风险敏感基准资产管理的博弈论方法

（3.6）我们注意到，Wh，γt，Wt+θZt（h′s∑）- 根据Girs-anov公式，γ′s）ds（3.7）是在Ph、γ和因子过程满足度（dXt=（b+BXt）下的标准布朗运动-θ∑′ht- γt）′dt+dWh，γt（3.8）步骤2 HJB方程取期望值w.r。t乘以物理量P，并将等式（3.3）的两边乘以-2θ之后是（3.4-3.5）的度量参数的变化，我们认为新的路径函数定义为asI（f，x，h，γ，t，t）=log f-θlogeh，γ[exp{θZT-tg（Xs，hs，γs，rs+t；θ）ds}]（3.9），然后对应于新路径函数I的游戏的uppe r值函数和低值函数u和u分别由以下公式给出：\'\'u（t，x）=suph∈H（T）infγ∈Γ（T）I（f，x，h，γ，T，T）（3.10a）u（T，x）=infγ∈Γ（T）suph∈H（T）I（f，x，H，γ，T，T）（3.10b）u（T，x）=u（T，x）=u（T，x）（3.10c）如果一对控制满足（3.10c），那么对应于新路径函数I的博弈具有值u，并且控制的部分构成了关于I的博弈的鞍点策略。Le T指数变换函数I被定义为I=exp(-θI）a和u（t，x）：=exp(-θu（t，x））。我们现在考虑的问题是确定对应于newpath泛函I的对策的鞍点平衡。我们称这个问题（P2），它的形式化表述如下：问题P2获得^h∈ H（T）和^γ∈ Γ（T）使得，~u（T，x）=infh∈H（T）supγ∈Γ（T）~I（f，x，h，γ，T，T）=supγ∈Γ（T）infh∈H（T）~I（f，x，H，γ，T，T）=E^H，γ[exp{θZT-tg（Xs，^hs，^γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]（3.11）我们现在为这个游戏提供一个验证引理。让我们首先定义过程Yh，γ（t）bydYh，γ（t）=dtdXt=dt（b+BXt）-θ（h′t∑）- γ′t）dt+dWh，γt让y，（t，x）。ω的控制过程为h（t）=h（t，ω）和γ（t）=γ（t，ω）∈ Ohm 可以假设是马尔可夫的。设O=（0，T）×Rn。

那么过程Yh，γ（t）是一个马尔可夫过程，它的生成元Ah，γ是一个函数u（t，x）∈ C（[0，T]×Rn）由，~Ah，γ~u（T，x）给出=~u（t，x）t+（b+Bx）-θ∧∑′h- γ） ）\'Du（t，x）+tr（∧∧∧*Du（t，x））（3.12），其中Du（t，x）( ~u（t，x）十、 ~u（t，x）xn）′和Du（t，x）是由Du（t，x）定义的矩阵[~u（t，x）xixj]，i，j=1，2。。。，n、 步骤3通过应用Feynman-Kac公式，可以从（3.11）中推断出，HJBI Pdeforu（t，x）的计算公式为：~A^h，^γ+θg（x，^h，^γ，r；θ）~u（t，x）=0（3.13）反转指数变换，除以-（θ/2）~u（t，x），我们可以从（3.13）中推断，u（t，x）的hjbi偏微分方程是h的∈ Rmandγ∈ R（m+n）byA^h，^γu（t，x）=0（3.14），其中算符Ah，γ由Ah，γu（t，x）给出=u（t，x）t+（b+Bx）-θ∧∑′h- γ） ）′Du（t，x）+tr（∧∧′Du（t，x））-θ（Du（t，x））′∧∧′Du（t，x）- g（x，h，γ，r；θ）（3.15）在下一节中，我们根据标准函数I为游戏提供验证引理。4为游戏提供验证引理P 4我们现在提供与游戏相关的验证引理（PII）。提议4.1。假设w∈ C1,2（O）∩ C（\'O）（是O上关于x的两次可微分函数的s步，一次是O上关于t的连续可微分函数，并且在\'O\'上是连续的）。假设存在一个（马尔可夫）控制^h（y），^γ（y），使得1。（~Ah，^γ（y）+θg（x，h，^γ（y），r；θ） ）[（w（y））]≥ 0 H∈ Rm；2.（~A^h（y），γ+θg（x，^h（y），γ，r；θ） ）[（w（y））]≤ 0 γ ∈ Rm+n；3.（~A^h（y），^γ（y）+θg（x，^h（y），^γ（y），r；θ） ）[（w（y））]=0 Y∈ O；4.（~w（T，XT））=f-θ/2.定义，Z（s）=Z（s）（h，γ）=θZsg（Xτ，hτ，γτ，rt+τ；θ）dτ(4.1)5.

呃，γ[RT-tD~w′（t+s，Xs）∧e~ZsdWh，γs]=0 H∈ Rm， γ ∈ Rm+nNow，为每个y定义∈ O和h∈ H（T）和γ∈ Γ（T），~I（f，x，h，γ，T，T）=exp(-θI（f，x，h，γ，t，t））=Eh，γ[exp{θZT-tg（Xs，hs，γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]，那么（^h（y），^γ（y））是一个最优（马尔可夫）控制，也就是说，~w（0，x）=~u（0，x）=~i（f，x，^h，γ，0，T）=infh∈H（T）{supγ∈Γ（T）[I（f，x，h，γ，0，T）]}=supγ∈Γ（T）{infh∈H（T）[I（f，x，H，γ，0，T）]}=supγ∈Γ（T）~I（f，x，^h，γ，0，T）=infh∈H（T）~I（f，x，H，^γ，0，T）=~I（f，x，^H，^γ，0，T）证明将伊藤公式应用于~w（s，Xs）e~Zs得到（~w（T+s，Xs）e~Zs）=e~Zs（~Ah，γ+θg（Xs，hs，γs，rs+t；θ））[（~w（t+s，Xs））]ds+e~Zs（D~w（t+s，Xs））dWh，γs~w（t，XT）-t） 中兴通讯-t=~w（t，x）+ZT-t（~Ah，γ+θg（Xs，hs，γs，rs+t；θ））~w（t+s，Xs））e~Zsds+ZT-t（D~w′（t+s，Xs）∧）e~ZsdWh，γs（4.2）根据命题陈述的条件（4），我们得到~w（t，XT）=f-θ/2. 取关于Ph，γ，s e tting t=0的期望值，并使用命题we g etEh，Γ[~w（t，XT）e~ZT]的条件（1）和（5）≥ ~w（0，x），因为这个不等式适用于所有h∈ 我们有∈H（T）Eh，Γ[f-θ/2eZT]≥ 所以我们有，supγ∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≥ infh∈H（T）Eh，Γ[f-θ/2eZT]≥ ~w（0，x）（4.3）同样地，设置t=0，我们得到，利用命题的条件（2），我们得到下面的下界，E^h，γ[~w（t，XT）E~ZT]≤ ~w（0，x），因为该不等式适用于所有γ∈ Γ（T）我们有supγ∈Γ（T）E^h，γ[f]-θ/2eZT]≤ 所以我们有，infh∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≤ supγ∈Γ（T）E^h，γ[f]-θ/2eZT]≤ w（0，x）（4.4）同样，设置t=0，使用命题的条件（3），使用（3.11）中u的定义，我们得到，E^h，E^γ[~w（t，XT）EZT]=~w（0，x）=E^h，E^γ[exp{θZTg（Xs hs，γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]（4.5）supγ自动成立∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≤ infh∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]。

（4.6）相反地，从（4.3）、（4.4）和（4.5）我们得到∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]≤ ~w（0，x）≤ 怎么了∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]（4.7）因此我们有fr om（4.6）和（4.7），supγ∈Γ（T）infh∈H（T）Eh，γ[f-θ/2eZT]=infh∈H（T）supγ∈Γ（T）Eh，γ[f-θ/2e~ZT]=w（0，x）=E^h，^γ[f-θ/2eZT]（4.8）推论4.2（3.11）给出的指数变换问题的容许（最优）策略也适用于（3.10c）问题。形式上，u（0，x）=suph∈H（T）{infγ∈Γ（T）[I（f，x，h，γ，0，T）]}=infγ∈Γ（T）{suph∈H（T）[I（f，x，H，γ，0，T）]}=infγ∈Γ（T）I（f，x，^h，γ，0，T）=suph∈H（T）I（f，x，H，^γ，0，T）=I（f，x，^H，^γ，0，T）证明了值函数u和u通过严格单调连续变换u（T，x）=exp(-θu（t，x））。因此，指数变换问题的可容许（最优）策略也是问题（3.1 0c）的可容许（最优）策略。5解决风险敏感的零和随机微分博弈步骤5我们寻求找到（3.12）中定义的博弈的值函数u。我们猜想一个解是C1,2类（（0，T）×Rn）的解，并证明该猜想满足命题4.1给出的验证方程的所有条件。验证引理的条件（1）-（4）可以用压缩形式assuph编写∈H（T）infγ∈Γ（T）Ah，γu（T，x）=0；u（T，x）=logf（5.1）根据黑田东彦和长井[11]中的结果，我们将寻找由u（T，x）=x′Qtx+q′tx+kt给出的u，其中q是n×n对称矩阵，q∈ Rnand k是一个标量。将此形式代入（3.15）我们得到，γu（t，x）=x′dQtdtx+dqtdt′x+dqtdt+b+Bx-θ∧∑′ht- γ（t））′（Qtx+qt）+（λ∧′QtQ′t∧′t∧）-θ（Qtx+kt）′∧∧′（Qtx+kt）-（θ+1）h′t∑′ht+rt- （αt+βx）+h′t（a+Ax）- rt1）+θ（h′t∑γ+γ′∑ht）-(θ- 1） γ′tγt（5.2）注释5.1，因为所考虑的博弈是针对风险规避投资者θ>0。

此外，根据（5.5）中^γ的表达式，θ6=2。这就剩下两种可能性：θ∈ （0，2）或θ∈ (2, ∞). 为了使最优策略（^h，^γ）成为博弈的鞍点均衡，我们希望h中的二次项为负定义，而γ中的二次项为正定义。事实上，对于选择θ>0，h中的二次项是负定义，而对于θ<2，γ中的二次项是正定义。在我们的例子中，θ的有效范围在0和2之间，排除了θ范围的其他两种可能性。我们现在求解^γ的一阶条件，使整个γ上的A^h，γu（t，x）最小化∈ Rn+m:（2）- θ） ^γt- θ∑′ht- ^γ′）du（t，x）=0（5.3）^h的一阶条件，它使整个h上的Ah，^γ（y）~u（t，x）最大化∈ u（t，x）的Rmin项是，^ht=（θ+2）（∑′）-1[dt+θ∑∑γt-θ∑∧′Du（t，x）]（5.4）将（5.4）中得到的^h代入（5.3）得到^γt=θ2- θ∑′ht- ∧′Du（t，x）]（5.5）最优控制^ht是全局最大值，而^γ是t的全局最小值≤ [0，T]。

我们将（5.1）中的^hfrom（5.4）和（5.5）中的^γ替换为a^h，^γu（t，x）=0；u（T，x）=logf（5.6）然后，我们将得到的所有二次项、线性项和常数组合在一起，从而得出结论，选择u（T，x）=x′Qtx+q′tx+kt确实是HJBI PDE（5.1）的解决方案，前提是：，q和k满足以下微分方程组：o一个与四次项系数有关的矩阵李卡蒂方程，用于确定对称非负矩阵Qt，给定为dqtdt=QtKQt+k′Qt+QtK+22- θ(2 - θ） A′（∑∑）-1)-1A=0≤ T≤ T、 QT=0（5.7），其中k=-θ2(2-θ)ΛΛ′+2θ(2-θ)(2-θ)ΛΣ′(ΣΣ′)-1∑∧′K=B-2θ(2-θ） A′（∑′）-1∑∧′o以下线性常微分方程由n元素列向量q（t）dqtdt+（K′+QtK）qt+q′tb+（a- r（t）1′（∑′）-1[-2θ(2 - θ） ∑∧′Q（t）+（2）- θ)(2 - θ） A]- βtqT=0（5.8）o以下线性常微分方程由常数ktdktdt+tr（∧∧′Qt）+rt满足：- αt-2θ(2 - θ） （a）- r（t）1′（∑′）-1∑∧′q（t）+2- θ(2 - θ） （a）- r（t）1）-1(ΣΣ′)-1（a）- r（t）1）+θ（2）- θ)(2 - θ） q′（t）∧∑′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ4(2 - θ） q′（t）∧∧′q（t）kT=log f（5.9）命题4.1中的条件4就u施加了（5.9）中的终端条件。如果Kis为正定义，则Riccati方程（5.7）的唯一解Qt适用于所有t≤ T正不确定性的这一特性源于将解qt解释为卡尔曼滤波器观测值的协方差矩阵，用于估计动态系统的状态（详见定理4.4.1 inDavis[5]）。

QT的唯一性遵循一阶微分方程的标准存在唯一性理论（见Davis[5]中的命题4.4.2）。如果≈u=exp，则很容易看到(-θu）用于选择提案4.1中的u满足条件（5）。命题5.2 Eh，γ[RT-te~Zs（D~u′（t+s，Xs）∧）dWh，γs]=0。根据（3.11）中u的定义证明，对于属于Γ（T）的任何最优控制，策略^h≡ 0是次优的，因此将提供u的上界。进一步，对于零基准情况，即710;γ≡ 0，我们现在就可以得到<<u>>u（t，x）=infh的上界∈H（T）Eh，^γ[exp{θZT-tg（Xs，hs，^γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]≤ E0，^γ[exp{θZT-tg（Xs，0，^γs，rs+t；θ）ds}f-θ/2]∴ ~u（t，x）≤ E0,0[exp{θZT-tg（Xs，0，0，rs+t；θ）ds}f-θ/2]=exp(-θZT-trs+tds）f-θ/2 now Q和Q是o.d.e系统的解，因此是有界函数的积分。HenceQ和q是时间t的连续函数∈ [0，T]，因此在[0，T]上有界。矩阵∧是阿肯恩常数。根据随机微分方程的标准存在唯一性结果（参考Oksendal（[14]），我们有X∈ L(Ohm, F、 Ph，γ）。因此，从上界o nu，注释3.1和tDu（t，Xt）=QtXt+qtis在L中的事实来看(Ohm, F、 Ph，γ），我们有Eh，γ（[Du∧eZ，Du∧eZ]t）<∞ T∈ [0，T]。我们有呃，γ[RT]-tD~u′（t+s，Xs）∧e~ZsdWh，γs]=0。。很明显，我们的g=exp(-θu）满足提案N4.1的条件（1）-（5）。因此，我们的选择u实际上是博弈（P2）的值，而控制ls^h，^γ是该博弈的鞍点均衡。引理5.2对于控制空间H（T）和Γ（T）的选择，我们有[E]-θZ[（QtXt+qt）∧+（h′t∑- γ′t）]dWtT] =1（5.10）证明：根据Kazamaki条件，参考（Oksendal[14]），（5.10）保持ifE[exp（Rtθ（（QsXs+qs）λ+（h′s∑）-γ′s）dWs）]∞  T∈ [0，T]。

因此，通过应用柯西-施瓦茨不等式，我们得到了E[exp（Ztθ（（QsXs+qs）λ+（h′s∑）- γ′s）dWs）]≤ （E[eRtθ（QsXs+qs）∧dWs]）1/2（E[eRtθ（h′s∑）-γ′s）dWs]）1/2然而对于E[eRtθ（QsXs+qs）∧dWs]<∞ 要保持不变，就足以证明[eRTθ（QsXs+qs）∧∧′（QsXs+qs）ds]给出的Novikov条件<∞ 持有参考（Oksendal[14]）。由于X是高斯过程，而qt和qt是确定性的，（QtXt+qt）λ是高斯的，因此通过完成下面OREM 5.3中详述的平方参数，我们得到了E[eRTθ（QsXs+qs）λ′（QsXs+qs）ds]<∞ 保持，因此E[eRtθ（QsXs+qs）∧dWs]<∞ T∈ [0，T]已验证。（E[eRtθ（h′s∑）-γ′s）dWs]）1/2<∞ 通过CauchySchwartz不等式的类似应用，以及之前在定义控制空间H（T）和Γ（T）时所做的假设，验证了该方法的有效性。因此，Kazama-ki条件成立，结论如下。定理5.3如果（5.7）存在解Q，则策略（^h，^γ）定义为^ht=（θ+2）（∑∑′）-1[dt+θ∑γt-θ∑∧′（QtXt+qt）]（5.11）^γt=θ2- θ∑′ht- ∧′（QtXt+qt）]（5.12），其中q是（5.8）的解，可容许，即h∈ H（T）和γ∈ Γ（T）和对于有限域对策问题（P1）是最优的，即u（0，x）=suph∈H（T）infγ∈Γ（T）J（f，x，h，γ，T；θ）=infγ∈Γ（T）suph∈H（T）J（f，x，H，γ，T；θ）=infγ∈Γ（T）J（f，x，^h，γ，T；θ）=suph∈H（T）J（f，x，H，^γ，T；θ）=J（f，x，^H，^γ，T；θ）=x′Qx+q′x+k第5节（^H，^γ）中导出的控制形成（P2）博弈的鞍点平衡。

Weaim证明了这些控制实际上对于问题（P1）也是可容许的和最优的。根据（5.11）和（5.12）中的^h和^γ表达式，我们注意到-θ（QtXt+qt）∧+（^h′t∑- ^γ′t）可以在Xtas X′tvt+vt中提前写入，其中，常数vt和vt由，vt=-θQ′（t）∧+θ（θ）- 1)(2 - θ） A′（∑′）-1ΣΛ′+θ(θ - 1)2 - θQ′（t）∧∑′（∑∑′）-1（a）- r1）-2θ(θ - 1)(2 - θ)(2 - θ） Q′（t）∧∑′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ(2 - θ） Q′（t）∧∧′Q（t）。vt=-θq′（t）∧+θ（θ）- 1)(2 - θ） （a）- r1）′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ(θ - 1)(2 - θ)(2 - θ） q′（t）∧∑′（∑∑′）-1∑∧′q（t）-θ(2 - θ） q′（t）∧∧′q（t）因为X满足SDE，dXt=（b+BXt）dt+dWt，所以E | Xt |≤ E | X（0）|+| b | T+| b | RtE | Xs | ds。根据Gronwall不等式，因此E | Xt |≤ （E | X（0）|+| b | T）exp（|b | T）和Cov（Xt）=∧′T.让φ（T），vtXt+vt.我们现在显式地计算E[Eδ|φT |]对于一些δ>0，因为第12节引理2中的注释2（Gihman和Skorokho d[9]）暗示诺维科夫的条件成立。设Rt=e-BtXt+e-bt.因此dRt=e-Bt∧dWt。因此Rtis是高斯过程，因此φtis是带漂移的高斯过程。也就是ut=E[|φt |]≤ sup0≤T≤T | vt |（E | X |+|b | T）exp（|b | T）+sup0≤T≤T | vt |和∑T=Cov（φT）≤ v′t∧′vt。因此，平均值为u和协变数nc e∑皮重，以t为界。我们使用以下平方等式完成：z′Az+b′z+c=（z+A-1b）′A（z+A）-1b）+c-b\'A-1b。E[Eδ|φt |]=ZRn2πn/2 |∑t∑t | 1/2eδ|φ| te-(φ-ut）′（∑t∑t）-1(φ-ut）DX。。。dxn=2πn/2 |∧∑t∧∑′t | 1/2ZRne-φ′(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1φ+2u′（t）（∑t∑t）-1φ-u′t（∑t∑t）-1utdx。。。。dxn=|（|∑′t∑t）|-1/2|(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1|-1/2×e-u′t（∑t∑t）-1ut+4u′t（∑t∑t）-1(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1（△∑t△∑′t）-1utMatrix（△∑t△∑t）-1是具有最低e igen值的对称正定义，比如λmin。那么很容易证明，对于δ<λmin，矩阵(-2δI+（△∑t△∑′t）-1)-1这是积极的定义。

以及由此得出的事实，即utand∑t以t为界≤ 因此存在常数C，使得e[eδ|φT |]≤ C.因此，最优控制^h，^γ属于各自的容许类，即。H（T）和Γ（T）。最优性定义的证明，Zs=Zs（h，γ）=θZsg（Xτ，hτ，γτ，rt+τ；θ）dτ- （h′τ∑）- γ′τ）dWτ-θ（h′τ∑）- γ′τ′（h′τ∑）- γ′τ）dτ（5.13）还定义了χ（t，x）=-θ（u（t，x）- logf）和Lu（t，x）=tr（∧∧′Du（t，x））+（b+Bx）′Du（t，x），因此我们有χ（t+s，Xs）=-θ(Ut+Lu）（t+s，Xs）ds-θDu（t+s，Xs）′∧dWsHence，d exp{χ（t+s，Xs）}exp{χ（t+s，Xs）}=-θ(Ut（t，x）+Lu（t+s，Xs）-θDu（t+s，Xs）′∧dWs+θDu′∧′Du（t+s，Xs）dsand so，d exp{χ（t+s，Xs）}exp{Z（s）}exp{χ（t+s，Xs）}exp{Z（s）}-θ(Ut（t，x）+Lu（t+s，Xs）-θDu（t+s，Xs）′∧dWs+θDu′∧∧′Du（t+s，Xs）ds+θg（Xs，hs，γs，rs+t；θ）ds-θ（h′（s）∑- γ′（s））dWs+θ（h′（s）∑- γ′（s）∧′Du（t+s，Xs）dsfr-om（3.15），我们有exp{χ（t，X（t- t） ）+Z（t- t） }=exp（χ（t，x））expZT-T-θ（Ah，γu（t+s，Xs））ds-ZT-tθ[Du（t+s，Xs）′∧+（h′t∑- γ′t）]dWt-ZT-tθ[Du（t+s，Xs）′+（h′t∑- γ′t）[du（t+s，Xs）′+（h′t∑- γ′t）]ds（5.14）我们已经证明，美国满足命题4.1的条件（1）-（5），因此符合命题4的条件（4）。1，我们有χ（T，x）=0。