仿射通货膨胀市场模型

年化通货膨胀率（Tk，Tk-j、 Tk）满意度1+（Tk- Tk-j） FI（Tk，Tk-j、 Tk）=I（Tk）I（Tk-j） =eAkI+BkI·XTk-Ak-冀-Bk-吉·XTk-j=：哎呀。（13） 下面的引理给出了这类随机变量的矩母函数。引理1：让我们≤ R≤ T≤ T和ψT-t（英国）+w∈ V和ψt-r（ψT）-t（英国）+w）- ψT-r（英国）+u∈ V.ThenEQTkeu·Xr+w·Xt | Fs= 经验ψr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- ψT-s（英国）· Xs经验φt-r（ψT）-t（英国）+w）+φr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- φt-s（ψT）-t（英国））.（14） 证据。使用tower属性并应用（9）两次它遵循eqtkheu·Xr+w·XtFsi=EQTkhEQTkew·XtFreu·XrFsi=EQTkhexpφt-r（ψT）-t（英国）+w）- φt-r（ψT）-t（英国））经验ψt-r（ψT）-t（英国）+w）- ψt-r（ψT）-t（英国））+u· XrFsi=expφt-r（ψT）-t（英国）+w）- φt-r（ψT）-t（英国））经验φr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- φr-s（ψT）-r（英国））经验ψr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- ψr-s（ψT）-r（英国））· Xs= 经验φt-r（ψT）-t（英国）+w）+φr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- φt-s（ψT）-t（英国））经验ψr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- ψT-s（英国）· Xs.在这里，我们使用半流动特性（20）来简化表达式。通过引理1，在（13）中定义的ykqtkyk的QTk矩母函数isMQTkYk | Fs（z）=EQTkhexp扎基+zBkI·XTk- 扎克-冀- zBk-吉·XTk-J| Fsi=exp扎基- 扎克-jI+φTk-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）经验φTk-J-s（ψTk）-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- zBk-（季）- φTk-s（ψT）-Tk（英国））经验ψTk-J-s（ψTk）-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- zBk-（季）- ψT-s（英国）· Xs,这是很好定义的ifnψT-Tk（英国）+zBkI，ψTk-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- ψT-Tk-j（英国）- zBk-jIo V.（15）然后用1+（Tk）表示正向通货膨胀率- Tk-j） FI（t，Tk）-j、 Tk）=MQTkYk | Ft（1）。SoforψT-Tk-j（vk）- Bk-冀∈ V它是1+（Tk- Tk-j） FI（t，Tk）-j、 Tk）=expψTk-J-t（ψt）-Tk-j（vk）- Bk-（季）- ψT-t（英国）· Xt经验φT-Tk-j（英国）-j） +φTk-J-t（ψt）-Tk-j（vk）- Bk-jI）+φT-t（英国）.此外，带有K型线的充气帽的收益为（Tk- Tk-j） (FI)(Tk,Tk)-j、 （Tk）- （K）+=我（Tk）我（Tk）-j）-~K+式中，K=1+（Tk- Tk-j） K。

利用傅里叶反演公式（12），可以计算出一个充气帽的价格。特别是，对于R>1In fl Cpl（t，Tk-j、 Tk，K）=KP（t，Tk）πZ∞ReMQTkYk |英尺（iu+R）~K-（iu+R）（iu+R）（iu+R）- 1)!如果ψT-Tk（英国）+RBkI∈ int（V）和ψTk-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+RBkI）- ψT-Tk-j（英国）-RBk-冀∈ int（V.2.3。相关性到目前为止，我们考虑了典型市场交易期权的定价。另一个重要方面是相关性结构。相关数量Ln1 + kFkn（t）= 自然对数穆克-1千吨= A（t，英国）-1，英国）+B（t，英国-1，英国）Xt，lnIj（t）= 自然对数MvjtMujt= A（t，vj，uj）+B（t，vj，uj）Xt。ln（1+kFI（t，Tk）-j、 Tk=const+ψTk-J-t（ψt）-Tk（vk）- Bk-（季）- ψT-t（英国）· Xt。（16） 都是Xt的有效变换和两个这样的项isCor[At+Bt·Xt，~At+~Bt·Xt]=Var的相关性吗Bt·Xt，~Bt·XtqVarBt·XtqVar~Bt·Xt.对于XT的独立组件，这个简单的toPdi=1BitBitVar退出qPdi=1（位）变量退出qPdi=1（~Bit）变量退出. （17） 因此相关性强烈依赖于B（t，英国）-1，英国）=ψT-t（英国）-1)-ψT-t（uk）和B（t，vj，uj）=ψt-t（vj）- ψT-t（uj），分别是vkand和uk的结构。精确的相关性取决于所使用的度量（例如QTk，P），但巧妙地选择vk和uk，可以确保相关性结构，即相关符号保持不变。下一节将给出有意义的相关结构的具体规范。在连续有效过程的情况下，也可以对相应量的瞬时相关性进行类似的观察（总体思路见Grbac等人[9]）。实施示例我们设计了金融市场模型的结构，以便将校准分为对名义市场数据的校准和之后对金融市场数据的校准。用于校准名义市场数据的方法基于Grbac等人的想法。

[9]. 在那里，他们通过使用共同驱动过程Xplus和其他驱动过程X，…，建立了一个多曲线伦敦银行同业拆借利率市场模型，XM，所有这些都是独立的、有效的和非负的。为了进行校准，他们使用的是全年到期的caplet和期限不到一年的潜在远期。每年使用一个单独的驱动过程，然后可以使用迭代程序来校准市场数据。他们的方法也可用于此设置。特别考虑半年期结构Tk=k/2，k=1，N、 N偶数，驱动一个由M+1=N/2+1组分X，X，XM，所有这些都是独立的解析过程，函数φi和ψi，i=0，然后由（23）φt（u）=MXi=0φit（ui）ψt（u）=（ψt（u），ψt（u），ψMt（uM）），其中ui，i=0，M表示u的相应分量∈ RM+1。为了描述波动市场模型，我们还必须指定向量uk。在某些技术条件下，一维过程的方差为VaR退出=Uu=0（φit（u）+ψit（u）Xi）。三十、 。XMXM+1XM+2。X2Mu)uuu。联合国-10 0··0uuuu。联合国-10 0··0uu0 u。联合国-10 0··0uu0 u。联合国-10 0 · · · 0..............................联合国-2uN-20 0 . . . 联合国-10 0··0 UN-1uN-10 0 . . . 联合国-10 0··0 UN0 UN 0。表1：参数结构uk的说明。每行对应一个向量，列名表示向量中的位置对应的过程。向量应满足以下几点。o远期利率为非负。如果为0，则为这种情况≤ 英国≤ 英国-1.o模型与初始利率期限结构相匹配。

这基本上是每个载体的一个组成部分通过使用迭代程序，可以对市场数据进行校准该模型具有有意义的相关性结构。这可以通过以下方式选择向量来实现。它们取决于2n个实参数u≥ · · · ≥ 联合国≥ 0，u≥ · · · ≥ 联合国≥ 0.1分≤ J≤ M set（比较表1，暂时忽略最右边的零列）uk=~uke+ukedke+MXl=dke+1u2l-在这里，e，Em表示基向量（1,0，…，0），RM+1的（0，…，0，1）。注意，通过这种选择，向量（英国）正在减少。考虑到√u，取消进程ESX，X，XMby引理2参数u，未根据当前期限结构确定。也就是说，我们要求P（0，Tk）P（0，T）=EQTeuk·XT= EQThe¨ukXTiEQT“eukXdkeT#MYi=dke+1EQTheu2l-1XlTi，因此参数u，可以使用反向迭代计算unc。此外，全年到期的半年期远期利率主要取决于u2k-1，U2K和过程X，Xk，XM。因此，如果x和u，■如果尚未指定，则可以在远期利率fn上设置XMto Caplet，然后反向迭代在远期利率F2k上设置Xkto Caplet。因此，如果x和u，■不确定的情况下，所有剩余参数都可以根据收益率曲线和caplet价格进行校准。0 2 4 6 8 100.000 0.010 0.020 0.030到期利率SCIS利率图1：2011年9月29日的收益率曲线和ZCIIS曲线，如Grbac等人[9]所述，并经我们的数值测试证实，Xanduk的具体选择（在有意义的范围内）对结果校准质量没有定性影响。此后，Xis被固定为CIR工艺（该工艺的具体说明见附录，见方程式（24））。

到目前为止，我们还没有提到由此产生的相关性。这就是参数的选择u，取消在中的注释。远期利率F2kareB（t，u2k）相关性的相关函数-1，u2k）=（ψT-t（~u2k）-1) - ψT-t（~u2k），0，0，ψkT-t（u2k-1) - ψkT-t（u2k），0，0).除第一部分外，这些函数是“正交”的。因此，根据等式（17），相关结构主要取决于序列（~uk）。由于Xis非负，函数ψt（u）在u中增加（见Keller-Restel等人[14]）。由于（~uk）是递减序列，这会导致非负相关。为所有k值设置uk=~u将导致零相关性。相关性的大小取决于前向债券价格的变化有多大程度上由ukX解释。在这里，我们选择因数UK，以便EQTe2ukXcT=P（0，Tk）/P（0，T）。这种选择背后的想法是，大约一半的差异应该用公因子来解释。如果有其他相关信息（例如通过市场数据），可将其纳入英国。对于校准，我们使用了2011年9月29日的市场数据。收益率曲线由伦敦银行同业拆借利率和掉期利率自举得出，如图1所示。所使用的caplet隐含了6个月远期利率的可用性，利率为1%至6%，期限为1至10年，由cap数据引导。由此产生的隐含波动率如图2所示。我们确定了时间范围T=10，并选择了共同过程的参数为λ=0.026，θ=0.65，η=0.5，x=3.45。M个单独的驾驶过程被选为具有附加跳跃的CIR过程（见附录，等式（25））。

它们的参数salthough仅对偶数远期利率进行了说明，为了概念上的简单性，这适用于所有远期利率。只有当序列（~uk）没有减少时，这种设置中的负相关性才可能出现，这意味着远期利率可能变为负。0.010.020.030.040.050.062468100.20.30.40.50.6无息到期图2：市场和模型caplet隐含的6个月远期利率波动率，有1%至6%的无息到期日和1至10年的无息到期日。市场波动率以透明的蓝色显示，而模型波动率以红色显示。并用上述递推方法对参数进行了标定。在每个步骤中，选择参数，以使隐含波动率的均方误差最小化。与Grbac等人[9]相矛盾的是，我们无法产生他们论文中描述的类似校准质量。由此产生的校准可在图2中找到。特别是对于长期的小孢子挥发性，这种明显的偏斜无法重现。尽管如此，该模型提供了一个合理的caplet波动率曲面，尤其是因为它关注的是通货膨胀衍生品。下一步是将校准扩展到餐饮市场。除了用于建模利率的M+1驱动过程外，我们还使用另一个M独立分析过程（每年一个）驱动与通货膨胀相关的数量。由于各个过程由（23）独立，可以通过将UK的附加组件设置为零（见表1），嵌入不受影响的设置。从现在开始，我们假设过程X，X，向量u，尚未修复。流入参数VK的选择与UK的选择集中在相同的方面，而不受流入率必须为非负的限制。

我们再次假设向量vkare由2N个参数v，~vN，v，越南。特别是，我们选择（另见表2）与作者澄清的几项请求得到的答案是，他们的结果目前不在共享状态。实际上，我们只需要N个参数，因为表2中的奇数行对考虑的年通货膨胀率没有贡献。为了概念上的简单性，我们仍然考虑2N参数。三十、 。XMXM+1XM+2。X2Mv)vuu。联合国-1v0··0vvuu。联合国-1v0··0vv0 u。联合国-10V·0vV0U。联合国-10 v·0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。越南-2vN-20 0 . . . 联合国-10 0··0vN-1vN-10 0 . . . 联合国-10 0··vN-1vNvN0。uN0 0··VN表2：膨胀参数结构vk的说明。每行对应一个向量，列名表示向量中的位置对应的进程。请注意，对于年通货膨胀率期权定价，向量vjj奇数并不重要。vk=~vke+ukedke+MXl=dke+1u2l-1el+vkeM+dke。选择标称组件vik=UIK或i=1，M的优势在于，远期CPI和远期通货膨胀率不依赖于名义过程X，XM。再加上针对流程Xm+1选择VKw。x2m这意味着正向CPI（t，T2k）仅取决于x和XM+k。尤其是对应于（11）中定义的正向CPI（t，T2k）的函数B（t，v2k，u2k）=（ψt-t（~v2k）- ψT-t（~u2k），0，0，ψM+kT-t（v2k），0，0).由此可知，对于不同的远期CPI，除了第一部分，这些函数是“正交”的。此外，除第一个分量外，它们还与函数B（t，uj）正交-1，uj）与远期利率相关。因此，相关性结构主要取决于UK和vk。

由于ψ是单调递增的，如果相应的远期CPI应与名义利率正相关，则应选择vk>uk；如果应为负相关，则应选择vkuk。还要注意的是，如果sgn（~vk），两个年度远期CPI正相关- 英国）=sgn（vj）- ~uj）。因此，这为我们提供了一些标准，如何根据相关假设确定参数Uk，从现在起，我们假设参数v，给出了vn。假设还有一个固定的过程XM+kwe，则需要从当前的期限结构PILB（0，Tk）/P（0，T）确定vk。我们区分了两种情况。首先考虑一个非负有效过程XM+k。在这个例子中，通过引理2，存在一个唯一的vk，因此Mvk=PILB（0，Tk）/P（0，T）。对于vk≈ ■UK这通常会导致vk>0。在这种情况下，[t，Tk]的零息票波动总是正的。为了避免这种情况，或者考虑一个有效的过程，该过程包含负值和正值。在这种情况下，vk不一定会增加。然而，根据引理2，它仍然是一个凸函数invk。这意味着vk最多有两种可能的选择，在这种情况下，我们需要决定仅通过公因子过程引入膨胀部分的相关性。我们也可以改变参数来引入相关性。在这种情况下，可能会创建更复杂的关联模式。2 4 6 8 100.0000.0050.0100.0150.0200.025图3：线性插值的年度远期汇率FI（0，T2（k-1） ，T2k）（黑色）及其近似值I（t，T2k）/I（t，T2（k）-1)) - 1（红色虚线）表示期限为1至10年。挑一个。对于本文中的结果，我们只使用了一个选项小于零，另一个选项大于零的结果，然后我们选择了这个结果。要确定进程xm+1。

，x2m通知年度远期汇率FI（t，T2k-2，T2k）仅取决于进程X，XM+k-1，X和FI（t，t，t）只依赖于X，XM+1。通过在FI（T，T，T）上启动内部浮动选项，可以校准XM+1的参数。然后，在FI（T2k，T2（k）上迭代校准XM+kusing流动选项的参数-1） ，T2k）。在校准示例中，我们使用了1至10年的ZCIIS比率（参见图1）和从-2%至6%，价格如图4所示。我们选择了带有c的<<vk=<<uk（1+ck）≈ 0.08，所以ck在1到1.15之间。这意味着相关性与通常观察到的正相关。对于XM+1，X2Mwe使用了带有附加跳跃的Ornstein-Uhlenbeck过程（见附录，等式（26））。然后按照说明校准这些过程的参数和序列（vk）。在每一步中，期权价格的均方误差最小化。结果如图4所示，这表明校准非常准确。我们还想用（偏离对数正态分布的）隐含波动率来显示fit。通常只有ZCIIS汇率的报价，而不是直接转化为远期汇率。然而，年度远期通货膨胀率可以用FI（t，Tk）近似表示-j、 （Tk）≈I（t，Tk）/I（t，Tk）-j）- 1（参见图3）。市场惯例是在移位黑公式中使用该值作为远期值来计算近似的市场波动率。由此产生的隐含波动率如图5所示。这表明，该模型在所有到期日和利率中都能很好地再现隐含波动率，并且该模型能够很好地拟合观察到的市场数据。结论我们引入了一个高度易处理的流动性市场模型，在该模型中，我们能够推导出两种流动性指数掉期的分析公式。

此外，可以使用一维Fourier反演公式计算通货膨胀率和通货膨胀率以及CPI率和通货膨胀率。因此，可以快速准确地计算流动交易的流动性衍生品的价格。此外，所提出的模型能够为经典的利率衍生品定价，如上限和下限。使用这些公式，我们能够根据市场数据校准模型。校准示例表明，该模型可以非常准确地校准到金融市场数据。-0.020.000.020.040.062468102004060100罢工补偿到期日图4：以罢工为基准的年度转运价格的市场和模型caplet/fl-oorlet价格-2%至6%，期限为1至10年。市场价格以透明的蓝色显示，而模型价格以红色显示。预谋-2%和1%的价格适用于软帽，2%和6%之间的罢工适用于软帽。市场价格根据相应的资本/流动数据自举。-0.020.000.020.040.062468100.0080.0100.0120.0140.0160.018冲击完整到期日图5：带冲击的年度远期流动的市场和模型隐含波动率-2%至6%，期限为1至10年。市场波动率以透明的蓝色显示，而模型波动率以红色显示。A.一个有效的进程let X=（Xt）0≤T≤t值为D=Rm的齐次马尔可夫过程≥0×Rnona可测空间(Ohm, A） 过滤（英尺）0≤T≤T、 关于哪个X被调整。用px和Ex[·]表示X=X时相应的概率和期望。如果X的特征函数为formEx，则X称为有效过程欧盟·Xt= 经验φt（u）+ψt（u）·x, U∈ i路，x路∈ D、 式中φ：[0，T]×i-Rd→ C和ψ：[0，T]×ird→ cdi和Rd={u∈ Cd:Re（u）=0}。条件特征函数满足的齐次性和马尔可夫性欧盟·Xt | Fs= 经验φt-s（u）+ψt-s（u）·Xs.