T≤T|ySDt（q）- xt|≤Cpln()-1，其中C独立于 给定byC:=32r（k）Te6Tk+kT，其中等于0<<q-.在假设B成立的情况下，半离散e格式（2.12）在均方意义下收敛到（2.1）的真解，其速率由（2.14）e sup0给出≤T≤T|ySDt（q）- xt|≤ C（q）-),其中C：=12kT（qA4q（x+kT）4qCk，k，θ，∨ 1） 3kTpA（x+kT）q^A4q-2.×2e6kT+CHK- 1（x）（1）-q） ν（λ）,CHKis是（4.11）中描述的常数，λ是一个适当选择的正参数，它满足（4.12）并且始终存在，ν（λ）：=λ2（1）-q） （k）- 1，量Ck，k，θ，引理3.4和>1中给出。在以下几节中，我们为简单起见编写了ySDtor ytfor ySDt（q）。对数收敛速度。我们用一个紧凑的形式改写（2.4）Dt=x+Zt（k- k（1）- θ） y^s- kθyes）ds+Ztn+1tK- k（1）- θ） ytn-k4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1.- kθytds+kZtsgn（zs）（y^s）q-√ysdWs，代表t∈ （tn，tn+1]式中^s=tj，s∈ （tj，tj+1]，j=0，…，n，es=tj+1，代表s∈ [tj，tj+1]，t，代表s∈ [tn，t]j=0，N- 1.3.1. 瞬间的界限。引理3.1（SD近似的矩界）。它认为这是超能力的≤T≤T（yt）p≤ ApE（x+kT）p，对于任何p>2的情况，其中Ap:=expnp（p-1） kP-12p+p-1p到引理3.1的证明。我们首先观察到（yt）以以下方式有界0≤ yt≤ x+Ztkds+kZtsgn（zs）（y^s）q-√ysdWs≤ x+kT+kZtsgn（zs）（y^s）q-√ysdWs:=uta。s、 ，其中下界来自（yt）的构造，上界来自比较定理。我们将绑定（ut）和（yt），因为0≤ yt≤ 尤塔。s、 设置接近均值回复CEV过程的停止时间5τR:=inf{t∈ [0，T]：ut>R}，对于具有约定inf的R>0 = ∞.

伊藤公式在（ut）上的应用∧τR）pimplies（ut∧τR）p=（x+kT）p+p（p- 1） kZt∧τR（us）p-2（y^s）2q-1ysds+pkZt∧τRsgn（zs）（us）p-1（y^s）q-√ysdWs≤ （x+kT）p+p（p- 1） kZt∧τR（us）p-1（y^s）2q-1ds+Mt≤ （x+kT）p+p（p- 1） kZt∧τRP- 12便士（美国）便士+便士-1p（y^s）（2q）-1） pds+Mt≤ （x+kT）p+p（p- 1） kP- 12p+p-1pZt∧τR（us）pds+Mt，在第二步中，我们使用了0≤ yt≤ 在第三步中，不等式xp-1y≤ p-1pxp+pp-1yp，对x有效∧ Y≥ 0和p>1，其中=，在最后一步中，事实<q<1和Mt:=pkRt∧τRsgn（zs）（us）p-1（y^s）q-√ysdWs。取上述不等式中的期望值，利用Mtisa局部鞅在0处消失，我们得到（ut）∧τR）p≤ E（x+kT）p+p（p- 1） kP- 12p+p-1p中兴通讯（美国）∧τR）pds≤ E（x+kT）pexpp（p- 1） kP- 12p+p-1pT≤ ApE（x+kT）p，我们应用了Gronwall不等式[9，Rel.7]。我们有（yt）∧τR）p=（yτR）pI{τR≤t} +（yt）pI{t<τR}≥ （yt）pI{t<τR}，因此在上述不等式中取期望值，并使用估计的E（ut）上限∧τR）pWerrive atE（yt）pI{t<τR}≤ E（yt）∧τR）p≤ E（犹他州）∧τR）p≤ ApE（x+kT）p，极限为R→ ∞, 我们得到了→∞E（yt）pI{t<τR}≤ ApE（x+kT）p.让我们来看看t.停止时间τRis在R和t中增加的顺序∧ τR→ t as R→ ∞, 因此，序列（yt）pI{t<τR}在R和（yt）pI{t<τR}中是不衰减的→ （yt）pas R→ ∞. 单调收敛定理的应用意味着（3.1）E（yt）p≤ ApE（x+kT）p，对于任何p>2的情况。再次使用（ut）p上的伊藤公式，取supr emum，然后使用扩散项上的Doob鞅不等式，我们将E sup0定界≤T≤T（ut）和E sup0≤T≤T（yt）p。引理3.2（SD方案的误差界）。让我们把这件事讲清楚∈ [tns，tns+1]。它认为E | ys- y^s|p≤^App/2，E|ys- 是| p<eApp/2，对于任何p>0，其中正量^Ap，eap不依赖于.6 N.HALIDIAS和I.S.STAMATIOUProof引理3.2。首先，我们取p＞2。

它认为| ys- y^s|p=Zstdns（k- k（1）- θ） ^u- kθyeu）du+Ztns+1tdnskθy^sdu-Ztns+1skθysdu+ZtdnssK- k（1）- θ） ytns-k4（1+kθ）)（ytns）第2季度-1.du+kZstdnssgn（zu）（y^u）q-√尤德武P≤ 5p-1.Zstdns（k- k（1）- θ） ^u- kθyeu）dup+kpθp（y^s）p（tns+1）- tcns）p+kpθp（ys）p（tns+1- s） p+ZtdnssK- k（1）- θ） ytns-k4（1+kθ）)（ytns）第2季度-1.杜p+kpZstdnssgn（zu）（y^u）q-√尤德武P≤ 5p-1.|tcns- 标准普尔-1Zstdns | k- k（1）- θ） ^u- kθyeu | pdu+kpθp（（y^s）p+（ys）p）p+K- k（1）- θ） ytns-k4（1+kθ）)（ytns）第2季度-1.Pp+kpZstdnssgn（zu）（y^u）q-√尤德武P,我们使用了柯西-施瓦兹不等式。考虑到上述不等式中的期望值，并在扩散项上使用MMA 3.1和Doob的鞅不等式，我们得到（3.2）E | ys- y^s|p≤^App/2，其中p上的正数^Apexcept也取决于参数k，k，k，θ，q，但不取决于.现在，对于0<p<2，我们将- y^s|p≤E|ys- y^s|p/2≤^App/2，这里我们对凹函数φ（x）=xp/2使用了Jensen不等式。按照同样的思路，我们可以得出（3.3）E | ys- 是的| p≤eApp/2，对于任何0<p的情况，除p外，正量eap也取决于参数k，k，k，θ，q，但不取决于. 在本节的其余部分中，我们用以下方式重写（2.4）的紧凑形式（3.4）ySDt=x+Ztfθ（y^s，是的）ds+Ztsgn（zs）g（y^s，ys）dWs |{z}ht+Ztn+1tf（ytn，yt）ds，其中fθ（·，·）由（2.2）给出，辅助过程（ht）接近于（yt），如下一个结果所示。引理3.3（涉及辅助过程的力矩界限）。对于任何人来说∈ [0，T]它认为（3.5）E | hs- ys|p≤ 内容提供商p、 E | hs | p≤ Ch和s∈ [tn，tn+1]我们有（3.6）E | hs- y^s|p≤^Cpp/2，E | hs- 是的| p≤eCpp/2，对于任何p>0的情况，其中正值Cp，^Cp，eCp，Chdo不依赖于.引理3.3的证明。我们有| hs- ys|p=Ztn+1sf（ytn，yt）duP≤ |tn+1- s | p | f（ytn，yt）| p，对于任何p>0，我们有我们的ed（3.4）。

利用引理3.1，我们得到（3.5）的左边部分。现在是p>2，注意到tE | hs |p≤ 2p-1E | hs- ys | p+2p-1E | ys | p≤ 2p-1Cpp+2p-1聚乙烯（x+kT）p≤ 我们得到了（3.5）的正确部分，在这里我们使用了引理3.1。如引理3.2所示，情况0<p<2之后是Jensen\'sinequality。此外，对于∈ [tn，tn+1]和p>2它保持着| hs- y^s|p≤ 2p-1E | hs- ys | p+2p-1E | ys- y^s|p≤ 2p-1Cpp+2p-1^App/2≤^Cpp/2其中我们使用了d（3.2）和相同的方式| hs- 是的| p≤ 2p-1Cpp+2p-1eApp/2≤eCpp/2。病例0<p<2后为Jensen的ine质量。3.2. L中辅助过程（ht）收敛到（xt）。我们首先估计Ztn同时为负的概率ytn>1.-2ξ，对于0<ξ<。引理3.4。每一个t∈ [tn，tn+1]它保持（3.7）P{zt≤ 0}∩ {ytn>1.-2ξ}≤ Ck，k，θ，√,其中Ck，k，θ，:=K√1.-k（2）-θ)和(2 - θ） <k（1+kθ）)≤ 4k。关系式（3.7）意味着{zt≤ 0}∩ {ytn>1.-2ξ}= O(√), 像 ↓ 0.引理3.4的证明。根据（zt）对t的定义（2.5）∈ [tn，tn+1]对于0<ξ，我们有a:={zt≤ 0}∩ {ytn>1.-2ξ} =（ytn）q-（Wt）- Wtn）≤ -2（1+kθ）)K√伊恩∩{ytn>1.-2ξ} A.∪ A、 （3.8）其中：=Wt- Wtn≤ -2（1+kθ）)K√yn（ytn）-q+∩ {ytn≥ 1} ，安达：=Wt- Wtn≤ -2（1+kθ）)K√yn（ytn）-q+∩ {1>ytn>1.-2ξ}.以下包含关系适用于事件A、A(Wn≤ -2（1+kθ）)ksytn1.-K1+kθ-（k）4（1+kθ）)（ytn）第2季度-1（ytn）-q+）∩{ytn≥ 1}(Wn≤ -2（1+kθ）)ks1- k（2）- θ)1+kθ-（k）4（1+kθ）))(Wn√T- tn≤ -kp（1）- k（2）- θ))（1+kθ）)√T- 什么时候(2 - θ） <kand（k）（1+kθ）)≤ 4k，在哪里Wn:=Wt- Wtn。它认为（3.9）P（G）≤ -β） =Z-β-∞√2πe-u/2du≤Z-β-∞E-u/2du=Z∞βe-u/2du≤βe-（β） /2，对于每个标准正态随机变量G，在最后一步中，我们使用了[17，Ineq.（9.20），p.112]对β>0有效。利用这个事实Wn√T-这是标准的正常右心室。