终身破产问题的风险敏感控制

因此，每x∈ [a，b]U（x）=max（0，infπ）∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）），（2.5），其中从现在开始，Ax，π是对满足上述（2）中所述条件的绝对连续ψ的限制。2.3主要结果我们现在给出了一个主要定理，该定理表明托卡斯特模型的值函数的极限收敛于博弈的值函数。此外，我们对随机模型给出了一个渐近最优策略。每n∈ N、 设置随机控制π*（t） =π*,n（t）=π*（Wn（t）），t≥ 0，其中π*函数是π吗*（十）=(u - r） e（x）σ（（u）-rσ）+λ- l（x）），a≤ x<d，0，d≤ x、 （2.6）其中：=b∧ inf（y>a:ρ）-Zyaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du=0）。（2.7）和b:=inf{x≥ a:e（x）<0}。从b的定义到e（·）≤ 麻省理工学院遵循π*∈ 对于一些合适的M，我们将证明控制π*是微分方程中最小值的最优控制，值函数U由U（x）给出=ρ -Zxaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du，a≤ x<d，0，d≤ x、 （2.8）因为U（x）=0 f或每x≥ d、 参数d被称为“安全水平”。注意，惩罚成本ρ影响π*U通过参数d，它随着ρ的增加而增加。因此，如果ρ更高，则安全水平更高。很明显，它也直接影响到U的早期[a，d]。下一个定理连接游戏和随机模型。定理2.1（主要结果）让Un（·）：=infπ∈πJn（·，π）。每x≥ 一个有，林→∞Un（x）=U（x），此外，limn→∞Jn（x，π）*) = U（x）。第4节给出了证据。我们使用的是 = ∞. 同样，在下文中，如果b=∞ 然后通过符号（x，b）和[x，b]表示（x，∞) [x，∞) 分别地3游戏的解决方案和分析在本节中，我们提供了游戏的解决方案。我们从第3.1节中的估值函数的一些基本性质开始。

在第3.2节中，我们介绍了HJB方程和验证曲线。然后我们推导了U和最优控制的显式表达式。最后，在第3.3节中，我们为最大化者提供了一个简单的控制，以确保她获得回报U（x）。3.1基本属性我们首先提供一些价值函数满足的基本属性。下面的验证引理中使用了这些属性。引理3.1（2.4）中定义的函数U满足以下条件：i.0≤ U（x）≤ ρ、 x∈ [a，∞) U（a）=ρ。二、每x≥ 一个有U（x）=0iii。U是非递增的。由于前面的第二部分，在后半部分中，我们只在区间[a，b]上分析U。引理3.1的证明：i.通过选择T=0，最大化子可以保证U≥ 0.另一方面，因为l（·）- λ<0，则明显为U（·）≤ ρ. 通过选择T=0，很容易得到u（a）=ρ。二、我们证明当x≥ b、 取π≡ 我们可以避免毁灭。的确，如果π≡ 0，则˙~n=-e（k），а（0）=x≥ b、 如果x=b，则φ（·）≡ b、 在x>b的情况下，由于函数e（·）是Lip-schitz，我们通过icard-Lindel¨of定理得到，存在唯一的φ∈ C[0，∞) 这就解决了上面提到的普通微分方程。人们可以很容易地验证，一旦达到b级，从此时起，它将保持在该水平。因此，ν≥ b、 三、修复x∈ （a），∞) y>x，并设φ（0）=y。设τx:=inf{t≥ 0:~n（t）=x}。利用动态规划原理，结合l（·）<λ这一事实，我们得到了U（y）=infπ∈πsupψ∈π，T∈R+ZT∧τx[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+U（x）≤ U（x）。3.2 HJB方程在本节中，我们证明方程（2.8）成立。我们从一个验证引理开始，在这个引理中，我们为这个问题提供了HJB（或者更确切地说是Isaacs）方程。然后我们给出了这个方程的解。回想一下引理3.1。ii，U（x）=0代表x≥ B

因此，我们将自己限制在区间[0，b]中。引理3.2（验证mma）让V:[a，b）→ [0，ρ]，当V（a）=ρ时，是一个可在（a，β）上微分的非递增连续函数，其中β：=b∧ inf{x>a:V（x）=0}。假设以下条件成立：（i）对于每x∈ [a，β）有[HJB方程]infp∈Rsupθ∈RV′（x）(-e（x）+（u）- r） p+σpθ）- λ+l（x）-θ= 0;（3.1）（ii）设P（x）=-u-rσV′（x）。那么对于每一个ψ∈ 每x一个烛光∈ [a，β），当我们用P替换π时，（2.2）存在唯一解。（iii）设Θ（P，x）=σpV′（x）。然后对于每个π∈ π和a≤ x<β，存在唯一解˙˙（t）=-e（φ（t））+（u）- r） π（ν（t））+σπ（Θ（t））Θ（π（Θ（t）），Θ（t）），t∈ [0，τa]，（3.2）Θ（0）=xsuch thartΘ（π（Θ（u）），Θ（u））du∈ Ax，π（见备注2.1），其中τa:=inf{t≥ 0:~n（t）=a}。然后U=V在[a，b]上。此外，函数P是一个最优反馈控制。请注意，我们只在区间[a，β]上定义了HJB方程。对于U（x）的每一个x，这种结构都遵循=0，在双方最优的情况下，最大化者控制的时间p部分等于0，游戏立即终止。引理3.2:1的证明。作为第一步，我们将证明∈ [a，β）一个hasV（x）≥ U（x）。因此，如果β<b，那么0=V（β）≥ U（β）≥ 0，其中最后一个不等式后面是引理3.1的第一个断言。自从V≥ 0和U是非递增的，我们得到v≥ U在[a，b]上，修正x∈ [a，β）。设置控制π*= P此外，fix a控制ψ∈ Ax，π*并用φ表示*与π有关的状态过程*ψ。回想一下，根据Ax的定义，π*, 每t>0，就有一个φ*（t） <~n*（0）=x和τ*a<∞, τ在哪里*ais是第一次*达到a，并且我们还记得x<β，对于每t≥ 0, φ*（t） <β。

由于V在[a，β]上是不同的，我们可以将链式规则应用于V和getV（φ）*(τ*a） )- V（ν）*（0））=Zτ*aV′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t） ）+（u-r） π*(φ*（t） ）+σπ*(φ*（t） ）˙ψ（t）]dt。再次使用不等式*（t） <β我们通过条件（i）和（ii）得到0=supθ∈RV′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t） ）+（u-r） π*(φ*（t） ）+σπ*(φ*（t） ）θ]- λ+l（ν）*（t） )-θ≥ V′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t） ）+（u- r） π*(φ*（t） ）+σπ*(φ*（t） ）˙ψ（t）]- λ+l（ν）*（t） )-˙ψ（t）。所以我们有v（x）≥Zτ*a[-λ+l（ν）*（t） )-˙ψ（t）]dt+ρ。（3.3）取第一个supψ∈Ax，π，然后是infπ∈在两侧，我们得到th atV（x）≥ infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）*a） 。通过上述内容，并回顾≥ 0我们通过（2.5）V（x）≥ U（x）。假设V是不增加的，U≥ 因此，证明V≤ x上的U∈ [a，β]。固定x∈ [a，β）。永远是yπ∈ π表示Θ（π）*（t） ），~n*（t） ）通过˙ψ*（t） ，在哪里*解决（3.2）。（iii）通过*在有限时间内达到a，即τa<∞. 使用条件（i）和（ii）我们得到0=在fp中∈RV′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t） ）+（u-r） p+σpΘ（p，Θ*（t） ）]- λ+l（ν）*（t） )-Θ（p，Θ）*（t） )(3.4)≤ V′（ν）*（t） )[-e（~n）*（t） ）+（u-r） π（ψ）*（t） ）+σπ（ψ）*（t） ）˙ψ*（t） ]- λ+l（ν）*（t） )-(˙ψ*)（t） 。回顾˙~n*（t） =-e（~n）*（t） ）+（u-r） π（ψ）*（t） ）+σπ（ψ）*（t） ）˙ψ*（t） ，我们得到v（x）≤Zτa[-λ+l（ν）*（t） )-(˙ψ*)（t） ]dt+ρ。取supψ∈Ax，π，然后infπ∈在两侧，我们得到了th atV（x）≤ infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）。根据β的定义，由于x<β，因此V（x）>0。因此，infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）>0，由（2.5）可知U（x）=infπ∈πsupψ∈Ax，πC（x，π，ψ，τ）。因此，V（x）≤ U（x）。现在，反馈控制P的最优性来自（3.3）。我们现在使用验证引理，为价值函数U.命题3.1 LetV（x）提供一个明确的表达式=ρ -Zxaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du，a≤ x<d，0，d≤ x、 （3.5）其中d在（2.7）中定义。然后V=U，定义在（2.4）中。

此外，控制π*（2.6）中给出的结果是最佳的。证明：通过引理3.1的第二个断言，对每一个x进行回忆≥ b、 U（x）=0。我们现在证明（3.5）对x有效∈ [a，b）使用引理3.2。注意，验证引理中出现的参数β实际上是我们特定函数V的d。首先，很容易检查V是否满足（3.1）。接下来，sin ce P:[a，d]→ 由p（x）给出的R=-u - rσV′（x）=（u- r） e（x）σ（（u）-rσ）+λ- l（x））是（局部）利普希茨，要求二。验证引理也成立。现在我们将验证验证引理中的第三个条件。注意，（3.2）在时间间隔[0，τa]上引入了唯一解∧τd]，其中τd是第一次碰到d。在（3.2）中的等式允许[0，τa]上的唯一解∧τd]因为（a）在这个时间间隔∈ [a，d]和函数e，π和V′在区间[a，d]上，而（b）e是Lipschitz，π和V′是局部Lipschitz。接下来，我们将证明上述参数可以升级为区间[0，τa]。观察（3.4）中的不等式适用于˙ψ（·）：=Θ（π（Θ（·））、Θ（·））和˙（t）r替换˙ψ*（t） 以及*（t） 。此外，由于V是非递增的，我们得到V′（ν（t））≤ 0和（3.4）一起，在这种情况下，实际上V′（ν（t））在t上小于0∈ [0，τa∧ τd]。因此，˙~n（t）=-e（φ（t））+（u）- r） π（φ（t））+σπ（φ（t））˙ψ（t）≤λ - l（˙（t））+（˙ψ）（t）V′（˙（t））<0。因此，φ不向上穿过φ（0），因此τd=∞, 这意味着（3.2）。作为最后一步，我们将证明ψ在一定时间内达到a，因此我们将得到ψ∈ Ax，π。相反，假设τa=∞, 然后，通过在我们的例子中再次使用（3.4），我们得出结论，f或每一个s>0，一个hasV（ν（0））- 五（五）≤Zs[-λ+l（ν（t））-（˙ψ）（t）]dt。由于l（·）<λ，我们得到了r.h.s。

其中一项是-∞ when-s→ ∞, 这与V有界这一事实相矛盾。π的最优性*之后是验证引理和d，因为U=V。3.3鞍点性质在这里，我们提供了一个独立于π的控制（对于最大化子），并确保其支付U（x）。该控制的简单性在第4.1节中至关重要。集ψ*（t） =-u - rσt，t≥ 0，（3.6）让T*= τ在x<d和T的情况下*= 否则为0。注意ψ*与控制π无关。此外，注意在ψ下*状态过程满足˙~n=-e（~n），因此是~n和T*也与π的选择无关。关于Every x的提案3.2∈ [a，∞) 一个有U（x）=infπ∈πC（x，π，ψ）*, T*). 此外，T*≤ρ - U（x）λ- l（a）+（u）-rσ）。（3.7）证明：对于x≥ d 1 h为U（x）=0，根据定义T*= 所以infπC（x，π，ψ）*, T*) = 0.在ψ下设置x<d*, 状态过程与π无关。因此，对于每个π∈ πC（x，π，ψ）*, T*) =ZT*-λ+l（ν（t））-(˙ψ*)（t）dt+ρ=-Zxaλ- l（u）+（u）-rσ）e（u）du+ρ=u（x），其中第二个等式后面是变量u=ν（t）的变化，最后一个等式后面是命题3.1。因此，证明了定理的第一部分。因为l是不增加的，所以我们得到（2.5），0<U（x）=ZT*\"-λ+l（ν（t））-u - rσ#dt+ρ≤ZT*\"-λ+l（a）-u - rσ#dt+ρ=-T*\"λ - l（a）+u - rσ#+ ρ和（3.7）如下。4定理2.1的证明遵循一些度量参数，也受到Varadhan引理的影响。我们在两个独立的定理中证明了U（x）是lim infn的下界（分别为上界）→∞联合国（x）秘书长→∞其中Un（·）：=infπ∈πJn（·，π）。此外，我们还证明了策略π*是渐近最优的。4.1下界定理4.1≥ 一个有lim infn→∞联合国（x）≥ U（x）。证明：回想一下U（x）=0代表每x≥ D

自从我≥ 0和ρ>0根据Jensen不等式，对于任何策略序列{πn}n，我们有Rτnd∧τnal（~Wn（t））dt+ρ1{τna≤τnd}#≥ 0.修复x∈ （a，d）和fix一个任意的策略序列{πn}n Π. 我们证明，对于每一个ε>0，就有N>0，对于每一个N>N，就有Jn（x，πN）≥ U（x）- w（ε），其中w（ε）→ 0为ε→ 0.我们从一些初步准备开始。让ψ*是（3.6）中的函数，并让˙~n*（t）=-e（~n）*（t） ），0≤ T≤ T*,-e（a），T*≤ t、 （4.1）带有*（0）=x，当*是第一次*点击a，这是由于（3.2）。注意到时间T*, φ*微分对策的状态过程与ψ有关吗*和任意控制π∈ Π.让我们假设ε>0。因为l是Lipschitz，所以存在γ>0，所以对于everyy，z∈ [a，∞)|Y- z |<γ意味着| l（y）- l（z）|<ε。（4.2）此外，由于*是连续的，对于t>t*, ˙φ*（t） <0因此，人们可以选择γ，使得- φ*|T*+2ε≤ γ意味着|τa[~n]- T*| ≤ ε、 （4.3）式中τa[~n]：=inf{t≥ 0:~n（t）=a}。事实上，回想一下φ（0）=x∈ （a，d）。现在，因为（·）对[a，d]是肯定的，我们从（4.1）中得到，状态过程*在[0，T]上严格递减*+ 2ε]，仅在T处接触a*并在[T]上继续下降*, T*+ 2ε].定义概率度量Q*= Q*,非(Ohm, 英尺*+2ε）bydQ*dP（t）=e-√nRt˙ψ*（s） 分贝（s）-nRt（˙ψ）*)（s） ds，t∈ [0，T*+ 2ε].然后在Q下*, B*（t） =B*,n（t）：=B（t）+√nu-rσt，t∈ [0，T*+ 2ε]是一个标准的布朗运动，d~Wn（t）=-e（~Wn（t））+√nσπn（~Wn（t））dB*（t） ，t∈ [0，T*+ 2ε].既然|πn（t）|≤ 然后通过Gronwall不等式和Doob鞅不等式，我们得到一个常数C>0，它依赖于e（·）的Lip-schitz常数，这样Q*（（英）c）≤CMnγ（4.4），其中：=ω :~Wn（·ω）- φ*(·, ω)T*+2ε≤ γ.设置N=N（ε，γ，M，C），使N>max-ln（ε）ε，CMεγ，CM（T*+ 2ε)λ +u-rσεγ. （4.5）我们现在已经准备好从Jn（x，πn）以下绑定。

修正Z∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt≥nln E“ZT*+2εT*+εe-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt#≥nln E“εE-λn（T）*+2ε）enRτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}#=nln均衡器*εe-λn（T）*+2ε）enRτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}dPdQ*（T）*+ 2ε)#≥ 情商*\"-λ（T）*+ 2ε）+Zτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds#- ε≥ 情商*\"-λ（T）*+ 2ε）+Zτna∧（T）*+ε） l（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤T*+ε}-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds！嗯#- 2ε≥ 情商*\"-λ（T）*+ 2ε）+ZT*-ε[l（ν）*（s） )- ε] ds+ρ-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds！嗯#- 2ε=-λ（T）*+ 2ε）+ZT*-ε[l（ν）*（s） )- ε] ds+ρ-ZT*+2ε(˙ψ*)（s） ds！Q*（英）- 2ε= -λT*+ZT*l（ψ）*（s） ）ds-ZT*(˙ψ*)（s） ds+ρ+w（ε）=U（x）+w（ε），其中w（ε）=-2λε-ZT*T*-εl（ψ）*（s） ）ds- ε（T）*- ε) -ZT*+2εT*(˙ψ*)（s） ds！Q*（英）- 2ε--λT*+ZT*l（ψ）*（s） ）ds-ZT*(˙ψ*)（s） ds+ρ！(1 - Q*（En））。前三种关系很容易检查。第四个关系由詹森不等式和（4.4）得出。第五个关系是从l（·开始）≥ 0和（4.4）和（4.5）。第九个关系后面是（4.2）和（4.3）。第七个关系如下，因为除指示符外，预期中的所有术语都是确定性的。最后，最后一个关系是命题3.2。通过（4.4）和（4.5）并回顾-λT*+RT*l（ψ）*（s） ）ds-RT*(˙ψ*)（s） ds+ρ=U（x）≥ 我们得到w（ε）→ 0为ε→ 04.2渐近最优策略在本节中，我们展示了（2.6）中定义的博弈中的最优策略是s-tochastic模型中的渐近最优策略。我们从一个技术性的引理开始，它为我们证明前面的定理服务。引理为贴现成本提供了一个上限，通过一个新的度量Qn定义了替代成本。SetT:=ρ/（λ）- l（a））。

在定理证明过程中，qn和T都将发挥重要作用。引理4.1每n∈ N、 存在一个概率测度Qn~ [0，T]上的P，对于它Z∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt(4.6)≤ lim sup EQn“sup0≤T≤TZτna∧t[l（~Wn（s））- λ] ds+ρ1{τna≤t}#-nH（QnkP），其中H（QnkP）：=EQnhlndQndPiis是Qnw的相对熵。r、 此外，还有N∈ 确保每n>None有一个NH（QnkP）≤ 2ρ. （4.7）此外，对于每n∈ N、 存在一个适应过程（ψ（t））0≤T≤Tsuch表示Qn几乎肯定，ψn（·ω）∈ AC[0，T]和rt（˙ψn）（s，ω）<∞, andnH（QnkP）=EQnZT（˙ψn）（s）ds. （4.8）证据：首先，请注意Z∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt≤ E中兴通讯-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt+enρZ∞帐篷（l（a）-λ） dt= E中兴通讯-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt+n（λ）- l（a））en（ρ+T（l（a）-λ))≤ EZTenRτna∧t[l（~Wn（s））-λ] ds+ρ1{τna≤t}dt+n（λ）- l（a））≤ 我是苏普≤T≤TRτna∧t[l（~Wn（s））-λ] ds+ρ1{τna≤t}+ρn#。第一个不等式如下，因为l不增加，而d通过消除第二个指数中的指标，我们只会增加成本。第二个不平等随之而来的是经常和自那以后的选择-λnt≤ -λn（τna）∧ t） 。其他关系很容易看出。现在，每n∈ N让Qnbe测量满足“en sup0”≤T≤TRτna∧t[l（~Wn（s））-λ] ds+ρ1{τna≤t}#!（4.9）=EQn“sup0≤T≤TZτna∧t[l（~Wn（s））- λ] ds+ρ1{τna≤t}#-nH（QnkP）。具有上述表示的量度qn的存在由以下论点证明：根据Jensen不等式，对于任何量度Q~ P an df=n sup0≤T≤TZτna∧t[l（~Wn（s））- λ] ds+ρ1{τna≤t}一个哈斯林Ehefi= 自然对数情商ef·dPdQ≥ 等式[f]- H（QkP），其中满足qdp=efE[ef]的度量Q相等。

（4.10）通过艾玛3.1的第一点，定理4.1和（4.9），我们得到了0≤ U（x）≤ 林恩芬→∞Jn（x，π）*) ≤ 林恩芬→∞nEQn[f]-nH（QnkP）≤ ρ - 林尚→∞nH（QnkP）,其中，最后一个不等式如下，因为λ>l（·）。因此，（4.7）成立。现在我们转到引理的最后一部分。由于（4.10）的r.h.s.是以Ftisa正P-鞅为条件的，所以它可以表示为指数鞅。也就是说，这是一个可预测的平方可积过程（un（t））0≤T≤Tsuch thatdQndP（t）=e√nRtun（s）分贝（s）-nRt（联合国）（南）ds，t∈ [0，T]。现在，对于Qn，几乎每个ω定义ψn（·ω）为un（·ω）的Lesbegue积分。最后，注意在Qn，B（t）下-√修女（t），t∈ [0，T]是布朗运动，因此（4.8）成立。eve ry x的定理4.2≥ 一个有林森→∞Jn（x，π）*) ≤ U（x），其中π*定义为（2.6）。证明：修正x≥ a、 注意，在（4.6）中，将其r.h.s.的lim sup约束为byU（x）是足够的。在证明过程中，我们将利用π控制下的状态过程和财富过程*, 这是通过函数π定义的*, 见（2.6）。从引理4考虑qn和ψn。1.在Qnd~Wn（t）下=-e（~Wn（t））+（u）- r） π*（~Wn（t））+σπ*（~Wn（t））˙ψn（t）dt+√nσπ*（Wn（t））dBn（t），（4.11）t∈ （0，T]和~Wn（0）=x，其中Bn（T）=B（T）-√nψn（t）是Qn下的标准布朗运动。另外，设置˙~nn（t）=-e（un（t））+（u- r） π*（ηn（t））+σπ*˙ψn（t），t∈ [0，T]，（4.12）~nn（0）=x。对于任何δ>0，我们定义（δ）={ω：|Wn- |n|τa[~Wn]∧T≤ δ} ，（4.13）式中τa[h]：=inf{t∈ [0，T]：h（T）≤ a} 按照当时的惯例 = ∞. 让我们写下“sup0”≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} #（4.14）=EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！An（δ）#+EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！（An（δ））c#。对于ω∈ An（δ），我们有τa[~Wn]≥ τa+δ[~nn]。