购买定期人寿保险以实现遗赠目标：取决于时间

这种达到遗赠目标的可能性与等待时间t′购买保险的策略有关，在这段时间之后，个人购买完整期限的人寿保险，直到她破产或死亡。为了计算φw，有必要知道tw，我们通过对w进行微分（2.12）得到：t（w，t）w=-呃(t)-t） h（t）1.-[h] Ax+t= -h（t）E-r（t）-（t）- W,正如人们所料，这是负面的。由此得出φw（w，t）=e表示φwis-Rttλ（s）ds（1+θ）E-r（t）-（t）- W, （2.15）如果e-r（T）-（t）≤ W≤[h] Ax+t=\'w（t）；否则，φw（w，t）=0。如果T=∞, 然后（2.15）保持所有0≤ W≤ w（t）。一般来说，很难确定φ，但我们确实有以下结果，即在死亡力不变的情况下，结果类似；见inBayraktar等人（2014年）的提案3.2。提议2.2。如果λ（t）≤ r代表所有t≥ 0，则在r uin之前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，t）=φ（w，t）在r上给出。相关的最优人寿保险购买策略是在财富在时间t达到“w（t）”的安全水平之前不购买任何人寿保险，在此之后购买1的定期人寿保险是最优的- “w（s）代表所有s≥ t、 证据。我们用引理2.1来证明这个命题。首先，请注意，因为λ（t）≤ 福尔特≥ 0，in或der forRTλ（t）dt=∞ 要坚持下去，我们必须有T=∞; 因此，φ=e-Rttλ（s）ds。接下来，请注意，φ相对于w是不递减的，φ是连续的，与R上的w和t不同，除了w=0时，φ求解（2.14）中给出的BVP。从R emark 2.1中，我们要展示的是λ（t）- h（t）（1）- w） φw≤ 0，它从（2.15）开始，当且仅当R-r（t）-（t）- W≤ (1 - w） e-Rttλ（s）ds，对于al l 0≤ W≤ w（t）。

将方程（2.12）中的w代入并简化后，该不等式变为λ（s）ds1.-[h] Ax+t≤ 呃(t)-（t）-[h] Ax+t，它具有以下更强的不等式do:eRttλ（s）ds1.-[h] Ax+t≤ eRttλ（s）ds-[h] Ax+t，这显然是正确的。因此，我们已经证明（2.13）中的φ满足变量不等式（2.7）。最优保险策略基于φ用D解s控制问题（2.4）的事实≡ 0.备注2.3。当致命的力量小于或等于利益的力量时，个体感觉自己有时间达到安全水平；因此，个人最好投资于无风险资产，等到达到安全水平后再购买任何人寿保险。因为财富w在时间t，她的财富在时间s≥ t等于W（s）=W（s）-t） ，以及财富达到安全水平的时间，如注释2.2所述，从x年龄开始测量，等于t（w，t）。命题2.2的结果概括了当死亡力不变时我们所得到的结果；见Bayraktar等人（2014）中的命题3.2。对于死亡力大于利益力的情况，平行结果不一定是正确的，也就是说，如果λ（t）>r表示所有t≥ 0，那么φ=φf就不一定是真的。事实上，我们在Bayraktar等人（2014）中看到，对于死亡率恒定的情况，当λ>r时，只有当财富低于特定值，一个严格低于安全水平的值时，才最好购买全额保险；否则，当财富大于该特定价值时，最好等到财富达到安全水平后再购买保险。然而，我们得到了如下结果，即如果θ=0，并且如果人的未来寿命的条件概率密度函数至少为r，那么φ=φf。命题2.3。

如果θ=0，如果x岁人群未来寿命的概率密度函数，即g（t）=λ（t）tpx，则满足g（s）≥ RTPX适用于所有≥ T≥ 0，则破产前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，t）=φf（w，t）在R上给出。相关的最优人寿保险购买策略是购买1的定期人寿保险- 当财富等于，直到个人死亡或毁灭。证据我们用引理2.1来证明这个命题。Firs t，注：φfin（2.9）处的th相对于w不增加，φfis相对于w和t onR是连续的和可微分的，但w=0时除外，φf解决了（2.10）中给出的BVP。从备注2.1中，我们要展示的是1- (1 - w） φfw≥ 0，从（2.8）到（2.11），当且仅当ifAx+t:tf时，它保持R-t|-1.- E-r（tf）-（t）≥ 0，或相当于e，Ztftλ（s）e-Rstλ（s′）ds′- RE-r（s）-t） ds≥ 如果被积函数总是非负的，或λ（s）e，这个不等式成立-Rstλ（s′）ds′≥ r、 因为左边等于λ（s）e-Rsλ（s′）ds′eRtλ（s′）ds′=g（s）eRtλ（s′）ds′=g（s）tpx。因此，我们已经证明φfin（2.9）满足变分不等式（2.7）。最优保险策略是基于φf在d（t）=1的情况下解决控制问题（2.4）- W（t）。备注2.4。请注意，G（s）tpxe等于在时间s评估的x+t年龄段的人的未来寿命随机变量的条件概率密度函数（pdf）≥ t给定生存时间t。因此，我们可以用这个有条件的pdf来说明条件。备注2.5。回想一下，我们通常假设r>0，这意味着T<∞ 在命题2.3的条件下。然而，如果r=0，命题2.3的证明表明，当θ=0时，对于任何死亡力，我们都有φ=φfon r。如果r=0，我们达到安全水平的概率为0。

直觉上，个人最好从现在开始购买全额保险，而不是等待，这是有道理的，因为如果个人一直等待，那么他的账户价值将不会改变，而且她可能在开始购买人寿保险之前死亡。因此，对于任何θ，当r=0时，我们期望φ=φfw≥ 0; 正如我们在下面的命题中所展示的那样，这个结果是正确的。提议2.4。如果r=0，如果θ≥ 0，则破产前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，t）=φf（w，t）=1给出- (1 - w） 1+θ，独立于t，对于0≤ W≤ 1.相关的最优寿险购买策略是购买1的定期寿险- 当财富等于，直到个人死亡。证据因为r=0，所以（2.8）中w的表达式变成了w=1- E-Rtfth（s）ds=1- (1 -tf-tqx+t）1+θ，所以（2.9）意味着φf（w，t）=1- (1 - w） 1+θ表示0≤ W≤ 1.函数φf（w，t）=1- (1 - w） 1+θ满足引理2.1的正则性和边界条件，很容易证明它满足不等式1- (1 + θ)(1 - w） φfw≥ 0，为0≤ W≤ 1.因此，我们知道φf（w，t）=1- (1 - w） 1+θ满足变量不等式（2.7），最优保险策略如下。接下来，我们给出一个定理，推广命题2.3的结果。提议2.5。假设θ=0，且未来寿命g（t）=λ（t）tpxis的概率密度函数在[0，t]上不递减，t必然有限。定义tr=inf{t≥ 0:λ（t）≥ r} )；那么φ（w，t）=tr-tpx+tφf（wer（tr-t） ，tr），如果0≤ W≤ w（t）和0≤ t<tr，φ（w，t），如果w（t）<w≤ w（t）和0≤ t<tr，φf（w，t），如果0≤ W≤ w（t）和tr≤ T≤ T，（2.16）在R.这里，w（T）=e-r（tr-t） w（tr）。

购买定期人寿保险的相关最佳策略如下：（a）当0≤ t<tr，只有在财富达到安全水平时才购买人寿保险；否则，什么都不要做，直到时间到了≤ T≤ 购买期限为1的人寿保险- 当财富相等时，直到死亡或毁灭，以先发生者为准。备注2.6。如果λ（t）≥ r代表al l t≥ 0和i f g（t）是非递减的，那么tr=0和位置2中g的条件。3次。因此，根据命题2.3，φ=φ在这种情况下成立。证据根据备注2.6，考虑λ（0）<r的情况是足够的。如果g（t）是非递减的，那么λ（t）必然是无界递增的；因此，λ（t）≥ r代表所有t≥ 我们用引理2.1来证明这个命题。首先，请注意（2.16）中的φ相对于w是不递减的，φ是连续的，并且对于R上的w和dt是可微的，φ（0，t）=0，φ（`w（t），t）=1。如果0≤ W≤ w（t）和0≤ t<tr，那么就可以证明这一点-tpx+tφf（wer（tr-t） 满足（2.14）中的微分方程。接下来，我们证明φ满足了与不购买保险相关的不平等性，即1- (1 - w） φw≤ 0，（2.17），其中，从（2.11）开始，φw=tr-tpx+ter（tr-t） er（tfr-tr）=eRtrt（r-λ（s））dser（tfr-tr），其中TfRdefine d bytfr=tf（wer（tr-t） ，tr）。对于t≤ s≤ tr，我们有λ（s）≤ R因此，φw≥ er（tfr-tr）。因此，w=e-r（tr-t） Ax+tr:tfr-tr,和（2.17）如果以下等式成立：-r（tr-t） Ax+tr:tfr-tr≤ 1.- E-r（tfr-tr），或等效为e-r（tr-t） Ztfrtrg（s）trpxe-r（s）-tr）ds≤ZTFRTR e-r（s）-tr）ds，这最后一个不等式是真的，因为对于t<tr≤ s、 g（s）tpx≤g（tr）tpx≤g（tr）trpx=r.如果w（t）<w≤ w（t）和0≤ t<tr，那么命题2.2的证明告诉我们，（2.16）中的φ=φ满足了在财富达到安全水平之前不购买保险的条件，即不平等（2.17）。

最后，当t≥ tr，从P位置2.3的证明中，我们知道不等式1- (1 - w） φfw≥ 等一下。因此，对于t≥ tr，达到遗赠目标的最大概率等于φf，这意味着购买终身保险是最优的。因此，我们已经证明（2.16）中的φ满足R上等式的变化（2.7）。最优保险策略如下所述。例2.1。DeMoivre定律假设λ（t）=t-t对于0≤ t<t，对于某些特定的t。这种致命的力量对应于未来寿命的随机变量T（x）~ U（0，T），被称为德米维尔定律不符合实际；见Bowers等人（1997年）。对于θ=0，命题2.5给出了购买保险的最佳策略，因为T（x）的概率密度函数是一个常数，因此不递减。具体而言，如果r≤T（或相当于r≤ λ（t）对于所有0≤ t<t），那么，对于所有0≤ t<t，最好购买全额保险，直到死亡或破产，以先到者为准。如果r>T，那么在tr=T之前最好不要购买保险-r（除非在此之前达到安全水平）；在时间tr之后，最好购买全额保险，直到Deator破产。例2.2。假设λ（t）=utut+1≥ 0，对于某些常数u>0。这种致命的力量对应于未来的寿命和om变量T（x）~ 伽马（2，u）。如果u≤ r、 然后我们从命题2.2知道，r上的φ=φ。T（x）的概率密度函数由g（T）=ute给出-ut，当t>1/u时降低；因此，提案2.5不适用。Bayraktar等人（2014）考虑了致命力为常数λ（t）的情况≡ u. 如果u>r，则存在财富w的价值*如果w<w*, 对于个人来说，购买全额保险是最理想的选择，她将在余生或直到破产。

另一方面，如果w≥ W*, 对于个人来说，最好等到她达到安全水平，然后再购买全额保险，这将为她的余生提供保障。此外，购买边界是w*随着死亡的力量增加。在伽马定律的情况下，limt→∞λ（t）=u，因此，我们期望当重要性恒定时，购买人寿保险的最优策略的限制行为接近该界限。实际上，在数值计算中，当t足够大时，当θ=0时，以下公式保持φ（w，t）=maxφf（w，t），φ（w，t）=φf（w，t），如果0≤ w<w*（t） ，φ（w，t），如果w*（t） <w≤ w（t），（2.18）对于某些w*（t）∈ （0，\'w（t））由φ和w的连续性确定*（t） 随着时间的推移，值增加到w*来自Bayraktar等人（2014年）。我们邀请感兴趣的读者用大脑验证这个结果。为了具体起见，我们讨论了一些数值结果。r=0.02，u=0.05；因此，个体的预期未来寿命为u=40。所以，我们有一个中年的indiv idualwho，平均来说，有40年的时间来实现她的目标，将1个单元留给她的继承人。对于t largeenough（在本例中，t≥ 13.4），我们通过数值验证φ由（2.18）给出；具体来说，我们检查了1- (1 - w） φfw（w，t）≥ 0换0≤ w<w*（t） 那1- (1 - w） φw（w，t）≤ 0代表w*（t）≤ W≤ (R)w（t）。还有，w*（t） 增加到w*= 0.682，Bayraktaret al.（2014）得出的值，当死亡率等于常数u时。然而，w*（t） 向w缓慢增加*= 0.682:w*（25）=0.448，w*（40）=0.511，w*(75) = 0.582. 个体存活75年的可能性只有11%，而w*（75）是不是很低*= 0.682.

即使当t=150时，存活概率小于百分之一的一半，w*(150) = 0.630.对于t的小值，φd不等于（2.18）中的表达式，因为它不满足变分不等式（2.7）。事实上，当t很小时，很难确定最佳策略是什么。看来，获得遗产的最大可能性并不是由涉及φfand和φ的转移构成的，因为最好先购买一段时间的人寿保险，然后再等待。现在，我们给出一个与前面示例末尾的评论相关的负面结果。具体地说，我们证明了如果个体未来寿命随机变量的概率密度函数是递减的，那么φ6=φfwhen t=tr.命题2.6。假设θ=0，未来寿命g（t）=λ（t）tpxis的概率密度函数随t减小≥ 同样，假设λ（tr）=r。那么，对于任何w>0的情况，φ（w，tr）6=φf（w，tr）。证据给出n个任意（w，t），（2.8）可以写w=Ax+t:tf-t |=ertZtfte-蒸汽发生器（t+s）tpxds。g上的条件意味着g（tr+s）trpx<g（tr）trpx=λ（tr）=r。对于任何w>0，我们有tf（w，tr）>tr；因此，w<ertrZtf（w，tr）trre e-r=1- E-r（tf（w，tr）-tr）。从这一点和（2.11）中，可以得出以下结论1- (1 - w） φfw（w，tr）<0。换言之，购买定期人寿保险的条件不适用于任何w>0；因此，对于任何w>0的情况，φ（w，tr）6=φf（w，tr）。我们给出了另一个结果，当λ（t）严格增加时，比较了w=0附近的φfand和φ与w（t）附近的φfand。提议2.7。假设T=∞ λ（t）相对于t严格增加。那么，对于任何t≥ tr，存在δ>0使得φf（w，t）>φ（w，t），W∈ （0，δ），（2.19）并且存在>0使得φf（w，t）<φ（w，t），W∈ （`w（t）- ，w（t））。（2.20）此外，当T<∞, 当T<∞θ>0。证据

从（2.11）中，我们得到φfw（w，t）=eRtft（r+θλ（s））ds1+θ。从tf（0，t）=t和limw→ \'w（t）tf（w，t）=t=∞, 因此，φfw（0，t）=1+θ，和limW→ \'w（t）φfw（w，t）=∞.从（2.15）中，我们得到φw（w，t）=er（t）-t） e-Rttλ（s）ds（1+θ）1.-[h] Ax+t.来自limw→0t（w，t）=t=∞ t（\'w（t），t）=0，我们有limw→0φw（w，t）=limt→∞呃(t)-t） e-Rttλ（s）ds（1+θ）1.-[h] Ax+t= 0，（2.21）和φw（\'w（t），t）=limt→三（t）-t） e-Rttλ（s）ds（1+θ）1.-[h] Ax+t=(1 + θ)1.-[h] Ax+t,其中（2.21）中的限制在必要时遵循L\'H^opital规则（即iflimt）→∞Ax+t=1，当且仅当λ（t）无界增加时发生。根据φfandφ在w=0和‘w（t）时的导数之间的关系，以及两个概率在w=0时等于0，在w=1时等于‘w（t）这一事实，可以得出p位置的结论。例2.3。在这种情况下∞ θ=0，我们有limW→ \'w（t）φfw（w，t）=er（t-t） 和φw（`w（t），t）=1- Ax+t，我们一般不能订购。例如，在德莫维雷定律的情况下，我们有ax+t=1- E-r（T）-t） r（t）- t） )；因此，当t>tr=t-r、 φw（`w（t），t）=er（t）-t） 呃(t)-（t）-呃(T)-（t）-1r（T）-t） >呃（t）-t） =limw→ \'w（t）φfw（w，t），其中不等式来自于er（t-（t）-呃(T)-（t）-1r（T）-t） <1当t>tr.因此，在w=\'w（t）的邻域中φf（w，t）>φ（w，t），我们已经从例子2.1中知道了这一点，我们从命题2.5中得出结论，当t≥ tr.另一方面，假设我们个人年龄x的死亡时间的概率密度函数由g（t）=r给出-2（rT）- 1） Tt，为0≤ T≤ T我们可以证明，死亡率的相应反应力λ（t）在增加，λ（0）=r，因此tr=0。

因为g（0）=r，而且g（t）在减小，所以我们有了中兴-r tg（t）dt<ZTr e-r-tdt，或相当于e，Ax<1- E-r T，表示φw（`w（0），0）=1- Ax>e-r T=limw→ \'w（0）φfw（w，0）。因此，φf（w，t）<φ（w，t）在w=\'w（t）附近。例2.4。R econsider示例2.2中的伽马定律。概率密度函数（pdf）增加，直到时间t=1/u，然后降低。如果u/2<r<u，则TR=ru（u- r） >u，这意味着[tr]上的pdf正在减少，∞). 因此，根据命题2.6，当u/2<r<u时，对于任何w>0的情况，φ（w，tr）6=φf（w，tr）。此外，从命题2。7，我们在区间（0，δ）内推导出w的φf（w，tr）>φ（w，tr）；因此，（2.18）不适用于w∈ （0，δ）和t=trifu/2<r<u。因此，与命题2.5.2.3离散时间模型的结论相比，“当t大时”意味着有时t大于trin。将我们的连续时间模型与相关的离散时间模型进行比较是有益的。假设我们选择一段时间，这段时间可能很短，我们可以选择一次购买一段时间的定期人寿保险，如果在这段时间内死亡，保险金将在期限结束时支付。考虑最大化实现遗赠目标的概率的问题，即死亡时财富至少等于1。在这种离散情况下，目标是最大化在死亡期结束时总财富为1的概率。设qx+k等于某个年龄为x+k的个体在时间k+1之前死亡的概率，且设px+k=1- qx+kdenote个体存活到时间k+1的概率，我们用时间段的单位来衡量年龄。假设从x岁开始测量的死亡时间随机变量的最大值为N，因此qx+N-1= 1.