GMxB合同最优bang-bang控制的存在性

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英文标题：
《The existence of optimal bang-bang controls for GMxB contracts》
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作者：
Parsiad Azimzadeh, Peter A. Forsyth
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  A large collection of financial contracts offering guaranteed minimum benefits are often posed as control problems, in which at any point in the solution domain, a control is able to take any one of an uncountable number of values from the admissible set. Often, such contracts specify that the holder exert control at a finite number of deterministic times. The existence of an optimal bang-bang control, an optimal control taking on only a finite subset of values from the admissible set, is a common assumption in the literature. In this case, the numerical complexity of searching for an optimal control is considerably reduced. However, no rigorous treatment as to when an optimal bang-bang control exists is present in the literature. We provide the reader with a bang-bang principle from which the existence of such a control can be established for contracts satisfying some simple conditions. The bang-bang principle relies on the convexity and monotonicity of the solution and is developed using basic results in convex analysis and parabolic partial differential equations. We show that a guaranteed lifelong withdrawal benefit (GLWB) contract admits an optimal bang-bang control. In particular, we find that the holder of a GLWB can maximize a writer\'s losses by only ever performing nonwithdrawal, withdrawal at exactly the contract rate, or full surrender. We demonstrate that the related guaranteed minimum withdrawal benefit contract is not convexity preserving, and hence does not satisfy the bang-bang principle other than in certain degenerate cases.
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中文摘要：
提供有保证的最低收益的大量金融合同通常被视为控制问题，在该问题中，在解域的任何一点上，控制都能够从可容许集合中获取不可数个值中的任何一个。通常，此类合同规定持有人在有限的确定时间内行使控制权。最优bang-bang控制的存在性是文献中的一个常见假设，即最优控制只接受可容许集合中有限个值的子集。在这种情况下，搜索最优控制的数值复杂性大大降低。然而，文献中并没有对何时存在最佳砰砰控制进行严格处理。我们向读者提供了一个bang-bang原理，根据该原理，对于满足一些简单条件的合同，可以建立这种控制的存在性。bang-bang原理依赖于解的凸性和单调性，是利用凸分析和抛物偏微分方程的基本结果发展起来的。我们证明了保证终身退出福利（GLWB）合同允许最优的bang-bang控制。特别是，我们发现，GLWB的持有者可以通过不退稿、完全按照合同利率退稿或完全退稿来最大化作者的损失。我们证明了相关的保证最小取款收益契约不是保凸的，因此除了某些退化情形外，它不满足bang-bang原理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> The_existence_of_optimal_bang-bang_controls_for_GMxB_contracts.pdf (924.99 KB)

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关键词：Bang BAN 存在性 Differential Quantitative

GMxB合同最优bang-bang控制的存在性*P.Azimzadeh+P.A.ForsythAbstractcontrol problems，在解决方案域中的任何一点上，一个控件都能够在有限的确定时间内执行任意一个执行器控件。最优bang-bang控制的存在是文献中的一个常见假设，非最优控制只接受可容许集合中的有限子集。在这种情况下，可以考虑降低搜索最优控制的数值复杂性。然而，文献中并没有对何时存在最佳爆炸控制进行严格处理。我们向读者提供了一个bang-bang原理，根据这个原理，对于满足一些简单条件的合同，可以建立这样一个控制的存在性。bang-bang原理依赖于解的凸性和单调性，并利用凸分析和抛物偏微分方程中的基本结果发展而来。我们证明，保证终身退稿收益（GLWB）通过只执行不退稿、完全按照合同利率退稿或完全退稿，使作者的损失最大化。我们证明了相关的保证最低取款受益于合同退化情况。关键词：bang-bang控制，GMxB保证，凸优化，最优随机控制。1主要结果提供最低保证收益（GMXB）的大量财务合同通常被视为控制问题[]，在控制问题中，控制可以从其域中的每个点的允许集合中获取无数个值中的任何一个。例如，定期提款的合同可能允许所有人提取其账户的任何部分。

在下文中，我们考虑使合同作者的损失最大化的控制，以下称为最优控制。一个典型的例子是保证最低提款收益（GMWB）。如果任何时候都允许取款（即“连续”），那么定价问题可以表述为单一控制[，，]或脉冲控制[7]问题。t<t<··<tN-1动态编程从到期时间t向后进行，如下所示：*这项工作得到了加拿大自然科学与工程研究委员会（NSERC）和全球风险研究所（多伦多）的支持。+pazimzad[at]uwaterloo[dot]capaforsyt[at]uwaterloo[dot]caarXiv:1502.05743v4[q-fin.PR]20151年11月4日。假设解为t→ T-n+1，解为t→ t+nis是通过解初值问题获得的。2.解决方案→ T-然后，通过应用一个最优控制来确定nis，该最优控制是通过考虑一系列优化问题来找到的。T-n+1t+n最优控制是通过在每个网格节点上求解一个优化问题来确定的，目的是将解决方案推进到t-n、 继续这样做，我们在初始时间确定解决方案。如果存在最优bang-bang控制，则最优控制只具有一个有限的值子集，具有该属性的控制可以大大降低计算复杂度。方程（PDE）。我们在GMxB系列的两个常见合同上展示了我们的结果：o仅通过执行–不撤回–按合同利率撤回（即从不受到惩罚），或–完全放弃（即最大撤回；可能受到惩罚），最大化作者的损失。o除某些退化情形外，不满足bang-bang原理。必修的。

优化中的标准技术并不总是适用的，因为这些方法不能保证在与最优持有者行为相对应的优化问题族中出现控制集变得不必要。理论上，这简化了收敛分析。更重要的是，数值方法。1.2保险申请GLWB是对固定福利养老金计划可用性普遍减少的回应[]，允许买方通过替代品复制此类计划的安全性。GLWB是通过一家保险公司的一次性付款来启动的，该保险公司投资于风险资产。我们称之为投资账户。与GLWB合同相关的是担保提款福利账户，称为提款福利时间。前者。此外，奖金（也称为累积）条款也经常存在，其中提款将使其账户受益。此类持有人绝不会撤回严格低于合同利率的非零金额，或执行部分退保。然而，这一结果需要惩罚函数和拉普拉斯函数的特殊形式，这在所有合同中并不普遍。[21,13,10,1]中曾考虑过GLWB合同的定价。最初设定拖航，即向保险公司一次性付款。在一定的取款时间内，取款会以美元对美元的方式受益。潜在的风险投资。持有人可以提取超过预定金额的款项，但不予以考虑。[18,9,8,14,15]中已经考虑过GMWB合同的定价。1.3概述§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§。2担保最低收益（GMXB）提款发生在≡ {0, 1, . . .

N- 1} .0和N分别指初始时间和到期时间（N时无取款）。十、≡ 这两个量都是非负的。αxxx次，GMxBs的投资账户遵循几何布朗运动（GBM），即perdXX=（u- α） dt+σdz跟踪指数^Xsatisfyingd^X^X=udt+σdz，在实际测量中，这是一个维纳过程。我们假设由于教育原因[8]不可能做空投资账户X，因此禁止明显的套利机会。三个条件：1。在合同到期时为合同提供资金的最坏情况成本（作为柯西边界条件提出；参见，例如，（2.1）和（2.11））；2.提款过程中最坏情况成本的演变（构成持有人行为的上限，（2.12））；例如，（2.3）和（2.13））。风险中性测度下的LMEz过程，使贴现指数^xin服从鞅。对于agRg（t-) ≡ 林斯↑tg（s）g（t+）≡ 林斯↓tg（s）表示t.2.1保证最低提款收益（GMWB）的单边限额。在时间N（到期）时，为GMWB提供资金的最坏情况成本为[9]uM（x）≡ 最大值（x，（1- κN）x），NκN∈ [0,1]作者在指数^X[]中占据一个位置的对冲论点。等效地，它由以下公式给出（在相关函数空间内；见附录A），即[0]上的（s.t.）V（x，N）=μM（x），∞)（2.1）Vx、 n-= supλ∈[0,1]五、fMx，n（λ），n++ fMx，n（λ）在[0]上，∞)x T（2.2）V（x，T）=Ehe-Rn+1tr（τ）dτV十、（n+1）-, x、 （n+1）-| 十、n+= 雄[0，∞)×（n，n+1）n（2.3）其中运动时间dxx=（r- α） dt+σdZ.（2.4）ris无风险利率，fM:[0,1]→ RRE表示从作者到持有者的现金流，FM:[0,1]→[0, ∞)表示合同撤回后的状态。

下文概述了该项目的建设。持有人可以提取分数λ∈ [0,1]每次锻炼时的退出收益。V（x，n）-)V（x，n+）和“运动时间后立即”n.G>G∧ xa∧ B≡ min（a，b）a∨ B≡ 最高（a，b）处罚（两个）∧和∨被理解为具有比算术运算更低的运算符优先级）。考虑带n的点（x，x，n）∈ T.o持卡人在不受处罚的情况下可以撤回的最高限额为isG∧ x、 如果持有人提取金额λx和λx∈ [0，G∧ x] ，Vx、 n-= V（x）- λx∨ 0，x- λx礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽礽K礽礽礽K礽礽礽礽礽KK礽礽礽礽礽礽礽K礽礽。（2.5）oLetκn∈ [0,1]表示第十周年的罚款率。如果持有人以λx取款∈ （G）∧ x、 x]，Vx、 n-= V（x）- λx∨ 0，x- λ- κn（λx）- G） fM。（2.6）这里λx∈ （G）∧ x、 x）对应于部分放弃，而λx=x（即λ=1）对应于完全放弃。我们可以用Fmx，n（λ）来总结（2.5）和（2.6）≡（λxifλx）∈ [0，G∧ x] G+（1）- κn）（λx- G） 如果λx∈ （G）∧ x、 x]（2.7）和fmx，n（λ）≡ （十）- λx∨ 0, (1 - λ） x）。从（2.3）可以看出，为GMWB提供资金的成本（锻炼时间之间）令人满意[8]电视+LV=0开（0，∞)×（n，n+1）n（2.8）其中≡σxxx+（r）- α） x十、- r、 （2.9）2.2保证终生退出收益（GLWB）M（t）tRttM（t）dtaway in the interval[t，t]），因此t isR（t）时刻的生存概率=1-中兴通讯(s)ds。我们假设连续且非负，并且r（t）>0表示所有时间t。我们假设死亡风险是多样化的。

此外，我们假设存在一个timet？>0 s.t.R（t？）=0.也就是说，幸存的阿尔比恩特？是不可能的（也就是说，没有人能永远活下去）。选择s.t.N>t？确保所有持有人在合同到期时去世。正如实践中经常出现的情况一样，我们假设棘轮被规定在周年纪念日的一个子集发生（例如每三年一次）。N时的NNA GLWB为аL（x）≡ 0.（2.10）我们在附录a中讨论了函数满足该偏微分方程意味着什么。与GMWB一样，为GLWB提供资金的最坏情况成本是通过套期保值论证得出的，其中作者在指数^X[]中占据了位置。等效地，它由[0]上的s.t.V（x，N）=аL（x）给出（在相关函数范围内；见附录A），∞)（2.11）Vx、 n-= supλ∈[0,2]五、fLx，n（λ），n++ fLx，n（λ）在[0]上，∞)x T（2.12）V（x，T）=Ehe-Rn+1tr（τ）dτV十、（n+1）-, x、 （n+1）-+锌+1te-Rstr（τ）dτM（s）X（s）ds |Xn+= 雄[0，∞)×（n，n+1）n（2.13），其中在运动时间之间，Xis由（2.4）规定。fL[0,2]→ RfL:[0,2]→ [0, ∞)表示合同撤回后的状态。特别地，λ=0对应于不可撤销的λ∈ （0,1]对应于合同利率或低于合同利率的提款，以及λ∈ （1，2]对应于部分或全部投降。备注2.1.我们注意到，可接受的行动集合[0，2]大得令人不满意（即连续统一体）。我们§{0，1，2}存在。换句话说，一个等价问题可以通过用集合{0，1，2}代替原来的[0，2]来构造。

无需考虑[0,2]的连续系数来实现收敛）。FRAND FLI的构建受合同规定的指导：o让β表示奖金率：如果持有人不提款，提款账户将放大1+βδ表示合同撤销率；也就是说，δxis是持证人在不受到处罚的情况下可以撤回的最大值κn∈ [0,1]合同撤销率。oLetIn=（1如果规定棘轮在第n个周年纪念日出现，则为0，否则为fLx，n（λ）≡ R（n）·如果λ=0λδxifλ，则为0∈ （0,1]δx+（λ）- 1) (1 - κn（x）- δx∨ 0）如果λ∈ （1,2]（2.14）和flx，n（λ）≡（x，x（1+β）∨ Inx）如果λ=0（x- λδx∨ 0，x∨ 在[x]中- λδx]）如果λ∈ (0, 1](2 - λ） fx，n（1）如果λ∈ （1,2]。（2.15）可以看出，为GLWB（锻炼时间之间）提供资金的成本令人满意[10]tV+LV+Mx=0开（0，∞)×（n，n+1）n（2.16），其中L在（2.9）中定义。3一般公式≡ {t，…，tN-1}≡ t<·tN≡ t指到期时间。允许Ohm 是m的凸子集。持有者在运动时间t可以执行的所有动作的集合用∧n表示 Rm，假定为非空，称为容许集。为简洁起见，letvx，n（λ）≡ 五、fx，n（λ），t+n+ fx，n（λ）（3.1），其中fx，n:→ Randfx，n:λn→Ohm. 我们写evx，n（λ）来强调，对于每个固定的（x，n），我们考虑变量λ中的非优化问题。一般的问题是找到满足条件sv（x，T）=~n（x）的VOhm （3.2）Vx、 t-N= sup vx，n（λn）接通Ohm x T（3.3）以及一个指定V从T+T演变为T的条件-n+1（参见，例如，（2.3）和（2.13））。备注3.1。每个容许集∧n独立于合同状态，x。这在备注4.18.4控制简化定义4.1（最佳bang-bang控制）中讨论。

五、 §3中介绍的一般IVP的一个解决方案，据说是在时间tn处实施最佳的砰砰控制∈ Whenervx、 t-N= 麦克斯^∧n在…上Ohm,其中∧ndente是独立于x的有限集。上述条件本质上比（3.3）简单，其中∧n.§控制的基数没有保证。这个结果要求相关解是凸单调的（CM）。给定CM初始值，V§ff§4.4对V的动力学（以及潜在的随机过程）建立条件，以确保CM属性在运动时间之间保持不变。对于这项工作的其余部分，我们使用速记V+n（x）≡ V（x，t+n）和V-n（x）≡ V（x，t）-n） .4.1初步为了保持独立性，我们向读者提供了几个基本（但有用）的定义。实际上，我们只考虑R上的向量空间，因此我们的定义仅限于这种情况。定义4.2。WRX Wx，x∈ x和θ∈ （0,1），θx+（1）- θ） x∈ 十、定义4.3。XYR部分订单6Y。h:X→ 如果对于所有x，x，Y是凸函数∈ X和θ∈ （0,1），h（θx+（1）- θ） x）6Yθh（x）+（1）- θ） h（x）。定义4.4。Xx∈ x=θx+（1）- θ） 任意θ的xf∈ （0,1）和x,x∈ X与x6=X定义4.5（凸多面体）。LetYbe是一个拓扑向量空间。P I是一个凸多面体，如果将其称为顶点。定义4.6。分别是XYXY。h:X→ Y是单调的，如果对于所有x，x∈ 十、 X 6xxi包括h（X）6Yh（X）。引理4.7。LetAbe是凸集，letBandCbe向量空间分别具有偏序B和C。Ifh:A→ B：B→ 用单音处理凸函数，然后o 他的函数是凸函数。备注4.8。对于这项工作的剩余部分，我们将按照以下顺序进行配置：ifx，y∈ Rm，x 6 y，无论何时xi6 yi对于所有i.4.2 Bang-Bang原则考虑一个特定的运动时间tn。

假设如下：（A1）x7→ V+n（x）是厘米。（A2）对于每个固定的x∈ Ohm, vx，n（λn）在上面有界。在本节中，我们考虑一个特别的要点∈Ohm 以确定我们的结果。对于下面的结果，我们需要以下命题：（B1）存在一个集合Pn（y） 2∧ns。t、 SP∈Pn（y）P=∧与每个P∈ Pn（y）是紧凸的。（B2）对于每个P∈ Pn（y），限制λ7→ fy，n | P（λ）和λ7→ fy，n | P（λ）是凸的。（B3）Pn（y）是凸多面体的有限集合。备注4.9。nfy，nfy，λ的函数。引理4.10。假设（A1）、（B1）和（B2）。每小时∈ Pn（y），限制λ7→ vy，n | P（λ）是凸的。证据证明由（3.1）、（A1）、（B2）和引理4.7给出。引理4.11。假设（A1）、（A2）、（B1）和（B2）。让P∈ Pn（y）。然后，sup vy，n（P）=sup vy，n（E（P）），其中E（P）表示P的极值点集。证据让≡ vy，n | P。注意w（P）=vy，n（P），因此在考虑w时不会失去一般性。外稃4。10确定了W的凸性。自然地，由于紧凸集P位于P，E（P）的极值点上，sup w（P）存在（hencesup w（E（P））也存在）。见[22，第32章]。定理4.12（bang-bang原理）。假设（A1）、（A2）、（B1）和（B2）。然后，sup-vy，n（λn）=sup-vy，n[P]∈Pn（y）E（P）其中E（P）表示P的极值点集。证据nSP∈Pn（y）PPn（y）sup vy，n（n∧n）P∈ Pn（y）sup-vy，n（P）sup-vy，n（E（P））上确界与getsup-vy，n（λn）=sup-vy，n[P]∈Pn（y）P= 好的，n[P]∈Pn（y）E（P）.Pn（y）凸多面体的集合，情况甚至更好，助手∈Pn（y）E（P）是一个有限集（有限集的有限并集）。此外，如果选择与y无关的pn，我们会得到一个最优bang-bang控制：推论4.13（最优bang-bang控制）。假设（A1）和（A2）。