养老基金资产负债管理中的综合机会约束

在时间t收到补救性捐款之前，总财富定义为*一个人可以写*t=dXk=1Hk，t-1ξk，t+Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- 弯曲- Zt。（2.2.2）资产收益率（ξt）Tt=1：=ξ1，t··ξk，t··ξd，tTt=1，养老金支付和工资在过滤概率空间中建模为随机过程Ohm, F、 （F）Tt=1，P. 显然，在每个决策时间，Atis都是一个随机变量，其分布一方面取决于ξt、wt和bent，另一方面取决于t之前的资产分配。在特定日期t，可以观察到变量Atis。初始财富由“A”定义，在初始时间t=0时已知。根据（2.2.1），总财富-1时间t- 1分为d类资产和现金。每项资产k都会产生一个收益ξk，在整个周期[t]内- 1，t]。初始财富加上期末累计利息将由外部流动余额增加：供款减去养老金支付。后者可能是积极的，也可能是消极的，这取决于贡献和支付的福利之间的差异。负差额可能是因为公司不再雇佣新员工。这可能是由于各种原因造成的：资金流失、经济困难等。显然，总贡献是有限的-随着总工资的下降，WT将大幅下降，而随着人们离开基金，WT将趋于增加。当t时，总资产不能满足养老基金偿付能力目标时，它可能会获得补救性供款Zt。为了尽可能接近金融市场的现实，必须考虑交易活动的成本。因此，我们将比例交易成本包括在内：=\'\'cB。“”cBk。“‘中央商务区’和“cS:=“cS。\'\'cSk。“cSd分别用于购买和销售。交易成本的纳入将导致资产动态发生一些变化。

因此，（2.2.1）被替换为AT=dXk=1HT-1，kξT，k+CT-1（1+rf）+crT-1WT- 弯曲=A*T（2.2.3）在一段时间内[T- 1，T]当T∈ T\\{T}，At=dXk=1Hk，T-1ξk，t+Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- Bent+Zt-dXk=1\'cBkBk，t+\'cSkSk，t= ξtHt-1+Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- Bent+Zt-“cBBt+”cSSt= A.*t+Zt-“cBBt+”cSSt= e·Ht+Ct（2.2.4），其中e：=1 1 · · · 1是一个（1×d）向量。向量Ht：=H1，t··Hk，t··Hd，t>, 英国电信：=B1，t··Bk，t··Bd，t>和圣路易斯：=S1，t··Sk，t··Sd，t>每个维度（d×1）分别是每个决策时间t的资产持有量、购买量和出售量∈ T.事实上，（2.2.4）是通过在（2.2.1）的第一个等式中减去交易成本得到的。在时间T，不再购买或出售资产：BT=ST=0；投资组合的价值由所有资产价值相加确定，包括上期收益和外部流动。这就是为什么没有交易成本（2.2.3）。读者应该注意到变量crt、Zt、Bt和HTS都是决策变量。我们用“Hk”表示，初始持有资产k，k∈ K和H：=“H·香港·Hd”>是ad×1向量。\'\'Cis初始现金金额。第一阶段的资产配置由H=`H+B决定- 总资产=e·\'H+\'C+Z-“cBB+”cSS=“A+Z”-“cBB+”cSS= e·H+C.代表t≥ 1，Ht=ξtHt-1+Bt- 定义了两个连续决策时间之间持有资产的动态。对于任何给定的（k，t），只要Sk，t>0，Bk，t=0，反之亦然。交易成本也会影响现金动态。购买数量为xk的资产需要xk1+/cBk现金和出售同等数量的资产产生xk1.- “-cSk现金。

最初，C=`C+Z-e+/cBB+E- \'cS为t准备的沙子≥ 1，Ct=Ct-1（1+rf）+crt-1Wt- Bent+Zt-e+-cBk英国电信+E- “-cSk我们假设crt-1Wt、Bent和ZT都是现金。2.2.2负债和外部流动当我们考虑DB计划时，总负债是未来预付款的贴现预期值。在给定的时间t，它代表基金在必须关闭时必须偿还的金额。其价值必须根据适当的规则进行估算，考虑到精算风险、养老基金准备金和雇主业务线的其他相关因素。让Lt表示时间t的负债总额。本文考虑的所有定量模型都将应用于大型稳定养老基金的规划问题。然后，我们可以假设该基金在研究期间保持相同的结构和成员数量。因此，在研究期间，负债、供款和福利与精算风险有关是不变的。精算风险将影响基金成员数量的随机事件重新组合。然而，这些变量每年都会随着工资的增长而指数化∈ T、 我们有：Lt=Lt-1（1+wt）；Wt=Wt-1（1+wt）和弯曲=弯曲-1（1+κwt）（2.2.5）及其初始值L，在t=0时已知；κ ≥ 0是一个模型参数。在实践中，养老金支付通常以一定的比率进行指数化，该比率是通货膨胀率的函数。为了降低模型的复杂性，我们假设该指数化率是工资增长的一定比例，因为后者与通货膨胀高度正相关。根据上述定义，不确定性由向量表示（1+wt），ξtTt=1，影响资产和负债。在文学作品中经常出现（例如：。

Kouwenberg[20]），我们使用向量自回归模型（VAR模型），如下所示：ht=c+Ohmht-1+ TT~ N（0，∑），ht:=ln（1+wt）ln（ξ1t）·ln（ξkt）·ln（ξdt）>,T∈ T（2.2.6）式中，Ht是连续复合速率的{（d+1）×1}向量，c是系数的{（d+1）×1}向量，Ohm 系数的{（d+1）×（d+1）}矩阵，t误差项的{（d+1）×1}向量和∑{（d+1）×（d+1）}协方差矩阵。该模型的参数估计需要时间序列分析。例如，在Kouwenberg[20]中，对总资产收益和1956年至1994年的总体工资增长的年度观察被用于估算VARmodel的系数。由此产生的估计值将用于构建场景树，该场景树构成了多阶段随机程序的工作马。2.3资产负债管理问题融资的总成本是定期（Pcrt）的总和-1Wt）和补救（PZt）在研究期间的贡献。在这项研究中，我们寻找的是总预期资金成本最小化的投资策略、供款率和补救供款。优化是在风险、法律、预算、监管和运营约束下进行的。本节将介绍ALM研究的约束条件和目标。我们用符号Et（x）表示随机变量x相对于自然过滤ftp的条件期望，而P{E}表示事件E的发生概率。在每个决策时间t，优化问题在于最小化以下小节中考虑的约束下的总预期成本。为了简化符号，我们省略了情景指数s.2.3.1风险约束养老基金希望为参与者保证一定数额的养老金。但成员国也依赖养老基金来实际满足他们未来的需求。

因此，投资组合的安全性至关重要。这种安全性转化为风险约束。养老基金有长达数十年的长期义务，因此其规划范围也很大。资产负债管理的主要目标是找到可接受的分配，以保证基金在规划期内的偿付能力。一般来说，偿付能力是通过我们在给定时间内确定的融资比率Ft（也称为局部覆盖率）来衡量的，t byFt:=a*tLt。当资金比率小于1时，就会出现资金不足。英国《金融时报》的断言≤ 1相当于表示时间t的盈余，即A*T- 它是阴性的。出现这种情况时，资金短缺可以由基金的发起人或任何其他外部捐款提供。这就是汉诺德和艾尔[13]的补救贡献。取决于随机向量ωt：=（1+wt），ξt, T∈ T、 行为可能会随着时间而改变。因此，养老基金会重新平衡其资产组合，并确定其供款率，以控制资金比率。FTI越高，基金越健康。然而，决策者希望尽可能避免分配率的变化。我们将在模型描述中看到，可以设置参数以限制这些变化。养老基金的长期目标包括充分填补长期和短期（一年）限制。本文定义了两种类型的融资比率风险约束。他们的目标是训练资金比率，使其平均大于预先确定的最小γ，γ≥ 0.也就是说，预期的短缺额-1（A）*H- γ（Lh）-, h>t，要求小于时间t时已知的一定量βt-:= 麦克斯{-a、 0}是a的负部分∈ R.此外，为了简化理解，使用表达式“预期短缺”来命名Eh-1（A）*H- γ（Lh）-.

这与精算学中γ必须等于1的定义略有不同。单期风险约束（OICC）用ET表示A.*t+1- γLt+1-≤ βt，t∈ T\\{T}。（2.3.1）对于多周期（MICC）方法-1（A）*H- γ（Lh）-≤ βt，h∈ Tt+1和t∈ T\\{T}（2.3.2），其中β和γ是养老基金定义的参数。根据短期方法（2.3.1），在每个决策时间t，下一个时期的预期缺口应小于一定数量的βt。请注意，在时间t，短期风险仅控制A.*t+1- γLt+1-在接下来的一年里。当我们想要在整个剩余期限直至到期期间控制预期短缺时，风险约束（2.3.2）是长期风险（多期）的一个很好的衡量标准。也就是说，在时间t，等式（2.3.2）意味着一个时期的预期短缺额-1（啊- γ（Lh）-应该比任何未来带有h的节点都小∈ Tt+1。方程（2.3.2）可以改写为axh∈Tt+1Eh-1（A）*H- γ（Lh）-≤ βt，t∈ T\\{T}（2.3.3）表示在时间T时，在剩余的成熟期内，最高的一年预期缺口必须小于金额βT。参数β由养老金基金在时间T时定义，是当时可用信息的函数；e、 g.βt:=f（At，Lt）=αAt，0≤ α ≤ 1.读者应该注意，当T=1时，（2.3.1）相当于（2.3.2）。在随机规划中，（2.3.1）和（2.3.2）等约束，即限制预期短缺，被称为综合机会约束（ICC）。它们由Haneveld[17]提出，作为机会约束（CC）的定量替代方案。在第3节中，将更具体地讨论ICC和CC。国际商会在养老基金资产负债管理中的成功应用可以在Drijver[11]和Haneveld及al[13]中找到。

作者假设βt:=β在研究期间不变，在他们的数字说明中，ICC仅适用于FIRSTOICC（分别为MICC）代表单期综合机会约束（分别为多期综合机会约束），这将在第3.2节中更明确地定义。阶段在这种情况下，可以证明OICC和MICC是等价的。相反，我们在工作中消除了这种假设。因此，我们定义：βt:=αLt（2.3.4），其中α，0≤ α ≤ 1表示无标度风险参数。到目前为止，我们还不知道MICC（2.3.2）在多阶段框架中的任何实现。OICC比MICC更放松。显然，这两个约束不能同时在同一个模型中实现。此外，本文还有另一个特殊之处：我们分析了多期风险约束，然后衡量它与单期方法相比的保守程度。2.3.2其他约束风险约束很重要，但关于养老基金运营的制度和法律规则也很重要。正如P fl ug和al.[28]所述，制度和法律规则旨在限制可能对退休人员产生不利影响的损失风险。因此，以下限制被整合到模型中。首先，基金不得出售非自有资产。这不是卖空资产约束，可以用HK，t表示≥ 0，Bk，t≥ 0，Sk，t≥ 0代表k∈ K和t∈ T.非卖空约束与CT表示的不借入现金约束相一致≥ 0，t∈ T.其次，基金应在任何时候以最低金额的现金进行处置，以支付死亡抚恤金或养老金等最终索赔。

这可以被称为流动性约束，并在我们的模型asCt（1+rf）+Et（crtWt+1）中公式化- 弯曲+1）≥ 0这意味着，平均而言，t时的现金分配CTA应足以覆盖[t，t+1]期间现金流量余额的最终负值。请注意，此处使用的术语liquidityconstraint在另一个上下文中可能有不同的含义，例如在宏观经济框架中的Fonseca和al.[12]。第三，该基金受到立法者施加的投资组合约束，以保持对其风险敞口的最小控制。它包括通过在Hk、t上分别设置上限和下限（UK和LK）来限定资产k的持有量≤ 香港，t≤ ukAt，k∈ K、 t∈ T\\{T}。（2.3.5）例如在瑞士，分配给股票的金额不应超过总财富的五分之一。在这种情况下，lstocks=0，ustocks=0.5at，约束（2.3.5）等于0≤ H斯托克斯，t≤ 0.5At，t∈ T\\{T}。这些界限也适用于现金CTA和我们获得的LCAT≤ 计算机断层扫描≤ ucAt，t∈ T\\{T}。（2.3.6）请注意，在方程式（2.3.5）和（2.3.6）中，上限和下限也可能与时间有关。最后，在一个资产配置问题中，第2节已经定义了动态和预算约束。2.不可撤销。如果不考虑它们，优化程序将是无限的。本小节介绍的约束在任何ALM随机规划实现中都是常见的；如Kusy和al[21]、Carino和al[7]、Dempster和Consigli[9]、Bogentoftand al[6]和Dert[10]等，请参见。OPP2 1984年4月18日，第55-b条，（截至2012年1月1日）2.3.3优化问题ALM模型是一种动态决策优化工具，用于在风险和运营约束下最小化总预期成本。

在每一年期开始时作出决定。因此，ALM模型被发展为一个多阶段决策问题，为此，我们需要在每年年初提出一个最优的资产配置、贡献率和补救贡献。此外，惩罚成本被分配给不希望发生的事件：补救贡献和贡献率的年度绝对变化。所有这些成分共同构成目标函数：minH、cr、ZE“T-1Xt=0vt+1（crtWt+1+λzZt+1）+T-2Xt=0vt+1λ铬crtWt+1#（2.3.7）其中crt:=| crt+1- crt |是从t年到t+1年供款率的绝对变化，vt是t年现金流的贴现系数λzandλcare分别是治疗贡献和贡献率绝对变化的惩罚参数。变量crtandcrtarebounded:crl≤ 阴极射线管≤ 克鲁兰铬≤ 阴极射线管≤cr，t∈ 其中crl，crare下限和cru“crt的上界，分别是crt。在研究结束时，最佳决策必须导致资金比率大于某个最小值（有时称为目标资金比率）：T:FT=ATLT≥“F。整个ALM模型，包括目标和约束，见附录1。像（2.3.7）这样的优化程序通常被称为“此时此地”问题。不确定性，以ωt为特征=（1+wt），ξt, T∈ T、 通过场景接近。因此，我们用有限数量的可能实现来定义ω：∈ S:={1，…，S}，从t=0到t=t，相对概率为ps。目标（2.3.7）显然是线性的，因为它可以重写为决策变量的线性组合。

我们还可以注意到，第2.2节和第2.3节中提出的动力学和约束（风险约束除外，对于随机程序，风险约束必须以线性形式重写）在决策变量中都是线性的。如果风险约束OICC（2.3.1）和MICC（2.3.2）以线性形式编写，ALM问题将是一个随机线性规划（SLP），理论上可由任何SLP软件根据其大小进行求解。在下一节中，我们将展示如何将它们转化为线性。Kall和Mayer[15]、Shapiro和al[34]以及Birge和Louveaux[5]等书为解决此类问题提供了很好的资源。当尺寸较大时，分辨率可能需要神经重建方法。规模大意味着资产类别的数量大或/和时间范围长或/和场景的数量大。决策变量包括Ht、Bt、St、Ct、CRT和Ztfort∈ T但只有第一阶段的值H、B、S、C、crand Zare对决策者至关重要，因为几乎可以肯定，随机数据的真实实现将不同于生成的场景集。随机规划（SP）在ALMs中越来越流行。Zenios和Bertola[40]表示，它的优势在于能够轻松解决各种类型的约束。它植根于Ziemba和al[21]的工作，他们根据向温哥华市储蓄信用社提交的5年期申请证明，SLP在理论上和操作上都优于相应的决定论线性规划（LP）模型。作者已经证明，实施ALM所需的效率及其计算要求与确定性模型相当。从那时起，许多其他作者重新审视了ALMs中的SP，例如Ziembaand Mulvey[41]，Carino and al。