具有时间不一致效用函数的委托代理问题

最小化ej（u）：=EZTU（t，Θ（t），s（t））dt+V（x（t））（3.2）在S[0，T]上受一组状态约束（比较（2.7）），包括formVar的声明ZTΦ（t，Θ（t），s（t））dt+ψ（x（t））≤ R.（3.3）为了实现这一点，我们引入了辅助过程η（t）：=ZtΦ（τ，Θ（τ），s（τ））dτ+ψ（x（t）），8 BOUALEM DJEHICHE和PETER Helgesson，它们通过它的^o引理解出了SDE（dη（t）=nΦ（t）+b（t）·ψ（x（t））+σ（t）·ψ（x（t））odt+σ（t）·ψ（t）·ψ（t））odt+dWt，η（0）。（3.4）这里我们采用更简单的符号约定Φ（t）：=Φ（t，Θ（t），s（t））。通过考虑（2.5）和（3.4）作为增广动力学，我们可以重写（3.1）（或类似地为状态约束（3.3））asI（s）：=E-ZTU（t，Θ（t），s（t））dt+V（x（t））+r（η（t）- E[η（T）]）. （3.5）涉及成本泛函（3.5）的最优控制问题在第2节，特别是定理2.10的框架内。对于委托代理问题，我们感兴趣的是：（MV1）。根据状态约束最小化（3.1）ZTu（t，Θ（t），s（t））dt+v（x（t））≤ W、 对于某些特定的W∈ R除以S[0，T]。（MV2）。根据状态约束最小化（3.2）JE（s）：=EZTu（t，Θ（t），s（t））dt+v（x（t））≤ W、 JV（s）：=VarZTφ（t，Θ（t），s（t））dt+ψ（x（t））≤ R、 对于S[0，T]上的W<0和R>0的某些有限元。现在，分别描述（MV1）和（MV2）中最优性的随机最大值原理是一项简单的任务。在下面的两个推论中，我们采用向量表示法：B（t）：=B（t）Φ（t）+B（t）·ψ（x（t））+σ（t）·ψ（x（t））！，∑（t）：=σ（t）ψ（t）,b（t）：=b（t）φ（t）+b（t）·ψ（x（t））+σ（t）·ψ（x（t））！，σ（t）：=σ（t）ψ（t）,andx（t）：=x（t）η（t）.推论3.1（MV1的随机最大值原理）。假设36成立，并假设ψ（·）是三次可微的。

如果（\'x（·），\'y（·），\'z（·），\'s（·））是（MV1）的最佳4元组，则存在一个向量（λa，λP）∈ 那么λP≥ 0，λP+λA=1，（3.6）委托代理问题9和一个三元组（R（·）、P（·）、Q（·））∈ 如果(Ohm; C（[0，T]；R））×（LF）(Ohm; 伴随FBSDEdR（T）=ncy（T）R（T）的解的C（[0，T]；R））×（LF（0，T；R））- BTy（t）·P（t）- ∑Ty（t）·Q（t）+λAuy（t）- λPUy（t）+E[cy（t）R（t）- BT~y（t）·P（t）- ∑T~y（T）·Q（T）+λAu~y（T）- λPUy（t）]odt+ncz（t）R（t）- BTz（t）·P（t）- ∑Tz（t）·Q（t）+λAuz（t）- λPUz（t）+E[cz（t）R（t）- BT~z（t）·P（t）- ∑T~z（T）·Q（T）+λAu~z（T）- λPU~z（t）]odWt，dP（t）=ncx（t）R（t）- BTx（t）·P（t）- ∑Tx（t）·Q（t）+λAux（t）- λPUx（t）+E[cx（t）R（t）- BTx（t）·P（t）- ∑Tx（T）·Q（T）+λAux（T）- λPUx（t）]odt+q（t）dWt，（3.7），其中（0）=0，P（t）=-~nx（x（T））· R（T）-λAv（x（T））- λPV（x（T））r（η（T）- E[η（T）]）使得¨s（t）=arg max∈SH（t，Θ（t），s，R（t），P（t），Q（t），λA，λP）A.e.t∈ [0，T]，P-a.s.其中哈密顿函数H由H（T，Θ，s，R，P，Q，λa，λP）给出：=-c（t，Θ，s）·R+BT（t，Θ，s）·P+∑t（t，Θ，s）·Q- λAu（t，Θ，s）+λPU（t，Θ，s）。推论3.2（MV2的随机最大值原理）。假设36成立，并假设ψ（·）是三次可微的。

如果（\'x（·），\'y（·），\'z（·），\'s（·））是（MV2）的最佳4元组，则存在一个向量（λP，λE，λV）∈ 那么λP≥ 满足横截性条件的0，λP+λE+λV=1，（3.8）λEλVT·五、- EhRTu（t，Θ（t），s（t））dt+v（x（t））iv- 变量RTφ（t，Θ（t），s（t））dt+ψ（x（t））≥ 0,  五、≤ W、 五≤ R（3.9）和一个三元组（R（·）、P（·）、Q（·））∈ 如果(Ohm; C（[0，T]；R））×（LF）(Ohm; 伴随FBSDEdR（T）=ncy（T）R（T）的解的C（[0，T]；R））×（LF（0，T；R））- bTy（t）·P（t）- σTy（t）·Q（t）+λEuy（t）+λPUy（t）+E[cy（t）R（t）- bT~y（t）·P（t）- σT~y（T）·Q（T）+λEu~y（T）+λPU~y（T）]odt+ncz（T）R（T）- bTz（t）·P（t）- σTz（t）·Q（t）+λEuz（t）+λPUz（t）+E[cz（t）R（t）- bT~z（t）·P（t）- σT~z（T）·Q（T）+λEu~z（T）+λPU~z（T）]odWt，10 BOUALEM DJEHICHE和PETER HELGESSONdP（T）=ncx（T）R（T）- bTx（t）·P（t）- σTx（t）·Q（t）+λEux（t）+λPUx（t）+E[cx（t）R（t）- bTx（t）·P（t）- σT＠x（T）·Q（T）+λEu＠x（T）+λPU＠x（T）]odt+Q（T）dWt，（3.10），其中r（0）=0，P（T）=-~nx（x（T））· R（T）-λPV（x（T））+λEv（x（T））2λV（η（T）- E[η（T）]）使得¨s（t）=arg max∈SH（t，Θ（t），s，R（t），P（t），Q（t），λE，λP）a.E.t∈ [0，T]，P-a.s.其中哈密顿函数H由H（T，Θ，s，R，P，Q，λa，λP）给出：=-c（t，Θ，s）·R+bT（t，Θ，s）·P+σt（t，Θ，s）·Q- λEu（t，Θ，s）- λPU（t，Θ，s）。横截性条件（3.9）规定了乘法器（λE，λV）满足（3.8）（给定λP）的条件∈ [0，1]），它们对刻画（MV2）中的最优性很感兴趣。如果我们让∧MV2:={（x，y）∈ R:x≤ W、 0≤ Y≤ R} ，从（3.9）中可以清楚地看出，（JE，JV）∈ ∧MV2。这就缩小了乘数的范围，使之有五种不同的情况：（i）。如果JV（`s）=0，则λE=0，λV=q1- λP，0≤ λP≤ 1.（二）。如果JV（`s）=R，则λE=0，λV=-q1- λP，0≤ λP≤ 1.（三）。如果JE（\'s）=Wand JV（\'u）=0，则λE=-q1- λPcosθ，λV=-q1- λPsinθ，0≤ λP≤ 1, θ ∈-π, 0.（四）。如果JE（\'s）=Wand JV（\'u）=R，则λE=-q1- λPcosθ，λV=-q1- λPsinθ，0≤ λP≤ 1, θ ∈0,π.（v） 。

如果JE（`s）=W，那么λE=-q1- λP，λV=0，0≤ λP≤ 1.每种情况（i）-（v）如图1.4所示。委托代理问题我们现在准备在第2节和第3节的框架内陈述委托代理问题，从而开发一个描述最优性的方案。在目前的文献中，两种模型似乎最受欢迎；完整信息案例和隐藏行动案例。我们的治疗将集中在HiddenAction疗法上，尽管类似的技术也适用于完整信息病例。隐藏行为（或道德风险）下的委托代理问题受到Holmstrom和Milgrom[HM87]的开创性论文的启发，并被很好地处理了委托代理问题11JEJVWR∧MV2图1。（i）-（v）种情况指定了箭头所示的乘法器（λE，λv）。例如在[CZ13]和[Wil13]中。在下文中，我们首先考虑这种模型的均值-方差版本，使用随机最大值原理作为我们的主要工具。出于可处理性的原因（并符合现有文献），我们将不得不参考SDE的弱解。我们通过将模型称为弱公式中的隐藏动作来澄清这一点。我们还将考虑一个隐藏作用下的更简单模型，其中主体的信息集被放松到一个更大的集合。这样的放松并不一定意味着完整的信息，我们称这个模型为强公式中的隐藏收缩。4.1. 均值-方差隐藏在弱公式中。考虑一个PrincipalAgent模型，其中输出x（t）被建模为解决SDE的风险资产：dx（t）=σ（t，x（t））dWt，x（0）=0，（4.1），这里t>0，WT是定义在过滤概率空间上的一维标准布朗运动(Ohm, F、 F，P）。对于扩散，我们假设σ>0，hrtσ（t，x（t））dti<∞.

代理的努力水平由一个过程（·）表示，在一些预先定义的子集中取值 R（对于一些非负的^E，通常是E=[0，^E]，或E=R），并且需要属于集合E[0，T]，其中E[0，T]：={E:[0，T]×Ohm → Ee是F-适应的}我们考虑了隐藏行为的情况，这意味着主体无法观察到（·）。然而，输出是公共信息，由委托人和代理人共同观察。在该期间开始之前，本金规定了所有交易的外汇适应现金流（·）（通常为非负）∈ [0，T]，这补偿了代理在管理x（·）方面付出的高昂努力。就像我们假设s（t）的努力一样∈ 这是全部∈ [0，T]和一些子集S R和s（·）∈ S[0，T]，其中[0，T]：={S:[0，T]×Ohm → ss是Fx-adapted}。委托人不受任何方式的约束，可以承诺任何此类流程（·）∈ S[0，T]。在这个模型中，我们分别考虑了如下形式的委托人和12个BOUALEM DJEHICHE和PETER HELGESSONagent的成本函数jp和JA:JA（e（·）；s） ：=EZTu（t，x（t），e（t），s（t））dt+v（x（t））（4.2）和JP（s（·））：-EZTU（t，x（t），s（t））dt+V（x（t））+rVarZTΦ（t，x（t），s（t））dt+ψ（x（t））,（4.3）对于某些给定的风险规避，r>0。只有在参与受限的情况下，代理人才会接受s（·）并开始为委托人工作；（s）≤ W、 （4.4）由s为一些，通常为负的常数W填充。我们假设激励相容性，这意味着代理将优化JAin对任何给定s（·）的响应。在参与约束和激励相容条件下，委托人的问题是最小化问题。然而，上文所述的直接解决委托代理问题的方法在数学上并不容易处理。因此，根据[CZ13]和[Wil13]，我们使用SDE弱解的概念使问题易于处理。

也就是说，我们考虑的是输出密度Γe（·），而不是代理控制x（·）本身的模型dΓe（t）=Γe（t）f（t，x（t），e（t））σ-1（t，x（t））dWt，Γe（0）=1，（4.5），对于描述生产率的给定函数f，满足第2节的假设1。注意，Γe=e（Y），其中Y（t）=Rtf（τ，x（τ），e（τ））·σ-1（τ，x（τ））dW（τ）和E（·）表示随机指数。隐藏行为模型的弱公式背后的关键思想是，让代理控制Γe（t）而不是x（t），它允许我们考虑（x）是固定但随机的实现（实际上，由于σ的规律性，yfx=F）。如果Γe（·）是一个鞅，通过假设例如Novikov条件或Beneˇs条件（参见[KS91]第200页），我们可以通过Girsanov定理得出，由dpedp=Γe（T）（4.6）定义的概率使得我们（T）由dwet=dWt定义的过程- f（t，x（t），e（t））σ-1（t，x（t））dt（4.7）一个Pe布朗运动。

特别是rdx（t）=f（t，x（t），e（t））dt+σ（t，x（t））dWet（4.8）和ja（e（·）；s） =EeZTu（t，x（t），e（t），s（t））dt+v（x（t））== EZTΓe（t）u（t，x（t），e（t），s（t））dt+Γe（t）v（x（t））.（4.9）委托代理问题13我们认为委托代理问题分为两个耦合问题；代理人的问题和委托人的问题。代理问题（弱公式）：给定任何s（·）∈ S[0，T]（我们假设完全满足参与约束）代理人的问题是找到一个过程e（·）∈ E[0，T]使得成本函数lja（\'E（·））；s） =EZTΓe（t）u（t，x（t），e（t），s（t））dt+Γe（t）v（x（t））,根据（4.5）中的动力学，最小化。委托人问题（强公式）：鉴于代理人的问题在弱公式中有一个最优解e（·），委托人的问题是找到一个过程s（·）∈ S[0，T]，使得成本函数ljp（\'S（·））：-EZTU（t，x（t），s（t））dt+V（x（t））+rVarZTΦ（t，x（t），s（t））dt+ψ（x（t））,是最小的andJA（\'e（·）；\'s）=EZTu（t，x（t），e（t），s（t））dt+v（x（t））≤ W、 受制于动态dx（t）=σ（t，x（t））dWt，t∈ （0，T]，x（0）=0。备注4.1。在这里，我们选择用强形式而不是弱形式来表述校长的问题，这似乎是文献中最常见的形式。然而，正如[CZ13]中所指出的，由于适应性，这种方法在某些模型中可能存在问题。这是一个值得注意的事实。在这种情况下，以下定义是自然的。定义4.2。

最优契约是一对（\'e（·），\'s（·））∈ E[0，T]×S[0，T]通过顺序求解首先是代理人的问题，然后是委托人的问题而获得。在博弈论术语中，最优契约可以被认为是两人非零和博弈中的阿斯塔克伯格均衡。需要注意的是，即使委托人不能遵守代理人的工作，他/她仍然可以通过建议选择付出（·）和补偿（·）向代理人提供合同。然而，根据激励相容性原则，只有当建议的努力解决了代理人的问题时，代理人才会遵守这样的合同。为了找到最佳努力，委托人必须掌握代理人偏好的信息，即函数u和v。这种假设的现实性确实值得怀疑，但由于参与约束，在我们的公式中是必要的。为了使直觉清晰，避免任何混淆，我们采用委托人拥有代理人偏好u和v的完整信息的惯例。这为思考实际合同是如何实现的提供了一种易于理解的方式。14 BOUALEM DJEHICHE和PETER Helgesson因此，委托人能够预测代理人问题的最佳努力，从而提出最佳合同（如果存在）。其想法是应用第2节中的方法来描述上述一般委托代理模型中的最优合同。

然而，由于控制变量在（4.5）的扩散中出现，我们需要以下凸性假设，以避免最大原理中的二阶伴随过程：假设7：集合e R是凸的。弱公式isHA（t，x，Γe，e，p，q，s）中的施主哈密顿量：=q·Γe·f（t，x，e）σ（t，x）- Γe·u（t，x，e，s），（4.10）根据定理2.1，任何解决代理问题的最优控制Γe（t）都必须偶然地最大化。这对（p（·），q（·））解Agent的伴随BSDE:（dp（t）=-nq（t）·f（t，x（t），\'e（t））σ（t，x（t））- u（t，x（t），\'e（t），s（t））odt+q（t）dWt，p（t）=-vx（x（T））（4.11）如果f和u在e变量中都是可微的，我们假设¨e（·）∈ int（E），最大化hat转化为一阶条件q（t）=σ（t，x（t））·ue（t，x（t），\'E（t），s（t））fe（t，x（t），\'E（t）），（4.12），这与[Wil13]一致。在继续讨论委托人的问题之前，我们假设（4.12）中的“e”是可解的，并写出“e（t）=e”*（t，\'x（t），q（t），s（t）），其中e*: R+×R→ R是一个具有充分正则性的函数，允许存在下面FBSDE（4.13）的唯一解。根据e*委托人希望通过选择符合（4.4）的流程（·）来最小化成本。与agent问题的SDE相比，相应控制问题的动力学是由输出SDE与agent的伴随BSDE耦合而成的FBSDE。更准确地说：dx（t）=σ（t，x（t））dWt，dp（t）=-nq（t）·f（t，x（t），e*（t，x（t），q（t），s（t）））σ（t，x（t））- u（t，x（t），e*（t，x（t），q（t），s（t）），s（t））odt+q（t）dWt，\'x（0）=0，p（t）=-vx（x（T））。（4.13）为了描述委托人问题中的现金流最优性，我们应用了定理3.1。

哈密顿量readsHP（t，x，q，s，R，P，P，q，q，λP，λA）：=R·n-q·f（t，x，e）*（t，x，q，s）σ（t，x）+u（t，x，e）*（t，x，q，s），s）o+P·（Φ（t，x，s）+σ（t，x）ψ（x））+q·σ（t，x）+q·σ（t，x）ψ（x）- λA·u（t，x，e）*（t，x，q，s），s）+λP·U（t，x，s），（4.14）委托代理问题15，对于任何最优四元组（\'x（·），\'P（·），\'q（·），\'s（·））我们都存在拉格朗日乘数λA，λP∈ R满足定理（3.1）中的条件。伴随过程（R（·）、P（·）、Q（·）、P（·）、Q（·））求解FBSDE（3.7），在这种情况下，s（t）=arg maxs∈SHP（t，\'x（t），\'p（t），\'q（t），s，R（t），p（t），q（t），p（t），q（t），p（t），q（t），λp，λA）。在说明隐藏作用下均值-方差主代理问题中最优契约的完整特征之前，我们引入以下技术假设：（PA1）。代理问题中涉及的所有函数都满足第2节中的假设1，并且输出密度是鞅。定义校长问题的函数（包括与地图的组合）*) 满足第2节中的假设2-6，且ψ是可微的三倍。定理4.3。让（PA1）和假设7中的陈述保持并考虑风险规避r>0且参与约束定义为W<0的隐藏行为下的均值方差委托代理问题。那么，如果（\'e（·），\'s（·））是一个最优契约，则存在数λA，λP∈ R使得λP≥ 0，λA+λP=1，一对（P（·），q（·））∈ LF（0，T；R）×（LF（0，T；R））解（4.11）中的SDE和一个五元组（R（·）、P（·）、P（·）、Q（·）、Q（·））∈ 如果(Ohm; C（[0，T]；R））×LF(Ohm; C（[0，T]；R））×LF（0，T；R）求解由（4.13）定义的伴随FBSDE（3.7），从而按顺序，\'e（T）=arg maxe∈EHA（t、\'x（t）、Γe（t）、e、q（t）、s（t））和\'s（t）=arg max∈SHP（t，\'x（t），\'q（t），s，R（t），P（t），q（t），P（t），q（t），λP，λA），哈密顿量分别在（4.10）和（4.14）中。4.2. 在强公式中隐藏契约。