购买定期人寿保险以实现遗赠目标：取决于时间

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英文标题：
《Purchasing Term Life Insurance to Reach a Bequest Goal: Time-Dependent
  Case》
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作者：
Erhan Bayraktar, Virginia R. Young, David Promislow
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider the problem of how an individual can use term life insurance to maximize the probability of reaching a given bequest goal, an important problem in financial planning. We assume that the individual buys instantaneous term life insurance with a premium payable continuously. By contrast with Bayraktar et al. (2014), we allow the force of mortality to vary with time, which, as we show, greatly complicates the problem.
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中文摘要：
我们考虑个人如何使用定期人寿保险来最大限度地提高达到给定遗赠目标的概率，这是财务规划中的一个重要问题。我们假设个人购买即时定期人寿保险，并持续支付保费。与Bayraktar等人（2014年）相比，我们允许死亡率随时间变化，正如我们所展示的，这使问题变得非常复杂。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Purchasing_Term_Life_Insurance_to_Reach_a_Bequest_Goal:_Time-Dependent_Case.pdf (164.96 KB)

2022-5-7 21:49:13 上传

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关键词：人寿保险 Quantitative Mathematical Optimization QUANTITATIV

购买定期人寿保险以实现遗赠目标：美国密歇根州密歇根阿伯大学数学系，时间相关的CaseErhan Bayraktar，48109S。大卫·普罗米斯洛加拿大安大略省约克大学伦托分校数学系，M3J 1P3R。Young美国密歇根州密歇根阿伯大学数学系，48109版本：2014年12月15日摘要：我们考虑个人如何通过定期人寿保险最大限度地提高达到遗产目标的概率，这是财务规划中的一个重要问题。我们假设个人购买了定期人寿保险，并持续支付保费。与Bayraktar等人（2014年）相比，我们允许死亡率随时间变化，正如我们所展示的，这使问题变得非常复杂。关键词：长期人寿保险，遗赠动机，确定性控制。1.引言我们考虑个人如何使用定期人寿保险来最大限度地提高达到既定遗赠目标的可能性，这是财务规划中的一个重要问题。我们假设个人购买即时定期人寿保险，保费可连续支付。与Bayraktar e t al.（2014）相比，我们允许死亡率随时间变化，正如我们所展示的，这使问题变得非常复杂。请参考Bayraktar等。（2014）和Bayraktar and Young（2013）对相关文献进行讨论。Bayraktar等人（2014年）确定了在死亡率不变的情况下，个人如何使用人寿保险来最大化获得给定遗产的可能性。据我们所知，这篇论文是第一篇解决任何遗赠目标问题的论文。Bayraktaret al.（2014）认为，人寿保险是由单一保费购买的，没有可用现金价值的d。

他们还考虑了不可逆和可逆的人寿保险，这些保险是由连续支付的保单购买的；人们可以将后者视为（相当于）长期的生命保险。在这篇论文中，我们假设决策者可以获得即时的定期人寿保险。具体而言，个人通过持续支付的保费购买人寿保险，并可以随时更改其保险范围。我们相信定期人寿保险比单一保费的整体人寿保险更现实，它的简单性让我们能够关注人寿保险如何满足个人的目标。出于后一个原因，我们也假设金融市场只由无风险资产组成。正如Bayr ak tar等人（2014）所述，我们假设个人的消费由收入来满足，如养老金、终身年金或社会保障。然后，我们考虑了遗产继承人想要为继承人贡献的财富（与上述收入相关的任何财富无关），并寻求购买人寿保险的最佳策略，以最大限度地提高达到既定遗赠目标的概率。同样，本文与Bayraktar等人不同。（2014）我们允许死亡率随时间变化。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们假设个人希望最大化其死亡时的财富等于（或大于）agive n bequest leve l b=1的可能性。在第2.1节中，我们将个人面临的与时间相关的问题形式化，以及一个验证引理，它将帮助我们在一些例子中解决p问题。

在第2.2节中，我们考察了个人在购买定期人寿保险的两种不同策略下达到其最高目标的可能性：（1）在死亡或破产前购买全额保险；（2）在财富达到一定水平之前不购买任何保险，以保证我们在死亡时将达到遗产目标。可以查看第2.1节和第2节。作为Bayraktar等人（2014）第3.1节的延伸，本文第2节讨论了死亡率随时间的决定性变化的情况。在第2.3节中，我们考虑了一个离散时间模型，通过该模型，我们可以使用反向归纳法来确定长期寿险的最佳策略。第3节包括论文。2.通过说明个人面临的优化问题，最大限度地提高达到遗产目标的概率。在第2.1节中，我们将个人面临的与时间相关的问题形式化，并给出一个验证引理，该引理可用于确定购买人寿保险的最佳策略。在第2.2节中，我们研究了在购买人寿保险的两种不同策略下，InDividu al实现其遗赠目标的概率，并在某些情况下确定了最佳策略。在第2.3节中，我们考虑了一个离散时间模型，并给出了一个算例，该算例表明，实现遗赠目标的可能性最大化问题的一般解决方案将不是一个简单的解决方案。2.1. 问题陈述和验证引理我们假设该个人有一个投资账户，她希望该账户达到b=1单位的既定目标。这个账户与她用来支付生活费用的账户是分开的。

个人可以按连续利率r投资无风险资产收益利息，精算师称之为利益的力量，或者她可以立即购买定期人寿保险，如Bayraktar等人（2014）第3.1节所述。在两个实例中，特别是在下面的备注2.5和命题2.4中，我们都认为r=0；否则，我们假设>0。用τd表示个体未来寿命的随机变量。我们假设控制τd的危险率λ=λ（t），或道德力是时间的函数。假设λ（t）>0在某个区间[0，t]上，在该区间内，t不完整；此外，假设λ（t）处的时间不随时间递减。个体在时间t=0时老化，因此，我们从年龄x开始测量时间。τ与λ之间的关系由tpx=P（τd>t）=expn给出-Rtλ（s）dso，我们假设Tpx=0，或者e等价地，Rtλ（t）dt=∞. 这种假设通常被认为是一种死亡的力量；见Bowerset等人（1997年）。个人购买在时间τd支付的定期人寿保险；该保险作为确认遗赠动机的依据。她通过连续支付的保费购买定期保险，保险费率为h（t）=（1+θ）λ（t），对于某个常数θ，每一美元保险≥ 0.由于人寿保险是定期的，我们假设保险人可以随时更改其保险金额；因此，在我们的连续时间模型中，可以将人寿保险视为瞬时定期人寿保险。让W（t）表示时间t时该独立投资账户中的财富≥ 0.LetD（t）表示在时间t生效时应支付的死亡抚恤金金额≥ 0

随着即时定期人寿保险不断支付保费，我们将遵循动态（W′（t）=rW（t）- h（t）D（t），0≤ t<τd，W（τd）=W（τd-) + D（τD）-) .（2.1）一个可容许的保险策略D={D（t）}t≥0是任何独立于τd的非负过程。我们不坚持W（t）≥ 0代表所有t≥ 0因为个人可能希望在面临破产风险的情况下购买保险。因此，如果在个人死亡前财富达到0，我们通过有效终止遗产，修改了获得遗产的最大概率的定义。定义τ=inf{t≥ 0:W（t）≤ 0}，并通过φ（w，t）=supDPw，t（w（τd）确定破产前达到遗赠目标的最大概率∧ τ) ≥ 1） ，（2.2）其中我们最大化了超可容许策略D。符号Pw，t表示概率取决于W（t）=W；类似地，我们在下面使用的Ew，t意味着扩展是以W（t）=W为条件的。为了激发这个问题的验证引理，我们提供了以下信息。首先，请注意，我们可以将（2.2）中φ的表达式改写如下：φ（w，t）=supDEw，tZ∞tλ（s）s-tpx+t{s<τ}{W（s）+D（s）≥1} ds= 你好Zτte-Rstλ（s′）ds′λ（s）1{W（s）+D（s）≥1} ds.（2.3）如果事件A保持，指示器功能1A1等于1，否则等于0。通过应用It^o引理（Protter，2004），一种全导数，对e-Rstλ（u）duφ（W（s），s），其中φ如（2.3）所示，我们得到以下控制方程，我们希望φ能求解：0=maxDφt+（rw）- h（t）D）φw- λ（t）φ - 1{w+D≥1}, （2.4）在（2.4）中，指示函数等于s 0或1，对应于这些值中的每一个，我们选择D作为最小值，因为-h（t）Dφw。

具体而言，如果指标等于0，则最佳保险为D=0；如果它等于1，那么最优保险是D=1-w、 因此，我们可以用等价的表达式替换方程（2.4），一个变分不等式：λ（t）φ=φt+rwφw+max[λ（t）- h（t）（1）- w） φw，0]。（2.5）用w（t）表示遗赠目标问题的安全水平，即φ（w，t）=1表示所有w≥ (R)w（t）。我们通过以下论证得出w（t）：当财富达到安全水平后，个人购买人寿保险的利息收入等于1减去当前财富，财富将永远降为零。因此，安全水平w（s）遵循动力学w（s）=（r+h（s））-w（s）- h（s）代表所有s≥ T因此，\'w（s）=\'w（t）eRst（r+h（s\'））ds\'-Zsth（s′）eRss′（r+h（s′））ds′ds′。为了“安全”，我们要求“安全”≥ 0代表所有人≥ T因此，\'w（t）=Z∞th（s′）e-Rs′t（r+h（s′））ds′ds′=[h]Ax+t，（2.6），其中我们使用标准精算符号，由前上标[h]修改，以表明我们通过将h（t）视为时间t的死亡力来使用死亡率定律。这些观察结果导致我们得到一个验证引理，该引理表明变分不等式（2.5）的“好”解等于（2.2）中定义的值函数φ。因此，我们可以将问题简化为求解（2.5）和一些边界条件。我们陈述了以下无需证明的验证引理，因为它的证明与文献中的其他证明相似；例如，参见Wang和Young（2012a，2012b）在包含风险资产的金融市场中的相关证据。引理2.1。

设^φ=^φ（w，t）是一个函数，它对于w是非递减的、连续的、分段可微的，对于t R={（w，t）：0是连续的、分段可微的≤ W≤ w（t），0≤ T≤ T} 式中，w（T）由（2.6）给出，除了在w=0时φ可能不可与w区分。（如果T=∞, 那么，在有限的意义上，t m可以等于t。）假设φ满足R上的以下变分不等式：λ（t）φ=φt+rwφw+maxhλ（t）- h（t）（1）- w） ^φw，0i，（2.7），其中我们使用单边导数，如果需要的话。另外，假设φ（0，t）=0和φ（w（t），t）=1。然后，在R上，φ等于破产前达到遗赠目标的最大概率φ。比亚迪（w）给出了购买短期人寿保险的相关最佳策略=1.- w、 如果λ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≥ 0,0，如果λ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≤ 0.备注2.1。为了证明获得遗产的概率^φ是最大的，除了证明它满足引理2.1中的正则性和边界条件外，我们还必须说明它如何满足（2.7）中的变分不等式。具体来说，我们必须证明λ（t）（^φ- 1） =φt+（（r+h（t））w- h（t））^φwandλ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≥ 无论什么情况下，基本策略是购买全额保险。

同样，我们还必须证明λ（t）φ=φt+rwφwandλ（t）- h（t）（1）- w） ^φw≤ 0，而相应的坦白策略是不购买保险。2.2在两种不同策略下达到bequ est的概率，因为在任何给定时刻，购买所谓的全额保险D（t）=1都是最优的- 如果不购买保险，我们预计，达到遗产的最大可能性将由购买全额保险直至死亡或破产的概率，或在财富达到安全水平之前不购买保险的概率构成。用φ和φ分别表示这些概率；我们用上标f表示完全保险，用超级脚本0表示不保险。如果个人购买了人寿保险，直到死亡或破产，那么如果她在钱用完之前死亡，那么她就达到了最佳目标。她的财富遵循微分方程W′（s）=（r+h（s））W（s）- h（s），W（t）=W≥ 0，其解为w（s）=w eRst（r+h（s′）ds′-Zsth（s′）eRss′（r+h（s′）ds′ds′=eRst（r+h（s′）ds′）W-[h] Ax+t:s-t|,对于s≥ t、 财富在tf=tf（w，t）时达到0，这唯一地解决了sw=[h]Ax+t:tf-t |，（2.8）表示0≤ W≤ w（t）和0≤ T≤ T因此，如果τt在tf之前，或φf（w，t）=1，个体就达到了她的最佳目标- E-Rtftλ（s）ds=1-tf-tpx+t=tf-tqx+t.（2.9）可以证明φf满足边值问题（BVP）（λ（t）（φf）- 1） =φft+（（r+h（t））w- h（t））φfw，φf（0，t）=0，φf（\'w（t），t）=1，（2.10），其中边界条件遵循tf（0，t）=t和tf（\'w（t），t）=t。为了计算φfw，有必要知道tfw，我们通过对w进行微分（2.8）得到：tfw=eRtft（r+h（s））dsh（tf），这是正的，正如我们的实验。因此，φfw由φfw（w，t）=eRtft（r+θλ（s））ds1+θ给出。（2.11）备注2.2。考虑tf的决定方程（2.8）：w=[h]Ax+t:tf-t |。

如果是个人，我们将花费她所有的财富在时间t购买1的定期保险，然后- 这是她能买到的最长期限。在这种情况下，她在财富等于1的情况下死亡的概率是她在学期结束前死亡的概率-t、 等于φfin（2.9）的表达式：φf（w，t）=tf-现在，我们计算φ，如果她在财富达到安全水平之前不购买保险，个人达到遗产目标的概率。在这种情况下，φ是个体在财富达到安全水平之前生存的概率，其中财富遵循微分方程W′（s）=rW（s），W（t）=W≥ 0，其解为w（s）=w（s）-t） ，给s≥ t、 财富在t=t（w，t）时达到“w（t）”的安全水平，其唯一解为sw=e-r（t）-t） [h]Ax+t，（2.12）当e-r（T）-（t）≤ W≤ w（t）和0≤ T≤ T因此，φ是个体存活到时间t的概率。如果0≤ w<e-r（T）-t） 不存在溶液tof（2.12）；请注意，如果存在w，则T是必要的∈0，e-r（T）-（t）. 在这种情况下，独立生命的财富不可能在她死前达到安全水平，因此φ（w，t）=0。因此，我们有φ（w，t）=0，如果0≤ w<e-r（T）-t） ，e-Rttλ（s）ds=t-tpx+t，如果e-r（T）-（t）≤ W≤ w（t）。（2.13）我们可以证明（2.13）中φ的第二个表达式满足BVP（λ（t）φ=φt+rwφw，φ（e）-r（T）-t） ，t）=0，φ（w（t），t）=1，（2.14），其中边界条件遵循t（e-r（T）-t） ，t）=t和from t（\'w（t），t）=0。另外，对于严格小于固定t′的t，可以证明形式为φ（w，t）=t′的任何φ-tpx+tφf（w）er（t′）-t） ，t′）满足（2.14）中的微分方程。