风险敏感基准资产管理的博弈论方法

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英文标题：
《Game-theoretic approach to risk-sensitive benchmarked asset management》
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作者：
Amogh Deshpande and Saul D. Jacka
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this article we consider a game theoretic approach to the Risk-Sensitive Benchmarked Asset Management problem (RSBAM) of Davis and Lleo \\cite{DL}. In particular, we consider a stochastic differential game between two players, namely, the investor who has a power utility while the second player represents the market which tries to minimize the expected payoff of the investor. The market does this by modulating a stochastic benchmark that the investor needs to outperform. We obtain an explicit expression for the optimal pair of strategies as for both the players.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了一种博弈论方法来解决Davis和Lleo\\cite{DL}的风险敏感基准资产管理问题（RSBAM）。特别地，我们考虑了两个参与者之间的随机微分博弈，即拥有幂效用的投资者，而第二个参与者代表试图最小化投资者预期收益的市场。市场通过调整投资者需要超越的随机基准来实现这一点。我们得到了双方最优策略对的显式表达式。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Game-theoretic_approach_to_risk-sensitive_benchmarked_asset_management.pdf (225.03 KB)

2022-5-7 21:39:26 上传

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关键词：资产管理 博弈论 Optimization Quantitative Differential

风险敏感基准资产管理的博弈论方法。阿莫·德什潘德*和索尔·杰卡***利物浦大学数学科学系金融和精算数学研究所和英国华威大学统计系。电子邮件：addeshpa@gmail.com**英国华威大学统计系。电邮：S.D。Jacka@warwick.ac.ukAbstractIn本文考虑了Davis和Lleo[6]提出的风险敏感基准资产管理问题（RSBAM）的博弈论方法。特别是，我们考虑了两个参与者之间的随机差异博弈，即，拥有权力效用的投资者，而第二个参与者代表试图最小化投资者预期收益的市场。市场通过调整投资者需要的随机基准来实现这一点。对于两个玩家，我们得到了一个最优策略对的表达式。关键词：风险敏感控制，零和随机微分对策。1简介在本文中，我们将开发一个连续时间优化模型的博弈论版本，该模型采用风险敏感控制方法，具体称为风险敏感控制组合优化（RSCPO）。RSCPO平衡了投资者对最大化预期财富增长率的兴趣，以及由于实际利率偏离预期而产生的风险厌恶。投资者风险规避的主观概念由一个单一变量（比如θ）进行参数化。更正式地说，我们将单位HORIS k敏感优化标准写为：最大化，JT，h:=-θloge[E-θF（T，h）]，其中F（T，h）是与控制h相对应的时间T值奖励函数。在最优投资问题中，我们取F（T，h）=对数V（T），其中V（T）是与投资组合集合分配h相对应的投资组合的时间T值。

上述判据yieldsJT，h=E[F（T，h）]-θV ar（F（T，h））+O（θ）从这个表达式可以清楚地看出，这个标准在使投资组合收益最大化的同时使风险最大化。最优期望效用函数依赖于θ，是效用优化的传统随机控制方法的推广，即现在投资者的风险规避程度通过θ显式参数化，而不是通过外生效用函数将其引入问题。θ>0 cor的值对应于风险厌恶型投资者，θ<0对应于ris k-seeking投资者，θ=0对应于风险中立型投资者，后者最大化jt，h:=E[F（T，h）]关于有限时间范围内的遍历问题已有大量研究：max′J∞“J”在哪里∞= lim inft→∞-θt-1日志E[E]-θF（t，h）]尽管这类问题本身很有趣，但由于最优控制的非唯一性，它们不容易适用于实际的资产管理。在过去十年中，风险敏感控制在资产管理中的应用激增。Lefebvre和Montulet[12]首次将风险敏感控制应用于解决公司财务问题。Fleming[8]首次表明，一些投资优化模型可以重新表述为风险敏感的控制问题。Bielecki和Pliska[2]考虑了一个具有n个证券和m个经济因素且没有交易成本的模型。他们是最早将连续时间风险敏感控制作为实用工具应用于解决“现实世界”投资组合选择问题的公司。

他们考虑了一个长期资产配置问题，并提出将投资者财富的对数作为回报函数，因此投资者的目标是最大化其投资组合的风险敏感（对数）回报。在严格假设证券和经济因素具有独立噪声的情况下，他们推导了最优控制，并求解了相关的哈密顿n-Jacobi-Bellman（HJB）偏微分方程。在[3]中，Bielecki和Pliska继续研究风险敏感资产管理标准的经济属性，然后在[4]中将资产管理模型扩展为跨期CAPM。Fleming和Sheu[7]分析了一个类似于Bielecki和Pliska[2]的投资模型。然而，在他们的模型中，因子过程和证券价格过程是相互关联的。黑田东彦（Kuroda）和长井（Nagai）[11]做出了重大贡献，他们提出了一种基于测量参数变化的优雅解决方法，将风险敏感控制问题转化为二次调节器的线性指数。他们在有限的时间范围内解出了相关的HJB P DE，然后研究了与“J”相关的erg-odic HJB PDE的性质∞.最近，Davis和Lleo[6]应用这种度量方法的变化来解决有限期和无限期内的风险敏感基准投资问题（RSBAM），投资者在该问题中选择一个集合配置，以超过给定的财务基准。在黑田东彦和长井模型中，θ代表投资者对总风险的敏感性，而在RSBAM模型中，θ代表投资者对主动风险的敏感性，即投资者为了跑赢基准而愿意承担的额外风险。很明显，为了跑赢随机基准，投资者必须修改其最佳交易策略。

那么，我们感兴趣的问题是：“投资者对反对仓促基准的最坏策略是什么？”？。具体来说，人们甚至可以从黄疸的角度认为，基准将追溯到最坏的情况。例如，如果一个投资组合基金经理的表现优于挫折基准，委托人可能会在最坏情况下，将其重新标记为最佳表现或较差表现。因此，在本文中，我们将在Davis和Lleo[6]的基准框架内考虑这个问题的博弈论版本。在本文中，我们考虑了两个参与者之间的随机差异，即投资者（拥有电力设施）和代表市场的第二个参与者，后者试图最小化投资者的预期收益。我们明确地描述了资产的最优配置和基准指数的最优选择。在本文中，我们考虑了根据可控扩散过程发展的事前基准过程。我们将这种方法与Heath和Platen[10]的方法进行了对比。在他们的方法论中，他们将增长最优投资组合本身作为一个更接近数字投资组合概念的基准。尽管将风险敏感型最优控制应用于金融问题已有很长的历史，但文献中缺少对这类问题的博弈论版本。我们打算现在进一步阐述这一点。在下一节中，我们简要描述了与所需博弈（P1）对应的风险敏感零和随机微分的框架（参见2.8a）。在第三节中，我们重新表述了二次调节器问题（P2）的线性指数下的客观标准（参考3.11）。在第四部分中，我们提供了一个mma验证，它将帮助我们解决这个游戏公关问题。

在第五节中，我们推导了最优控制，并获得了游戏相关价值的显式表达式。这篇文章照常以评论和对未来工作方向的指示作为结束。广义而言，我们的目标是推导博弈的鞍点平衡对（P1）。为了实现这一点，我们首先获得了博弈的鞍点策略（P2）。然后我们证明了（P2）的鞍点均衡也是（P1）的鞍点均衡。2风险敏感的零和随机微分对策我们考虑了一个由m+1组成的市场≥ 2有n的证券≥ 1.影响因素。我们假设证券价格包括一种债券，其价格由O DEdSt=rtStdt，S=S（2.1）决定，其中rti是t的确定函数。其他证券价格和因素假定满足以下条件：SDE\'sdSit=Sit{（a+AXt）idt+n+mXk=1σikdWkt}，Si=Si，i=1。。。，m，（2.2）其中因子过程满足，dXt={（b+BXt）dt+dWt}，X=X∈ Rn（2.3）这里Wt=（Wt）k=1，。。。，n+mis定义在过滤概率空间上的n+m维标准布朗运动(Ohm, F、 P，Ft）。因子过程可以代表宏观经济指标，如GDP、通货膨胀和市场指数数据。股票价格动态受因素过程的调节。因此，人们可以通过使用因子过程Xt调节的股票价格预测，将宏观经济指标的影响纳入投资优化问题。模型参数A、B和∧分别为m×n、n×n、n×（m+n）常数矩阵和A∈ Rm，b∈ 注册护士。常数矩阵（σik）{i=1,2…，m；k=1,2…，（n+m）}将用∑表示，如下所示。在黑田和长井[11]中，假设因子过程和股价过程没有独立的噪声，即∑∧′6=0。这一假设与Bielecki和Pliska[2]相反，他们假设∑∧′=0。

我们假设∑∧′6=0。设Gt=σ（Su，Xu，Lγu；u≤ t） 由基础股票定价过程、因子过程和基准过程Lγ到bγ生成的西格玛场，随后定义到时间t。表示总财富在ITH证券投资中的比例分配的投资策略，用hitfor i=1表示。。。，m、 策略（ht，ht）0≤T≤据说这是T时代的一种投资策略。我们设置S′t:=（St，St，…，Smt）′，h′t:=（ht，…，hmt）′。控制空间H（T）由投资者的Rm值控制组成，如下所示：H（T）是{B[0，T]的集合 Gt}{t≥0}-逐步可测量的随机过程，例如PMI=1hit+ht=1，其中P（RT | hs | ds<∞) = 1. T<∞ E[eRTθh′s∑′hsds]<∞.对于给定的h∈ H（T），过程Vt=vht表示投资者在T时间T控制下的财富，并满足以下SDE动态，dVhtVht=（rt+H′T（（a+AXt）- rt1）dt+h′t∑dWt；Vh=vwhich可以重写为，dVhtVht=（rt+h′tdt）dt+h′t∑dWt；Vh=v（2.4），其中dt，a+AXt- rt1。从方程（2.4）可以看出，如果a+AXt=rt1，即dt=0，则投资组合财富过程的漂移等于无风险利率rt。我们在此假设证券价格波动矩阵∑是一个满秩矩阵。如果它不是满秩，那么对于某些h6=0，h′∑=0。因此，当h′d 6=0导致套利时，市场包含冗余资产，投资组合价值过程的增长率将不同于无风险利率RTH′d 6=0。如果投资组合包含两个或多个冗余资产，例如股票和同一股票的期权，则会出现这种情况。因此，我们移除冗余，直到生成的matr ix∑为满秩，从而确保不存在通过在resultant投资组合中交易进行套利的进一步可能性。

在我们的基准模型中，我们通过一个新的优化标准来表达目标，该标准对应于一个回报函数F，该函数表示资产组合相对于基准的对数收益率，并给出了asF（t；h，γ）=logVhtLγtF（0；h，γ）=log fWe，现在正式陈述了我们解决的风险敏感基准资产管理问题（RSBAM）。问题：风险敏感基准资产管理（RSBAM）我们首先定义了客观标准IAS，J（f，x，h，γ；T），-2θloge[exp[-θF（T，h，γ）]=-2θloge[VhTLγT-θ/2]=-2θloge[U（VhTLγT）]（2.5），其中效用函数U（·）是U:x→ 十、-θ. 基准过程的动力学是一个扩散过程，由一个（马尔可夫）控制γg调节，由dlγtLγt=（αt+βtXt）dt+γ′tdWt（2.6）驱动，其中αt∈ R和β∈ R1×n.控制空间Γ（T）由γ表示的市场控制组成，γ为Rn+m值。Γ（T）由逐步可测量的控制组成，可测量w.r.T至{B[0，T] Gt}t≥其中P（RT |γs | ds<∞) = 1. T<∞ E[EθRTγ′sγsds]<∞ .通过伊藤公式的简单应用，我们得到：dF（t，h，γ）=d log（VhtLγt）=F（t，h，γ）{[rt+ht′（a+AXt- rt1）- （αt+βtXt）-h′t∑′ht+γ′tγt]dt+（h′t∑）- γ′t）dWt}（2.7）我们现在可以正式陈述这个游戏的博弈论版本。对于给定的θ>0，我们考虑两个参与者之间的随机差异博弈，即投资者（具有幂效用）U和调节给定γ的收益的人∈ Γ（T）通过控制h∈ H（T）。另一方面，第二方，比如说市场，通过调整给定控制h的控制γ，为投资者设定一个基准，使其表现出与投资者相反的行为。

这可以被概念化为一方投资者与另一方市场之间的风险敏感零和随机微分博弈，并被形式化为以下问题（P1）获得^h∈ H（T）和^γ∈ Γ（T）使得J（f，x，^h，^γ；T）=suph∈H（T）infγ∈Γ（T）-2θloge[（VhTLγT）-θ] =infγ∈Γ（T）suph∈H（T）-2θloge[（VhTLγT）-θ] （2.8a）这可以解释为RSBAM问题的博弈论版本。备注2.1：问题设置（P1）是黑田东彦和长井[11]以及戴维斯和莱奥[6]的延伸。然而，前者不考虑基准版本，即基准指数实际上是[11]中的一个，而Davis a和Lleo[6]虽然有一个基准投资组合标准，但他们解决了一人优化问题，而不是两人鞍点问题。根据刚才讨论的数学预备知识，我们正式阐述了解决零和随机微分对策（P1）的计划。第一步，我们将原客观标准重新表述为幂效用函数，再转化为积分函数的指数。第2步定义与积分函数指数相关的新路径函数I（f，x，h，γ，t；t）（参考等式（3.9））。定义u（t，x）为上限值函数，而u（t，x）为与I相关的游戏的下限值函数。将与该目标函数相关的游戏表示为（P2）。第3步根据游戏（P2）推导HJBI PDE c（参考3.11）。第4步，制定一个候选值函数应该满足的条件，使游戏中的目标函数I有一个值。这构成了mma的验证。步骤5求解步骤3中导出的HJBI PDE，同时获得最佳控制的表达式。这个最优控制对将构成（P2）的s addle点平衡。

满足验证引理所有条件的候选值函数是（P2）的期望值函数。第6步返回到原始问题（P1），使用第4步中导出的事实证明，具有客观标准nj的游戏现在也有一个值，实际上是u（0，x）。在下一节中，我们重新制定了客观标准，并对我们的博弈问题进行了恶意化。3问题重组步骤1我们将首先将效用优化问题（2.5）转化为优化指数积分性能标准。期望下的标准我们的第一个目标是仅根据因子过程编写客观标准J。最后我们将函数g（x，h，γ，r；θ）定义如下：g（x，h，γ，r；θ）=（θ+1）h′∑h′- R- h′（a+Ax）- r1）+（α+βx）-θ（h′∑γ+γ′∑h）+（θ）- 1） γ′γ（3.1）来自（2.7）和（3.1），因此我们有d exp(-θF（t；h，γ））=θg（Xt，ht，γt，rt；θ）- （h′t∑）- γ′t）∑dWt-θ（h′t∑）- γ′t）∑∑′（∑′ht）- γt）dt（3.2）因此我们有，exp(-θF（t；h，γ））=F-θ/2exp{θZtg（Xs，hs，γs，r；θ）ds-θZt（h′s∑）- γ′s）dWs-（θ） Zt（h′s∑）- γ′s）（h′s∑- γ′s′ds}（3.3），其中Vh=v，Lγ=L，f=VhLγ=vl。被测物Ph值的变化，γ为测量值(Ohm, F） 定义为，dPh，γdP | Ft=\'Xt，（3.4），其中\'Xt由\'Xt=E（θZ（h\'）∑给出- γ′）dW）t（3.5），其中E（·）表示Doleans-Dade或marting-ale指数。从容许控制空间H（T）和Γ（T）的假设可以清楚地看出，Kazamaki条件E[eRtθH′s∑-γ′sdWs]<∞T∈ [0，T]被满足，因此Ph，γ是一个概率度量。i、 e.e[e（θZ（h′∑）- γ′）dW）T]=1。