具有时间不一致效用函数的委托代理问题

我们现在将研究一种不同类型的均值-方差委托代理问题，称为隐藏契约模型（在[DH14]中介绍）。与第4节中的隐藏动作模型相比。1隐藏合同在两个关键方面有所不同。首先，我们将主体的信息集从FX放宽到布朗运动产生的完全过滤。其次，我们将过程s（·）视为隐藏的，这意味着代理人对所提供的现金流作出反应是一个F适应的过程，而不知道产出的潜在依赖性。这就解释了隐藏合同的名称。隐藏契约模型中的代理人不知道s（·）的基本数学结构，这一事实通过扩展参与约束（与（4.4）相比）激发了均值-方差框架的相关性。例如，通过要求s（·）提供的预期累积财富的方差上限，代理人可以保护自己免受不必要的高风险。设置如下：考虑一个委托代理模型，其中输出x（t）被建模为求解SDE的风险集dx（t）=f（t，x（t），e（t））dt+σ（t，x（t））dWt，t∈ （0，T]，x（0）=0。（4.15）16 BOUALEM DJEHICHE和PETER Helgessont>0，WT是定义在过滤概率空间上的一维标准布朗运动(Ohm, F、 F，P）。函数f和σ分别代表生产率和波动率，我们假设它们都满足第2节的假设1。就像隐藏行动案例一样，我们要求任何可接受的努力过程e（·）都在e[0，T]中。

然而，对于可接受的现金流，weenlarge S[0，T]（由于向委托人提供的信息延长）toS[0，T]：={S[0，T]×Ohm → ss是F适应的}。我们考虑成本函数ja（e（·）；s） ：=EZTu（t，x（t），e（t），s（t））dt+v（x（t））, （4.16）和JP（s（·））：=EZTU（t，x（t），s（t））dt+V（x（t））, （4.17）和参与约束：JA（`e（·）；s） ：=EZTu（t，x（t），\'e（t），s（t））dt+v（x（t））≤ W、 IA（\'e（·）；s） ：=VarZTφ（t，x（t），\'e（t），s（t））dt+ψ（x（t））≤ R.（4.18）正如第4.1节中的隐藏行动案例一样，我们依次考虑代理人和委托人的问题。确切的说法是：特工的问题。给定任何s（·）∈ S[0，T]（完全满足参与约束）代理人的问题是找到一个过程e（·）∈ E[0，T]极小（4.16）。校长的问题。考虑到代理人的问题有一个最优解e（·），委托人的问题是找到一个过程（·）∈ S[0，T]根据参与约束（4.18）最小化成本函数（4.17）。隐藏契约的数学优点是，它可以在强公式中单独工作。对于Agent的问题，我们面临哈密顿量ha（t，x，e，p，q，s）：=p·f（t，x，e）+q·σ（t，x）- u（t，x，e，s）。（4.19）因此，根据定理2.1，对于任何最优对（\'x（·），\'e（·）），我们有解BSDE的伴随过程（p（·），q（·））的存在性：（dp（t）=-{fx（t，\'x（t），\'e（t））p（t）+σx（t，\'x（t））q（t）- ux（t，\'x（t），\'e（t））}dt+q（t）dWt，p（t）=-vx（\'x（T）），（4.20）和表征\'e（T）=arg maxe∈EHA（t，\'x（t），e，p（t），q（t），s（t）），（4.21）表示a.e.t∈ [0，T]和P-a.s.在隐合同的情况下，我们通过假设函数e的存在来研究委托人的问题*使得¨et=e*（t，x（t），p（t），q（t），s（t））（具有充分的正则性，允许委托代理问题17（4.22）的解的存在性和唯一性）。

委托人面临的问题是，通过控制以下FBSDE将受（4.18）约束的JP降至最低：d\'xt=f（t，\'x（t），e*（t，\'x（t），p（t），q（t），s（t））dt+σ（t，\'x（t））dWt，dp（t）=-{fx（t，\'x（t），e*（t，\'x（t），p（t），q（t），s（t）））p（t）+σx（t，\'x（t））q（t）-ux（t，\'x（t），e*（t，\'x（t），p（t），q（t），s（t））}dt+q（t）dWt，\'x（0）=0，p（t）=-vx（`x（T））。（4.22）我们现在应用定理3.2来描述委托人问题中的最优现金流。关联的哈密顿量isHP（t，x，p，q，s，R，p，p，p，q，q，λE，λV，λp）=R·（fx（t，x，E（t，x，p，q，s））p+σx（t，x）q- ux（t，x，e（t，x，p，q，s），s））+p·f（t，x，e（t，x，p，q，s））+p·φ（t，x，e（t，x，p，q，s），s）+f（t，x，e（t，x，p，q，s））ψ（x）+σ（t，x）ψ（x）+ Q·σ（t，x）+Q·σ（t，x）ψ（x）-λE·u（t，x，E（t，x，p，q，s），s）- λP·U（t，x，s）。（4.23）对于主问题的任何最优四元组（\'x（·），\'p（·），\'q（·），\'s（·）），我们存在拉格朗日乘子λE，λV，λp∈ R满足第2节中的条件（i）-（v）之一，且λP≥ 0和λE+λV+λP=1，以及求解FBSDE（3.10）的三个伴随过程（R（·）、P（·）、Q（·）），从而¨s（t）=arg maxs∈SHP（t，x（t），p（t），q（t），s，R（t），p（t），p（t），q（t），q（t），λE，λp）。对于最优性的完整描述，我们需要以下技术假设：（PA2）。代理问题中涉及的所有函数都满足第2节中的假设1。定义委托人问题的功能（包括与地图的组合）*) 满足第2节的假设2-6，ψ是三次可微的。定理4.4。让（PA2）中的陈述保持并考虑隐契约下的均值-方差主代理问题，参与约束由给定参数W<0和R>0定义。

那么，如果（\'e（·），\'s（·））是一个最优契约，则存在数λe，λV，λP∈ R使得λP≥ 0，λE+λV+λP=1，一对（P（·），q（·））∈ LF（0，T；R）×（LF（0，T；R））求解（4.20）中的BSDE和五元组（R（·）、P（·）、P（·）、Q（·）、Q（·））∈ 如果(Ohm; C（[0，T]；R））×LF(Ohm; C（[0，T]；R））×LF（0，T；R）求解由（4.22）定义的伴随FBSDE（3.10），从而按顺序，\'e（T）=arg maxe∈EHA（t、\'x（t）、e、p（t）、q（t）、s（t））和\'s（t）=arg max∈SHP（t，\'x（t），\'p（t），\'q（t），s，R（t），p（t），q（t），q（t），λE，λV，λp）。18 BOUALEM DJEHICHE和PETER Helgesson分别与（4.19）和（4.23）中的哈密顿量和哈密顿量有关。5.隐藏合同的一个已解决示例我们现在通过考虑隐藏合同类型的一个具体示例来说明第4节的方法。为了找到明确的解决方案，我们选择线性二次设置。因此，我们得到了与产出产生的过滤相适应的最优合同。考虑以下生产动态：，dx（t）=（ax（t）+be（t））dt+σdWt，t∈ （0，T]，x（0）=0，a，b∈ R和σ>0，并用二次效用函数描述代理人和委托人的偏好：JA（e（·）；s） ：=EZT（圣- et）dt- α·x（T）, （5.1）JP（s（·））：=EZTstdt- β·x（T）. （5.2）注意，我们遵循第4节的惯例来考虑成本，而不是支付函数。因此，代理人的效用函数应该被解释为希望维持接近现金流所给予补偿的努力水平。我们将参数α>0和β>0视为时间T时总产量的奖励因子。对于参与约束，我们要求任何可容许现金流s（T）满足以下条件：JA（`e（·）；（s）≤ W、 Var（x（T））<R，（5.3），其中W<0，R>0和¨e（·）表示代理givens（·）的最佳努力策略。假设委托人在0期间向代理人提供s（·）≤ T≤ T

试剂isHA（x，e，p，q，s）的哈密顿函数：=p·（ax+be）+q·σ-（s）- e） 所以哈e=bp+s- e=0，e（t）=bp（t）+s（t），（5.4），其中对（p，q）解伴随方程（dp（t）=-ap（t）dt+q（t）dWt，p（t）=αx（t）。说到校长的问题我们想控制FBSDEdx（t）=（ax（t）+bp（t）+bs（t））dt+σdWt，dp（t）=-ap（t）dt+q（t）dWt，x（0）=0，p（t）=αx（t），（5.5）关于成本函数（5.2）和参与约束（5.3）的委托代理问题19最优。主体的哈密顿量isHP（x，p，s，R，p，p，Q，Q，λE，λp）：=-ap·R+（ax+bp+bs）·P+（s+ax+bp+bs）·P+σ·（Q+Q）-λE·bp- λP·s（5.6）so惠普s=bP+（1+b）P- λPs和¨s（t）=bP（t）+（1+b）P（t）λP，其中五元组（R（t），P（t），P（t），Q（t），Q（t））求解伴随FBSDE：dR（t）=（aR（t）- b（P（t）+P（t））+λEbp（t））dt，dP（t）=-a（P（t）+P（t））dt+Q（t）dWt，dP（t）=Q（t）dWt，R（0）=0，P（t）=-αR（T）+（αλE+βλP）x（T），P（T）=2λV（E[η（T）]- η（T））。（5.7）然而，在这种情况下，辅助过程η（t）与输出x（t）相同，在这种情况下，P（t）=2λV（E[x（t）]- x（T））。为了求解（5.7）中的BSDE，我们可以做一个一般的线性ansatz：p（t）=A（t）x（t）+B（t）R（t）+A（t）E[x（t）]+B（t）E[R（t）]，p（t）=A（t）x（t）+B（t）R（t）+A（t）E[x（t）]+B（t）E[R（t）]，p（t）=A（t）x（t）+B（t）R（t）+A（t）E[x（t）]+B（t）E[R（t）]。（5.8）使用带有^o引理的标准程序，推导（5.8）中系数的十二个耦合Riccati方程组是基本的（但繁琐的）。下面的图2给出了一个数值示例。我们得到了唯一的半图2。（5.7）的参数值选择为：a=b=σ=1，α=0.2，β=1，λP=0.1，θ=π/2，T=0.03.20 BOUALEM-DJEHICHE和PETER Helgesson最优契约{e（T），\'s（T）}的显式解，由最优动力学（\'x（T），\'R（T））驱动。

剩下的是找到一个可行的三重（λE，λV，λP），以便最优合同满足（5.3）中的参与约束。确定这种三元组的一种方法是，例如，通过随机模拟（`x（t），`R（t））（例如，Simpleuler Maruyama方案），然后通过蒙特卡罗技术对λP的不同值估计（5.3）中的收益和方差。在图3中，我们将这种方案对应于推论3.2中横截性条件的情况（iv）的结果包括在内。注意，R（t）满足图3的线性关系。JA（`e（·）的蒙特卡罗模拟；根据每个点上的10条采样路径，以λPandθ（与λean和λVvia情况（iv）有关）的函数形式表示。参数值：a=b=σ=1，α=0.2，β=1，T=0.03。dRdt+（bB+bB）- λ衰退- a） R（t）=（λEbA）- 文学士- bA）x（t），R（0）=0，（5.9）soR（t）=RtexpRsbB+bB- λ衰退- 阿杜· （λEbA）- 文学士- bA）\'xdsexpnRtbB+bB- λ衰退- 一个dso，由Fx改编。因此，在该模型中，最优契约{e（t），\'s（t）}是Fx适应的，并且与HiddenAction问题的相应强解一致，即当委托人的信息集由输出生成时。参考文献[AD11]D.Andersson和B.Djehiche，平均场型SDE的最大原理，应用。数学擎天柱。63（2011），第3341-356号。委托代理问题21[Ben82]A.Bensousan，《随机控制、非线性滤波和随机控制讲座》（Cortona，1981），数学课堂讲稿。，第972卷，柏林斯普林格，纽约，1982年，第1-62页。[Bis78]J.-M.Bimit，最优随机控制中对偶性的介绍性方法，SIAM Rev。20（1978），第1号，第62-78页。[BM10]T.Bj–ork和A.Murgoci，《马氏时间不一致随机控制问题的一般理论》，SSRN:1694759（2010）。[BMZ14]T.Bj¨ork，A.Murgoci和X.Y.Zhou，具有状态依赖性的均值-方差投资组合优化，数学。

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