不相关SABR模型中的零质量与隐含波动率

但是，我们可以将小y的指数因子扩展为任意n∈ N、 N阶近似p（N）∞:=Z∞\"1 -Γ2(1 -β） ，x2（1）-β） 2r（β-1)!#yνr3/2√2πnXk=0k！-y2νrkdr=nXk=0y2k+1k！ν√2π-2νkZ∞\"1 -Γ2(1 -β） ，x2（1）-β） 2r（β- 1)!#R-（k+3/2）dr=2y（1- β)Γ2(1-β)ν√πx1-βnXk=0(-1） kk！y（β- 1） νx2（1）-β)!kΓk+1+β2-2β（1+2k）。特别注意（2.10）P（0）∞=2Γ1 +β2-2βΓ2.-2βy（1- β)ν√πx1-β.当r趋于一致时，被积函数显然足够快地收敛到零。利用文献[1，第6章]中伽马函数的性质，渐近行为1-Γa、 r~r1-aexp(-1/r）Γ（a）6当r趋于零时，ARCHIL GULISASHVILI、BLANKA HORVATH和ANTOINE JACQUIERholds确保所有n∈ N.下面的定理2.7显示了序列P（N）的状态（以及时间）∞近似于零P时的质量∞. 利用泰勒公式和拉格朗日余数形式，我们得到-y2νr=nXk=0(-1） kk！y2νrk+(-1） n+1（n+1）！E-θy2νrn+1，对于某些θ∈ （0，y/（2νr））。因此，（2.11）经验-y2νr-nXk=0(-1） kk！y2νrK≤（n+1）！y2νrn+1。对任何人来说≥ 0，组（2.12）bn:=2y（1）- β)Γ2(1-β)ν√πx1-βy（β- 1） νx2（1）-β)!nΓn+1+β2-2βN（1+2n），因此从（2.11）、（2.12）和P的定义∞和P（n）∞, 因此，对于任何n≥ 0，（2.13）P（n）∞=nXk=0(-1） kbkandP∞- P（n）∞≤ bn+1。定理2.7。以下陈述适用于（2.13）中的序列P（n）：（i）如果y（β- 1） >νx2（1）-β） ，或y（β- 1） =νx2（1）-β） 及≤ β<1，然后是序列（P（n）∞)N≥0发散，因此不能近似于0 P时的质量∞;（ii）如果y（β- 1） <νx2（1）-β） ，或y（β- 1） =νx2（1）-β） 和0≤ β<then（2.14）P∞= P（n）∞+ 在…上-1+β2-2βexp-n对数νx2（1）-β） y（β- 1)!!!, 因为n趋于完整。备注2.8。记住xdenotes是股票价格或利率的初始值。对于所有实际和合理的参数值，定理中的条件（ii）始终有效。证据

从（2.12）可以看出，斯特林的伽马函数公式得出，k趋于完整，（2.15）bk~y（1-β)Γ2(1-β)ν√πx1-βk-1+β2-2βy（β- 1） νx2（1）-β)!k、 从（2.13）中，如果定理2.7（i）的条件成立，则级数的一般项∞k=0(-1） kbkdoes不趋向于零，序列P（·）∞分歧。如果定理2.7（ii）的条件成立，那么（2.13）和（2.15）意味着（2.14），这就完成了定理2.7的证明。出于实际目的，取决于序列收敛的条件（P（n）∞)N≥0在OREM 2.7中，直接使用积分形式（2.9）可能有用，也可能无用。对于（y，ν，β，x）=（0.1，1.0，0.2，0.2）（收敛性保持不变），在这种情况下，零处的质量是P∞= 20.833%.使用定理2.7，下表使用序列（P（n）计算误差∞):n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 | P- P（n）∞| 6.43E-3.41E-4 2.13E-05 1.43E-06 1.01E-07 7.29E-09计算时间（秒）6.8E-05 8.6E-05 1.3E-4 1.9E-4 2.2E-4 2.6E-4下表使用Python scipy求积工具包计算积分（2.9）；在不相关SABR模型中，积分在某个任意值R>0时被截断：质量为零，隐含波动渐近7R=20 R=40 R=60 R=80 R=100 R=120绝对误差2.33E-4 1.07E-4 6.77E-05 4.90E-05 3.81E-05 3.11E-05计算时间（秒）7.6E-3 7.9E-3 8.9E-3 9.2E-3 9.6E-3 9.9E-3这些结果表明级数展开的收敛速度非常快。特别是，当n=0时，极限值（2.10）会产生非常精确的结果，从而可以简单地解释模型的每个参数对原点大时间质量的影响。备注2.9。原则上，人们可以将这些数值与蒙特卡罗模拟进行比较。

然而，据我们所知，对于ABR模型，此类方案的收敛速度尚未得到证明，因此人们可能会对模拟生成的数字提出质疑。此外，已知[11]在零附近的临界区域，蒙特卡罗方法容易产生模拟偏差。然而，为了与上述结果进行比较，我们在下面第2.3.1节中包含了蒙特卡罗算法生成的质量的一些相应值。2.3.1. 大量的数字运算。下面我们提供（2.9）中导出的零度大时间质量的一些数值。特别是，我们观察了参数β（图1）以及不相关SDE（1.1）的起点x（图1）的影响。当β趋于1时（从下方），即使对于任意小的x值，零处的质量也在减小。同样，当初始值xin增大时，原点处的质量即使在β=0时也在减小。我们将在下面的第3节中进一步评论质量在金融建模中的重要性。图1。在（y，ν）=（0.015,0.6）（左）和（y，ν）=（0.1,1）（右）的非相关ABR模型中，β对零处大时间质量的影响。图2。初始值xon对零度大时间质量的影响（y，ν）=（0.015,0.6）（左）和（y，ν）=（0.1,1）（右）。这给出了一个“感觉边界”的数字描述：当我们开始离原点足够远的扩散时，零处的质量变小。考虑到其有效性（备注2.9），我们将M=1000和8 ARCHIL GULISASHVILI、BLANKA HORVATH和ANTOINE JACQUIERM=2000路径的蒙特卡罗模拟获得的零质量值以及不同时间范围内的相应计算时间示例纳入比较。结果表明，对于15年的到期日，已经实现了“长时间”制度。

[13，第4节]对此现象进行了解释。如上文第2.3节所述，我们使用了参数（y，ν，β，x）=（0.1,1.0,0.2,0.2），其中0处的准确质量为P∞= 20.833%.T=10 T=15 T=20 T=30 T=50 T=100蒙特卡罗质量（M=1000）0.1889 0.2020 0.2100 0.2110 0.2050 0.2090计算时间（以秒为单位）3.222 3.185 3.221 3.179 3.163 3.178T=10 T=15 T=20 T=30 T=50 T=100蒙特卡罗质量（M=2000）0.2100 0.2075 0.2050.2100 0.2075计算时间（以秒为单位）6.4437 6.8386.4805 656.3723。隐含波动率和小的履约扩展隐含波动率是Black-Scholes波动率参数，允许匹配观察（或计算）的欧洲期权价格；这显然取决于罢工和到期日（更多细节参见示例[16]）。给定一个模型，计算隐含波动率的经典方法是（i）计算看涨期权（或看跌期权）的价格，以及（ii）反转布莱克-斯科尔斯公式。这两个步骤在数量上都要求很高，几乎无法提供关于隐含波动率微笑行为的见解。另一条促使在金融中使用渐近方法的途径是获得微笑的闭式展开式（对于小型/大型到期日，或打击）；然而，作为渐近结果，当某些参数不够小/足够大时，它们可能会失去准确性。Hagan等人[26]的“经典”近似就是这样一个公式，尽管在某些地区表现出了一些缺陷，即套利，但从业者已经广泛使用了这个公式。如果考虑到Dirichlet边界条件下质量在零度处的累积，这种异常现象原则上是可以纠正的。让我们回顾一些（独立于模型）关于隐含波动率的小罢工渐近性的结果。对于任何走向K>0和到期日T>0，让我们用它（K）表示隐含波动率。

在零质量为正的情况下，隐含波动率的小尾满足[32]：（3.1）lim supK↓0IT（K）p | log K |=rT。这种行为最近由德马尔科、希尔莱特和杰奎尔[12]重新定义，后来由古利萨什维利[20]重新定义。假设P（XT）≤ （K）- P（XT=0）=O（对数K|-3/2）当K趋于零时，DeMarco、Hillairet和Jacquier[12，命题3.1]推导出小罢工渐近公式（3.2）IT（K）=r2 | log K | T+N-1（公吨）√T+（N-1（mT））+2p2T | log K |+（N）-1（公吨）4 |原木K|√T+O|日志K|-3/2,式中，mT:=P（XT=0）是原点处的质量，N是高斯累积分布函数（可在[20]中找到（3.2）的替代公式）。与Ob l\'oj的比较[36]。Ob l\'oj[36]在SABR模型中推导出了[26]中的隐含波动率扩展的定义版本。然而，正如我们在图3.1中所示，这个公式展示了小规模罢工的套利行为。正如Gatheral[17，引理证明2.2]所解释的，对数价格对数（X）（或对数远期利率）的密度可以直接用隐含的波动率表示，负密度显然会产生套利机会。在图3.1中，我们直观地量化了哈根的扩展在起源地马萨特存在的情况下对小罢工的“错误”程度。我们绘制了K7→ 它（ek）pT/| k |，从（3.2）开始，必须以√2以避免套利，并将其与（3.2）的一阶和二阶进行比较，使用（2.9）计算（大时间）质量为零。我们考虑两个参数集，一个是大时间质量较小的参数集，另一个是在原点产生大质量的参数集。随着质量变小，哈根（orOb l’oj）近似值变得更精确。如上文第2.3.1节所示，当参数βgetsclose为1时，这一点尤其成立。

在β=1的极限范围内，质量变为零。不相关SABR模型中的零质量和隐含波动性渐近9图3。从隐含的可用性扩展[36]中获得的对数过程对数（X）的密度（右）（左）（ν，β，ρ，X，y，T）=（0,1,0.6,0.05,0.5,1.2）。使用（2.1）计算的零质量等于4.5%。图4。黑线表示水平√2.左图的参数为（ν，β，ρ，x，y，T）=（0.3,0,0,0.35,0.05,10），右图的参数为（ν，β，ρ，x，y，T）=（0.6,0.6,0,0.08,0.015,10）。在这两种情况下，Ob l\'oj的隐含波动率扩张显然违反了这一上限。左图的大时间质量为28.3%，右图为3.1%。3.2. 与安东诺夫·科尼科夫·斯派克特的比较[6]。在ρ=0的不相关情况下，安东诺夫、科尼科夫和斯派克特[6]推导了看涨期权价格的二重积分公式：E（XT）-K） +=（X）-（K）++√XKπ（Zs+s）-sin（ηη（s））sinh（s）G（νT，s）ds+sin（ηπ）Z∞s+exp(-ηψ（s）sinh（s）G（νT，s）ds），其中η：=1/| 2（β- 1 |，q:=K1-β1-β、 q:=X1-β1-β、 s±：=Arcinhνy|q±q|,ν（s）：=2阿尔坦辛（s）- 新罕布什尔州（s）-)新罕布什尔州（s+）- sinh（s）和ψ（s）：=2arctanhssinh（s）- 新罕布什尔州（s+）新罕布什尔州（s）- 新罕布什尔州（s）-).函数G定义为积分G（t，s）：=2 exp(-t/8）t3/2√πZ∞苏科什（u）-cosh（s）exp-u2t杜。在图3.2中，我们比较了安东诺夫-科尼科夫-斯派克特公式（计算二重积分并对布莱克-斯科尔斯公式进行数值反演）和封闭式尾部公式（3.2）得出的微笑，其中使用了从（2.9）计算出的零度大成熟度质量。在[3]之后，我们考虑以下一组参数：（ν，β，ρ，x，y，T）=（0.8,0.1,0,0.1,0.15,20），其中0（2.9）处的大成熟度质量等于63%。10 ARCHIL GULISASHVILI，BLANKA HORVATH和ANTOINE JACQUIER4。

结论SABR模型是固定收入办公桌上数学建模的支柱，但在低利率环境中，该过程可能以非零概率触及原点，在大多数现有近似（从业人员使用）中创造了套利机会。在本文中，我们致力于为该质量提供准确的零估计，以便（i）量化现有近似所产生的误差，以及（ii）建议对低打击的隐含波动率微笑进行替代参数化，确保不会出现套利机会。附录A.第2A节的证明。1.命题2.5的证明。我们的证明受[18]的启发，它基于逆空间变换方法。从[10，第645页]，函数Myhas的拉普拉斯变换是一种闭式表示，即当u>-3/2且z>0，my（u，z）=L-1uΓ(u ++√u） Γ（1+2）√u） M-u,√u（2z）,其中，函数M通过标识符M（x）与Kummer函数M函数相关≡ xm+1/2exp-十、MM- n+，2m+1，x.因此，我们可以写，对于一些R∈ R、 （A.1）my（u，z）=e-z2iπZR+i∞R-我∞euyΓ（u）++√u） Γ（1+2）√u） （2z）+√嗯u ++√u、 1+2√u、 2z杜。由于我们希望确定myas y（等价地，t）趋向于零的行为，我们需要理解被积函数的极限，因为u趋向于完整。下面的渐近关系在v中一致地表示为v=√u趋于一致：（A.2）Γ（1+v）=√2πe-vvv+1/21+O（v）-1)还有Mu+v，1+2v，2z~ 简单第一个是标准[35，第3.5节]。

至于第二个，代表性（2.6）屈服主义+ v+u，1+2v，2z=∞Xk=0γk（2z）kk！，在哪里，为了k≥ 0，γk:=（u+v+···（u+v+k）-)（1+2v）（2+2v）·（k+2v）。显然是|γk |≤ 2.-kγk~ 2.-kas v趋向于完整性，从[1，公式13.6.3]中，我们得到+ v+u，1+2v，2z≤ M+ v、 1+2v，2z= Γ（1+v）ezZ-vIv（z），不相关SABR模型中零质量和隐含波动性渐近11，其中Iv再次表示第一类修正贝塞尔函数[10，第638页]，因此，使用（A.2）和[18，等式9]，我们在v中一致，M+ v+u，1+2v，2z≤ Γ（1+v）ezZ-vIv（z）=ez1+O五、-1..因此，（A.1）中的被积函数读取Φ（u，y，z），因为u趋于完整≡ euyΓ（u）++√u） Γ（1+2）√u） （2z）+√嗯u ++√u、 1+2√u、 2z~ evy+v+zzv+vu-五、--v=expvy+αv+u -- 五、对数（v）+z+对数（z）=: 经验ψy（u）+z+log（z）.式中α：=1+log（z）-日志（2）∈ R、 其中函数ψy由（A.3）ψy（u）定义≡ 嗯-√u对数（u）+α√u+u -日志（u）。对于足够小的y>0，鞍点方程uψy（u）=0或2u- 1+4uy+2（α- 1)√U-√u log（u）=0（即（2.7））允许解uy>0。这个鞍点方程可以改写为（A.4）y=log（uy）√uy+1-α√uy公司-(u -1/2）2uy。备注A.1。注意，鞍点方程也为readsy=log（u）√2u-ρ√2u-4u -24u，其中ρ：=log（z/√2） 和u:=2uy，这让人想起[18]的情况。事实上，上面的鞍点方程不允许唯一解；为了使后者是连续的（作为y的函数），我们应该采取最大的解决方案。在[18]之后，我们对鞍点Uy周围（A.1）中的积分轮廓进行变形，以获得（A.5）my（u，z）=e-z2iπZR+i∞R-我∞Φ（u，y，z）du~√z2iπZR+i∞R-我∞eψy（u）du~√z2iπZuy+i∞uy公司-我∞eψy（u）du，当y趋于零时。设λ表示实积分变量，因此u=uy+iλ。

在叠加点（λ=0）附近，我们有一致泰勒级数展开式：√u=√uy+iλ√uy+λ8u3/2y+Oλu5/2y！，logu=loguy+iλuy+λ2uy+Oλuy,√日志=√uylog uy+（2+log（uy））iλ√uy+log（uy）λ8u3/2y+O（1+log（uy））λu5/2y！，所以（A.6）ψy（u）=uyy+√uy公司α -日志（uy）-对数（uy）+u对数（uy）-Myλ+O“λ（1+log（uy））u5/2y#其中λ前面的系数从鞍点方程（2.7）中抵消，其中My:=log（uy）16u3/2y-α8u3/2y+1- 2u8uy，如提案2.5所定义。通过自举（详见A.1.1节），扩展（A.7）uy=log（y）4y1.-2对数对数（1/y）对数（y）+对数（z）对数（y）+o对数（y）12当y趋于零时，阿切尔·古利萨什维利、布兰卡·霍瓦思和安托万·贾奎尔霍尔德代表鞍点，并暗示（A.8）My=ylog（y）1+O对数|对数（y）|对数（y）.因为（A.5）可以重写为asmy（u，z）~√z2iπZuy+ihuy-ψy（u）du~√z2πexp乌伊+√uy公司α -日志（uy）-对数（uy）+u对数（uy）Zh-他-我的λdλ，我们需要确定紧区间上最后一个积分的估计[-h、 h]。正如下面所解释的——在考虑尾部积分的情况下——选择h:=log（y）/y3/2实际上是正确的，并且很容易证明，当y趋于零时，Zh-他-我的λdλ=√π| log（y）| y3/2+OE-对数（y）y-3/2,这意味着我的（μ，z）~√z2πexp乌伊+√uy公司α -日志（uy）-对数（uy）+u对数（uy）√π| log（y）| y3/2=√z2πexp- u+日志（uy）u -- 乌伊+√uy公司√π| log（y）| y3/2=√Z√πexp- u|对数（y）| y3/2u（u-)是的-乌伊+√uy公司=z |对数（y）|√πexp-对数（y）4y+|对数（y）| y+- u1.-日志对数（y）4yy+OY,（A.9）我们在第四行中使用了鞍点方程（A.4）。现在仍然需要证明的是，我们确实可以忽略集成领域的尾部，在这里I（u） =λ≥ h、 对此的分析与[18，第3节]类似，我们在此仅概述主要论点。

首先，指定一个选项h:=log（y）/y3/2of integration bounds，用于说明对积分u+i的主要贡献∞uy公司-我∞exp（ψy（u））du，其中ψ在（A.1）中定义，其中uy表示（A.4）中的鞍点。根据对称性，只考虑尾巴的一侧显然是足够的，因此我们将重点关注正的oneRuy+i∞uy+iheψy（u）du。然后将分析分为研究内尾翼h≤ λ<exp（log（1/t）/4）和外尾λ≥ exp（对数（1/t）/4）。与[18，等式（10）]类似，估算值为Zuy+i∞uy+iheψy（u）du~ 2经验uyt+log（y）- 经验对数（y）外尾翼占优势。对于任何实数B，[18，引理1]对于实数部分的行为仍然有效√u log（u）+B√关于|I（u） |，允许被积函数在λ=h处的值在内尾上方绑定-Myλ|λ=h~ -log（y）乘以积分路径的长度，其阶数为elog（1/t）/4；因此，相对误差为orderexp(-对数（y）+o（对数（y）））。展开式（A.9）中误差分析的最后一部分来自[18，表1]的类似估计，以及完成高斯积分P2MYZ后产生的总（两个尾部）误差∞H√2Myexp-ωdω~p2Myexp-ωωω=h√My=exp-对数（t）+o（对数（t））.（A.10）O阶ψyis的局部展开式（A.6）的误差O（λ/u5/2y）对数（y）√Y,不相关SABR模型中的零质量和隐含波动性渐近13，这是从My和uy的自举（A.8），（A.7）以及从h，λu5/2y的选择中直接得到的≤ 阻塞（uy）u3/2yuylog（y）y3/2~ C对数（y）√y、 因此，如果MyIs未展开，则总相对误差由局部展开的误差（A.10）和MyIs自举展开的相对误差（A.8）决定。A.1.1。我的公司扩张的正当性。