最佳投资以达到遗赠目标

代入π后*（w） 从（4.15）开始，替换w- 从（4.14）中的c/r，简化后，我们知道不等式（4.24）与α等价- α> 0，这是真的。备注4.4。u-rσw-c/r1-如果一个人达到遗产目标b的概率最大，且“破产水平”为c/r，则QI是最佳投资金额，如Browne（1997，Theorem4.2）。由于我们的破产水平0低于c/r，投资者可以在金融市场上承担更多风险，以实现他的遗赠目标。她不必担心自己的财富可能会落到信用证上；如果是这样，她可以继续玩这个游戏。然而，在Browne（1997，定理4.2）中，个人的投资方式使其财富避免达到c/r，就像我们定理3.1中的个人投资方式使其不会破产一样。在最小化终身破产概率时，投资于therisky资产的最佳金额随着c的增加而增加（Young，2004）。下一个命题告诉我们，当财富接近0时，最优投资策略也是如此，这是有道理的，因为投资者希望避免破产，这样她就可以继续投资以达到遗赠目标。提案4.10。如果0<c≤ rb，然后π*财富接近0时，相对于c增加w。证据通过对c的区别（4.14），我们了解到了这一点Yc=rwcα- α(α- 1)(1 - α） αyα-1.- αyα-1，其中y=zz∈ [zb0，1]。因此π*C∝CCαyα-1.- αyα-1.=αyα-1.- αyα-1.+ Cα(α- 1） yα-1+ α(1 - α） yα-1.YYC∝αyα-1.- αyα-1.+rwc（α）- α)α1 - αyα-1+αα- 1yα-1.=αyα-1.- αyα-1.+1.-α(1 - α)α- αyα-1.-α(α- 1)α- αyα-1.× (α- α)α1 - αyα-1+αα- 1yα-1.∝α(α- 1)α- αy1-α+α(1 - α)α- αy1-α- αα.如果w=0，那么y=1，根据上面的计算，它如下π*Cw=0∝ (α- 1)(1 - α) > 0.因此，在w=0附近，投资于风险资产的最佳金额随着消费率的增加而增加。5.

c>RB的案例本案例与前两部分不同，因为s afe水平高于遗产目标b。因此，如果个人在财富至少为BB但低于CR时死亡，则她将达到遗产目标。在第5.1节中，我们介绍一个辅助自由边界问题。然后，在第5.2节中，我们证明了它的凹Legendretransform等于达到遗赠目标的最大概率，并研究了最优投资策略的性质。5.1一个相关的自由边界问题考虑[0，z]上的以下FBP，确定0<zb<zt。λ^φ = (λ - r） z^φz+mz^φzz- cz+λ1{z≤zb}，φ（0）=1，φz（zb）=-b、 ^φ（z）=0=^φz（z）。（5.1）该FBP是一个时间齐次的两相Stefan问题（Fasano和Primicero，1997），两个域之间存在过渡，其中一个域的附加驱动项为λ。在下面的公式中，我们给出了FBP（5.1）的解。我们省略了这个命题，因为它与命题4.1相似。提议5.1。假设c>rb。[0，z]上自由边界问题（5.1）的解由^φ（z）给出=1 +铬- Bzbαzzbα-crz，如果0≤ Z≤ zb，crzh1-αα-αzzα+α-1α-αzzα-zzi，如果zb<z≤ z、 （5.2）其中α和α如（4.6）所示。自由边界zis由z=crα给出- 1αzαb0（5.3），其中zb0∈ （0,1）唯一解（4.7），且zb=zzb0。

此外，^φ在[0，z]上是递减的和凸的，它是C，除了在z=zb处，它是cw，具有左二阶导数和右二阶导数。在NEXT部分，我们证明了FBP（5.1）的解与达到遗赠目标的最大概率密切相关。5.2自由边界问题与达到遗赠目标的最大概率之间的关系在本节中，我们证明了FBP（5.1）解的勒让德变换实际上是c>rb时达到遗赠目标的最大概率。为此，请注意，由于（5.2）中的^φ是凸的，我们可以通过Legendretransform定义其凹对偶，如第4.2节所示。提议5.2。假设c>rb。通过Φ（w）=min0确定[0，c/r]上的Φ≤Z≤^φ（z）+wzi，（5.4），其中^φ在（5.2）中给出。然后，在[0，c/r]上达到遗赠目标的最大概率等于Φ。证据在命题4.2的证明中，我们推导出Φ是w的一个增凹函数，并在[0，c/r]上解出以下BVP。λΦ - 1{w≥b}= （rw）- c）Φw+maxπ(u - r） πΦw+σπΦww,Φ（0）=0，Φ（c/r）=1。（5.5）由引理2.1可知，[0，c/r]上的φ=Φ。我们将命题5.1和命题5.2的结果组合在下面的定理中。定理5.3。如果c>rb，那么达到遗赠目标的最大概率为φ（w）=cr（α）-1)(1-α)α-α-zzα-1+zzα-1.z、 如果0≤ W≤ b、 一,-铬- Bzbp铬-西铁-Bp、 如果b<w≤cr.（5.6），其中Zi在命题5.1中给出，其中p=αα-1> 1. 给你一杯∈ [0，b]，z∈ [zb，z]唯一解（4.14）。当财富等于w时，风险资产的最优投资金额由π给出*（w）=u-rσcr（α）-1)(1-α)α-ααzzα-1.- αzzα-1., 如果0≤ w<b，u-rσcr-可湿性粉剂-1，如果b<w≤cr.（5.7）备注5.1。

我们发现有趣的是，当财富大于遗赠目标b时，最优投资策略与相应的最小化终身破产概率的投资策略相同（Young，2004），这与破产水平无关。一旦财富超过了遗赠目标b，我们的个人投资就像一个最小化了终身破产概率的人。备注5.2。Browne（1997年，第3.1节）考虑了与本节中的问题相关的一个问题，具体而言，对于一个完整的个体，最大化财富在a<b之前达到任何b<crb的概率，即λ=0。当财富达到aor b时，游戏就停止了。投资风险资产的最佳金额为u-rσ（p-1)λ=0·铬- W=2ru-R铬- W,其中p=αα-1，这与λ=0时最小化终身破产概率的最优投资策略相同（Young，2004）。对于介于0和b之间的财富，在（5.7）中给出的最佳投资策略与在（4.15）中给出的相同；因此，我们在第4节中推导的许多性质。π为3*（w） 当0<c时≤ rb等待w∈ [0，b）当c>rb时。特别是，正如我们在命题4.4中所证明的那样，（5.7）中的最优投资策略，因为财富少于b，与b无关，这是一个显著的结果。为了空间起见，我们不包括4.5、4.6和4.7中的位置类似物。相反，我们包含了两个与本节中考虑的具体情况相关的命题，即当c>rb时。在Fir s t命题中，我们表明，当b接近0时，则φ和π*方法1减去价值函数和最小化终身破产概率问题的最优投资策略（Young，2004）。提议5.4。当b接近0时，φ和π*方法1-1.-rwcp、 和u- rσcr- 可湿性粉剂- 分别为1，表示0<w<c/r证明。

为了证明这个命题，这就足以证明这一点→0铬- Bzb=p.（5.8）为此，请注意，当b接近0时，zb0接近e1。然后，从（5.3）中，我们看到了接近srpc，这也是zb的极限，因为zb0=zb/z。因此，我们展示了（5.8）。命题5.4告诉我们，定理m 5.3中给出的解在b=0时是连续的。另外，通过比较定理4.3和5.3，我们可以看到φ和π*在c=rb时是连续的。在第二个命题中，具体到c>rb的情况，我们比较π*（b）-) π*（b+）。提议5.5。如果c>rb，则tπ*（b）-) =u - rσcr（α）- 1)(1 - α)α- ααzα-1b0- αzα-1b0,π*（b+）=u- rσcr- 英国石油公司- 1，带π*（b）-) > π*（b+）。证据π的表达式*（b）-) π*（b+）从（5.7）开始。为了证明π*（b）-) > π*（b+），替换- π中的b*（b+）的左侧为（4.7），并简化为所需不等式等于-α> α，这是真的，因为α<0。备注5.3。我们期望π*（b）-) > π*（b+）因为对于财富低于b的人来说，为了实现她的遗赠目标，投资者不会承担更多的财务风险。一旦她的财富超过B，她就会变得更加保守，并在消费的同时寻求保存自己的财富，比如在最小化终生ru in概率的问题上。6.与Browne（1997）工作的关系在本文中，我们最大化了达到特定遗产目标b>0的概率。我们的问题与Browne（1997）的目标达成问题有关，但不同。首先，布朗（1997年，第3.1节）最大化了财富在达到a<b之前达到b<c/R的概率。布朗的游戏在财富达到b时结束。相比之下，对于我们所考虑的问题，游戏一直持续到个人死亡或财富达到0。

有关进一步讨论，请参见备注5.2。其次，Browne（1997年，第4.2节）最大化了实现agoal b的折扣回报≥ c/r如果W∈ [c/r，b]；如果将贴现率解释为风险率，那么我们的两个问题在数学上是等价的。然而，Browne（1997年，第4.2节）中的解决方案隐含地限制了投资策略，即如果∈ [c/r，b]，然后是WT∈ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.相比之下，在方案4中，我们不会以这种方式限制我们的投资策略，即使W=W<c/r，我们也不会解决问题≤ b、 有关进一步讨论，请参见备注4.1和4.4。我们还指出，我们在第5节中考虑的B<c/r的情况在Browne（1997）中没有考虑，除非在备注5.2中讨论过。或者，布朗在定理4.2中的解隐式地将c/r视为破产水平。相比之下，我们的破产水平为0，因此允许个人进行更积极的投资，因为如果财富低于c/r，博弈将继续。因此，p问题的值函数严格大于布朗在定理4.2中提出的值函数；请参见第4.9条和备注4.4。如备注3.1所述，当c=0时，我们的解决方案与Browne的相同。否则，第3.2、4和5节中的结果是新的，因为考虑的问题实际上是不同的。Browne c考虑了在达到a<b之前达到目标b的问题，在他的第4.2节中，a=c/r。另一方面，我们考虑的目标是在破产之前，即财富达到0时，在死亡时达到遗产b（达到遗产b，然后下降到遗产b以下，不计算在内）。我们对b>0的所有级别都这样做。

在b>c/r且Browne的贴现系数等于个人危险率的特殊情况下，第一次达到b与死亡时必须准确达到目标是同一个问题；因此，人们会认为布朗和我们的解决方案是一样的。然而，Browne隐式假设c/r为破产水平，而wetake该水平为0；因此，我们的解决方案有所不同。7.总结和未来工作我们确定了最佳策略π*投资风险资产，以最大化达到特定福利目标b的概率。以下是我们的结果摘要我们得到了φ和π的闭式表达式*当消费率为0时，半显式表达式为正对于0<c≤ rb，我们证明了φ的凸Legendre对偶是最优s-topping问题的值函数对于c>rb，我们证明了φ的凸Legendre对偶是时间齐次的两相Stefan问题的解对于小于b的财富，我们证明π*与b无关。对于大于b小于c/r的财富，我们证明π*与最小化终身破产概率时的最优投资策略相同我们证明了问题的解在c=0、c=rb和b=0时是连续的。在未来的工作中，我们将加入一系列受本文启发的问题。

特别是，当（1）市场包括人寿保险，这是一种专门为帮助实现遗赠目标而设计的金融工具，（2）消费是我们财产的一个不断增长的函数，以及（3）金融市场包括人寿年金以覆盖部分或全部消费时，我们将解决最大化实现遗赠目标的可能性的问题。感谢第一作者的研究部分得到了国家科学基金会DMS-0955463拨款和Susan M.Smith精算数学教授的支持。第二作者的研究部分由Cecil J.和Ethel M.Nesbitt精算数学教授支持。参考Bayraktar、Erhan、S.David Promislow和Virginia R.Young（2014a），购买人寿保险以实现遗赠目标，保险：数学和经济学，58:204216。Bayraktar、Erhan、S.David Promislow和Virginia R.Young（2014b），购买人寿保险以实现遗赠目标：与时间相关的案例，将发表在《北美实践杂志》上。Bayraktar，Erhan和Virginia R.Young（2007），寿命最小值与消费、金融和随机性效用之间的相关性，11（2）：213-236。Browne，Sid（1997），《有负债的生存与增长：不连续时间内的最优投资组合策略》，运筹学数学，22（2）：468-493。Browne，Sid（1999a），《击败移动目标：超越随机基准的最优投资组合策略》，金融与随机，3（3）：275-294。Sid Browne（1999b），《在截止日期前实现目标：数字期权和持续时间主动投资组合管理》，应用概率的进展，31（2）：551-577。杜宾斯、莱斯特·E.和伦纳德·J·S·阿瓦奇（19651976），《如果你必须赌博，如何赌博：随机过程的不等式》，1965年版，麦格劳·希尔，纽约。

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