具有时间不一致效用函数的委托代理问题

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英文标题：
《The Principal-Agent Problem With Time Inconsistent Utility Functions》
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作者：
Boualem Djehiche and Peter Helgesson
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper we study a generalization of the continuous time Principal-Agent problem allowing for time inconsistent utility functions, for instance of mean-variance type. Using recent results on the Pontryagin maximum principle for FBSDEs we suggest a method of characterizing optimal contracts for such models. To illustrate this we consider a fully solved explicit example in the linear quadratic setting.
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中文摘要：
本文研究了考虑时间不一致效用函数的连续时间委托代理问题的一个推广，例如均值-方差型。利用FBSDE的Pontryagin极大值原理的最新结果，我们提出了一种刻画此类模型最优契约的方法。为了说明这一点，我们考虑一个线性二次设置下的完全求解的显式示例。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> The_Principal-Agent_Problem_With_Time_Inconsistent_Utility_Functions.pdf (762.37 KB)

2022-5-7 22:46:38 上传

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关键词：代理问题 效用函数 委托代理 Quantitative Differential

具有时间不一致效用函数的委托代理问题。本文研究了考虑时间不一致效用函数的连续时间主代理问题的一个推广，例如均值方差型。利用FBSDE的Pontryagin极大值原理的最新结果，我们提出了一种刻画此类模型最优契约的方法。为了说明这一点，我们考虑一个线性二次设置下的完全求解的显式示例。内容1。导言12。预备赛33。平均方差类型74的效用。委托代理问题104.1。弱公式中的平均方差隐藏作用114.2。在强大的力量中隐藏着契约155。关于隐藏合同的一个已解决的例子参考文献201。引言风险管理或在预期收益和风险承担之间找到最佳平衡的问题是金融和经济学研究的核心主题。投资组合优化、最优停止和清算问题等应用一直是文献中特别关注的问题。在这种情况下，通常考虑均值-方差类型的效用函数。均值-方差效用函数是所谓的时间不一致效用函数的一个重要子类，动态规划的贝尔曼原理不适用于这些函数。因此，经典的Hamilton-Jacobi-Bellman方程无法解决涉及此类效用的问题。安德松和杰希切[AD11]、比约克和穆尔戈奇[BM10]、比约克、穆尔戈奇和周[BMZ14]、杰希切和黄[DH15]、埃克兰和拉兹拉克[EL06]以及埃克兰和皮尔沃[EP08]都提到了这个问题。

本文利用Pontryagin极大值原理的随机推广，发展了一种研究著名委托代理问题均值-方差集的方法。日期：2015年3月19日2010年数学科目分类。93E20，49N70，49N90。关键词和短语。委托代理问题，随机最大值原理，庞特里亚金最大值原理，方差，时间不一致效用函数。2 BOUALEM DJEHICHE和PETER Helgesson委托代理问题的精确结构如下：委托人雇佣一名代理人在一段时间内管理某个定义良好的噪音资产。作为对他/她的努力的回报，代理人根据在期限开始前设定的协议获得补偿。例如，它可能涉及期末一次性付款、期间持续支付现金流，或两者兼而有之。根据原则所掌握的形成协议的信息，我们可以区分两种情况；完整的信息——以及隐藏的行动问题。完整信息案例与隐藏行为案例的不同之处在于，委托人除了可以观察资产的演变外，还可以观察代理人的行为。因此，在充分信息的情况下，校长可以根据结果和努力来定制合同，而不仅仅是针对隐藏行为的结果。在这两种情况下，代理通过所谓的参与约束来约束合同，明确了代理在项目中的最低要求。在隐性行为下，合同进一步受到激励相容性条件的约束，这意味着一旦合同被分配，代理人将尽可能最大化自己的效用，而不一定是委托人的效用。首次出现委托代理问题的开创性论文是isHolmstr–om和Milgrom[HM87]。

他们研究了一个特定时期内的时间连续模型，在该模型中，委托人和代理人都优化指数效用函数。委托人在期末以一次性付款的方式奖励代理人。因此，他们发现最优契约与产出成线性关系。Sh–attler和Sung toa在[SS93]中对[HM87]一文进行了推广，建立了一个数学框架，该框架使用动态规划和鞅理论的方法来描述契约最优性。自第一批研究出现以来，人们对委托代理问题的连续时间模型的兴趣大幅增长。在[CWZ09]、[San08]、[Wes06]、[Wil13]（仅举几例）中，作者分析了一类环境下的连续时间模型，即一个委托人和一个代理人。Cvitani\'c和Zhang在最近的著作[CZ13]中也提到了这样的模型。其他模型，如各种多人游戏版本，已经在[Kan13]和[KSS08]中进行了研究。我们的目标是在时间不一致效用函数的隐作用下，在经典的主代理问题中刻画最优契约。我们考虑两种不同的建模可能性；弱表述中隐藏的行为，强表述中隐藏的契约。在第一个模型中，代理人拥有现金流背后机制的完整信息，委托人希望最小化其均值-方差效用。在后一种模型中，代理人不知道现金流的结构，必须通过方差类型的额外参与约束来保护自己免受高风险。据我们所知，这一点以前没有在文献中讨论过。为了完成程序，我们使用了Pontryagin随机最大值原理的最新推广。其思想是将主要代理问题视为一个顺序优化问题。

我们首先考虑代理人的问题，即如何描述最优努力选择。然后我们继续讨论委托人的问题，通过激励相容性，这个问题变成了一个正倒向随机微分方程的约束最优控制问题（从现在开始）。[DH14]中考虑了一个类似的方案，但没有考虑非标准的委托代理问题3平均方差。关于均值-方差效用函数的最优控制之前已经在例如Zhou和Li[ZL00]以及Andersson和Djehiche[AD11]中进行过研究。在委托代理问题的现有文献中，与我们最接近的文献是[Wil13]，其中使用了类似的最大原理方法。该设置是经典的（没有时间不一致的效用函数），作者发现了一个在代理问题中最优选择努力的特征。然而，不考虑涉及约束主体问题的完整模型。我们对现有文献的贡献应该被视为数学上的，而不是经济上的。我们提出了一个解决一类委托代理问题的通用框架，而不要求或调查可能的经济后果。我们研究的主要结果在定理4.3和定理4.4中给出，在定理4.3和定理4.4中，对两种不同的模型给出了最优契约的完整刻画。论文结构如下：在第二节中，我们介绍了随机最优控制理论中的数学机制，这对于我们的目的是必要的。然后，在第3节中，通过第2节中两种不同但相关的情况下的结果，推导出均值-方差最大原理。第4节致力于将前几节中的方法整合到委托代理框架中。我们考虑了隐藏作用下的两种不同模型，并找到了最优性的必要条件。

最后，在第5节中，我们通过一个简单且完全求解的例子，在线性二次型（LQ）设置下，将第4节的一般方案具体化。2.初步假设T>0是一个固定的时间范围，并且(Ohm, F、 F，P）是一个过滤概率空间，满足一维布朗运动W={Wt}t的一般条件≥0已定义。我们假设F是由W加上所有P-null集NP生成的自然过滤，即F=FtWNPwhere Ft:=σ（{Ws}:0）≤ s≤ t） 。考虑以下平均场类型的控制系统：dx（t）=b（t，x（t），E[x（t）]，s（t））dt+σ（t，x（t），E[x（t）]dWt，t∈ （0，T]x（0）=x，成本函数形式为j（s（·））：=EZTf（t，x（t），E[x（t）]，s（t））dt+h（x（t），E[x（t）]）, （2.1）式中b:[0，T]×R×R×S→ R、 σ：[0，T]×R×R→ R、 f:[0，T]×R×R×S→R和h:R×R→ R和S R是非空子集。如果控制s（·）是一个F适应的平方可积过程，取s中的值，那么它是可容许的。Wedenote通过s[0，T]将所有此类可容许控制集合。为了避免与我们的目的无关的规则性技术问题，我们声明如下。假设1。函数b，σ，f和h是关于x和x的cw，其中x表示E[x（·）]的显式依赖关系。此外，b、σ、f和h以及它们关于x和x的扭转导数在x、~x和中是有界和连续的。我们对以下最优控制问题感兴趣：4 BOUALEM DJEHICHE和PETER Helgesson问题。在S[0，T]上最小化（2.1）。任何（·）∈ S[0，T]令人满意的j（`S（·））=infs（·）∈S[0，T]J（S（·））被称为最优控制，相应的x（·）被称为最优状态过程。我们将（\'x（·），\'s（·））作为最佳配对。Buckdahn、Djehiche和Li在[BDL11]中发现了以下刻画问题中最优对的随机极大值原理。定理2.1（随机最大值原理）。

假设1中的条件成立，并考虑问题的最佳对（\'x（·），\'s（·））。然后存在一对过程（p（·），q（·））∈ 满足伴随方程的LF（0，T；R）×（LF（0，T；R））dp（t）=-{bx（t，\'x（t），E[\'x（t）]，\'s（t））p（t）+E[b﹪x（t，\'x（t），E[\'x（t）]，\'s（t））p（t）]+σx（t，x（t），E[\'x（t）]q（t）+E[σ﹪x（t，x（t），E[\'x（t）]q（t）]- fx（t，\'x（t），E[\'x（t）]，\'s（t））- E[fx（t，\'x（t），E[\'x（t）]，\'s（t））}dt+q（t）dWt，p（t）=-hx（\'x（T），E[\'x（T）]）- E[h﹪x（\'x（T），E[\'x（T）]）]，（2.2），使得\'s（T）=arg max∈SH（t，\'x（t），s，p（t），q（t）），a.e.t∈ [0，T]，P-a.s.（2.3），其中哈密顿函数H由H（T，x，s，P，q）给出：=b（T，x，E[x]，s）·P+σ（T，x，E[x]）·q- f（t，x，E[x]，s）（2.4）表示（t，x，s，p，q）∈ [0，T]×R×S×R×R。备注2.2。重要的是要记住，定理2.1只说明了（S）中最优性的一组必要条件。它并不声称存在非最优控制。随机最优控制的存在性理论（无论是强意义上还是弱意义上）自60年代以来一直是研究的主题（见[Kus65]），至少在强解的情况下，结果似乎在很大程度上取决于问题的陈述。在弱意义上，存在性结果的解释见[YZ99]（定理5.3，第71页）。备注2.3。将空间U限制为凸的，可以在不改变定理2.1结论的情况下，使扩散系数达到形式σ（t，x，E[x]，s）。在非凸控制空间的情况下，在[Pen90]中证明了具有受控扩散的随机最大值原理，并且需要额外的伴随BSDE的解。我们选择将这一最普遍的最大值原则作为参考，以保持表述清晰。正如备注2.2所指出的，在一般随机控制模型中，证明最优对（\'x（·），\'s（·））的存在是一项非常重要的任务。

在附加假设下；假设2。控制域S在R中是一个凸体。映射b、σ和F在u中是局部Lipschitz，它们在x中的导数在x、~x和S中是连续的，委托代理问题5下列定理为（S）中的最优性提供了充分条件。定理2.4（最优性的充分条件）。在假设1和假设2下，et（\'x（·），\'s（·），p（·），q（·））是可容许的四元组。假设h是凸的，并且h（t，·，·，·，p（t），q（t））对于所有t都是凹的∈ [0，T]P-a.s.和¨s（T）=arg max∈SH（t，\'x（t），E[\'x（t）]，s，p（t），q（t）），a.E.t∈ [0，T]，P-a.s.（\'x（·），\'s（·））是问题的最佳配对。随机最大值原理自该学科诞生之初（Bisit[Bis78]和Bensoussan[Ben82]等人的论文中）就发展出了一套新的理论，目前已应用于比（S）更为普遍的一系列问题（参见[Pen90]、[AD11][BDL11]、[DTT14]）。出于我们的目的，我们需要对定理2.1进行重新定义，该定理描述了状态约束下FBSDE动态设置中的最优控制。更准确地说，我们希望考虑这种形式的随机控制系统dx（t）=b（t，Θ（t），s（t））dt+σ（t，Θ（t））dWtdy（t）=-c（t，Θ（t），s（t））dt+z（t）dWtx（0）=x，y（t）=~n（x（t）），（2.5），其中b，σ，c:[0，t]×R×s→ R和ν：R→ R、 关于形式j（s（·））：=E的成本函数ZTf（t，Θ（t），s（t））dt+h（x（t），E[x（t）]）+g（y（0））,（2.6）和一组状态约束ZTF（t，Θ（t），s（t））dt+H（x（t），E[x（t）]）+G（y（0））:=EZTf（t，Θ（t），s（t））dt+h（x（t），E[x（t）]）+g（y（0））...EZTfl（t，Θ（t），s（t））dt+hl（x（t），E[x（t）]）+gl（y（0））∈ 对于某些闭凸集∧，（2.7） Rl。在上述表达式中，我们引入了Θ（t）：=（x（t），y（t），z（t），E[x（t）]，E[y（t）]，E[z（t）]，以避免不必要的繁重记法。最优控制问题是：问题（SC）。

在集合[0，T]上的状态约束（2.7）下最小化（2.6）。为了得到（SC）的一个好的最大值原理，我们需要一些进一步的正则性条件来确保（2.5）的可解性。这些条件列在以下假设中，可在[LL14]中找到。假设3。函数b，σ，c是连续可微的，Lipschitz6-BOUALEM-DJEHICHE和PETER Helgesson在Θ中是连续可微的，函数h，g，hi，Gia分别在x和y中是连续可微的，它们分别由c（1+| x |+| y |+| z | | | | | | y |+| x |+| z | | | | | | s |）和c（1241+）来界定。假设4。假设4中的所有导数都是Lipschitz连续且有界的。假设5。无论如何∈ R、 s∈ S、 A（·，Θ，S）∈ LF（0，T；R），其中我们有a（T，Θ，s）：=（c（T，Θ，s），b（T，Θ，s），σ（T，Θ））和LF（0，T；Rk）：=ψ：[0，T]×Ohm → Rkψ是F-适应的，EZT |ψ| dt< ∞,每x∈ R、 ~n（x）∈ 如果(Ohm; R） 。此外，存在一个常数C>0，使得|A（t，Θ，s）- A（t，Θ，s）|≤ C |Θ- Θ|，P-a.s.和a.e.t∈ [0，T]，|~n（x）- ~n（x）|≤ C | x- x |，P-a.s，为所有人Θ，为所有人Θ∈ R.假设6。函数A和Θ满足以下单调性条件：（EhA（t，Θ，s）- A（t，Θ，s），Θ- Θi≤ βE |Θ- Θ|，P-a.sh k（x）- ~n（x），x- xi≥ u| x- x |为了所有人Θ为了所有人Θ∈ R、 x，x∈ 本着[LL14]的精神，我们现在准备为平均场类型的完全耦合FBSDE制定状态约束随机最大值原理。定理2.5（状态约束最大值原理）。假设3-6成立，假设∧ 它是一个闭凸集。

如果（\'x（·），\'y（·），\'z（·），\'s（·））是问题（SC）的最优四元组，则存在一个向量（λ，λ）∈ R1+l等于λ≥ 满足横截性条件hλ，v- EZTF（t，\'x（t），\'y（t），\'z（t），\'s（t））dt+H（\'x（t））+G（\'y（0））我≥ 0, 五、∈ ∧（2.9）和一个三元组（r（·）、p（·）、q（·））∈ 如果(Ohm; C（[0，T]；R））×LF(Ohm; 伴随FBSDEdr（T）=ncy（T）R（T）的解的C（[0，T]；R））×LF（0，T；R）- by（t）p（t）- σy（t）q（t）+∑li=0λifiy（t）+E[cy（t）r（t）- by（t）p（t）- σ∧y（t）q（t）+∑li=0λifiy（t）]odt+ncz（t）r（t）- bz（t）p（t）- σz（t）q（t）+∑li=0λifiz（t）+E[cz（t）r（t）- b~z（t）p（t）- σ∧z（t）q（t）+∑li=0λifiz（t）]odWt，委托代理问题7dp（t）=-N-cx（t）r（t）+bx（t）p（t）+σx（t）q（t）-∑li=0λifix（t）+E[-cx（t）r（t）+bx（t）p（t）+σx（t）q（t）-∑li=0λifix（t）]odt+q（t）dWt，r（0）=∑li=0λiE[gi（`y（0））]，p（T）=-~nx（`x（T））r（T）-∑li=0λi（hix（\'x（T），E[\'x（T）]）+E[hi﹪x（\'x（T），E[\'x（T）]））），（2.10），使得\'s（T）=arg maxs∈SH（t，Θ（t），s，r（t），p（t），q（t），λ，λ）a.e.t∈ [0，T]，P-a.s.其中哈密顿函数H由H（T，Θ，s，r，P，q，λ，λ）给出：=-r·c（t，Θ，s）+p·b（t，Θ，s）+q·σ（t，Θ）-∑li=0λifi（t，Θ，s）。备注2.6。如备注2.3所示，类比原理也适用于定理2.5。备注2.7。定理2.5中无状态约束的最大值原理是[LL14]中相同结果的简单推广，并遵循经过必要修改的证明。扩展结果以允许状态约束是一个标准过程，可以在[DH14]中找到。均值-方差类型的实用性我们现在将把第2节中介绍的方法应用到均值-方差框架中，即我们希望控制均值-方差类型（2.5）的FBSDE，涉及以下两种情况之一：（i）。我（u）：=-EZTU（t，Θ（t），s（t））dt+V（x（t））+rVarZTΦ（t，Θ（t），s（t））dt+ψ（x（t））,（3.1）在S[0，T]上，对于某些风险规避r>0。（二）。