GMxB合同最优bang-bang控制的存在性

此外，假设（B1），（B2），y∈PnPnPn（y）y∈在§3中引入的一般IVP允许在时间tn（定义4.1）时使用V进行最佳的爆炸控制x、 t-N= sup vx，n（λn）=最大vx，n^∧n在…上Ohm和∧n≡[P]∈PnE（P）。例4.14。Y∈ [0, ∞)印尼国家电力公司≡ [0,1]，P≡ [1,2]和印尼国家电力公司（y）≡ {P，P}，满足（B3）。请注意∈PLn（y）P=[0,2]，满足λ的n | PjfLy，n | PjfLy函数（凸函数的最大值是凸函数），从而满足（B2）。从那时起。13，vLy的上确界，n=E（P）∪ E（P）=E（[0,1]）∪ E（[1,2]）={0,1}∪ {1,2}={0,1,2}（对应于不退保、完全按照合同价格退保和完全退保）。备注4.15。Pn（y）yTheorem 4.12。在许多情况下，这仍然会导致相当大的计算简化（见备注5.3）。4.3在运动时间vt+nt内保持凸性和单调性-n） 。考虑第n次运动时间，tn。假设以下各项：（C1）对于每个固定λ∈ ∧n，x7→ fx，n（λ）和x7→ fx，n（λ）是凸的。。注意，这与这里的（B2）不同，我们的意思是，对于每个固定的λ∈ 所有x，x的∧与非∈ Ohm θ∈ （0,1），fθx+（1）-θ） x，n（λ）6θfx，n（λ）+（1）- θ） fx，n（λ）和fθx+（1）-θ） x，n（λ）6θfx，n（λ）+（1）- θ） fx，n（λ）。（4.1）在（4.1）中使用的命令6是Ohm  Rm，继承自备注4.8中规定的RME订单。（C2）x，x∈x6x{λk}，{λk}∈Nnvx，n（λk）→ 五、-n（x）所有k，fx，n（λk）6 fx，n（λk）和fx，n（λk）6 fx，n（λk）。备注4.16。（C2）如果对于allx，vx，n（λn）包含其上确界，则极大简化。表示这个上界vx，n（λx）λx∈nxx，x∈x 6 xλ∈nfx，n（λx）6 fx，n（λ）fx，n（λx）6 fx，n（λ）（取λk=λx，λk=λ，使所有k达到（C2））。xunder actionλ事件发生后的x 6 xλ和现金流大于（或等于）头寸，且对于头寸较大的合同模型，现金流xλxxx应适用于头寸较大的合同模型。引理4.17。假设（A1）、（A2）和（C1）。

然后，x7→ 五、-n（x）是凸的。证据修正x，x∈ Ohm θ∈ （0,1），让z≡ θx+（1）- θ） x.然后，通过（A1）和（C1），V-n（z）=sup vz，n（λn）=supλ∈λnV+n（fz，n（λ））+fz，n（λ）6supλ∈λnV+n（θfx，n（λ）+（1）- θ） fx，n（λ））+θfx，n（λ）+（1- θ） fx，n（λ）6θsupλ∈λnV+n（fx，n（λ））+fx，n（λ）+ (1 - θ） supλ∈λnV+n（fx，n（λ））+fx，n（λ）= θsup vx，n（λn）+（1）- θ） sup vx，n（λn）=θV-n（x）+（1）- θ） 五-n（x）。备注4.18。五、-n（y）sup vy，n（λn）yx，x∧nis，而不是合同状态的函数（即∧n≡∧n（x）），那么上述证明方法不起作用，因为V不一定是真的-n（y）=sup-vy，n（λn（z））表示y=x，x。引理4.19。假设（A1）、（A2）和（C2）。然后，x7→ 五、-n（x）是单调的。证据让x，x∈ Ohm s、 t.x 6 x.由（A1）（具体地说，因为V+nis单调）和（C2），对于每一个k，vx，n（λk）=V+n（fx，n（λk））+fx，n（λk）6 V+n（fx，n（λk））+fx，n（λk）=vx，n（λk），然后，V-n（x）=limk→∞vx，n（λk）6lim supk→∞vx，n（λk）6 sup vx，n（λn）=V-n（x），根据需要。例4.20。fLx，n（λ）fLx，n（λ）xx，x∈x 6 xλx∈ {0,1,2}，其中λxdenotes在x处是一个最优作用。因此，我们只需要考虑三种情况：值得注意的是，在实践中，这种情况经常发生；对于fixedn，考虑∧ncompact和λ7→ vx，n（λ）对所有x.1连续。假设λx=0。取λ=0得到fLx，n（0）=fLx，n（λ）和fLx，n（0）6 fLx，n（λ）。假设λx=1。我们可以假设x>x>0。取λ=x/xto得到fLx，n（1）=fLx，n（λ）和fLx，n（1）6 fLx，n（λ）。λxx6δxfLx，n（2）fLx，n（1）fLx，n（2）（0，0）6 fLx，n（1）x>x>λx/xfLx，n（2）fLx，n（λ）fLx，n（2）=（0，0）6 fLx，n（λ）。因此，我们可以安全地假设x>δxso thatfLx，n（2）=R（n）[（1- κ） x+κδx]6r（n）x.（4.2）（a）假设x6δx。取λ=1得到fLx，n（2）=（0,0）6flx，n（1）和fLx，n（2）6r（n）x6r（n）δx=fLx，n（1）乘以（4.2）。（b） 假设x>δx。

取λ=2得到fLx，n（2）=（0，0）=fLx，n（2）和fLx，n（2）6 R（n）[（1- κn）x+κδx]=fLx，n（2）。4.4运动时间之间的凸性和单调性的保持如前所述，为了应用定理4.12，我们需要检查（A1）的有效性（即，解是CM att+n）。有鉴于此，我们想确定CHV+nis CM提供THAV的场景-n+1isCM（即在运动时间之间保持凸性和单调性）。例4.21。附录A确定了v+n的凸性和单调性（在充分正则性下），即使是凸性v-n+1以下多维漂移差异，参数独立于资产水平（直接来自相应格林函数属性的局部波动性）。格林函数（包括GBM驱动的合同类别），出于直觉，我们在下面使用期望算子的线性以及随机过程w.r.t.初始值的线性为读者提供了另一种证明。特别是GLWB。方程（2.13）stipulatesV+n（x）=Ehe-Rn+1nr（τ）dτV-n+1十、（n+1）-, 十、+Zn+1ne-Rsnr（τ）dτM（s）X（s）ds |Xn+= 雄[0，∞)×T。线性允许我们分别考虑条件期望中总和中出现的两个项。如果每个表达式在x上都是凸的，那么整个表达式也是凸的。如果X（n+）=X，X（s）=xY（s）在n和n+1之间，其中y（s）≡ 经验Zsnr（τ）- α (τ) -σ(τ)dτ+Zsnσ（τ）dZ（τ）,X（s）xYYy，y∈ [0, ∞)θ ∈ （0,1）x≡ θy（1）- θ） 安苏木-n+1（x）在x，V中是凸的-n+1xY（n+1）-, 十、= 五、-n+1（θy+（1）- θ） y）y（n+1）-, θy+（1）- θ） y6θV-n+1yY（n+1）-, Y+ (1 - θ） 五-n+1yY（n+1）-, Y.人们可以用同样的技巧来证明单调性是被保留的。GMWB可以执行相同的参数。对于一般抛物型方程，凸性保持在[]中建立。

这一结果进一步推广到抛物型积分微分方程，该方程由资产回报率服从跳跃扩散过程[5]的问题引起。4.5最优bang-bang控制的存在性一旦我们确定在运动时间之间和运动时间之间保持凸性和单调性（即分别为§4.3和§4.4），我们只需要归纳地应用我们的论点，就可以证明非最优bang-bang控制的存在。我们不是为一般情况提供证据，而是简单地将重点放在GLWB合同上。对于一般合同的情况，假设动态之后是资产（参见附录a），读者可以应用相同的技术来确定bang-bang控件的存在。例4.22。以GLWB为例。假设有人这么想。t、 06 n<n，V-n+1厘米。在例4.21中，V+nis也是CM。在充分的正则性下（见附录A），对于fixedx，vx，nis，在上面有界（满足vx，对于每个x∈ Ohm, 发生在{0,1,2}上。例4.20，V-它是凸的和单调的。通过（2.10）和（2.11），V（x，N）=0。由于v（x，N）是x的一个函数，所以我们可以归纳地应用上述参数来证明最优bang-bang控制的存在性。5个数值例子为了在实践中证明bang-bang原理，我们实现了一个数值方法来解决GLWB和GMWB问题，并检验了损失最大化的退出策略。5.1合同定价算法执行时间。请注意，第2行是故意非特定的；该算法没有假定任何关于随机过程的潜在动力学，而这是的函数，因此也没有提到V+nV-n+1对于特定合同，我们可以将4号线的∧Nappering替换为其自身的有限子集。5.2最初提出的数值方法Ohm =[0, ∞).

我们使用算法1，但使用有限[0，xmax]×[0，xmax]fx，n（λ）在网格节点上着陆来近似解，使用线性插值来近似第4行上的ev+n（fx，n（λ））。有限差分网格上的每个点都解决了局部优化问题。数值格式的细节见[1,10]。数据：到期时的支付，VN=~n结果：时间零点的合同价格，V≡ 五、-1代表n← N- 1到0使用V-n+1确定x的V+n3∈ Ohm do4 V-n（x）≡ supλ∈∧nV+n（fx，n（λ））+fx，n（λ）5-end6-endAlgorithm 1：具有有限多个执行时间的定价合同的动态规划。在执行时间之间，每份合同的融资成本满足（2.8）或（2.16）中的一项。对应的v+nV-n+1xx×[tn，tn+1）x=xmax也是如此 0.x=xmax时 0，我们将ev（xmax，x，t）=g（t）xmax（5.1）应用于域。通过数值实验验证，上述近似引入的误差在感兴趣区域很小。备注5.1。N-（n）- 1） +Val尽管在特殊情况下可以证明，对于有限的鱼类大小，凸性和单调性是保持不变的，但这不一定是无条件的。备注5.2。虽然我们已经证明了GLWB问题存在最优bang-bang控制，但在计算§5.3.1最优bang-bang控制中GLWB的资金成本时，我们不会用算法1第4行的{0,1,2}替换∧nW。对于GLWB和GMWB，我们假设对Tvx一无所知，因此形成可容许集的划分λ<λ<·λ<·λpo并执行线性搜索5。3结果5。3.1终身取款保障福利。图5.1显示了持有人的取款策略（x，n）在不取款和完全退保之间取款的机会）。资金），为持有者预期三年一次的棘轮（时间n=2和n=3）而存钱。

否则，最佳策略包括不退出（以获得奖金）或按合同价格退出。请注意，该策略沿原点的任何直线都是恒定的，因为解在x中的阶数为1的齐次解，如[10]所述。仅包括不撤回、按合同价格撤回和完全放弃的控制。不按合同利率提款完全放弃投资账户（x1）提款账户（x2）（a）n=105010150 200050100150200投资账户（x1）提款账户（x2）（b）n=205010150 200050100150200投资账户（x1）提款账户（x2）（c）n=305001150 200050100150200投资账户（x1）提款账户（x2）（d）n=4表格5.1:GLWB参数。参数值波动率σ0.20无风险率r 0.04对冲费用α0.015合同率δ0.05奖金率β0.06到期日N 57初始投资初始年龄65死亡数据[20]棘轮三年期年薪N罚金κn1 0.032 0.023 0.01>4 0.005.3.2保证最低提款收益κN>fMx，N（λ）xκnGGfMx，N（λ）xV-nV+ncase得出砰砰原理（见定理4.12）。κn=0的情况对应于第十个周年纪念时的零投降指控，而leg=0对应于强制执行所有提款（无论大小）都按罚款率收费。κnn>vxforallt∈ （6，N）。然而，由于κ>0，凸性被破坏→-. 图5.2展示了这个VXT→+在每一个周年纪念日，合同都未能满足bang-bang原则≤ 5.x>λx∈ [0，G∧ x] λx∈ （G）∧ x、 x]λ∈ [0，G/x∧ 1]λ ∈ （G/x）∧ 1,1]V+nPMn（x）≡ {P，P}P≡ [0，G/x∧ 1] P≡ [G/x∧ 1，1]在x>0的任意点（x，n）上取{0，G/x，1}中的一个值。这三种行为对应于不撤军、撤军或完全投降。这是veri fiednn=7。

正如预测的那样，沿任意直线X=常数。，最优控制采用有限个值中的一个。nκn>x x（与相同区域相比，n=7）。在[9,7]的数值结果中可以看到不满足bang-bang原理的GMWBs控制图。备注5.3。κnncontract处处满足bang-bang原理（尤其满足定理4.12）。然而，Pmn（x）xis并不令人满意。例如，考虑一个GMWB的最优控制，其值为g/xat eachx，x>0。这样一个控件的范围是（0，∞)（不是固定的）。然而，在这种情况下，bang-bang原理保证，对于fixedx，只需在bang-bang控制中考虑可容许集的有限子集。图5.2：表5.2数据下fixedx=100的V（x，t）。点x、 n-=五、x、 n+对应于不退出。在这些点的左边，持有人执行提款（见图5.3）。0 20 40 60 80 100提款收益96979899100101102103104融资合同成本V（x，6-)五、x、 六,+（a） 凸性不受t的影响→ 6+t→ 6.-.0 20 40 60 80 100提款福利979899100101102103104融资合同成本V（x，7-)五、x、 七,+（b） 凸性是从t中保留的→ 7+托特→ 7.-.表5.2:GMWB参数[8]。参数值波动率σ0.15无风险利率r 0.05套期保值费α0.01合同利率G 10到期日N 10初始投资W年期N罚金κn1 0.082 0.073 0.064 0.055 0.046 0.03>7 0.00图5.3：根据表5.2中的数据按X缩放的最优控制λx。无取款取款最小（x2，G）完全放弃0 50 100 150 2000050100投资账户（x1）取款账户（x2）（a）n=60 50 100 150 2000050100投资账户（x1）取款账户（x2）（b）n=76结论虽然在保险文献中假设存在最佳bang bang控制是常见的，但似乎没有对这一结果进行严格的陈述。

我们严格推导出了保证GMxB保证存在最优bang-bang控制的充分条件。这些条件要求合同特征使得最优控制的解可以被描述为最大化凸目标函数，并且风险资产的潜在随机过程保持凸性和单调性。这些条件非常重要，因为这些条件适用于GLWB合同，但不适用于bang-bang控制，允许使用非常有效的数值方法。虽然我们特别关注我们的结果在GMxB保证中的应用，但读者的干预）保持了凸性和单调性。我们将这一概括留给未来的工作。凸性和单调性的保留在本附录中，我们建立了一个合同的凸性和单调性，该合同的报酬为CM，并写在收益遵循（多维的，可能相关的）GBM的资产上。我们通过考虑Vand提供的PDE，以及与此PDE的日志转换版本中出现的运算符相对应的基本解来实现这一点。考虑对数变换的偏微分方程，我们可以消除边界处的抛物线简并，并论证对数变换算子的最终基本解应为形式Γ（y，y，τ，τ）≡ Γ（y）- y、 τ，τ）。我们首先描述本附录中使用的一些符号：oLetOhm≡Ohm×Ohm哪里Ohm≡ (0, ∞)曼德Ohm是偏序向量空间a的凸子集≡ Rm×A超过R.o（x，xm+1）≡ （x。

，xm，xm+1）x∈xm+1∈为了区分Ohm和Ohm.o我们认为ONA的偏序只是从OrdersOrm（备注4.8）和A继承而来。具体而言，（x，xm+1）6Ax、 xm+1当且仅当x6rmx和xm+1Axm+1。假设V满足tV+LV+ω=0开Ohm ×（tn，tn+1）（A.1）和Vx、 xm+1，t-n+1= 开启时的φ（x，xm+1）Ohm （A.2）其中≡mXi，j=1ai，jxixjxixj+mXi=1bixixi+c.（A.3）在上面，ω≡ ω（x，t）。在本附录的其余部分中，我们将假设如下：（D1）ai，j≡ ai，j（t），bi≡ bi（t）和c≡ c（t）（即函数ai、j、bian和c独立于（x、xm+1））。（D2）Pmi，j=1ai，jxixjis一致椭圆。例A.1。对于GLWB保证，L在（2.9）中给出，ω=M（t）x。备注A.2。VVxdi在t on中是可区分的Ohm ×（tn，tn+1），连续打开Ohm ×（tn，tn+1）和满意度（A.1）。现在我们来描述日志转换问题。为了便于记谱，letey≡ （ey，…，eym）ai，j（τ）≡ ai，j（tn+1）- τ） ~n（y，ym+1）≡ ν（ey，ym+1）bi（τ）≡ bi（tn+1）- τ） ω（y，ym+1，τ）≡ ω（ey，ym+1，tn+1）- τ） c（τ）≡ c（总氮+1）- τ） 及Ohm≡ Rm×Ohm. 设V为柯西问题（a.1）和（a.2）的解。Letu（y，ym+1，τ）≡ V（ey，ym+1，tn+1- τ） 及 ≡ tn+1- tn.然后，美国- τu+ω=0Ohm× (0, ) （A.4）和u（y，ym+1，0）=（y，ym+1）（A.5），其中≡mXi，j=1ai，j易yj+mXi=1biyi+c.注意（D2）表示Lis一致椭圆。uand是唯一的，必须对φ、L和ω施加充分的正则性。我们总结如下。（E1）对于每个ym+1，y 7→ ν（y，ym+1）在Rm上是连续的。（E2）LAR的系数具有充分的正则性。（E3）对于每个ym+1∈ Ohm, （y，τ）7→ ω（y，ym+1，τ）是充分正则的。（E4）美国将增长条件满足为| x |→ ∞.有关所需规则性的准确详细信息，请参见[11，第1章：Thms]。

12和16]。当（D2）和（E1）-（E4）满足时，解u可以写成asu（y，ym+1，τ）=ZRmΓ（y，y，τ，0）~n（y，ym+1）dy+ZRm×（0）上的ZRmΓ（y，y，τ，τ）ω（y，ym+1，τ）dydτ，) （A.6）式中，Γ是L的基本解决方案（其结构由[]首先详细说明）。我们首先注意到，如果φ是凸的，则（E1）紧随其后，如下所示。引理A.3。如果ψ是凸面的，则顺序为A（见定义4.3），那么对于所有Xm+1，y 7→ φ（y；xm+1）在Rm上是连续的。i、 电动汽车|Ohm×（tn，tn+1）∈ C2,1(Ohm ×（总氮，总氮+1））。i、 电动汽车|Ohm×（总氮、总氮+1）∈ C(Ohm ×（总氮，总氮+1]）。证据φ ≡ ψ（x，xm+1）Axm+1∈Ohm,是凸的inxonOhm≡ [0, ∞)兆瓦。r、 t.到订单室。这反过来会产生所有xm+1的结果∈ Ohm, 在x上是连续的Ohm. 因此，ν≡ ν（y；xm+1）在Rm上的y中是连续的。定理A.4。§定义4.3和引理4.7）。再进一步假设一下∈ （tn，tn+1），ω是（x，xm+1）上的厘米Ohm w、 r.t.At∈ （tn，tn+1]V（x，xm+1）AV+nis-CM。证据yyy- yai，jbicindependent of the spatial variables[11，第9章：Thm.1]。因此（y，ym+1，τ）=ZRmΓ（y- y、 τ，0）ψ（y，ym+1）dy+ZZRmΓ（y）- y、 τ，τ）ω（y，ym+1，τ）dydτ在Rm×（0，) .让我们记录x≡ （对数x，…，对数xm）。从上面可以看出，当xi>0时，所有i 6m，V（x，xm+1，t）=ZRmΓ（y- 对数x，tn+1- t、 0）~ney，xm+1dy+ZZRmΓ（y）- 对数x，tn+1- t、 τ）ωey、xm+1、tn+1- τdydτonOhm ×（总氮，总氮+1）。表示byxo 十、≡ （xx，…，xmxm）x和x的元素乘积。替换y=log（xo x） 进入上述产量sv（x，xm+1，t）=Z∞. . .Z∞Γ（对数x，tn+1）- t、 0）ν（x）o x、 xm+1）Qixidx+ZZ∞. . .Z∞Γ（对数x，tn+1）- t、 τ）ω（x）o x、 xm+1，tn+1- τ） QixidxdτonOhm ×（总氮，总氮+1）。>五、-n+1ωVn（x，xm+1，t）等于Ohm 无论如何∈ （总氮，总氮+1）。备注A.5。OhmV的辅域是hausdorff，这个扩展是唯一的。并和上半群的交换性是一个序满足最小上界性质的偏序集。所有的上界都是w.r.t.t引理B.1。