养老基金资产负债管理中的综合机会约束

[7] ，Aro和Pennanen[3]以及Zenios和Bertola[40]等。根据定义，养老基金风险问题通常是一个短缺问题。在此类模型中，企业风险的相关度量是未达到目标的预期金额（如有），Carino和al。[7]。本文考虑的模型具有一般的DB ALM结构，如Haneveld和al.[13]以及Ziemba和al.[41]中所述。其主要的特殊性在于通过OICC（2.3.1）和MICC（2.3.2）将ICC整合在一起。关于DB基金ALM中的约束（2.3.1）的成功实施，请参见Vlerk和al.[37]以及Haneveld和al.[13]。在他们的工作中，假设参数βt为常数：βt=β，则解决了优化问题。此外，只有在资金比率连续两年低于时，才提供补救性捐款。实现后一个条件导致使用二进制变量。作者提出了这个问题的启发式解决方案。正如我们将在第3.2节中解释的，参数β不是无标度的。对于两个不同的养老基金来说，β的某个值没有同等的意义。对于某个基金来说，它可能太低，而对于另一个基金来说，它可能太高。此外，还应考虑养老基金的实际情况。本文是Haneveld等人[13]的延伸。作为新颖之处，我们假设风险参数βt与时间t有关，并定义为时间t时实际可靠性水平的比例α，见等式（2.3.4）。粗略地说，平均而言，总资产应覆盖一定比例的数量（1- α） 随时承担责任。然而，在我们的模型中，在偿付能力受到质疑的任何时候都可以提供补救性贡献，从而避免使用二元变量，间接地避免了启发式的需要。

惩罚参数λz惩罚滥用补救性捐款。本研究的主要特点围绕以下几点展开：o与Haneveld和al[13]一样，在分析风险参数β不同值的最佳决策时，我们首先测量风险参数α对决策H、crandZ的影响；这与OICC有关。此外，对于固定值α，还探讨了初始融资比率的影响其次，作为OICC的一个更安全的替代方案，我们提出了MICC（约束（2.3.2）），然后我们测量了它与OICC相比的难度。在约束（2.3.2）中，索引h是一个决策时间索引，我们不知道ALM中有任何此类约束的实现。第一项中考虑的OICC实际上扩展到了多期风险约束，加强了养老基金ALM的长期方面。在本文的其余部分，OICC（分别为MICC）将代表一个时期（分别为多个时期）的ICCitself以及具有OICC（分别为MICC）的ALM模型。3风险约束的框架最重要的约束，当然，涉及养老基金的目标：在任何情况下，对资金比率保持一定的控制。后者在本文中用ICC类型的短路约束表示。由Haneveld[17]提出，ICC的公式化直接源自CC。这就是为什么在本章中，我们首先介绍CC及其对ICC的影响。其次，讨论了ICC，我们展示了约束（2.3.1）和（2.3.2）与IT的关系。

最后，我们提出了（2.3.1）和（2.3.2）的简单线性公式。为了清晰起见，我们定义了一般线性函数G:Rd×Ξ→ 使得g（X，ω）：=BX- DWX在哪里∈ X是决策变量的d向量，X Rdi是一个多面体闭集，ω：=（B，D）：Ohm → Rm×Rd×Rmis概率空间上的随机参数(Ohm, F、 P）。ω的支撑被定义为最小闭集Ξ Rm×Rd×Rm具有性质yp（ω）∈ Ξ) = 1. 因为我∈ I:={1，···，m}，向量B的维数为Rm×rdb，例如：=B··Bi··Bm>和Bi∈ RDD：=D··Di··Dm>和迪∈ R.假设在我们的SP模型中，我们假设ω=（B，D）有一定数量的可能实现ωS=（Bs，Ds），S∈ S={1，…，S}具有各自的概率ps.3.1机会约束变化约束（CC）模型可作为SPs中风险和风险规避的建模工具。设0为零的m维向量。满足约束G（X，ω）≥ 0可能会导致高成本或不可行。这个等式指的是一个有限的m不等式系统。相反，如果ω的分布是已知的，我们可以给出G（X，ω）的概率≥ 0非常高，即接近1。isP{G（X，ω）≥ 0} ≥ 1.-  （3.1.1）其中固定参数（1- ) ∈ [0,1]被称为概率水平，由决策者选择，以模拟安全要求。等式（3.1.1）是机会（概率）约束的一般形式，可被视为与实施约束G（X，ω）要求的折衷≥ 所有值ω均为0∈ 不确定数据矩阵的Ξ。当m=1时，G（X，ω）：=G（X，ω）是一个标量，方程（3.1.1）导至顶部{G（X，ω）≥ 0} ≥ 1.-  （3.1.2）带g:Rd×Ξ→ R.方程式（3.1.2）称为单个CC。

对于m>1，我们得到p{gi（X，ω）≥ 0，我∈ 我}≥ 1.- , （3.1.3）称为联合CC。查恩斯和艾尔[8]在生产计划中提到了机会受限的项目。从那时起，它们得到了广泛的研究，并被应用于许多其他领域，如电信、金融、化工和水资源管理。尽管取得了重要的理论进展和实践意义，但CCs的数值处理可能存在重大问题，见艾哈迈德和夏皮罗[2]和涅米罗夫斯基和夏皮罗[27]。特别是当ω具有离散分布时，Raike[30]引入了CC的混合整数格式。假设m=1，等式（3.1.2）等价于toSXs=1ps·1（g（X，ωs）≥0(s)≥ 1.- 式中1（g（X，ωs）≥如果g（X，ωs），则0（s）=1≥ 否则为0和0。现在，我们可以在混合整数规划（MIP）公式中编写不等式（3.1.2）。我们引入二元变量δs，s∈ 它们起到指示函数的作用：在场景S中，如果g（X，ωS）<0，则δS=1，否则等于0。根据这些额外的决策变量，CC可以写成线性等式GS（X，ωs）+δsM≥ 0，s∈ S、 （3.1.4）SXs=1psδS≤ , s∈ S、 （3.1.5）x∈ 十、 δs∈ {0,1}，s∈ S、 （3.1.6）其中M是一个足够大的数字。如果δs=0，则约束g（X，ωs）≥ 与示例中的实现s相对应的0被强制执行。另一方面，如果δs=1，则任何候选解都满足约束。这些二元变量的概率加权平均值等于不满足条件g（X，ωs）的风险≤ 0和决策X，这最多应该是.该公式在SP中广为人知，Dert首次将其应用于养老基金的资产负债管理[10]。它也适用于m>1的联合CC情况。

实际上，{gi（X，ω）≥ 0，我∈ I}等价于mini∈I{gi（X，ω）}≥ 也可以写成线性不等式gsi（X，ωs）+δsiM≥ 0，我∈ 我，s∈ S、 （3.1.7）s≥ δsi，i∈ 我，s∈ S、 （3.1.8）SXs=1pss≤ , s∈ S、 （3.1.9）x∈ 十、s、 δsi∈ {0,1}，我∈ 我，s∈ S.（3.1.10）即使有这些线性设置（3.1.4）- （3.1.6）和（3.1.7）- （3.1.10），通过合理数量的场景实现该约束可能在计算上具有挑战性，因为可行集明显不是线性的，也不是凸的。这是由于在每个场景中引入至少一个二进制变量，导致MIP的复杂性增加。Kall和Mayer[15]、Luedtke[23]、Luedtke和al[24]、Tanner和Ntaimo[36]、Prekopa和al[29]以及Ruszczynski[33]的第4章中提出了有效的求解算法。请注意，如上所述，CC只考虑风险的定性方面，即只关注被积方是否满意。更好的方法是控制失败的数量方面，即Gs负值的大小。对于养老金基金来说，情况往往是这样的，在这些基金中，赞助者希望大致了解他们在接下来的时间里愿意贡献多少。由于Haneveld[17]的思想，删除了二进制文件δ，并提出了积分机会约束。3.2综合机会约束由于（3.1.10）中的完整性条件，MIP约束（3.1.7）至（3.1.10）很难实现。对于涉及二进制（或一般整数）决策变量的问题，一种自然的方法可以放松完整性并解决由此产生的放松，参见Vlerk和al。[37]。如果我们放松积分约束，替换ys:=δsM和β：=αM，我们就得到了bsx+ys≥ Ds，s∈ S（3.2.1）SXs=1psys≤ β、 （3.2.2）ys≥ 0，s∈ S（3.2.3）X∈ X，（3.2.4），其中参数β为非负。

根据（3.2.1），对于每个s，非负变量不小于短缺（Bsx- Ds）-, 其中（a）-:= 麦克斯{-a、 0}是a的负部分∈ 因此，R.Theinequality（3.2.2）为预期短缺量设定了一个上限β。即系统（3.2.1）- （3.2.4）等于前束角（BX- D）-=SXs=1ps（BsX- Ds）-≤ β. （3.2.5）这种约束称为综合机会约束（ICC），由Haneveld[17]引入，作为CC的替代方案。然而，Haneveld and al.[13]、Vlerk and al.[37]和Drijver[11]已经将其应用于养老基金的资产负债管理，自那时起，它已在实践中实施。通过定义，可行集由线性不等式定义（3.2.1）- （3.2.4）是一个多面体（凸），因为它只包含连续的决策变量，参见Haneveld和Vlerk[14]。因此，通常可以使用适当的软件有效地解决这个问题。限制条件（3.2.1）- （3.2.4）从算法的角度来看非常有吸引力。Haneveld和Vlerk[14]针对大型问题提出了一种更快的算法。从不同的角度来看，ICC是CC的一个很好的替代方案：o首先，CC只测量短缺的概率，而ICC使用概率分布来测量短缺的预期程度。我们可以说，ICC同时考虑了短缺的数量和质量方面，而CC只考虑了质量方面。CC表示，只有在资金是否不足的情况下，尤其是在实践中，才有必要限制赞助者在几年后愿意提供的补救捐款金额其次，ICC和CC分别对所谓的条件风险价值（CVaR）和风险价值（VaR）进行了调整。与被称为相干的CVaR（Rockafellar和Uryasev[32]）相反，众所周知，VaR不是一个相干的风险度量，因为它不满足次可加性条件。

因此，ICC比CC更具吸引力。要了解有关一致性风险度量的更多信息，请参见Artzner和al.[4]。o我们还应该补充一点，如果风险规避参数发生变化，ICC情况下的可行区域会平稳变化，而CC、Drijver[11]情况下的可行区域会粗略变化最后，我们应该承认 CCs是无标度的，与养老基金经理更熟悉的风险概念相对应。国际刑事法院的情况并非如此。我们解决这个问题的办法是将β设为负债的一个比例α。从现在起，在不失去普遍性的情况下，我们假设m>1。因此，方程式（3.2.5）可以写成：（比克斯）- Di）-, 我∈ 我≤ β是ICC的联合形式，参见Haneveld和Vlerk[14]。当指数i是一个决策阶段指数X且在阶段i有条件期望时，我们得到一个多级规划，变量X变为阶段相关（Xi）。也就是说，在第j阶段∈ I\\{m}:Ei（Bi+1Xi）- Di+1）-≤ βj，i∈ {j，j+1，··，m- 1} （3.2.6）相当于I=Tand Bh+1Xh的MICC（2.3.2）- Dh+1=Ah+1- γLh+1。在timet，那就是：呃A.*h+1- γ-Lh+1-≤ βt，h∈ Tt\\{T}。（3.2.7）然后在时间t设置参数βt，并将一直适用到t。在每个阶段做出决策时，MICC不等式（2.3.2）显示了从t=0到t=t的一系列不等式（3.2.7）- 1.类似地，当m=1时，可以证明等式（3.2.5）导致OICC（2.3.1）。3.3 OICC和MICC：情景树解释第2.1节简要解释了我们的情景树模型。我们记得，节点（t，s）在决策时间t对应于某个场景s。为了避免预期性，我们必须考虑许多节点（t，s）可能在图形上对应于场景树图片上的同一事物。例如，在图2.1.1中，节点（1,1）、（1,2）、（1,8）以图形方式对应于空的红色圆。

在每个节点（t，s），基金经理必须重新平衡资产组合并确定出资率。这些决策是在考虑实际情况、未来可能的路径以及风险约束的情况下做出的。3.3.1 OICCIn原则，考虑到某个节点（t，s），OICC约束（2.3.1）将按如下方式实现：Et，sA.*st+1- γLst+1-:=Xs∈Spst，sA.*st+1- γLst+1-≤ αLst（3.3.1），其中pst，sst代表到达节点的条件概率t+1，s从（t，s）和PST开始，对于任何情况，s=0，sof t+1不从（t，s）下降。正如Vlerk和al[37]中所述，我们在多级追索模型的每个子问题（t，s）中都包含了线性不等式（3.3.1）。在（t，s）处，他们反映了短期风险约束，指出下一个时期（t+1）的预期资金短缺最多为αLst。换句话说，平均而言，养老基金应该能够覆盖这个比例（1- α） 它的全部责任。随着α的增加，优化问题将变得越来越松弛。3.3.2考虑到节点（t，s），MICC约束可以用以下方式表示：-1，s（A）*嘘- γ（Lsh）-≤ αLst，h∈ Tt+1和t∈ T\\{T}（3.3.2）与eh-1，s（A）*嘘- γ（Lsh）-=Xs∈嘘-1.sA.*嘘- γ-Lsh-.在（3.3.2）项下，在每个节点（t，s）处，做出决策，以使下降节点的一个周期预期冲击球小于αLst（在当前节点定义）。这种限制允许在整个剩余期间内对覆盖率进行一定的控制：[t+1，t]；而（3.3.1）只覆盖一个周期：[t，t+1]。例如，在初始时间t=0时，定义了最小成本，使得树中任何节点（作为初始节点的后代）的预期短缺小于Haneveld和al中的β=αLSA。

[13] ：Xs∈Spst，sA.*st+1- γLst+1-≤ β、 t∈ T\\{T}，s∈ 此外，在每个节点（t，S），t∈ T\\{T}，s∈ S、 我们添加了限制：Xs∈Spst，sA.*st+1- γLst+1-≤ αLst。这就是我们在初始节点实现（3.3.2）的方式。如果我们在树的每个节点上重复相同的过程，我们就可以提出一个更简单的SP重新表述：命题3.1。约束（3.3.2）等价于以下线性语句：在每个节点（t，s），t<t，s∈ SXs∈Spst，sA.*st+1- γLst+1-≤ min0≤T≤tαLst。（3.3.3）也就是说，在给定的节点（t，s），t<t，s∈ S、 下一个周期的预期短缺应小于或等于在前面节点（t，S），t上计算的αl的最小值≤ t、 这是基于这样一个事实：在多周期框架中，节点（t，s）的决策受ωstup到时间t的历史影响，尤其是βstat之前的节点。不等式（3.3.3）是线性的，描述了一个多面体集。命题3.1的证明很简单，当我们从节点（T- 1，s），参见附录2，以获取基于示例的证明草图。在每一个节点（t，s），正如我们所知，从βstup到时间t的历史，可以确定最小的βstp，t≤ t、 因此，MICC的实现包括在每个节点（t，s）包含线性约束（3.3.3）。4数值说明本节包含SP模型的计算结果。让我们回顾一下，我们正在处理的是一个DB养老基金，其目标是在约束条件下最小化总预期成本。这项研究将侧重于ICC类型的风险约束。首先，基于OICC，分析了风险参数和覆盖率对最优决策的影响。

表1：资产类别数据资产类别k lkuk’c初始投资- 0 1 0 4\'950存款1 0 0.5 0.00150 16\'500债券2 0.1 1 0.00150 38\'500房地产3 0.30 0.00425 17\'600股票4 0 0.50 0.00425 32\'450表2：其他确定性参数λZ=350λ的值cr=1 rf=0.008 vt=（1+rf）-Tcr=-0.08 crl=-0.08cr=0.05 cru=0.3\'A=110000γ=1.05\'F=1.05似乎比OICC更安全，限制性更强。基于与之前相同的分析，保守的成本随后被测量。在本研究中，考虑一个假设的大型养老基金，该基金可能投资于按风险等级排序的d=4类资产：1。存款，2。邦兹，3。房地产，4。股票。我们知道，实际上，资产的数量往往要大得多。也就是说，为了降低模型的复杂性，这里只考虑了四类资产。在对这些资产类别进行投资后，其余资产以现金形式持有。资产类别的确定性属性如表1所示。投资限额根据实际的流动性和多元化规则确定；交易成本取自Haneveld[13]，其中“cS=”cB=”c，而初始投资是根据养老基金在Witzerland的资产配置的一般统计数据确定的，见Towers Watson[38]（我们假设“房地产”对应于“其他资产”）。投资组合约束按比例定义，所有金额均假定为数千瑞士法郎。其他确定性参数的值如表2所示。时间范围T=5分为五个周期，每个周期为一年。因此，consideredALM模型有五个阶段，允许在t=0（现在）到t=4时做出决策。随机向量ωt遵循一个VAR过程，在我们的例子中，它由一个多级情景树近似。