泊松分布中最优报价时的平稳分布

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英文标题：
《Stationary distribution of the volume at the best quote in a Poisson
  order book model》
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作者：
Ioane Muni Toke
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we develop a Markovian model that deals with the volume offered at the best quote of an electronic order book. The volume of the first limit is a stochastic process whose paths are periodically interrupted and reset to a new value, either by a new limit order submitted inside the spread or by a market order that removes the first limit. Using applied probability results on killing and resurrecting Markov processes, we derive the stationary distribution of the volume offered at the best quote. All proposed models are empirically fitted and compared, stressing the importance of the proposed mechanisms.
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中文摘要：
在本文中，我们开发了一个马尔可夫模型，该模型处理电子订单的最佳报价量。第一个限额的交易量是一个随机过程，其路径会定期中断，并通过价差内提交的新限额指令或取消第一个限额的市场指令重置为新值。利用关于杀死和复活马尔可夫过程的应用概率结果，我们导出了在最佳报价下提供的数量的平稳分布。所有提出的模型都经过经验拟合和比较，强调了提出的机制的重要性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Stationary_distribution_of_the_volume_at_the_best_quote_in_a_Poisson_order_book_model.pdf (271.84 KB)

2022-5-7 14:58:14 上传

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关键词：泊松分布 distribution Quantitative periodically agent-based

新喀里多尼亚大学泊松订货簿模型中最佳报价下的固定体积分布BP R4 98851努美阿塞德斯，新喀里多尼亚。穆尼-toke@univ-北卡罗来纳州。ncApplied数学实验室，巴黎中央定量金融学院院长，法国查特内-马拉布里92290号。穆尼-toke@ecp.frSeptember2018年1月18日摘要在本文中，我们建立了一个马尔可夫模型，该模型处理电子订单书最佳报价处提供的数量。第一个限额的交易量是一个随机过程，通过价差中提交的新限额指令或取消第一个限额的市场指令，定期中断交易并重置为新值。利用killing和resurrecting马尔可夫过程的应用概率结果，我们推导出了在最佳报价下的产量的平稳分布。所有提出的模型都经过了经验验证和比较，强调了提出的机制的重要性。1简介最近，研究金融市场的学者和从业者对限价指令书越来越感兴趣。这种电子结构集中了所有参与者提交给给定市场的所有订单，找到匹配的买卖订单，从而确定交换的金融产品的价格。因此，根本问题是理解提交订单的顺序——订单流动——如何转化为价格动态。Biais等人（1995年）和Bouchaud等人（2002年）是关于极限指令簿经验性质的先驱研究。Smith等人（2003年）是研究限价书中连续双重拍卖的先驱理论框架。订单是一个复杂的系统。基本数学模型，如Cont等人。

（2010），依靠简化假设：仅提交三种主要类型的订单（限额、市场和取消，忽略交易所特定规则和特殊城市）；所有订单流都是泊松过程；所有订单的单位大小都相同。Abergel&Jedidi（2013）表明，在适当的假设下，一些极限定理适用，这样的马尔可夫模型会导致价格的差异方程。Muni Toke（2014）表明，在类似的泊松模型下，即使放松单位体积假设，theorder book的平均形状也是可解析计算的。在描述限价订单簿的重要数量中，最佳报价（出价或要价）下的交易量，即订单簿第一个限价下的可用股份总数，是最基本的。一个原因是，这个数量通常是市场参与者容易获得的唯一信息（称为一级数据）。另一个（相关）原因是，市场参与者在交易策略中大量使用了这个数量：Doyne Farmer等人（2004年）表明，大多数影响价格的市场订单的大小与提交时最佳报价的数量完全相等。然而，最佳报价的数量在一个模型中仍然很难把握，因为市场事件使其差异很大。当最佳报价的数量降至零（因为大量的市场订单或取消取消取消了最佳报价的所有流动性），或者在价差内提交了新的最佳报价时，价格发生变化，最佳报价的数量重置为一个新数量，该数量可能与描述上次提交订单的数量没有任何联系。因此，计算新事件后最佳报价的数量需要跟踪整个订单。最近，Cont&De Larrard（2012）提出了一个模型，其中订单簿被限制在其第一个限制范围内。

当价格不变动时，最佳报价下的交易量会根据到达的订单流量明显变化，当该交易量降至零时，价格变动，最佳报价下的交易量会立即重置为某个随机值。因此，最佳报价（买入和卖出）的数量是一个二维过程，其值位于正正正数上，每次到达轴时，都会在正正数内随机跳跃。Cont&De Larrard（2012）表明，在适当的假设下，并使用排队理论中的极限定理，该卷可能近似呈现跳跃扩散行为。然而，这个模型的有效性有一个非常有限的假设：价差必须始终等于一个刻度。事实上，我们不能允许在这项工作中的排列中提交限制指令，因为这将使过程在未到达轴的情况下跳跃。对于流动性很强的股票交易的一些非常繁忙的时期，这样的假设可能是一个合适的模型，但在一般情况下可能不是。在本文中，我们证明了在经典的泊松过程的零智能订货簿模型中，可以分析并计算出在最佳报价下供应量的平稳分布。提出的模型基本但灵活。这并不意味着价差总是等于一个刻度，也就是说，所有类型的事件都会使报价量达到最佳水平：与第一个限额完全匹配的激进市场指令，以及价差内提交的激进限价指令。其主要思想是，在最好的报价下，这种数量的跳跃可以被视为杀死并复活马尔可夫过程（Pakes，1997）。

甚至可以取消所有订单都必须是单位规模的假设，并对市场订单数量进行额外限制。论文的其余部分组织如下。第2节精确地描述了本文使用的带有泊松过程的订单簿的一般零智能模型。回顾了关于杀死和复活马尔可夫过程的主要结果，并对其进行了调整。然后，第3节和第4节探讨了两种类型的限制性假设，这两种假设允许在最佳报价下对交易量的平稳分布进行分析计算：第3节排除部分匹配最佳报价的市场订单，而第4节则允许在一定规模限制下对所有类型的市场订单进行分析计算。最后，第5节提供了所有提出的分析模型的经验设置，并与无限制泊松模型的模拟“最佳效果”进行了比较。2单面订购手册的马尔可夫模型我们考虑电子订购手册的最佳询价（最佳报价的模型严格相同）。以最佳报价提供的数量可能会因市场订单或限价订单的到来以及现有限价订单的取消而改变。首先，我们假设在最佳报价下的限制订单是按照泊松过程提交的，其速率λ和th在最佳报价下限制订单的大小形成一组独立且相同分布的随机变量，其概率分布为（g1，n）n∈N.其次，我们还假设，在提交后的某个随机时间，处于最佳报价的限价单（即每股）的每个单位大小部分都会被取消。假设所有这些随机时间形成一组参数θ>0的指数分布的独立同分布随机变量。

第三，我们假设我们观察到“部分”市场订单（部分订单的含义很快就会清楚），这些订单是根据泊松过程提交的，速率为u，并且是单位大小（一份）。我们还假设取消机制和“部分”市场订单不能完全耗尽最佳报价。换句话说，最佳报价的最后一部分不能取消，并且不能与部分市场订单匹配（仅部分匹配最佳报价的“部分”市场订单的名称）。这个小小的假设确保了传统的取消订单和市场订单不会导致价格波动。两种类型的订单可以使价格变动：激进的市场订单和激进的限价订单。第一类订单，即积极的市场订单，根据泊松过程ua提交，其大小等于提交时最佳报价的可用数量。换句话说，积极的市场订单与bestquote提供的所有流动性相匹配。这不是一个不合理的假设：Doyne Farm er等人（2004年）表明，在伦敦证券交易所的16只股票样本中，86%的改变价格的买方市场订单的规模正好等于在最佳要求下的交易量。当提交激进的市场订单时，最佳报价的可用数量降至零，价格上升，最佳限额的可用数量立即重置为订单簿下一个非空限额的可用数量。订单簿的下一个非空限额根据限额订单的提交和取消而演变。为了将来的使用，我们可能已经指定了一个与我们正在建立的马尔可夫环境相一致的模型。

为此，我们将假设以下情况：极限订单是根据r ateλ的过程上的POIS到达的；这些极限阶的大小形成了一组概率分布（g2，n）为n的独立同分布随机变量∈N在提交后的某个随机时间内，处于下一个非空限额的限额订单（即每股）的每个单位大小组成部分被取消，并且假设所有这些随机时间形成一组独立且相同分布的随机变量，具有指数分布，参数θ>0。第二类移动价格的订单是激进的限价订单。这些是在价差旁边提交的限价订单，即价格低于当前的最低价。我们将假设，主动极限指令是根据泊松过程提交的，其速率为λ，所有主动极限指令的大小形成一组概率分布（g0，n）n的独立且相同分布的随机变量∈N.提交激进限价订单的影响很简单：在提交时，该订单立即成为最佳报价，也就是说，询价价格重置为激进限价订单的价格，最佳报价的可用数量重置为提交的限价订单的数量。总之，连续时间随机过程X={X（t），t∈ [0, ∞)} 以最好的报价描述可用的数量演变如下。设τ为第一次价格变动的随机时间。在时间间隔[0，τ）内，在没有影响价格的事件（积极的市场指令、积极的限价指令）的情况下，X演化为随机过程1+Y={1+Y（t），t∈ [0, ∞)},这是一个（不能取消或执行的最后一个共享）加上微型生成器中队列的大小：-λg1,1λg1,2λg1,3λg1,4。

.u + θ-（u+λ+θ）λg1,1λg1,2λg1,3。0 u + 2θ-（u+λ+2θ）λg1,1λg1,2。0 0 u + 3θ-（u+λ+3θ）λg1,1。。。。。。。。。。。。。。。。。。。. （1） 现在，在时间τ，由于激进的限制或激进的市场秩序，价格波动。过程X被立即重置为一个新的随机变量Xτ=H，该随机变量取决于价格变动的方向，代表进入的激进限价订单的大小（向下的价格变动），或订单簿中下一个非空限价的数量（向上的价格变动）。那么，如果τ是下一次价格变动的随机时间，[τ，τ]上的X根据最小生成元（1）表现，依此类推。这种机制可以识别出应用于杀死和复活马尔可夫过程的概率。最佳报价量的过程从时间0开始，并根据最小生成元（1）演化然后，在提交激进的限制或市场指令时，它被杀死，并（相当于）恢复为随机变量H，分布（hi）i∈N*,根据之前的动态，它从那里重新开始它的进程。Su ch a机制在Pakes（1997）中进行了研究，其中证明了以下结果。定理1（改编自Pakes（1997））。Le t Z={Zt，t∈ [0, ∞)} 是N上的一个马尔可夫过程，初始分布为（hi）i∈N.假设零态吸收Z.设R={Rt，t∈ [0, ∞)}过程的构造如下：R开始沿着过程Z的某条路径；在某个随机时间（参数β>0呈指数分布），R i被杀死，即重置为0；经过一段随机时间（参数α>0呈指数分布），R被重新计算，即。

重新启动流程Z的新路径；等等然后过程R允许平稳分布（πj）j∈N） 给出式：π=βα+β- αβ^f（β），πj=απ^fj（β），（2）其中^fjis是序列xi的拉普拉斯变换∈Nhipi，j（t），其中pi，j（t）=P（Z（t）=j | Z（0）=i）是（非终止）过程Z从状态i到状态j的瞬时概率。在我们的订单簿模型中，复活是瞬时的，即α→ +∞ ; 杀戮事件是激进的限制和市场秩序，即β=λ+uAby泊松过程的标准性质；如果没有终止，状态0是不可访问的（经典取消和部分市场订单不能耗尽最佳限制），即^f=0。最后一个事实的另一个结果是分布（hi）i∈N*of H正好代表了在一个积极的事件之后，以最佳报价提供的新卷。因此，该分布是分布（g0，i）i的混合∈N*概率λuA+λ和第二极限处体积的平稳分布，表示为（π2，i）i∈N、 概率为uAuA+λ。因此，我们得到了下面的结果。提议1。在本节描述的一般泊松订货本模型中，平稳分布（πj）j∈N*最好的报价是为任何j≥ 1：πj=（λ+uA）^fj（λ+uA）（3）其中^fj（·）是级数xi的拉普拉斯变换∈Nhipi，j（t）其中我∈ N*,hi=λg0，iλ+uA+uAπ2，iλ+uA，（4）和pi，j（t）=P（1+Y（t）=j | 1+Y（0）=i）是（非终止）过程1+Y从状态i到状态j的瞬时概率。这一结果是本工作的核心。在下文中，我们将研究上述通用模型的几种规格，它们都允许以一定成本进行分析处理。区分不同类型模型的第一个标准是是否存在“部分”市场模型。

在其t型模型（1型模型）中，我们假设所有市场订单都是积极的市场订单。换句话说，u=0，并且没有“部分”市场订单，只有部分匹配最佳限额。在第二类模型（第二类模型）中，这一限制被取消，即市场订单可能是积极的，也可能不是积极的（u>0），但将增加对数量分布的一些限制。这些不同类型的模型将在接下来的两部分中进行研究。3个具有激进市场订单的模型独家1型模型假设所有市场订单都是激进的，即u=0。在这种情况下，我们能够通过直接方法解析计算过程X的平稳分布π：我们计算转移概率（pi，j（t））i，j∈用标准的生成函数方法，以及平稳分布（π2，i）i∈N*用直接的方法。让我们从瞬态概率（pi，j（t））i，j开始∈N.设pi，j=ri-1，j-1对于任何（i，j）∈（N）*). （ri，j（t））i，j∈计算过程的转移概率Y。Kolmogorov方程适用于任何（i，j）∈ N:r′ij（t）=-（λ+jθ）rij（t）+（j+1）θri，j+1（t）+j-1Xk=0λg1，j-克里，k（t）。（5） 设G（z）=+∞Xj=1g1，jzjbe在最佳限制下输入限制订单大小分布的生成函数。通过将该方程乘以j上的zjand求和，我们得到生成函数φi（z，t）=∞Xj=0rij（t）zjis部分微分方程的解：0=~nit（z，t）- θ(1 - z）~niz（z，t）+λ（1）- G（z））φi（z，t），（6）根据初始条件φi（z，0）=zi。对于平稳分布（π2，i）i∈N*, 我们使用第2节中描述的马尔可夫设置d：λ>0是限制指令的到达率，（g2，n）n∈Nis是它们大小的分布，1/θ是书中一份股票的平均寿命。