最佳投资以达到遗赠目标

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英文标题：
《Optimally Investing to Reach a Bequest Goal》
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作者：
Erhan Bayraktar and Virginia R. Young
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We determine the optimal strategy for investing in a Black-Scholes market in order to maximize the probability that wealth at death meets a bequest goal $b$, a type of goal-seeking problem, as pioneered by Dubins and Savage (1965, 1976). The individual consumes at a constant rate $c$, so the level of wealth required for risklessly meeting consumption equals $c/r$, in which $r$ is the rate of return of the riskless asset.   Our problem is related to, but different from, the goal-reaching problems of Browne (1997). First, Browne (1997, Section 3.1) maximizes the probability that wealth reaches $b < c/r$ before it reaches $a < b$. Browne\'s game ends when wealth reaches $b$. By contrast, for the problem we consider, the game continues until the individual dies or until wealth reaches 0; reaching $b$ and then falling below it before death does not count.   Second, Browne (1997, Section 4.2) maximizes the expected discounted reward of reaching $b > c/r$ before wealth reaches $c/r$. If one interprets his discount rate as a hazard rate, then our two problems are {\\it mathematically} equivalent for the special case for which $b > c/r$, with ruin level $c/r$. However, we obtain different results because we set the ruin level at 0, thereby allowing the game to continue when wealth falls below $c/r$.
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中文摘要：
我们确定投资布莱克-斯科尔斯市场的最佳策略，以最大限度地提高死亡财富达到遗产目标b$的概率，这是一种目标寻求问题，由杜宾斯和萨维奇（Dubins and Savage，19651976）率先提出。个人以固定利率消费$c$，因此无风险满足消费所需的财富水平等于$c/r$，其中$r$是无风险资产的回报率。我们的问题与Browne（1997）的目标达成问题有关，但不同。首先，Browne（1997年，第3.1节）最大化了财富在达到$a<b$之前达到$b<c/r$的概率。当财富达到亿美元时，布朗的游戏就结束了。相比之下，对于我们考虑的问题，游戏一直持续到个人死亡或财富达到0；达到b美元，然后在死前跌破它并不算在内。其次，Browne（1997年，第4.2节）在财富达到$c/r$之前，将预期的折扣回报最大化，即达到$b>c/r$。如果一个人把他的贴现率解释为一个风险率，那么我们的两个问题对于特殊情况是{\\it数学上}等价的，对于这种特殊情况，$b>c/r$，破产水平为$c/r$。然而，我们得到了不同的结果，因为我们将破产水平设置为0，从而允许当财富低于$c/r$时博弈继续。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Optimization Quantitative Applications Differential

最佳投资达到遗赠目标美国密歇根州米希加南阿伯大学数学系，48109版本：2016年5月20日摘要：我们确定投资布莱克-斯科尔斯市场的最佳策略，以最大限度地提高死亡财富满足遗赠目标b（一种追求目标的问题）的概率，由杜宾斯和萨维奇（19651976）开创。个人消费是一个恒定的比率c，因此无风险满足消费等式c/r所需的财富水平，其中r是无风险资产的回报率。我们的问题与Browne（1997）的目标达成问题有关，但不同。首先，Browne（1997年，第3.1节）最大化了财富在达到a<b之前达到b<c/r的可能性。Browne的游戏在财富达到b时结束。相比之下，对于我们考虑的问题，游戏一直持续到个人死亡或财富达到0；到达b，然后在死亡前下降到b以下不算。其次，Browne（1997年，第4.2节）最大化了在财富达到c/r之前达到b>c/r的预期贴现回报。如果一个人将他的贴现率解释为风险率，那么我们的两个问题在数学上等价于b>c/r的特殊情况，破产水平为c/r。然而，我们得到了不同的结果，因为我们将破产水平设置为0，因此，当财富低于c/r.JEL主题分类时，游戏可以继续。C61，G02，G11。关键词：遗赠动机；消耗最优投资；随机控制。1.导言我们确定投资布莱克-斯科尔斯市场的最佳策略，以最大限度地提高死亡财富满足遗赠目标b的概率，这是Browne（1997年，第4.2节）部分考虑的问题。

因此，我们将更客观的目标设定为最大化预期的死亡效用，这是默顿（1969）首次在连续时间框架中考虑的。特别是，我们不要求个人重新选择效用函数，只要求个人选择一个目标b。我们了解到，对于介于0和b之间的财富，最佳投资策略独立于b，这是一个令人惊讶的结果。因此，如果个人要修改她的遗赠目标，如果她的遗赠低于新目标，她的投资策略不会改变。我们的论文自然属于最佳控制财富以达到agoal的范畴。关于这一主题的研究始于杜宾斯和萨维奇（19651976）的开创性工作，接着是佩斯蒂恩和苏德思（1985）、奥雷等人（1987）、苏德思和韦拉辛格（1989）、库尔多夫（1993）、卡拉萨斯（1997）和布朗（19971999a、1999b）的工作。本研究中考虑的一个典型问题是控制一个过程，以最大限度地提高过程达到b的概率，要么在固定时间T之前，如inKaratzas（1997年），要么在每个过程A<b之前，如Pestien和Sudderth（1985年）。在这两种形式的问题中，如果财富到达b，博弈就结束了。我们在本文中考虑的问题类似于，我们控制财富过程以最大化在0之前到达b的概率，但我们希望在随机时间到达b，至少是投资者死亡的时间。如果财富在投资者死亡前到达b，游戏不会结束；只有当个人死亡或毁坏时，游戏才会结束。我们的问题与Browne（1997）的目标达成问题有关，但不同。首先，布朗（1997年，第3.1节）最大化了财富在达到a<b之前达到b<c/r的可能性。当财富达到b时，布朗的游戏结束。

相比之下，对于我们考虑的问题，游戏一直持续到个人死亡或财富达到0。其次，布朗（1997年，第4.2节）最大化了实现目标的折扣回报≥ c/r如果W∈ [c/r，b]；如果一个人把他的贴现率解释为一个风险率，那么我们的两个问题在数学上等价于b≥ c/r，带有Runileve l c/r（WT是个人在t时的财富≥ 0，c是恒定的消费率，r是无风险资产的回报率。因此，c/r是无风险消费所需的财富金额。）然而，布朗的解决方案（1997年，第4.2节）隐含地限制了投资策略，如果∈ [c/r，b]，然后是Wt∈ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.与此相反，我们不会以这种方式调整我们的投资策略。此外，我们还解决了初始财富W=W<c/r时的遗赠问题≤ 当遗赠目标b<c/r时的乐队。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了个人投资的金融市场，我们将实现遗赠目标的概率最大化问题形式化，并给出了一个验证引理，帮助我们找到最大概率，以及金融市场投资的最佳策略。在第三节中，我们解决了当消费率为0时，达到任务目标的概率最大化问题；我们把这个案子分开是因为我们可以明确地解决它。第4节和第5节与第3节平行，用于确定正消耗率。

当消费率为正时，我们无法明确获得达到遗赠目标的最大概率，但我们可以解决其凸Legendre对偶问题，我们在第4节和第5节中这样做，具体来说，在第4.2节和第5.2节中。对于第4节中考虑的情况，凸Legendr e对偶是一个最优停止问题的值函数，我们在第4.1节中介绍了这个问题。对于第5节中考虑的情况，凸Legendre对偶是一个时间齐次的两相Estefan问题的解，我们在第5.1节中给出了相应的自由边界问题。在第3.2节、第4.3节和第5.2节中，我们研究了最优投资策略的性质，发现当财富小于b时，风险资产的最优投资额与遗赠目标b无关，这是一个令人惊讶的结果。第6节和第7节总结了本文；在这些部分中，我们将我们的工作与Browne（1997）的工作进行比较，并分别总结我们的结果。2.问题陈述和验证。在本节中，我们为投资者介绍金融市场。然后，我们陈述了该投资者面临的优化问题，并提出了一个验证引理，我们将用它来解决优化问题。2.1. 金融市场和达到遗赠目标的概率我们假设个人拥有一个她管理的投资账户，以便达到给定的遗赠目标b>0。她从这个账户中以固定利率c消费≥ 0.个人投资于Black-Scholes金融市场，其中一项r为无担保资产，收益率r>0，另一项为风险资产，其价格过程S={St}t≥0follows几何布朗运动：dSt=uStdt+σStdBt，其中B={Bt}t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P），其中u>r和σ>0。让WT表示时间t时个人投资账户中的财富≥ 0

让πt表示在时间t投资于风险资产的美元金额≥ 0.一个投资策略∏={πt}t≥如果是满足RTπsds<∞ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 因此，财富遵循动态（dWt=（rWt+（u- r） πt- c） dt+σπtdBt，W=W≥ 0.（2.1）用τd表示投资者的未来寿命随机变量；假设τdfollowsan指数分布的平均值为1/λ。我们假设个体寻求最大化Wτd≥ b、 通过优化超容许控制∏。我们不会让不可能的策略≥ 0几乎是你的依靠，尽管如此≥ 0，因为负漂移项会持续消耗财富-当c>0时。因此，如果个人死亡前财富达到0，我们就终止了游戏。定义τ=inf{t≥ 0:Wt≤ 0}，并通过φ（w）=sup∏Pw（wτd）定义值函数∧τ≥ b） ，（2.2），其中pw表示给定W=W的条件概率≥ 0.备注2.1。如果财富很大，比如说，至少W（“s”表示安全），那么个人可以将其所有财富投资于无风险资产，利息收入足以支付其消费，Wτd≥ b几乎可以肯定。这个所谓的安全级别由byws=max给出b、 铬. （2.3）因此，如果w≥ 对于0<w<ws，我们仍然需要确定φ（w）。2.2验证引理在本节中，我们提供了一个验证引理，该引理表明（2.2）中与最大化问题相关的边值问题（BVP）的经典解等于达到遗赠目标的最大可能性。因此，我们可以把问题归结为求解一个BVP问题。

我们在没有证据的情况下陈述了验证引理，因为它的证据与文献中的其他证据相似；例如，见Bayraktar and Young（2007）。首先，对于π∈ R、 通过对测试函数f.Lπf=（rw+（u）的作用定义微分算子Lπ- r） π- c） fw+σπfww- λF- 1{w≥b}.（2.4）引理2.1。设Φ=Φ（w）是一个C函数，它在[0，ws]上是非减的且凹的，除了可能在b处，在b处是C函数，并且具有左二阶导数和右二阶导数。假设Φ满足下列边值问题。（最大πLπΦ（w）=0，Φ（0）=0，Φ（ws）=1。（2.5）然后，在[0，ws]上，φ=Φ，投资于风险资产的最佳金额由π以反馈形式给出*t=-u - rσφw（w）*t） φww（W）*t） （2.6）对于所有t∈ [0，τd∧ τ） ，其中W*我们用引理2.1来计算φ。溶液的差异取决于c=0,0<c≤ rb，或者c>rb，所以我们在接下来的三节中分别将问题分为这三种情况。具体地说，在第3节中，我们考虑了c=0并明确确定φ的情况。在第4节和第5节中，我们考虑了c>0并通过Legendre对偶表达φ的两种情况。3.在第3.1节c=0的情况下，我们得到了达到遗赠目标的最大概率的显式表达式和相应的最优投资策略。在第3.2节中，我们研究了最优投资策略的性质。3.1达到遗赠目标的最大概率当c=0时，安全水平Ws等于b。根据引理2.1，我们知道，如果我们在[0，b]上找到以下BVP的递增凹解，那么该解等于达到遗赠目标的最大概率。

通过稍微滥用符号，我们在BVP的声明中写φ。λφ=rwφw+maxπ(u - r） πφw+σπφww,φ（0）=0，φ（b）=1。（3.1）我们在下一个定理中给出了该BVP的解，以及风险资产的最优投资策略。我们省略了这个证明，因为它是引理2.1的直接应用。定理3.1。如果c=0，达到遗赠目标的最大概率等于φ（w）=wbq、 0≤ W≤ b、 （3.2）其中q=2rh（r+λ+m）-p（r+λ+m）- 4rλi∈ （0,1）、（3.3）和m=u - rσ.当财富等于w∈ （0，b），投资于风险资产的最佳金额由π给出*（w） =u- rσw1- q、 （3.4）备注3.1。Browne（1997年，第4.2节）最大化了c/r时贴现拟合时间τbof b的预期值≤ W≤ b、 也就是说，他最大化了EwE-λτb如果我们把贴现率理解为风险率，那么当c=0时，他的问题和我们的问题是一样的。通过这种对应关系，我们观察到，当c=0等于（3.4）中的表达式时，布朗（1997）定理4.2给出的风险资产的最佳投资金额，正如人们所期望的那样。备注3.2。注意，（3.2）中的φ随着遗赠目标b的增加而减少，这是φ的定义所期望的。即使在最优策略下破产是不可能的，投资者可能会在财富少于b的情况下死亡，并且随着b的增加，达到遗产目标的概率降低。此外，由于（3.3）中的q随λ增加，达到遗赠目标的概率随λ减少，这在直觉上是令人满意的。事实上，随着个人早逝的可能性越来越大，达到遗赠目标的可能性也越来越小。最后，由于q随着m的减少，达到遗赠目标的概率随着m的增加而增加。

这个结果是有意义的，因为随着风险市场的回报变得更有利——无论是更大的漂移u还是更低的波动σ——达到遗赠目标的可能性增加。备注3.3。值得注意的是，（3.4）中的最优投资策略在财富小于b时独立于遗赠目标b。此外，投资策略与在效用函数u（w）=wq下最大化其死亡财富预期贴现率的投资者所采用的投资策略相同，即，恒定相对风险规避为1- Q∈ （0,1），其中q在（3.3）中给出。具体来说，最大效用问题是sup∏Ew[e-ρτd（Wτd）q]，对于某些ρ>0。因此，如果我们观察到一个人将其财富的固定比例投资于一项风险资产，那么我们可以说，她正在最大化她在未来某个时间的预期贴现效用，或者最大化她死亡时的财富等于特定遗赠目标的概率。这一对应关系类似于Bayraktar和Young（2007）发现的对应关系，在该对应关系中，他们给出了最大化个体预期寿命消费效用和最小化其终生破产概率的最佳策略。推论3.2。如果c=0，那么W*, 最优控制的财富过程遵循动态SDW*t=W*Tr+2m1- Qdt+u- rσ1- qdBt, 0<W*因此，W*t> 0几乎可以肯定，尽管如此≥ 0，如果W=W∈ （0，b）。备注3.4。推论3.2指出，因为W*遵循几何布朗运动，最优投资时不会发生破产。

因此，达到目标的最大概率等于概率W*在单个模具之前达到安全级别b，这等于相应命中时间的拉普拉斯变换的特定值。实际上，当c=0时，φ（w）=EwE-λτb, 其中τb=inf{t≥ 0:W*T≥ b} .3.2最优投资策略的性质在本节中，我们给出了定理3.1的两个推论，其中我们探讨了（3.4）中给出的最优投资策略的性质。随着个体死亡的可能性越来越大，我们希望她在风险资产上投入更多，以便在临终前达到目标。相比之下，随着r isky资产变得更加不稳定，个人不需要在风险资产上投资那么多财富来实现她的遗赠目标。这些直观的预期由下面推论3.3和3.4的结果证实。首先，我们确定投资策略何时会产生杠杆效应，也就是说，个人何时会从无风险资产中借款，以投资超过其当前财富的资金。注意，根据（3.4）中给出的最优投资策略表达式，我们得出π*（w） >w对于任何w>0当且仅当u- rσ1- q> 一,。（3.5）推论3.3。如果c=0，则杠杆作用发生在0和beither之间的所有财富水平，如果λ≥如果λ<u+randσ<σl或某些σl>0，则为u+ror。证据我们可以证明σ（1）- q） 相对于σ增加；因此，左边的不相等（3.5）为u-rσ1-q、 相对于σ减小。当σ接近0时，σ（1- q） 也接近0，所以-rσ1-qapproach e s∞.此外，随着σ的临近∞, （3.5）的左侧收敛于tolimσ→∞u - rσ1- q=0，如果r≥ λ,2(λ-r） u-r、 如果r<λ，且第二个表达式小于1当且仅当λ<u+r。