不相关SABR模型中的零质量与隐含波动率

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英文标题：
《Mass at zero in the uncorrelated SABR model and implied volatility
  asymptotics》
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作者：
Archil Gulisashvili, Blanka Horvath, Antoine Jacquier
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study the mass at the origin in the uncorrelated SABR stochastic volatility model, and derive several tractable expressions, in particular when time becomes small or large. As an application--in fact the original motivation for this paper--we derive small-strike expansions for the implied volatility when the maturity becomes short or large. These formulae, by definition arbitrage free, allow us to quantify the impact of the mass at zero on existing implied volatility approximations, and in particular how correct/erroneous these approximations become.
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中文摘要：
我们研究了不相关SABR随机波动率模型中原点的质量，并推导了几个易于处理的表达式，尤其是当时间变小或变大时。作为一个应用——实际上是本文的原始动机——我们推导出了当到期日变短或变大时隐含波动率的小罢工扩展。根据无套利的定义，这些公式允许我们量化零质量对现有隐含波动率近似值的影响，尤其是这些近似值的正确/错误程度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Mass_at_zero_in_the_uncorrelated_SABR_model_and_implied_volatility_asymptotics.pdf (350.07 KB)

2022-5-7 14:46:21 上传

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关键词：SABR 波动率 SAB Applications Quantitative

在不相关的SABR模型中，零质量和隐含的易失性无症状Sarchil GULISASHVILI、BLANKA HORVATH和ANTOINE JACQUIERAbstract。我们研究了不相关SABR随机波动模型中原点处的质量，并推导了几个易于处理的表达式，尤其是当时间变小或变大时。作为一个应用——实际上是本文的原始动机——我们推导出了当到期日变短或变大时隐含波动率的小罢工扩展。通过定义无放射性，这些公式允许我们量化零质量对现有隐含挥发性近似值的影响，尤其是这些近似值的正确/错误程度。1.简介Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward在[24,26]中引入的随机阿尔法、贝塔、rho（SABR）模型现在是利率市场[2,4,7,38]的关键组成部分，并已成为行业标准。它由一对耦合的随机微分方程（1.1）定义，dXt=YtXβtdWt，X=X>0，dYt=νYtdZt，Y=Y>0，dhZ，W It=ρdt，其中ν>0，ρ∈ (-1, 1), β ∈ （0,1），以及W和Z是过滤概率空间中两个相关的布朗运动(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。它的流行源于隐含波动率的可处理渐近扩展（源自[24]），以及捕捉观察到的波动率微笑的能力；因此，使用上述扩展可以更容易地进行校准。然而，在当今的低利率和高波动性环境中，通过这种扩张获得的隐含波动性可以为（1.1）中的价格过程X产生负密度函数，因此表现出套利。Hagan等人[25]、Balland和Tran[7]以及Andreasen和Greg[2]直接解决了低利率环境中的负密度问题，他们提出了对原始SABR模型的修正。

渐近公式本身有几个条件：在[36]中，Ob l\'oj fine调整了前导顺序，Paulot[37]提供了二阶项。在某些参数范围内，绝对连续部分（0，∞)) 关于X的分布：在不相关的情况下ρ=0，通过应用时变技术，在[3,28]中获得了公式。相关的情况要困难得多，在[3,4]中使用投影方法和[23]中使用几何工具推导了近似值。除计算成本外，SABR过程分布的可用性相当于计算任何欧洲价格。然而，这需要计算，而不仅仅是分布的连续部分（在（0，∞)), 但它的起源也是独一无二的。在原点吸收边界条件确保远期利率过程X是真正的鞅，日期：2016年11月23日。2010年数学科目分类。58J37，60H30，58J65。关键词和短语。SABR模型，渐近展开，隐含波动率。作者要感谢Rama Cont和Josef Teichman发起了ETH帝国学院系列研讨会，该项目就是在这里发起的。伯克希尔哈撒韦感谢莱夫·德奥林和莱昂尼德·迈特尼克对时间变化技术的讨论。伯克希尔哈撒韦公司感谢瑞士国家基金会（SNF）提供的2015年后早期流动补助金165248的财政支持。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财政支持。

这些数字实现是在协作平台Zanadu（www.Zanadu.io）上进行的。2 ARCHIL GULISASHVILI、BLANKA HORVATH和ANTOINE Jacquie因此，单个零件可以累积质量，这取决于过程的起始值、参数配置和时间范围。当EV指数β接近于零，或者当波动率ν的波动率较大时，对于长期衍生工具，原始的渐近公式通常会失去准确性。参数β控制微笑的动态，当渐近公式失败时，通常会选择较小的参数值，即在远期利率接近于零的市场上，以及在长时间内[7,24]。事实上，原始公式——这是对小值νT的渐近展开——在大到期日时崩溃并不奇怪，但众所周知，SABR公式不一致的原因比这更微妙。我们在这里强调的是，零质量也可以对这种情况下的不规则性负责。当过程保持严格正态时，标准数值方法被证明是可靠的，但计算SABR模型在原点的概率质量是一个更微妙的问题。由于原点的奇异性，在这一点上违反了确保数值技术（有限差分或蒙特卡罗）稳定性的常规规律性假设，并且（目前）还没有对这些方法进行严格的误差分析。此外，对于短时间尺度，生成参考值变得具有计算紧张性。由于SABR模型的流行很大程度上是由于其渐近公式的可处理性，因此在考虑零质量的同时，应着眼于保持它。

参数集ρ=0或β=0是最容易处理的，事实上（如[13]中所观察到的），也是唯一可以预期SABR过程具有某些有利规律性的参数集。因此，我们在这里集中讨论这些区域分布的奇异部分，也就是说，我们研究概率P（XT=0），并提供易于处理的公式和渐近近似。最近的结果[5]强调了这些参数配置的相关性，这表明aso称为“混合”SABR（结合ρ=0和β=0的情况）方法，以无套利的方式处理负利率。从建模角度来看，人们可能会质疑零吸收边界条件在金融环境中的相关性，在金融环境中，实际可能会出现负利率。实际上，从随机分析的角度来看，当β=0时，没有必要施加这样的边界条件。然而，值得注意的是，正如[5]中所指出的，即使在利率为负的市场条件下，利率的历史演变也表明，利率的动态过程遵循概率分布在原点处呈现奇异性的过程，这使得零利率下的质量计算也与这些市场情景相关。另一个应用是直接逼近隐含波动率的左翼。为了理解SABR微笑的小冲击行为，有必要确定原点处的概率质量：隐含波动率的渐近近似值是可用的，不仅适用于小型和大型到期日，也适用于极端冲击。罗杰·李（Roger Lee）著名的时机公式[32]——随后由Benaim and Friz[9]和Gulisashvili[22]重新定义——将小走向K和成熟度T的隐含波动率IT（K）的行为与原点附近的价格过程X的行为联系起来。

De Marco、Hillairet和Jacquier[12]以及后来的Gulisashvili[20]表明，当基础分布中的一个原子为零时，隐含波动率的小范围行为仅由该质量决定，而与（0，∞). 我们将在（不相关的）SABR模型中，使用概率质量的近似值，在数值上证实这一点，与[6]一致。在第2节中，我们推导了SABR模型中有限时间和不相关情况下大时间的零P（XT=0）质量的显式公式。在此假设下，可以将分布分解为一个CEV分量和一个独立的随机时间变化。在[3,11,28]中，这种时变技术已应用于未相关情况下的SABR模型，以确定（0，∞). 因此，我们的公式通过提供分布的奇异部分来补充这些（关于随机波动模型中的时间变化技术的更多细节，请参见[27,40]）。在第2.2节和第2.3节中，我们从Borodin和Salminen[10]、Gerhold[18]的著作中得到了时变布朗运动密度的渐近展开式，也就是说，在一定时间内，速率“保持”为零，详见[5]。在不相关的SABR模型和隐含的波动性渐近3Matsumoto和Yor[34]中，零质量——我们用它来推导原子在短时间和大时间原点的行为。最后，在第3节中，我们使用这些结果来确定SABR隐含波动率的左翼（小罢工）。利用[12,20]中提供的公式，我们强调了一些广泛使用的展开式在左翼表现出套利的事实，并提出了一种在这个可套利区域对其进行正则化的方法。2.

不相关SABR模型中零质量（1.1）中的价格过程X是鞅[31，备注2]。如果我们考虑状态空间[0]上的X，∞), 可以获得的起源必须是吸收[29，第三章，引理3.6]。对于两个函数f和g，我们将写出f（z）~ g（z）当z趋于零时→0f（z）/g（z）=1.2.1。质量的分解公式。在相关系数ρ为零的情况下，可以半显式地计算原点处的质量。以波动过程Y的路径为条件，由此产生的过程Bx满足CEV随机微分方程Bxt=bYtbXβtdWt，从Bx=x开始，这是一个与时间相关的确定波动系数，表示固定ω∈ Ohm, 一种对Y之路的认识。现在考虑从x开始的简单CEVequation deXt=eXβtdwt，setbGt:=bX2（1-β） t（1）- β） andeGt:=eX2（1）-β） t（1）- β).然后bgt=ZRtbYsds，其中Z是满足SDE[28，第1.1小节]dZt=1的贝塞尔过程-2β1 -βdt+2p | Zt | dWt，Z=x2（1-β)(1 - β).通过它^o的公式，过程eG求解相同的SDE，因此Z=eG，因此bx=eXR·bYsds。因此，X可以通过使用随机时间变化t7从ex获得→RtYsds，namelyXt=eXRtYsds。由于这种时间变化与ofeX无关，我们可以将SABR模型的零点质量分解为零处CEV分量的质量，并且时间变化的密度：（2.1）P（Xt=0）=Z∞PeXr=0PZtYsds∈ 博士dr，其中CEV模型中的零质量由（见[12]或[30，第6.4.1节]）（2.2）P给出eXr=0= 1.-Γ2(1 -β） ，x2（1）-β） 2r（β- 1)!,使用Γ，归一化的下不完全伽马函数：Γ（v，z）≡ Γ（五）-1Rzuv-1e-乌杜。备注2.1。如果β∈ [1/2,1）在（1.1）中，原点是自然吸收的，零处的质量由（2.2）给出∈ [0，1/2），（1.1）的解不是唯一的，必须在原点施加边界条件。

如果认为原点是反射的，则过渡密度将保持正常，原点处不存在质量。然而，很容易看出，如果来源是反射的，就存在套利机会。公式（2.2）适用于β情况∈ [0，1/2）当原点被假定为吸收时，我们将从现在开始一直考虑这一点。这当然与上文提到的[29，第三章，引理3.6]是一致的，它指出原点必须吸收非负的超鞅。因为每个人≥ 0，正态分布，我们可以写出（2.3）PZtYsds∈ 博士= PZtexp2νZ(-ν/2）sds∈ 德,4阿切尔·古利萨什维利、布兰卡·霍瓦思和安托万·贾奎尔：R=ry，Z(-ν/2）s:=Zs-νs；该泛函的密度由[10，公式1.10.4]（2.4）P给出Zte2νZ(-ν/2）十二烷基硫酸钠∈ 德=1/4√νer3/4exp-νt-4νerm2νt-,4νerder，其中函数m定义为[10，第645页]：（2.5）my（u，z）≡8z3/2Γ（u+）eπ4yπ√2πyZ∞E-z cosh（2u）-好吃-u，，2z正弦（u）辛（2u）辛πuy其中Kummer函数M读取（2.6）M（a，b，x）≡ 1 +∞Xk=1a（a+1）。（a+k）- 1） xkb（b+1）。（b+k）- 1） k！。2.2. 小时间渐近性。我们现在研究质量在零P（Xt=0）时的行为。像散变小。主要的挑战是为时间变化过程的密度提供一个短时渐近公式，标准的展开技术不适用于该公式。由布朗运动指数上的积分密度所产生的加性泛函经常出现在亚式期权的定价中，它本身就很有趣。众所周知，由于哈特曼-沃森分布[33,34]和[21，第4.6节]中的一个高度振荡因子，这种密度很难在短时间内进行评估。这些数值问题在[8]中进行了讨论，Gerhold[18]使用鞍点方法来提供短期估计。

由于时间的变化和Kummer函数（在被积函数中）的复杂性，质量在零处的小时间渐近性无法直接估计。相反，受[18]启发，我们使用逆拉普拉斯变换方法来提供时间变化密度的小时间渐近估计。从（2.4）和（2.5）中，我们引入符号y:=2νt，为了简化下面的一些公式，我们将在这两个符号之间交替使用，而不会产生歧义。备注2.2。对于 := 1/y，函数m的形式为m（·）=cR∞E-UF（u） 杜，对于一些c和f. 人们可能会尝试使用标准的拉普拉斯方法来确定m的行为像 倾向于不完整。然而，在悲伤的时刻*= 0，在积分域的左边界处，函数f的所有导数–显示为展开系数–为空，且该方法不适用。我们现在给出了本文的主要结果之一，它描述了不相关SABR模型中零质量的小时间行为。对于每个r，y>0，让uy表示方程（2.7）2u的最大（正）解- 1+4uy+2对数（z/2）√U-√u log（u）=0，其中z:=y4νr。显然，uy依赖于r，但我们将在符号中省略这种依赖性。设置（2.8）My:=log（uy）16u3/2y-α8u3/2y+1- 2u8uy。以下基于（2.1）和（2.2）的定理提供了马萨特零点的短时估计。如证明所示，被积函数的展开是通过鞍点分析和复杂的轮廓变形来实现的。然而，精确的误差估计需要大量的额外工作和新技术，我们希望在未来的出版物中开发这些技术。本文后面进行的数值计算有力地证实了我们的结果。定理2.3。

在不相关SABR模型中，渐近等价Cep（Xt=0）~y3/2e5/47/4√νπexp-νtZ∞经验日志（uy）u -- 乌伊+√uy公司当t趋于零时，g（r）pMydr保持不变，其中g（r）≡ PeXr=0r5/4exp-y4νr.定理2.3来自（2.1）和下面的断言。不相关SABR模型中的零质量和隐含波动性渐近5比例2.4。当y（等价于t）趋于零时，我们有（回忆一下y=2νt）PZtYsds∈ 博士~y3/2e5/4r5/47/4√νπexp-Y-y4νr经验日志（uy）u -- 乌伊+√uy公司drpMy。证据的技术部分依赖于附录A.1中证明的以下命题。提议2.5。当y趋于零时，函数myin（2.5）满足y（u，z）~√z exp- u2πexp日志（uy）u -- 乌伊+√uy公司rπ我的。备注2.6。命题的证明使用鞍点分析。鞍点是（2.7）的解，但不接受封闭形式的表达式；然而，正如在证明中所看到的，当y趋于零时，可以将其展开以获得y（u，z）=√z |对数（y）|√πexp-对数（y）4y+|对数（y）| 2y+- u1.-日志|对数（y）|2yy3/2+Oy3/2,但数值计算表明，这种估计并不十分准确。2.3. 大时间渐近性。我们现在集中讨论不相关SABR模型中零质量的大时间行为。根据[10，公式1.8.4，第612页]，公式Z∞经验2νZ(-ν/2）sds∈ 德=呃-3/2ν√2πexp-2νerderholds，所以分解（2.1）和（2.3）意味着（回忆一下er=ry）P∞:= 极限↑∞P（Xt=0）=yν√2πZ∞\"1 -Γ2(1 -β） ，x2（1）-β） 2r（β- 1)!#R-3/2exp-y2νrdr=1-yν√2πZ∞Γ2(1 - β） ，x2（1）-β） 2r（β-1)!R-3/2exp-y2νrdr.（2.9）当β=0（=ρ）时，SABR模型（1.1）简化为双曲平面上的布朗运动（直到确定的时间变化），简单计算表明（2.9）简化了顶部∞|β=0= 1 -πarctanνxy.当β6=0时，（2.9）中的积分没有闭合形式的表达式。