仿射通货膨胀市场模型

（18） 因此，也可以为非齐次马尔可夫过程定义一个有效过程（见Filipovic[6]）。在本例中，a ffine属性readsEx欧盟·Xt | Fs= 经验φs，t（u）+ψs，t（u）·Xs, U∈ i路，x路∈ D、 用φs，t:i-Rd→ C和ψs，t:ird→ CD0≤ s≤ t、 如果X是随机连续的，且setV的内部为：=（u∈ Cd:sup0≤s≤TExheRe（u）·Xsi<∞ 十、∈ D） ，（19）包含0。在这种情况下，函数φ和ψ连续扩展到V，在内部进行分析，因此（18）适用于所有u∈ V（见Keller Ressel[11]）。一类有效过程包括布朗运动和更一般的所有L’evy过程。由于L′evy过程具有平稳的独立增量，因此ψt（u）=u，而φt（u）=tκ（u），其中κ是L′evy过程的累积量母函数。OrnsteinUhlenbeck过程是更重要的过程示例。本节末尾描述了本工作中使用的有效流程。Duffee等人[4]是一个有效流程的标准参考。它们给出了一个有效过程的特征，其中φ和ψ被指定为一个微分方程组的解。为了激发这一点，请考虑一个有效的过程X。由tower property为所有X持有的条件期望∈ 德克斯euXt+s= 前任前任euXt+s | Fs= Exheφt（u）+ψt（u）·Xsi。V可以被描述为（凸）集，其中x的扩展矩母函数定义为所有时间t和所有起始值x。通过Keller Ressel和Mayerhofer[12]中的引理4.2，集V实际上等于看似较小的集NU∈ Cd:十、∈ int（D）：ExheRe（u）·XTi<∞o、 利用方程（18）可以得出，φ和ψ满足所谓的半流方程φt+s（u）=φt（u）+φs（ψt（u）），φ（u）=0，ψt+s（u）=ψs（ψt（u）），ψ（u）=u.（20）。对于一个随机连续的有效过程X，这在Keller-Ressel等人中得到了证明。

[13] 函数SF（u）：=tφt（u）t=0+，R（u）：=tψt（u）t=0+存在。重写（20）关于差异商和允许值→ 我们得到φ和ψ满足广义Ricatti方程tφt（u）=F（ψt（u）），φ（u）=0，tψt（u）=R（ψt（u）），φ（u）=u.（21）函数F和R具有一种特殊形式的Levy-Khintchine类型，如Indufie等人[4]所述。这里还表明，对于这种形式（21）的每一个F和R，都有唯一的解。指定函数F和R是指定有效流程的另一种方法。Keller Ressel和Mayerhofer[12]给出了F和R的条件，在该条件下，（21）的解定义了一个分析过程。注意，为了计算φ和ψ，我们希望得到系统（21）的闭式解，但通常情况并非如此。耦合独立的过程非常容易处理。对于两个独立的有效过程ESX和Y以及所有起始值x，Y，一个得到（x，Y）he（uX，uY）·（Xt，Yt）i=E（x，Y）euX·XteuY·Yt= E（x，y）euX·XtE（x，y）尤伊·伊特. （22）因此（X，Y）是φ（X，Y）t（uX，uY）=φXt（uX）+φYt（uY），ψ（X，Y）t（uX，uY）=（ψXt（uX），ψYt（uY））。（23）第3节使用了这个事实和下面的引理。引理2：设X是一个分析过程，由m+n独立的过程组成，其中第一个m是非负的。对于（u，…，英国，v，英国+1，…，联合国）∈ int（V）∩Rm+nde定义功能FK（v）：=Exhe（u，…，英国）-1，v，英国+1，。。。，嗯+n）·Xti。如果k是单调增加的≤ m和fk对于所有k-证明都是凸的。每x∈ D期望中的项在v中是凸的，在v中是单调递增的≤ m、 在接受期望后，这一点也成立。本节的最后一部分描述了本文中使用的有效流程。Keller-Ressel等人的一个经典例子也表明了这一点。

[15] 以及库奇罗和泰奇曼[3]。例如CIR过程，它是XT=-λ（Xt）- θ） dt+2ηpXtdWt，X=X.（24）对于这个过程，函数φ和ψ被定义为Re（u）<λ2η（1- E-λt）-1，φt（u）=-λθ2ηln1.-2ηλ(1 - E-λt）u,ψt（u）=e-λtu1-2ηλ(1 - E-λt）u。CIR过程几乎肯定保持非负。如果λθ>η，则为严格正。我们可以通过将复合泊松过程Lt的微分与X.dXt=-λ（Xt）- θ） dt+2ηpXtdWt+dLt，X=X.（25）如果Lhas指数分布跳跃，期望值α到达速率λβ，则函数φ和ψ为（见Grbac和Papapantoleon[8]）φt（u）=-λθ2ηln1.-2ηλ(1 - E-λt）u-λβλ - 2ηαlnα- uα- UE-λt+（1）- E-λt）λ2ηα!,ψt（u）=e-λtu1-2ηλ(1 - E-λt）u，其中（u）<min（λ2η（1- E-λt）-1, αE-λt+（1）- E-λt）λ2ηα-1, α).因为只有正跳，所以这个过程也保持非负。第三个例子是考虑DXT定义的实值有效流程=-λ（Xt）- θ） dt+σdWt+dLt，X=X，（26），其中lti是一个复合泊松过程，具有平均α+到达率λβ+的正跳跃和平均α+的负跳跃-到达率λβ-. 本例中的函数φ和ψ为φt（u）=σu4λ（1）（参见M¨uller和Waldenberger[19]）- E-2λt）+θu（1）- E-λt）+β++β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ E-λtu）（α+- u） （α）-+ u）+β+- β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ u） （α）+- u） （α）-+ E-λtu）,ψt（u）=e-λtu，例如-α-< Re（u）<α+。参考文献[1]N.贝尔格莱德、E.本哈莫和E.科勒。通货膨胀的市场模型。图书馆，2004年。[2] A.布拉斯、D.加塔雷克和M.穆西埃拉。利率动态的市场模型。数学金融，7（2）。ISSN 1467-9965。[3] C.库奇罗和J.泰奇曼。一般状态空间上任意过程的路径性质和正则性。在S~Ac中米奈尔概率酒店s XLV，数学课堂讲稿，第201-244页。斯普林格国际出版社，2013年。[4] D.杜菲、D.菲利波维和W。

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