泊松分布中最优报价时的平稳分布

与最佳报价的假设类似，我们假设最后一份股票不能取消，以便队列大小不会降至零（通过定义订单簿的下一个非空限制）。根据这些假设，第二个极限的书的大小是过程{1+Y（t），t∈ [0, ∞)} 微型发电机内-λg2,1λg2,2λg2,3λg2,4。θ-（λ+θ）λg2,1λg2,2λg2,3。0 2θ-（λ+2θ）λg2,1λg2,2。0 0 3θ-（λ+3θ）λg2,1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. （7） 该过程为平稳分布（ρ2，i）i∈N、 显然π2，i=ρ2，i-1.编写经典平衡方程并求解生成函数ψ（z）的导出常微分方程=+∞Xn=0ρ2，nzn，我们得到：ψ（z）=ρ2,0eλθRz1-G（u）1-udu（8），其中G（u）=∞Xn=0g2，iUI是书中提交的限额订单大小分布的生成函数。因此，如果我们在最佳报价和书内分别指定传入限制订单的分布和大小，并且如果后续计算是可分析可压缩的，那么我们可以解析地导出分布π。我们研究了model1设置的两种变体：oModel 1a:Model 1a假设在最佳报价或书内提交的所有限价单都是单位大小的，即g1,1=g2,1=1和g1，n=g2，n=0，适用于任何n≥ 2.这种假设通常是在零智能模型中做出的，这些模型寻求某种分析的可处理性（参见例如Cont等人，2010年）模型1b：模型1b假设在最佳报价处或书内提交的所有限价单都是几何分布的，参数分别为0<q<1和0<q<1。该假设已在Mun i Toke（2014）中使用，该假设已用于计算订单簿的总体平均形状。现在陈述这两个案例的结果。提议2（模式1a）。

如果在最佳报价或书内的所有限价指令都是单位大小的，那么平稳分布（πj）j∈N*最好的报价是：πj=（λ+uA）∞Xi=1himin（i）-1，j-1） Xk=0我- 1k（j）- 1.- k） !！λθJ-1.-k×Z∞E-（λ+u）te-kθt（1）- E-θt）i+j-2.-2ke-λθ(1-E-θt）dt，（9）andhi=λg0，iuA+λ+uAuA+λe-λθ（λ）i-1（θ）i-1（i）- 1)!. （10） 证据。单位尺寸假设给出了G（z）=z，而在等式（6）中，这使得后者可以直接求解为：ηi（z，t）=h1- (1 - z） e-θtiiexpλθZ- (1 - z） e-θt, （11） 然后，通过一些计算，使用Leibn-iz微分公式，给出了转移概率：rij（t）=min（i，j）Xk=0i！K（一）- k） !！（j）- k） !！λθJ-柯-kθt（1）- E-θt）i+j-2ke-λθ(1-E-θt）。（12） 将两个指数移动1，乘以hi，对i求和，取拉普拉斯方程（9）。此外，仍然使用单位尺寸假设，等式（7）中定义了发生器的过程的平稳分布是参数为λθ的泊松分布。这很容易给出一个公式（10）。提议3。（模型1b）如果在最佳报价和账簿内提交的所有限额订单均为i.i.d.且分别以参数qa和qr进行几何分布，则平稳分布（πj）j∈N*最好的报价是：πj=（λ+uA）”∞Xi=1hiqλθmin（i）-1，j-2） Xk=0我- 1k（j）- 1.- k） !！J-2.-kXl=0J- 1.- 吉隆坡(-1） l×lYα=1λθ- α(1 - q）J-2.-K-lYβ=1λθ+ β(1 - q）×Z+∞(1 - E-θt）i-柯-（l+k）θthq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q）-L-1e-（λ+u）tdt+∞Xi=jhi我- 1j- 1.Z+∞E-（j）-1） θt（1）- E-θt）i-jhq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q） e-（λ+u）tdt#，andhi=λg0，iuA+λ+uAuA+λqλ（1-q） θ（1）- q） 我-1（i）- 1)!Γ（i）- 1 +λ(1-q） θ）Γ（λ（1）-q） θ）。（13） 证据。书中极限指令大小的几何分布假设g（z）=qz1- (1 - q） z.利用G的这个定义，我们可以解方程（6）得到：φi（z，t）=[1- (1 - z） e-θt]iq+（1）- q） （1）- z） e-θt1- (1 - q） zλθ(1-q） 。

（14） 莱布尼兹微分公式和一些计算导致瞬态概率：rij（t）=qλθmin（i，j-1） Xk=0i！K（一）- k） !！（j）- k） !！(1 - E-θt）i-k+1×j-1.-kXl=0J- 1.- 吉隆坡(-1） 乐-（l+k）θthq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q）-L-1×lYα=1λθ- α(1 - q）lYβ=1λθ+ β(1 - q）+ 1j≤我ijE-jθt（1）- E-θt）i-jhq+（1）- q） e-θtiλθ（1）-q） 。（15） 与前一种情况一样，将指数移动1，乘以hi，对i求和，并采用拉普拉斯变换得到方程（13）。现在，对于在第二个极限处作用的体积的平稳分布，假设极限阶的几何分布大小为G（z）=qz1- (1 - q） z和等式（8）通过推导和一些计算得出：我∈ N、 ρ2，i=qλ（1）-q） θ（1）- q） 二！Γ（i+λ（1）-q） θ）Γ（λ（1）-q） θ），（16）因此结果。注意，分布（ρ2，i）i∈Nis是一个具有非整数尺寸参数λ（1）的负二项分布（或多元分布）- q） θ和概率参数q（参见例如Feller，1968年，第六章）。4同时具有部分和积极市场订单的模型PE-2模型允许同时提交部分和积极市场订单，即u>0和uA>0。对于这两种类型的市场订单，上一节的直接方法无法提供分析上可处理的结果。因此，我们提出了不同的策略。在本新闻中，我们可以保持模型的分析可处理性，但前提是假设直接影响最佳报价的ClassicRecorder是单位大小的。这是唯一的限制：在价差内或书内提交的订单可以进行一般分发，而激进的市场订单仍然以相同的方式定义，显然，其大小等于最佳报价的数量。

在这个假设下，最好的引用是出生和死亡过程，我们可以计算其转移概率的拉普拉斯变换，可以用连续分数表示。最初的结果可以追溯到Murphy&O’Donohoe（1975年），但在Crawford&Suchard（2012年）中发现了该结果的现代创新。因此，我们能够在最佳报价下研究可用容量的静态分布，并使用最小生成器（1）和u>0计算过程的瞬时概率（据我们所知，这种计算仍然是一个未解决的挑战）。假设以最佳报价提交的部分市场订单和限额订单都是单位规模的。然后，过程Y，在没有任何价格变动的情况下，在最佳报价（minusone）下转换数量的演变，是一个出生和死亡过程，对于任何n，出生移民率λ为常数，死亡移民率u+nθ为线性≥ 0.设（qm，n（t）），（m，n）∈ N、 t∈ [0, ∞)是过程Y的转移概率，和（^qm，n（s）），（m，n）∈ N、 s∈ C他们的Laplacetransform，如果存在的话。让（Bn（s））n∈n由两步递归定义的实序列：（B（s）=1，B（s）=s+λ，Bn（s）=（s+λ+u+（n- 1） θ）Bn-1.- λ（u+（n）- 1） θ）Bn-2，n≥ 2.（17）然后，将Crawford&Soch ard（2012，定理1）改编为我们的特例，我们得到了任意（m，n）∈ 确保我≤ n：^qm，n（s）=λn-m^a^b+^a^b+^a^b+。。。，λn-m^a（s）^b（s）+^a（s）^b（s）+^a（s）^b（s）+。

（18） （符号是定义等式，它为连续分数引入了简化的符号。）在上述等式中，序列（^ai）i∈N*（^bi）我∈N*定义如下：^ai=Bm（s）如果i=1，-λ（u+（n+1）θ）Bn（s）如果i=2，-λ（u+（n+i）- 1） θ）如果我≥ 3、（19）和^bi=Bn+1（s）如果i=1，s+λ+u+（n+i）- 1） θ如果我≥ 2.（20）任意（m，n）的结果∈ 确保我≥ n类似地写为：^qm，n（s）=mYj=n+1（u+jθ）α（s）β（s）+α（s）β（s）+α（s）β（s）+α（s）β（s）+。（21）其中序列（^αi）i∈N*和（^βi）i∈N*定义如下：αi=Bn（s）如果i=1，-λ（u+（m+1）θBm（s）如果i=2，-λ（u+（m+i）- 1） θ）如果我≥ 3、（22）和^βi=Bm+1（s）如果i=1，s+λ+u+（m+i- 1） θ如果我≥ 2.（23）因此，拉普拉斯变换（^qm，n（s）），（m，n）∈ N、 s∈ C是可数值计算的，使用适当的数值方法计算连续函数。如果我们现在回到杀死和复活马尔可夫过程，我们有下面的结果。命题4（2型模型）。如果以最佳报价提交的所有订单都是单位大小的，则以最佳报价提供的数量的平稳分布由等式（3）给出，即πj=（λ+uA）∞Xm=1hm^qm-1，j- 1（λ+uA），其中^qm，n由（18）和（21）给出。如果书中提交的限价单也被假定为单位大小（模型2a），则概率Hm由等式（10）给出。如果假设这些极限阶的大小是几何分布的（模型2b），则概率HM通过等式（13）获得。5经验结果我们现在提供了一项实证研究，允许对前面章节中理论上求解的模型进行比较。5.1数据和主要参数估计2010年1月4日至2月22日期间，我们使用汤森路透的逐笔数据，对巴黎股票交易所交易的11只股票进行了分析。

调查中的11只股票是：AirLiquide（AIRP.PA，化工）、阿尔斯通（Alstom）（也有.PA，运输和能源）、安盛（AXAF.PA，保险）、法国巴黎银行（BNPP.PA，银行）、布伊格（BOUY.PA，建筑、电信和媒体）、家乐福（CARR.PA，零售分销）、达能（DANO.PA，牛奶和谷物制品）、米其林（MICP.PA，轮胎制造）、雷诺（Renault.PA，汽车制造），Sano Fi（SASY.PA，医疗保健），Vinci（SGEF.PA，建筑与工程）。所有这些股票都包含在CAC 40法国指数中，也就是说，它们是巴黎证券交易所市值最大、流动性最强的股票之一。对于每只股票，对于每个可用交易日，我们考虑从上午10:00到下午16:00的数据。m、 ，即在交易日的中心有六个小时。我们的想法是摆脱繁忙的开盘和收盘期，在这里，平稳模型的假设可能很难实现。众所周知，即使在考虑的六个小时内，一个人也会从事季节性活动（金融活动的U型模式），通过日常的周遭调查，可能会得到更好的“固定”结果。然而，即使使用全天样本，我们的模型也能提供令人满意的结果。对于每只股票，对于每个交易日，我们计算总数量和大小的分布：s区内的限额订单；以最佳报价限制订单；以第二个最低价限购；部分市场订单；尖刻的市场指令。

我们还计算了在最佳报价和第二个最佳限值下所提供容量的时间加权经验分布。简单地说，泊松参数λ、λ、λ、u和uA（如果模型需要）的估计量定义为相关事件（激进限价指令、最佳报价时的限价指令、书内限价指令、部分市场指令、激进市场指令）的数量除以时间间隔的长度。对于每种类型的订单，我们还计算它们各自的平均订单大小σ、σ、σ、σu和σuA。至于取消参数，我们没有任何数据允许我们单独跟踪提交的订单，因此我们无法简单地估计平均寿命θ-1和θ-1.取消订单时，以最好的价格在书中注明。然而，我们可以通过使用订单簿的进出流平衡关系得到一个数量级。我们的数据让我们计算出最佳报价和次优报价L下的时间加权平均价值。然后，我们将订单簿中进出股票的平均数量相等，我们设置θ和θ，以便λσ=uσu+uAσuA+θ和λσ=θL。最后，根据我们的理论框架，我们将假设所有部分市场订单都是单位大小的，然后根据平均交易规模重新调整所有规模和数量。由此，我们得到了分布（g0，i），（g1，i），（g2，i）和（π2，i）（如果模型需要）的经验版本，支持度大致包括在1，50（取决于股票的数量级）。5.2拟合模型和基准在上一节中，我们介绍了两种类型的模型（即1型，无部分市场订单，和2型，单位规模部分市场订单），每种类型有两种变体（即a和b）。

在变体a中，分布（g2，i）i∈N*, 它代表书中提交的elimit订单的数量，是原子1上的狄拉克分布。在变量b中，它是参数0<q的几何图形≤ 1.分布（g0，i）i∈N*, 代表价差内提交的限额订单数量，目前尚未具体说明。与其他假设一致，我们将在本经验部分中假设该分布是1不变量a上的Dirac分布，以及参数为0<q的几何分布≤ 1在变体b中。我们现在为我们的模型添加了更多的比较元素。首先，对于每种类型的模型，我们都添加了一个变量c，其中两个分布（g0，i）i∈N*（g2，i）i∈N*与精神上的对应物相等。此外，为了强调机制的重要性，th考虑了积极的订单以及随后的最佳价格的上下波动，我们回顾了以下简单的最佳报价模型作为基准，在该模型中，积极的市场和限制订单被忽略，这相当于在我们的设置中假设一个恒定的价格。该基准将被称为0型模型。在0型模型中，极限订单以λ的速率到达，体积分布为（g1，i）i∈Nm市场订单为单位大小，到达率为u；所有常备股票都有一个（i.i.d.）指数寿命，参数θ>0。因此，很容易得出结论，0型模型中最佳报价的成交量是马尔可夫过程，等式（1）中给出了有限生成元。这个过程允许平稳分布（πi）i∈n防止以下复发：0 = -λπ+ (u + θ)π,0 = -（λ+u+nθ）πn+（u+（n+1）θ）πn+1+λnXi=1g1，iπn-i（n）≥ 1） ，（24）带π=μθZuμθ-1eλθRuH（v）dvdu，-1（25），其中H（u）=1- G（u）1- u、 G是分布（g1，i）i的母函数∈N（参见例如Muni Toke，2014年，第4节）。

我们将考虑两种情况：单位大小的限制订单（模型0a）和具有参数q的几何分布大小的限制订单（模型0b）。根据一般模型，可以假设最后一股不能通过改变分配指数（πi）i来取消或执行∈Nby 1（即在N上*).最后，我们通过模拟最佳报价的一般零智能模型，添加了第二个基准，该模型的所有分布与其经验对应的分布相同。这可以被视为零情报机制的“最佳效果”，既有经典的，也有积极的市场和限制订单，以计算以最佳报价提供的数量分布。注意，在这种一般情况下，我们无法解析地求解分布：这种情况下的分布是通过模拟进行数值估计的。该模拟基准将被称为Type-3模型。表1总结了这里正在研究的模型。在图1中，是股票的经验分布。绘制了sp read中提交的限额订单大小的PA及其几何最大似然图。正如预期的那样，几何似然图（用于模型1b和2b）很好地符合模型类型（g0，i）i∈N（g1，i）i∈N（g2，i）i∈N（π2，i）i∈Nu>0？λ> 0，uA>0？模型0a无单位尺寸无是NoModel 0b无几何无是NoModel 1a单位尺寸单位尺寸Poisson无是Model 1b几何负。二项式无YesModel 1c经验几何无经验无YesModel 2a单位大小单位大小单位大小泊松有YesModel 2b几何单位大小几何负。二项式是是是模型2c经验单位规模非经验是模型3经验非经验是稳定1：不同模型及其变体的总结。斜体表示分布（π2，i）i∈N（分别为。

（g2，i）i∈N） 在这些变体中，不是自由参数，而是（g2，i）i选择的结果∈N（分别为π2，i）i∈N） .0.10.20.30.40.50.60.71经验模型1b和2B模型1c、2c和31e-141e-121e-101e-081e-060.00010.010 5 10 15 20 25经验模型1b和2B模型1c、2c和3图1：分布（g0，i）i∈在s emi对数标度（右图）中，排列、主体（左图）和尾部提交的限制指令大小的N（经验和几何fit）。这些分布是为库存飞机计算的。但所有研究的股票都给出了类似的结果。0.050.10.150.20.250 5 10 15 20 25经验模型1a和2aModel 1b和2bModel 1c，2c和31e-161e-141e-121e-101e-081e-060.00010.010 5 10 15 20 25经验模型1a和2aModel 1b和2bModel 1c，2c和3图2：分布（π2，i）∈N（经验，模型1和d 2a获得的泊松分布，模型1b和2b获得的负指数）以半对数比例（右面板）在第二个最佳报价、主体（左面板）和尾部得到的体积。这些分布是为Stock AIRP计算的。但所有研究的股票都给出了类似的结果。分布的主体，但其尾部变薄，以重现经验分布（模型1c、2c和3中使用的情况）。在图2中，为股票AIRP的经验分布。绘制了第二个最佳报价中提供的卷的PA及其模型副本。正如所料，经验分布与使用单位大小顺序（模型1a和2a）获得的分布非常不同：经验主体向左移动，其尾部更胖。