最佳投资以达到遗赠目标

下面是这些观察到的结果。根据推论3.3证明中的观察，σ（1-q） 如注释3.2所述，随着响应c toσ的增加，以及q相对于λ增加的事实，我们得到了以下推论。推论3.4。如果c=0，则风险资产的最佳归属金额相对于λ增加，相对于σ减少。0<c的情况≤ rb当消耗率小于rb时，安全水平WSB等于b，如第3节所示。然而，当消费率为正时，我们不能像定理M3.1那样明确地写出φ。在4.1节中，我们引入了一个辅助最优停止问题；然后，在第4.2节中，我们证明了它的凹勒让德变换等于实现遗赠目标的最大可能性。最后，在第4.3节中，我们研究了最优投资策略的性质。4.1一个相关的最优停止问题考虑以下z的支付函数∈ R+。u（z）=最大值（1）- bz，0）=（1- bz）+。（4.1）定义快速流程Z={Zt}t≥0bydZt=（λ）- r） Ztdt+u- rσZtd^Bt，（4.2），其中^B={^Bt}t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动（^Ohm,^F，^F={^Ft}t≥0，^P），并考虑^φ（z）=supτ^Ez给出的最优停止问题-Zτce-λtZtdt+e-λτ(1 - bZτ）+, （4.3）根据（^）Ohm,^F，^F，^P）。包含在（4.3）中的游戏向玩家收取从现在到他停止的时间之间的运行成本CZT，以生存概率e打折-λt.在停止τ时，这里接收u（Zτ）=（1- bZτ）+。因此，玩家必须决定是继续支付CZT来继续玩游戏，还是停止并接受支付（1）- bZτ）+。注意，^φ是凸的。

事实上，因为Zt=zHt，with-ht=exp-（r）- λ+m）t+u- rσ^Bt,我们可以把（4.3）中的积分写成-zZτce-λtHtdt，z的线性函数。此外，u是凸的，因此期望是凸的。最后，因为凸函数的上确界是凸的，所以^φ是凸的。类似地，因为积分和u都是非递增的，所以^φ是非递增的。用c={z定义连续区域∈ R+：^φ（z）>（1）- bz）+}，所以最佳停止时间是τ*= inf{t≥ 0:Zt6∈ C} 。按照Karatzas和Shreve（1998）第2.7节中的论证路线，我们可以断言存在0≤ zb<b<z（待定）such，即C=（zb，z）。因此，我们可以重写停止的最佳时间τ*= inf{t≥ 0:Zt≤ zbor Zt≥ z} 。此外，这一论点表明，^φ是[zb，z]上的自由边界问题（FBP）的唯一经典解。λ^φ = (λ - r） z^φz+mz^φzz- cz，^φ（zb）=1- bzb，^φz（zb）=-b、 ^φ（z）=0=^φz（z）。（4.4）对于0≤ z<zb<b，^φ（z）=（1）- bz）+=1- bz，因为当z小于zb时停止是最佳选择。对于z>z>b，^φ（z）=（1）- bz）+=0，因为当z大于z时停止是最佳的。关于最佳停止问题和FBP的等价性，se e Peskir和Shiryaev（2006）也给出了结果。在下面的命题中，我们给出了FBP（4.4）的解。提议4.1。假设0<c≤ rb。[zb，z]上自由边界问题（4.4）的解，以及最优停止问题（4.3）的值函数，由^φ（z）=crz给出1.- αα- αzzα+α- 1α- αzzα-zz, （4.5）其中α=2mh（r- λ+m）+p（r- λ+m）+4mλi>1，α=2mh（r- λ+m）-p（r）- λ+m）+4mλi<0。（4.6）自由边界z>bis由z=zbzb0给出，其中zb0∈ （0,1）唯一地α(1 - α)α- αzα-1b0+α（α- 1)α- αzα-1b0=铬- b、 （4.7）自由边界zb<bis，由zb0byzb=cr（α）给出- 1)(1 - α)α- α-zα-1b0+zα-1b0.

（4.8）此外，^φ是c，并且在[zb，z]上是递减的和凸的。证据首先，请注意存在一个唯一的解决方案zb0∈ （4.7）中的（0,1）。实际上，（4.7）的左侧相对于zb0增加；当ZB0接近e s 0+时，（4.7）的左侧接近e s-∞; 当zb0=1时，左侧等于cr>cr- b、 很容易证明（4.5）中的表达式满足（4.4）中的微分方程，并且满足自由边界条件^φ（z）=0=φz（z）。（4.7）和（4.8）中的表达式表示（4.5）中的^φ满足自由边界条件^φ（zb）=1- bzband^φz（zb）=-b、 我们希望证明zb<b<z。从（4.7）和（4.8）中，我们看到不等式zb<b存在当且仅当1- αα- αzα-1b0+α- 1α- αzα-1b0>1。（4.9）（4.9）的左侧相对于zb0on（0，1）递减，当zb0=1时等于1；因此，（4.9）适用于所有zb0∈ （0,1），由此得出zb<b。类似地，z>bif且仅当zb0zb<b，或通过（4.8），1+（α）等效- 1)(1 - α)α- α（zαb0）- zαb0）-α(1 - α)α- αzα-1b0-α(α- 1)α- αzα-1b0>0。（4.10）很容易证明不等式（4.10）的左侧相对于zb0on（0，1）减小，当zb0=1时等于0；因此，（4.10）适用于所有zb0∈ 最后，我们证明了（4.5）中给出的^φ在[zb，z]上确实是递减和凸的，因为（4.3）中定义的^φ唯一解s（4.4）。

为此，观察^φz（z）=cr“α（1- α)α- αzzα-1+α(α- 1)α- αzzα-1.- 1#，和^φzz（z）=cr（α- 1)(1 - α)α- α\"αzzα-2.- αzzα-2#> 0.由于^φzz（z）>0且^φz（z）=0，我们得出结论，（4.5）中给出的^φ在[zb，z]上是递减且凸的。在NEXT部分，我们证明了FBP（4.4）的解与达到遗赠目标的最大概率密切相关。4.2最优停止问题与达到遗赠目标的最大概率之间的关系在本节中，我们认为，FBP（4.4）的解决方案的勒让德变换（例如，见Karatzas and Shreve（1998））实际上是实现遗赠目标的最大概率。对此，请注意，由于（4.3）或（4.5）中的^φ是凸的，我们可以通过勒让德变换定义其凹对偶。提议4.2。假设0<c≤ rb。用Φ（w）=minzb定义[0，b]上的Φ≤Z≤其中φ是（4.3）中最优停止问题的值函数。然后，达到遗赠目标的最大概率等于[0，b]上的Φ。证据优化器z*式（4.11）求解方程^φz（z）+w=0；因此，z*= 我(-w） ，其中I是^φz的函数逆。回想一下（zb，z）上的^φz<0。因此Φ（w）=φ（I(-w） ）+wI(-w） 。这个表达式意味着Φw（w）=I(-w） )；因此，z*= Φw（w）。M以上，Φw（w）=I(-w） 意味着Φww（w）=-1/^φzz（I）(-w） ）。结果表明Φ在[0，b]上增加和凹陷。通过使用这些关系并替换z=I(-w） 将Φw（w）转化为Φ的FBP（4.4），我们推导出Φ解以下边值问题。λΦ=（rw）- c） Φw+maxπ(u - r） πΦw+σπΦww,Φ（0）=0，Φ（b）=1。（4.12）在（4.12）中，我们使用z=Φw（0）和zb=Φw（b），这是根据zand zb的自由边界定义得出的。由引理2.1可知[0，b]上的φ=Φ。我们将命题4.1和命题4.2的结果组合在下面的定理中。定理4.3。

如果0<c≤ rb，则达到遗赠目标的最大概率由φ（w）=cr（α）给出- 1)(1 - α)α- α\"-zzα-1+zzα-1#z，（4.13），其中Zi在命题4.1中给出。这里，对于给定的w∈ [0，b]，z∈ [zb，z]唯一溶剂“α（1- α)α- αzzα-1+α(α- 1)α- αzzα-1#=cr- w、 （4.14）当财富等于w时，投资于风险资产的最佳金额由π给出*（w） =u- rσcr（α）- 1)(1 - α)α- α\"αzzα-1.- αzzα-1#. （4.15）备注4.1。我们提醒读者，如果投资者在去世前财富达到0，游戏就结束了。相比之下，如备注3.1所述，对于介于c/r和b之间的财富，Browne（1997年，第4.2节）有效地最大化了在获得c/r之前达到遗赠目标b的概率，如果我们将该参数λ解释为风险率。在定理4.2的证明中，布朗选择了一个解，该解迫使h在c/r时的值为0。因此，他默认了一个条件，即如果财富在死前达到c/r，游戏结束。（或者，他含蓄地限制可接受的投资策略为：≥ c/r几乎可以肯定所有t≥ 如果W=W>c/r，则为0。）因为我们的破产水平0小于Browne的破产水平，除非c=0，否则我们追求遗赠目标（破产前）的最大概率大于他在定理4.2中找到的关于c/r的表达式≤ W≤ b、 在下一节中，我们将（4.15）中的最优投资策略与布朗定理4.2.4.3中的最优投资策略的性质进行比较。第一个也是最令人惊讶的结果是，当财富小于b时，风险集合中的最优投资金额独立于beques t目标b。我们在c=0的情况下观察到了这一点，但当0<c时也是如此≤ rb。提案4.4。考虑两个遗赠目标，b<b。

如果0<c≤ rb，则当财富低于b时，在两个遗赠目标下投资r isky资产的最佳金额是相同的。证据很简单。求解（4.14）的ZZ值与b无关；因此，π*（w） 在（4.15）中，独立于b.备注4.2。Young（2004）发现了一个类似的结果，即在固定消费率下最小化生命毁灭的概率。对于大于破产水平的财富，投资风险集合的最佳金额与ru in水平无关。因此，如果投资者偏好的红色破产水平发生变化，她的投资策略不会改变。类似地，对于我们最大化实现遗赠目标概率的问题，如果投资者的优先遗赠目标改变，她的投资策略不会改变。接下来，我们确定定理4.3中的最优投资策略何时相对于财富增加或减少。提案4.5。如果0<c≤ rb，那么下面的语句说明π*根据财富的不同：（i）如果r≤ λ、 然后π*在[0，b]上增加。（ii）如果λ<r<λ+m，则π*在[0，w]上减小*) 并且在（w）上增加*, b] 有一段时间*∈ （0，b）。（iii）如果r≥ λ+m，如果0<c<c*, 为了一些c*∈ （0，rb），然后π*在[0，w]上减小*)并且在（w）上增加*, b] ，对一些人来说*∈ （0，b）。（iv）如果r≥ λ+m和如果c≥ C*, 然后π*在[0，b]上递减。证据通过区分π的表达式*（w） 在（4.15）中，我们得到了π*（w） dw∝\"α(α- 1)zzα-1+ α(1 - α)zzα-1#Wzz.然后，通过完全区分（4.14）关于w，我们学习“α”zzα-2.- αzzα-2#Wzz∝ -1.因此，由于平方B中的表达式为正，我们推断z/z随w，sodπ而减小*（w） dw∝ -\"α(α- 1)zzα-1+ α(1 - α)zzα-1#=：f（z）。（4.16）很容易看出f随z递减∈ [zb，z]。

因此，π*（w） 在[0，b]上增加，在[zb，z]上orf为正，当且仅当f（z）≥ 0，相当于r≤ λ.对于剩余部分，假设λ<r；那么，f（z）<0和π*（w） 在w=0时逐渐减小。因为f在[zb，z]上减小，如果f（zb）>0，那么π*（w） [0，b]先下降后上升。类似地，如果f（zb）≤ 0，然后π*（w） 在所有[0，b]上减少。因此，我们将证明简化为当f（zb）>0时的证明。为此，让z=zbin表示f in（4.16），代替zα-1从（4.7）开始，简化为（zb）∝ α-r+λ+mmzα-1b0+（1）- α)红细胞- 1.. （4.17）注意，如果r<λ+m，那么f（zb）>0会自动进行。因此，我们考虑≥ λ+m；f（zb）>0当且仅当ifzα-1b0<1- αα(α+ α- 2)红细胞- 1.. （4.18）回想一下，（4.7）的左侧相对于zb0增加。因此，当我们用（4.18）的右边代替zα时，不等式（4.18）成立-1进入（4.7）的左侧，（新的）左侧大于右侧。也就是说，（4.18）当且仅当下列不等式成立时成立。(1 - α)(α- α)(α+ α- 2)红细胞- 1.+α(α- 1)α- α1.- αα(α+ α- 2)红细胞- 1.-1.-αα-1> -红细胞- 1.,或者相当于，α+ α- 2.红细胞- 1.α-αα-1> -αα- 1.1.- αα-1.-αα-1.（4.19）定义c*∈ （0，rb）为使（4.19）的左侧等于右侧的值。Forc<c*, 不平等（4.19）将继续存在；另一方面，对于c≥ C*, 不等式（4.19）不成立，我们有f（zb）≤ 0.备注4.3。我们的问题盟友的投资者面临两个问题。首先，她最大化了自己死亡时的财富至少等于b的可能性。第二，她想逃避，因为如果她拒绝，他就不能继续玩这个游戏。

因此，我们期望定理4.3中的最优投资策略是定理3.1中的最优投资策略的混合体，在定理3.1中，投资者可以避免破产，因为c=0，对于寻求最小化她在死亡前没有遗赠目标的破产概率的投资者（Young，2004）。回想一下，前者是正确的-rσw1-q、 后者是-rσc/r-可湿性粉剂-1，其中-1= α- 1.前者是财富的增长函数；后者则在减少。如果λ≥ r、 然后，由于她的死亡率相对较高，投资者更担心的是实现她的遗赠目标，而不是破产，这一点可以通过以下事实得到证明：最优投资策略的行为更像定理3.1中的一个，即它在所有[0，b]上都在增加。在另一个极端，如果λ<r- 如果c足够大，那么破产是一个更重要的问题，所以最优投资策略更像是最小化终生破产概率的策略，也就是说，它在所有[0，b]上都是递减的。在这两个极端之间，最优投资策略首先随着财富的增加而减少，然后增加。

因此，当财富接近0时，个人的投资与寻求避免破产的人类似，因为最优投资策略随着财富的增加而减少；而且，对于接近遗赠目标的财富，个人的投资与寻求在没有破产威胁的情况下实现遗赠目标的人类似，因为最优投资策略随着财富的增加而增加。最后一个观察结果引出了一个问题：当财富接近0时，π如何变化*（w） 与寻求避免破产的人的最优投资策略相比，也就是说：-rσc/r-可湿性粉剂-1.当财富接近于b时，π如何变化*（w） 与一个人的最佳投资策略相比，他寻求在ru in的威胁下实现一个最佳目标，即u-rσw1-Q我们在接下来的两个命题中回答这些问题。在下一个命题中，我们证明了，对于我们的问题，风险资产的最优投资额大于在没有遗赠目标的情况下最小化终生破产的概率。这是有道理的，因为在试图达到遗赠目标时，投资者必须承担增加财富的风险；她不仅仅是在避免毁灭。提案4.6。如果0<c≤ 如果财富在0和c/r之间，那么π*（w） >u- rσc/r- 可湿性粉剂- 1.（4.20）证据。代入π后*（w） 从（4.15）开始，替换c/r- 从（4.14）和简化中，我们发现（4.20）相当于-α(1 - α) > α(α- 1） ，这是正确的，因为左边是正的，右边是负的。提案4.7。如果0<c≤ rb，如果（4.7）的解zb0是αzα-1b0>1，那么对于所有0≤ W≤ b、 π*（w） >u- rσw1- q、 （4.21）否则，如果αzα-1b0<1，如果b足够大，则（4.21）保持[0，w]*),以下是关于（w*, b] ，对一些人来说*∈ （0，b）。π*（w） <u- rσw1- q、 （4.22）证据。代入π后*（w） 通过（4.15）和简化，我们发现（4.21）等同于αzzα-1> 1.

（4.23）这个不等式在z=zbecauseα>1时成立，我们认为这是因为π*(0) > 0. （4.23）的左侧随着z的增加而增加；因此，（4.21）适用于所有0≤ W≤ b当且仅当（4.23）在z=zb时成立。另一方面，如果αzα-1b0<1，如果b足够大，那么π*（b） <u-rσb1-q、 和（4.22）对于足够接近b的财富成立。在NEXT命题中，我们证明了我们的问题对于c asc接近0是连续的。提议4。8.当c接近0时，φ和π*在定理4.3中，逼近φ和π*,分别在定理3.1中。证据当c接近0时，zb0接近es0，当doescrzα时-10。从（4.7）可以看出，crzα-1B0E s方法-α-αα(α-1） b.两个自由边界ZB和zapproachqband∞,分别从（4.14）开始，它紧随其后zzα-1方法e s-α-αα(α-1） 因此，当w=b时，推广r结果。因此，zzbα-1逼近e swb，从中得出z，（4.14）的解逼近SQBwbQ- 1，其中我们使用的事实是- q=1-α.根据这些结果，我们推导出φ的以下极限。极限→0φ（w）=（α）- 1)(1 - α)α- α极限→0crzzα-1z=wbq、 等于c=0时达到遗赠目标的概率；见定理3.1（3.2）中的表达式。类似地，π*有以下限制。极限→0π*（w） =u- rσ（α）- 1)(1 - α)α- α(-α） 极限→0crzzα-1=u - rσw1- q、 当c=0时，等于风险资产的最佳投资金额；参见定理3.1中的e（3.4）。在下一个命题中，我们比较π*布朗的最优投资策略（1997，定理4.2）。提案4.9。如果0<c≤ 如果财富在c/r和b之间，那么π*（w） >u- rσw- c/r1- q（4.24）证明。