仿射通货膨胀市场模型

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英文标题：
《The affine inflation market models》
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作者：
Stefan Waldenberger
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  Interest rate market models, like the LIBOR market model, have the advantage that the basic model quantities are directly observable in financial markets. Inflation market models extend this approach to inflation markets, where zero-coupon and year-on-year inflation-indexed swaps are the basic observable products. For inflation market models considered so far closed formulas exist for only one type of swap, but not for both. The model in this paper uses affine processes in such a way that prices for both types of swaps can be calculated explicitly. Furthermore call and put options on both types of swap rates can be calculated using one-dimensional Fourier inversion formulas. Using the derived formulas we present an example calibration to market data.
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中文摘要：
利率市场模型，如伦敦银行同业拆借利率市场模型，有一个优势，即基本模型数量在金融市场中可以直接观察到。通货膨胀市场模型将这种方法扩展到通货膨胀市场，零息票和同比通货膨胀指数掉期是基本的可观察产品。对于迄今为止考虑的通货膨胀市场模型，封闭式公式仅适用于一种掉期，但不适用于两种掉期。本文中的模型使用仿射过程，这样两种类型的掉期价格都可以显式计算。此外，这两种掉期利率上的看涨期权和看跌期权都可以使用一维傅立叶反演公式计算。利用导出的公式，我们给出了一个校准市场数据的示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> The_affine_inflation_market_models.pdf (463.53 KB)

2022-5-7 22:32:35 上传

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关键词：通货膨胀 Quantitative QUANTITATIV derivatives Dimensional

通货膨胀市场模型Tefan Waldenberger关键词：市场模型、通货膨胀期权、通货膨胀过程摘要：利率市场模型，如伦敦银行同业拆借利率市场模型，其优点是基本模型数量可以在金融市场中直接观察到。流入市场模型将这种方法扩展到流入市场，零息票和同比流入指数是基本的可观察产品。对于目前为止考虑的通货膨胀市场模型，封闭式公式仅适用于一种掉期，但不适用于两种掉期。本文中的模型使用了一种有效的过程，可以明确计算两种掉期的价格。此外，两种掉期利率上的看涨期权和看跌期权都可以使用一维傅立叶反演公式计算。利用导出的公式，我们给出了一个校准市场数据的示例。Jarrow和Yildirim首先严格引入了无套利通货膨胀模型【10】。从那时起，人们提出了几种通货膨胀模型。与利率模型类似，人们可以区分短期利率模型和市场模型。Jarrow和Yildirim[10]提出的短期利率模型旨在对不可观测的连续名义和实际短期利率进行建模，而市场模型使用离散可观测利率作为建模的基础（见贝尔格莱德等人[1]，Mercurio[16]）。这些可观察利率是流动交易流动性掉期、零息票流动性指数掉期和同比流动性指数掉期的基础。虽然这些模型有几个扩展（例如Mercurio和Moreni[17,18]），但所有这些模型都解决了一个问题，即只有一种类型的掉期存在分析公式，但并非两者都存在。本文中的模型导出了这两种类型的闭合公式。基于Keller-Ressel等人[14]的观点，我们可以使用一个有效的过程来描述分析上高度易处理的模型。

一个有效过程是马尔可夫过程，其中特征函数是指数有效形式，即euXt | Xs= eφ（t）-s、 u）+ψ（t）-s、 u）Xs。这类过程包含大量的过程，例如，每一个L`evy过程都是一个过程。使用最长期限的名义零息票债券作为计算基准，我们可以将标准化债券价格建模为一个有效过程X的“指数鞅”。在这类模型中，我们不仅能够为两种类型的流动互换定价，而且还可以为基础流动率的看涨期权和看跌期权推导半解析公式，另一种流动性交易的流动性衍生品。本文的结构如下。第一部分描述了金融市场和典型的交易衍生品。之后，我们概述了一个通货膨胀市场模型的建立。第二部分介绍了通货膨胀市场模型，并推导了所引入的通货膨胀衍生品的定价公式。第三部分提供了具体的模型说明，包括对实际市场数据的校准。在附录中，我们收集了本文所需的一系列过程的性质。此外，我们还详细说明了数值部分使用的有效过程。1.流动市场记录到期日为t乘以P（t，t）的名义零息债券的时间t价格，并考虑时间t值为I（t）的流动指数。通常，通货膨胀指数被称为消费者价格指数（CPI）。为了缩短符号，我们将使用术语CPI同义词来表示通货膨胀指数，然而读者可以想到任意的通货膨胀指数。与通货膨胀挂钩的市场中的基本数学工具被称为与通货膨胀挂钩的零息债券（对应于名义利率市场的零息债券）。到期日为T的与通货膨胀挂钩的零息债券是在T时支付的债券。

用PILB（t，t）表示其价格。在实际市场中，ZF发行与通货膨胀挂钩的息票债券。这种债券在预定日期的某个固定数量以可变基础I（Tk）/I（T）支付固定息票≤ T（通常为每年一次），其中为发布时间。除息票外，此类债券在到期日T赎回，最大值为{I（T）/I（T），1}。因此，这种债券可以被描述为与通胀挂钩的零息债券加上附带支付期权（1）的组合- I（T）/I（T））+。一般而言，这些债券的到期日为几年，且价格波动为正。在这种情况下，包含期权对总价格几乎没有影响，这就是为什么市场惯例大多忽略它。特别是，如果忽略这些选项，就有可能通过与名义数量相同的方法，从实际交易的与通胀挂钩的息票债券中剔除与通胀挂钩的零息票债券价格。考虑quantityPR（t，t）：=PILB（t，t）I（t），（1），它被称为实际零息债券的价格。请注意，这不是tradedasset的价格，而是一个理论数量。使用价格一词的动机是，这个数量可以被视为一个活跃经济体中零息债券的价格，在这个经济体中，一切都是根据通货膨胀指数I（t）来衡量的。考虑到实际零息票债券价格，连续复合实际利率由R（t，t）确定：- ln（PR（t，t））/（t- t） 。因此，我们可以定义其他名义数量的真实对应物，如远期利率或短期利率。该数量有时被用作浮动期权定价模型的起点（参见Jarrow和Yildirim[10]，Mercurio[16]）。除了与通胀相关的债券市场之外，还有几个与通胀相关的流动性交易债券。首先考虑通货膨胀指数（远期CPI）的远期价格，即。

时间t固定值I（t，t），在时间t可以与I（t）交换，无需额外成本。由于PILB（t，t）是I（t）的当前价格，因此到期时间t的远期CPI t isI（t，t）：=PILB（t，t）P（t，t）。（2） 在零息票流动指数掉期（ZCII）中，双方将已实现的流动（T）I（T）与固定金额（1+K）T进行交换-t、 ZCII主要以全年到期日M进行交易。这里我们指的是交易时必须支付的货币价格。事实上，交易屏幕上的报价基本上就是这个数字。然而，如果此类债券进行交易，现金流则为报价数字乘以相应的指数比率。人们可以将I（t）解释为一个数字，但必须小心不要将其用作数学数字，因为I（t）实际上并没有被交易。对于T=T+M，这种付款人掉期的价值可以用asP（T，T）表示I（t，t）I（t）- （1+K）M. （3） 等式（3）为零的速率K称为ZCIIS速率ZCIIS（t；M）。这些零利率在市场上有几年的到期日。备注：请注意，ZCII利率和通货膨胀挂钩债券通过（2）和（3）密切相关。实际上，这种关系并没有得到观察。这在一定程度上是由于债券和掉期市场对手的信誉不同。弗莱肯斯坦等人[7]对这种差异进行了更详细的分析。对于模型校准，必须选择一个市场，通常是掉期市场。除了ZCII之外，还有第二种重要的外汇市场掉期，即年度外汇指数掉期（YYII）。这些掉期将年化汇率与固定利率K进行交换，即考虑年间隔期限结构Tk=t+K，K=0，M.付款人在Tkis（I（Tk）/I（Tk）时的电子支付-1) - 1) - K

因此，负债包括形式的支付- sI（T）I（S）- 1..用FI（t，S，t）表示这种支付的远期价值，即年化远期汇率。那么，到期日为M且行权为K的付款人yyis的价值可以表示为asMXk=1P（t，Tk）（FI（t，Tk）-1、Tk）- K） 。yyis rate Y IIS（t；M）是速率K，因此相应的yyis具有零值。请注意，给定所有年度到期日的YYIIS利率，可以计算年度转帐利率FI（t，Tk-1，Tk），反之亦然。前向消费物价指数I（t，t）和远期通货膨胀率FI（t，S，t）分别是市场交易的ZCII和YYII的数学量。流动市场模型旨在对这些数量进行建模。在现有的通货膨胀市场模型中，I（t，t）或FI（t，S，t）都可以用分析公式表示，但不能同时用这两种公式表示。考虑一个市场，假设价格过程是过滤概率空间上的半鞅(Ohm, A、 （英国《金融时报》，第页）。修正一个T-向前测度QT，即一个概率测度，相当于Psuch，即用基准价格P（T，T）标准化的资产价格是QT鞅。然后I（t，t）=EQT[I（t）| Ft]FI（t，S，t）=EQTT- sI（T）I（S）- 1.英尺.很难计算通货膨胀指数的预期值，以及两个不同时间通货膨胀指数的分数。在本文的模型中，二者在潜在的驱动随机过程中都是指数有效的。对于一个有效的过程（见附录），可以计算此类预期，我们能够给出许多标准选项的半解析公式，如远期汇率的上限和下限。1.1. 流动市场模型我们现在介绍（流动）市场模型的一般设置。考虑一个期限结构0<T<···<TN=：T和一个由到期日和价格为P（T，Tk）的零息债券组成的市场。

价格过程（P（t，Tk））0≤T≤Tkare假设为过滤概率空间上的正半鞅(Ohm, A、 （英尺）0≤T≤T、 P），几乎可以肯定满足P（Tk，Tk）=1。如果存在一个等价的概率测度qt，使得规范化债券价格过程P（·，Tk）/P（·，T）是鞅，那么市场是无套利的。该设置描述了利率市场模型的类别，如经典的LIBOR市场模型（Brace等人[2]）及其扩展。为了将这种设置扩展到通货膨胀市场，考虑通货膨胀指数I，我们假设。l、 即I（0）=1。假设存在与通胀挂钩的零息债券，其成熟度相同，t和价格过程PILB（t，Tk）0≤T≤Tk，它们都是正半鞅。如果存在一个等价的概率测度qt，那么所有的规范化价格过程P（t，Tk）P（t，t）0≤T≤Tk，PILB（t，Tk）P（t，t）0≤T≤Tk（4）是QT鞅，扩展市场模型是无套利的。对于给定的QT定义，Tk向前测量QTkbyd QTkd QT=P（Tk，T）P（0，T）P（0，Tk）。（5） 根据QTK，远期利率FK（t）：=KP（t，Tk）-1） P（t，Tk）- 1., k:=Tk- Tk-1，早期引入的远期CPII（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，Tk），对于j<k，远期通货膨胀率FI（t，Tj，Tk）由1+（Tk）给出- Tj）FI（t，Tj，Tk）=EQTkI（Tk）I（Tj）|英尺都是鞅。对（其中一些）鞅进行建模是文献中波动市场模型的起点（参见Mercurio[16]）。相比之下，我们从（4）中的标准化债券价格建模开始，推导出上述数量。通过将P（T，Tk）：=P（T，T）P（Tk，T）设置为T>Tk，可以将债券价格过程扩展到[0，T]，因此P（·，Tk）/P（·，T）是[0，T]上的鞅，当且仅当它是[0，Tk]上的鞅。

从经济角度来看，这可以解释为立即将零息债券的收益投资于运行时间最长的零息债券。假设每一个零息票到期日都有一个相同到期日的ILB，这只是为了概念上的方便。通货膨胀指数仅通过债券价格PILB进行描述。也就是说，I（t）的分布仅在Tk时存在，在Tk时它与PILB（Tk，Tk）的分布相一致。金融市场模型（Xt）0≤T≤Twith X=X是一个状态空间为Rm的解析过程≥0×Rn，m>0，n≥ 概率空间上的0(Ohm, A、 （英尺）0≤T≤T、 QT）并定义k=1，NP（t，Tk）P（t，t）：=Mukt，英国∈ （Rm）≥0×{0}n）∩ 五、 PILB（t，Tk）P（t，t）：=Mvkt，vk∈ Rm+n∩ 五、 （6）其中mut:=EQT欧盟·XT |英尺= 经验φT-t（u）+ψt-t（u）·Xt, U∈ 五、 （7）带有（19）中定义的V。通过定义一个有效的过程，这些过程是可变的QT鞅。因此，该模型是无套利的。注意，在（6）中，Uk对应于X的实值分量的部分被选择为零。对于递减序列u≥ · · · ≥联合国≥ 0一个就有了Muk-1t≥ 因此，保证远期利率Fk（t）对所有k均为非负。与利率相反，浮动利率不要求为非负，这就是我们不限制vkin（6）的原因。Uk和Vk的值应进行校准，以确定初始期限结构，即Muk=P（0，Tk）/P（0，t）和mvk=PILB（0，Tk）/P（0，t）。通过引理2，可以得出如下结论：用非负远期利率拟合当前期限结构的参数总是可以选择为递减的。在多维过程中，这样的序列远非唯一。具体规格如何选择UK和VK将在第3节中介绍。这种设置的最大优点是（5）在本例中，readsd QTkd QT=MukTkMuk=MukexpφT-Tk（uk）+ψT-Tk（英国）·XTk（8） 这是X的指数函数。

特别是很容易检查（见Keller-Ressel等人[14]），即0≤ s≤ r和ψT-r（英国）+w∈ 维克特克ew·Xr | Fs= 经验φr-s（ψT）-r（英国）+w）- φr-s（ψT）-r（英国））经验ψr-s（ψT）-r（英国）+w）- ψr-s（ψT）-r（英国））· Xs.（9） 因此，X的矩母函数也是未知的，因为不同的度量QTk是已知的。加上基本量的指数形式，这就是为什么该模型在分析上非常容易处理的原因。例如，远期利率（1+kFk（t））=Muk-1万吨=eA（t，英国）-1，英国）+B（t，英国-1，英国）·Xt，尽管目前某些国家的利率为负，但利率仍低于实际存款成本。我们可以通过设置P（t，Tk）P（t，t）：=ckMukt来合并与0不同的边界。这也表明，在QTk下，X是一个时间不均匀的过程。a（t，v，u）：=φt-t（v）- φT-t（u），B（t，v，u）：=ψt-t（v）- ψT-t（u）。（10） 因此，ln的QTk扩展矩母函数1 + kFk（t）可以使用（9）明确计算。然后，使用傅里叶逆变换公式（seeKeller-Restel等人[14]）得出一个小帽的价格。互换期权也可以处理（Keller-Ressel等人[14]，Grbac等人[9]），因此可以高效地计算最常见的利率衍生品。我们可以使用类似的方法来处理通货膨胀衍生品。2.1. 远期CPI和CPI期权如前所述，该模型的主要优点是，对于几个重要的量，在所有远期度量QTk下，矩母函数是已知的。从前瞻性CPII（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，t）P（t，t）P（t，Tk）=MvktMukt=eA（t，vk，uk）+B（t，vk，uk）·Xt，（11）中定义了A和B。

因此，远期CPI为指数形式，因此其对数的QTk矩母函数可使用（9）计算。特别是，设置AkI:=A（Tk，vk，uk），BkI:=B（Tk，vk，uk），并使用I（Tk）=I（Tk，Tk）one hasMQTkln（I（Tk））| Fs（z）：=EQTk[I（Tk）z | Fs]=EQTkhexp扎基+zBkI·XTk| Fsi=expzAkI+Tk-s（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- φTk-s（ψT）-Tk（英国））经验ψTk-s（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- ψTk-s（ψT）-Tk（英国））· Xs= 经验zφT-Tk（vk）+（1）- z） φT-Tk（英国）经验φTk-szψT-Tk（vk）+（1）- z） ψT-Tk（英国）经验ψTk-szψT-Tk（vk）+（1- z） ψT-Tk（英国）· Xs/穆克。最后一个等式是使用（20）。注意，如果zψT，这个函数是很好定义和分析的-Tk（vk）+（1）- z） ψT-Tk（英国）∈ int（V）。给定ln（I（Tk））的矩母函数，CPI调用和PUT可以使用以下著名的傅里叶逆变换公式计算（参见Eberlein等人[5]）。IfR∈ (1, ∞) 使MX|F（R）<∞, thenE（例如- K） +|F=KπZ∞ReMX | F（iu+R）K-（iu+R）（iu+R）（iu+R）- 1)!杜。（12） 因此，到期日为Tk且支付金额为（I（Tk）的远期CPI看涨期权的价格- K） +isCPICall（t，Tk，K）=KP（t，Tk）πZ∞ReMQTkln（I（Tk））|Fs（iu+R）K-（iu+R）（iu+R）（iu+R）- 1)!du，其中选择R>1以满足RψT-Tk（vk）+（1）- R） ψT-Tk（英国）∈ int（V）。备注：在第1节中提到，ILB通常带有一个包含选项，保证至少赎回原始名义金额。对于在S和到期日发行的ILB，这转化为期权（1-I（Tk）/I（S））+对应于1/I（S）CPI看跌期权和第I（S）条。远期通货膨胀、通货膨胀小头和通货膨胀市场模型通常无法分析处理远期CPI和远期通货膨胀产品。根据本文介绍的方法，远期通货膨胀率的形式与远期CPI类似。