终身破产问题的风险敏感控制

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Risk Sensitive Control of the Lifetime Ruin Problem》
---
作者：
Erhan Bayraktar and Asaf Cohen
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We study a risk sensitive control version of the lifetime ruin probability problem. We consider a sequence of investments problems in Black-Scholes market that includes a risky asset and a riskless asset. We present a differential game that governs the limit behavior. We solve it explicitly and use it in order to find an asymptotically optimal policy.
---
中文摘要：
我们研究了终身破产概率问题的风险敏感控制版本。我们考虑Black-Scholes市场中的一系列投资问题，包括风险资产和无风险资产。我们提出了一个控制极限行为的微分对策。我们显式地求解它，并使用它来寻找渐近最优策略。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Risk_Sensitive_Control_of_the_Lifetime_Ruin_Problem.pdf (245.25 KB)

2022-5-7 22:53:59 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：破产问题 Mathematical Differential Optimization Quantitative

终身破产问题的风险敏感控制*Asaf Cohen+美国密歇根大学数学系，阿伯，48109，2018年8月27日摘要我们研究了终身破产概率问题的风险敏感控制版本。我们考虑Black-Scholes市场中的一系列投资问题，包括风险资产和无风险资产。我们提出了一个控制极限行为的差异博弈。我们显式地求解它，并使用它来找到一个渐近最优策略。关键词：终身破产概率，最优投资，风险敏感控制，大偏差，微分对策。1简介对个人如何将其财富投资于高风险金融市场，以最大限度地降低其财富寿命延长的可能性（也称为终身破产的可能性）进行了广泛分析，参见[20]、[27]、[5]、[4]、[6]、[7]、[26]和[8]。这些工作自然属于实现目标的最佳财富控制领域。关于这个主题的研究可以追溯到[13]的开创性工作，并继续进行[22]、[21]、[25]、[19]、[18]、[9]、[10]和[11]的工作。在包括风险资产和无风险资产的标准Black-Scholes市场中，利息是指投资者通过将全部财富投资于无风险资产而消耗的潜在利润，即c（x）>rx，其中c（·）是消费函数，r是恒定的无风险利率，x是当前财富。当然，另一种情况无关紧要，因为通过将全部财富投资于无风险资产，财富无法减少，也无法避免破产。如果c（x）- rx≈ 0+那么，希望将终身破产概率降至最低的投资者应该将其几乎所有财富投资于无风险资产。破产的可能性很小，但却是正的。

有了这样的理解，一生中的毁灭是一件罕见而戏剧性的事件，人们也应该避免生活在接近死亡的地方*网址：www.personal。乌米奇。埃杜/~ erhan/，电邮：erhan@umich.edu+网络：https://sites.google.com/site/asafcohentau/，电邮：asafc@umich.eduruin在这个层面上，我们通过使用风险敏感控制框架来研究这个案例。对风险敏感的控制措施会严重惩罚突发事件，因此，为解决这些问题提供了一种自然的方法。我们通过大偏差技术研究了风险敏感控制。在[23]中，Pham提供了一些金融和保险大偏差的应用和方法。在研究的模型中，他考虑了当初始储备较大时的破产问题，因此破产的可能性很小。另一方面，我们研究了一个终生破产问题，这是一个不同的问题，并通过小噪声的风险敏感控制，如下所述，这需要进行不同的分析。为了严格处理上述情况，c（x）-rx≈ 0+我们考虑一系列模型，以n为索引∈ N、 这两者之间的区别仅在于消费函数，而cn（x）- rx=O（1/n），其中n是一个大参数。通过使用适当的时间尺度，我们得到了一个具有小噪声的风险敏感控制，如下所示：消费函数cnsatis fi-Wn（t）=b（~Wn（t），πn（t））dt下的标度财富过程+√nσ（~Wn（t），πn（t））dB（t），t≥ 0，~Wn（0）=x对于某个适当的b和σ，其中π是投资策略，b是标准布朗运动。目标是选择最小的πnRτna∧τndl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤τnd}#,式中，τndi是死亡时间，τnai是达到a级破产的时间，ρ是终身破产的惩罚，l是惩罚低财富的非负非递增Lipschitz函数。我们提出了一个控制限制行为的差异博弈。

我们显式地求解它，并使用它来找到一个渐近最优策略。例如[16]、[17]和[14]研究了具有小噪声的受控随机微分方程的风险敏感控制。读者参考[15]了解有关该主题的信息。有几种方法可以解决这个问题。在[17]中，弗莱明和索纳使用微分方程工具，证明了适当的初始哈密顿量序列收敛到与微分方程相关的哈密顿量。在其他要求中，假设终端成本是连续的，终端时间是固定的。在我们的例子中，该指标起到了最终成本的作用，这不仅是不连续的，在这种情况下，它还取决于财富过程的历史。此外，我们考虑了一个独立于财富过程的随机终端时间。此外，偏微分方程技术不提供总体最优策略，而我们在[14]中，Dupuis和Kushner通过采用大偏差理论的技术，探讨了最小化逃逸时间概率的风险敏感控制问题。他们的一些要求是漂移和微分系数b和σ分别是有界的，后者也是非退化的，不依赖于控制。这些要求对于证明是必不可少的。此外，他们使用固定的终端时间。在我们的模型中，除了终点时间是r an dom外，d裂谷和扩散系数被假定为Lipschitz，但只有扩散系数σ被假定为有界的。我们允许σ为零，并依赖于控制。

在f act中，在我们建议的渐近最优策略下，扩散系数可以退化。最近，在[1]和[2]中，作者考虑了中等偏差重传输体制下的排队网络问题。利用Varadhan引理的一个变种和微分对策的一些性质，证明了q ueing系统的渐近最优性。在这些论文中，受控随机过程不是离散的，但它们在分布上相对接近于小噪声受控离散。因此，分析需要一些额外的工具，主要是Skorohod映射。虽然序言中排队网络的结构引起了一些困难，但近似的差异相对简单，由带漂移的布朗运动（第二篇论文中的反射布朗运动）组成。尽管我们的证明考虑了一些度量变化的论点，并且受到了Varadhan引理的启发，与[1]和[2]相比，我们需要使用可控的扩散过程。关于随机终端时间，成本函数可以被称为风险敏感成本的贴现。上述唯一考虑了类似贴现结构的模型是[2]。然而，与上述论文不同的是，我们考虑了一个比例折扣因子。与[2]相关的微分博弈出现在[3]中，与我们的例子一样，博弈的最优解是时间齐次的。基于这一性质，我们将在未来的一篇论文中进一步分析具有小噪声差的dispentedrisk敏感控制。让我们总结一下本文的贡献：o我们提出了一个终生破产问题的风险敏感成本，它可以表示为一个已知的风险敏感成本。

我们提出了一个控制限制行为的差异博弈我们明确地解决了差异博弈问题，包括为最小值找到一个最优策略，从而在概率释放随机模型中得到一个渐近最优策略我们对扩散过程的假设比文献中通常出现的假设要弱，但我们设法找到了一个渐近最优控制。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了模型，介绍了差异博弈，并陈述了主要结果。在第三节中，我们分析了微分对策，给出了一个Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程，将微分对策的值函数描述为其唯一解，并给出了值函数的显式表达式。然后，我们给出了一个显式的最优控制的最小值，以及一个简单的控制的最大值，以实现价值函数。在第四节中，我们证明了主要结果，即在极限情况下，微分对策描述了随机模型。我们通过介绍一些常用的f符号来结束本节。符号我们表示[0，∞) 通过R+。对于f:[0，t]→ R设| f | t:=sup0≤s≤t | f（s）|。对于任意区间I，用AC（I）和C（I）表示绝对连续函数（分别为连续函数）的空间映射为ping I→ R.Wr-ite AC（I）和C（I）对于相应函数空间的子集，对于从零开始的函数。2模型和结果2。1随机模型我们考虑一系列随机模型，以n为索引∈ N指在Black-Scholes型金融市场持续交易且无交易成本的投资者。我们允许借贷和卖空。无风险资产的价格遵循dv（t）=rV（t）dt，其中r≥ 0是固定利率。

风险资产遵循几何布朗运动：dS（t）=S（t）[udt+σdB（t）]，其中u>r和σ>0是常数，（B（t））t≥0是标准的布朗运动。出于明确的原因，我们定义了一系列消费函数，以n为索引。对于任何给定的n∈ N我们假设消费函数的形式为：cn（·）=r·+ne（·），对于某些函数e:[a，∞) → R.我们假设e（·）是一个Lipshcitz函数，并且有一个正常数，比如e（·）≤ M.每n∈ N在任何给定的时间t≥ 0假设κn（t）是投资于风险资产的金额。然后财富过程满足dWn（t）=（rWn（t）- cn（Wn（t））+（u-r） κn（t））dt+σκn（t）dB（t），t≥ 0，Wn（0）=x。现在，通过使用时间标度，并通过引用Wn（·）=Wn（n·），我们得到了dWn（t）=-e（~Wn（t））+（u）- r） πn（t）dt+√nσπn（t）dB（t），t≥ 0，（2.1）~Wn（0）=x，其中πn（·）=nκn（n·）。在下面的内容中，我们将用{Ft}0表示≤T≤2T，通常是（2.1）中布朗运动产生的自然过滤的增强。从现在开始，我们将转向πnas控制。我们用∏=∏m表示所有渐进可测量过程（π（t））t的集合≥0使得|π（·）|≤ M、 我们称之为可容许策略，其中Mis是一个正常数。我们取πn∈ Π. 通过对e（·）和dπnit的假设，对于每一个x>0，上面的结果是唯一的解。每n∈ N、 用τnathe firsttime表示wna∈ （0，x），我们称之为破产水平。投资者希望在其一生中避免破产，也希望避免接近破产水平的长寿。同样，让τNd为投资者的随机死亡时间。由于时间标度，我们假设τndis与参数λn呈指数分布。

投资者的目标是最小化以下风险敏感控制成本：Jn（x，πn）：=nln E“enRτna∧τndl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤τnd}#=nln EZ∞E-λntenRτna∧tl（~Wn（s））ds+ρ1{τna≤t}dt+nln（λn），其中ρ>0代表破坏的惩罚成本，l:[a，∞) → [0，λ）是一个非递增函数。当投资者的财富接近破产水平a时，函数l代表对投资者的惩罚。显然，当财富接近a时，我们希望给予更高的惩罚。此外，由于我们希望，给定n，函数Jn将对财富（w.r.t.）进行减损，我们要求l（·） < λ. 否则，Jn将在a附近增加。该案例代表了一种情况，即生活在接近毁灭水平的惩罚主导了被毁灭的惩罚。还要注意的是，上面右边（r.h.s.）的最后一项变为零，因为n变为in finity。因此，我们将在第4节的分析中忽略它。我们总结了上述假设：假设2.1设置以下常数u>r>0，σ，M，a，λ>0。还有，让e:[a，∞) →[-∞, M] be Lipschitz和l:[0，∞) → [0，λ）是一个Lipschitz非增函数。这一假设在本文中一直有效。我们研究了→ ∞. 正如导言中所提到的，分析中的一些复杂因素会影响到草率模型的初始值和极限值。首先，成本函数的指标部分使分析复杂化，因为它取决于过程的历史，如果我们将其视为终端成本，那么它就不是连续的w.r.t.终端财富。其次，我们研究了风险敏感成本的贴现版本。据我们所知，这种公式以前只在[2]中研究过，也在排队系统结构中研究过，折扣不含n。

第三，离子效率的差异不一定是从零开始的，它取决于控制。事实上，如第2.3节所示，总体最优政策可能会变为零，因此波动系数也会变为零。因此，[17，第XI.7章]的哈密顿方法或[14]的测量方法的改变在这里不起作用。我们通过stu Diing微分对策找到了问题的渐近最优策略。我们将其表示为n→ ∞ 最优风险敏感成本函数收敛于博弈值，并且可以从博弈中的极小者最优控制中导出渐近最优策略。2.2差异博弈设置在本节中，受【17，第XI章7】和【12，定理5.6.7】的启发，我们描述了与最佳风险敏感控制问题相关的差异博弈。我们用∏=所有Lipschitz函数的∏Mthesetπ[a，∞] → [-M、 M]。给定π∈ π和ψ∈ AC[0，∞), 与初始条件x和数据ψ和π相关的状态过程由˙˙（t）=-e（φ（t））+（u）- r） π（φ（t））+σπ（φ（t））˙ψ（t），t≥ 0，（2.2）~n（0）=x。可以很容易地验证状态过程是否定义良好，参见[24，定理19.12]。注意上面和（2.1）之间的关系。游戏的回报是∈[0,∞)nZT∧τ[-λ+l（ν（t））]dt-I（T）∧ τ, ψ) + ρ1{τ≤T}o，其中τ是状态过程第一次达到破产水平a，对于每T>0，I（T，·）是一个映射C[0，T]到R的函数+∪{+∞} 定义的asI（t，ψ）：=Zt˙ψ（s）ds如果ψ∈ AC[0，t]+∞ 否则函数I是布朗运动的速率函数(√nB（t））t，as n→ ∞, 见[12，定理5.2.3]。“supT”∈[0,∞)” 是控制问题的计数因子λn的微分博弈模拟。支付在ψ上最大，在π上最小。

通过函数I的定义，我们可以将最大化子限制为ψ∈ AC[0，∞).控制π∈ π被视为反馈控制，ψ被视为反馈控制∈ AC[0，∞) 和T∈ R+是开环控制。我们称ψ为控制的路径部分，称T为控制的终止时间部分。给定x∈ [a，∞), π ∈ Π, ψ ∈ AC[0，∞), 和T∈ R+，我们定义时间T之前的成本byC（x，π，ψ，T）：=ZT∧τ[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+ρ1{τ≤T}。（2.3）游戏的价值由u（x）：=infπ定义∈πsupψ∈AC[0，∞),T∈R+C（x，π，ψ，T）。（2.4）在下面的备注中，我们证明了最大化子可以被限制在一个较小的控制集上，而不存在任何损失。在续集中，这处房产为我们服务。注2.1（1）由于l（·）<λ，因此每ψ∈ AC[0，∞) 每一个T∈ R+onehasRT∧τ[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt≤ 因此，在不损失最大化子的情况下，她可以被限制为ψ，其中τ<∞ 和T∈ {0, τ}.（2） 此外，请注意，最大化子也可以被重新限制为ψ，对于该ψ，每t>0，其状态处理满足φ（t）<φ（0）=:x，并且在τ<∞. 事实上，由于（2.3）的r.h.s.上的积分是负的，那么U是正的唯一方式就是τ<∞. 设ψ=ψπ为τ<∞. 用τx表示时间τ之前的最后一次，即φ（t）=x。然后，C（x，π，ψ，τ）=Zτ[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+ρ<Zτx[-λ+l（ν（t））-˙ψ（t）]dt+ρ=Zτ-τx[-λ+l（Фx（t））-（˙ψx）（t）]dt+ρ=C（x，π，ψx，τ）- τx），虽然我们在论文中没有使用显式大偏差参数，但出于直觉原因，我们仍然选择使用速率函数来确定成本，而不是仅使用yrt˙ψ（s）ds。式中，ψx（·）：=ψ（τx+·）和ψx（·）：=ψ（τx+·）。最后一个等式为τ-τxis是状态过程ρxH为a的起始时间。也就是说，ψx为最大化产生更大的收益，并且相关的状态过程不会向上穿过x。