终身破产问题的风险敏感控制

然后有一个常数c>0，它取决于l（·）的Lipschitz常数，它取决于a（δ）和每个t∈ [0，T]，Zτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}≤Zτa[~Wn]∧t[l（n（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} +cδ≤Zτa+δ[~nn]∧t[l（n（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa+δ[~nn]≤t} +cδ≤ Ua+δ（x）+cδ。这里我们用Ua+δ（x）表示（2.4）定义的函数，用a+δ代替a。最后一个不等式是从最优控制π开始的*由（2.6）定义，根据其显式形式，对于a被a+δ取代的微分博弈，也是最优控制。因此，EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！An（δ）#≤ （Ua+δ（x）+cδ）Qn（An（δ））。另一方面，EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t} !！（An（δ））c#≤ ρQn（（An（δ））c）。将等式中的最后两个代入（4.14），我们得出“sup0”≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}#≤ Ua+δ（x）+cδ+（ρ- Ua+δ（x）- cδ）Qn（（An（δ））c）。在下文中，我们将介绍这一点→∞Qn（（An（δ））c）=0，（4.15），从中可以得出thatlim su p EQn“sup0≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}#≤ Ua+δ（x）+cδ。（4.16）注意，根据命题3.1，对于每x≥ a、 Ua（x）作为aδ的函数是连续的→ 0英寸（4.16英寸）我们得到了≤T≤TZτa[~Wn]∧t[l（~Wn（s））- λ -（˙ψn（s））]ds+ρ1{τa[~Wn]≤t}#≤ Ua（x）=U（x），这就是我们想要证明的。我们现在显示th在（4.15）等待。

到（4.11）和（4.12）时，每t∈ [0，T]~Wn（T）- νn（t）=Zth- e（~Wn（s））- e（un（s））+（u-r） （π）*（~Wn（s））- π*（ηn（s））+σ（π）*（~Wn（s））- π*˙ψn（s）ids+ξn（t），其中ξn（t）：=√nσπ*（~Wn（t）dBn（t），t∈ [0，T]。由于e（·）和π*（·）是Lipschitz，有一个常数c>0，这样对于每t∈ [0，T]|Wn（T）- ~nn（t）|≤ cZt（1+|˙ψn（s）|）|Wn（s）- |n（s）|ds+|ξn | tBy Gronwall在等式中，它遵循|Wn（t）- ~nn（t）|≤ ecRt（1+|˙ψn（s）| ds）|ξn | t.因此，|Wn-|n|τa[~Wn]∧T≤ ecRT（1+|˙ψn（s）|ds）|ξn |τa[Wn]∧T.（4.17）对于任何K>T，考虑bn（K）=ω：ZT（1+|˙ψn（s）|ds）≤ K. （4.18）显然，（An（δ））c=（（An（δ））c∩ Bn（K））∪（（An（δ））c∩ （Bn（K））c）。从（4.13）、（4.17）和（4.18）可以得出（An（δ））c∩Bn（K）nω：|ξn |τa[~Wn]∧T≥ E-cKδo.根据Doob的鞅不等式，我们得到了等式nh |ξn |τa[~Wn]∧钛≤ 4EQnhξn（τa[~Wn]∧ T）我≤cTn。因此，Qn（（An（δ））c∩ Bn（K））≤e2cKδEQnh |ξn |τa[~Wn]∧钛≤cT-e2cKnδ。另一方面，Qn（（An（δ））c∩ （Bn（K））c）≤ Qn（（Bn（K））c）≤ QnZT|˙ψn（s）|ds>（K）- T）T≤T（K）-T）EQnhZT |˙ψn（s）| dsi，其中第二个不等式来自（4.18）。由于（4.7）和（4.8），每N的值都大于0≥ N、 我们有eqnhzt |˙ψN（s）| dsi≤ 4ρ.因此，每n≥ N、 我们有qn（（An（δ））c∩ （Bn（K））c）≤4ρT（K）- T）。固定ε>0。设K>T等于4ρT（K- （T）≤ε.取N=max{N，N}。然后每n≥ N、 我们有qn（（An（δ））c）<ε。这意味着（4.15）。致谢：我们感谢两位匿名推荐人，AE和Huy^en Pham的深刻评论，这有助于我们改进论文。我们也感谢维吉尼亚杨对这个问题的多次讨论。这项研究部分由美国国家科学基金会通过DMS-1613170资助。参考文献[1]R.Atar和A.Biswas。中等偏差状态下多类G/G/1队列的控制。《应用概率年鉴》，424（5）：2033-20692014。[2] R.阿塔尔和A.科恩。

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