带交易的多先验模型中的无差异定价与套期保值

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英文标题：
《Indifference Pricing and Hedging in a Multiple-Priors Model with Trading
  Constraints》
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作者：
Huiwen Yan, Gechun Liang, Zhou Yang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper considers utility indifference valuation of derivatives under model uncertainty and trading constraints, where the utility is formulated as an additive stochastic differential utility of both intertemporal consumption and terminal wealth, and the uncertain prospects are ranked according to a multiple-priors model of Chen and Epstein (2002). The price is determined by two optimal stochastic control problems (mixed with optimal stopping time in the case of American option) of forward-backward stochastic differential equations. By means of backward stochastic differential equation and partial differential equation methods, we show that both bid and ask prices are closely related to the Black-Scholes risk-neutral price with modified dividend rates. The two prices will actually coincide with each other if there is no trading constraint or the model uncertainty disappears. Finally, two applications to European option and American option are discussed.
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中文摘要：
本文考虑了模型不确定性和交易约束下衍生品的效用无差异估值，其中效用表示为跨期消费和终端财富的加性随机微分效用，不确定性前景根据Chen和Epstein（2002）的多先验模型进行排序。价格由正倒向随机微分方程的两个最优随机控制问题（在美式期权的情况下，与最优停止时间混合）决定。通过倒向随机微分方程和偏微分方程方法，我们证明了在修改股息率的情况下，买入和卖出价格都与Black-Scholes风险中性价格密切相关。如果没有交易约束或模型的不确定性消失，这两个价格实际上会相互吻合。最后讨论了欧式期权和美式期权的两个应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Indifference_Pricing_and_Hedging_in_a_Multiple-Priors_Model_with_Trading_Constraints.pdf (365.45 KB)

2022-5-8 00:26:47 上传

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关键词：差异定价 套期保值 Differential Indifference Mathematical

具有交易约束的多先验模型中的差异定价与套期保值*严惠文+梁格春周扬§摘要本文考虑了模型不确定性和交易约束下衍生工具的效用差异估值，其中效用被表述为一种加性随机差异效用，包括短期消费和终端财富，根据Chen和Epstein（2002）的多先验模型对不确定前景进行排序。价格由两个正倒向随机微分方程的最优随机控制问题（美式期权的最优停止时间混合）决定。通过倒向随机微分方程和偏微分方程方法，我们证明了在修改股息率的情况下，买入和卖出价格与布莱克-斯科尔斯风险中性价格密切相关。如果没有交易约束或模型的不确定性消失，这两个价格实际上会相互吻合。最后讨论了欧式期权和美式期权的两个应用。关键词：差异定价，随机差异效用，交易约束，模糊性，变分不等式，美式期权。AMS主题分类（2000）：35R60、47J20、93E201简介本文考虑了模型不确定性（模糊性）和交易约束的不完全金融市场中的衍生品定价。不完全性意味着投资者不确定市场上用于为衍生品定价的风险中性概率指标。投资者根据Chen和Epstein[4]的多先验模型对不确定前景进行排序，其中多先验效用的连续时间跨期版本是通过使用反向随机微分方程（BSDE）制定的。

不完整性的另一个来源是由于交易约束，如短期销售约束。我们采用独立定价法，将投资者的效用计算为跨期消费和终端财富的加性随机差异效用（见Duffeeand Epstein[8]）。差异估值的概念最初是由Hodges和Neuberger[15]提出的，其中衍生工具的价格是投资者愿意支付的现金金额，这样她就不会受到更大的影响*这项工作得到了中国国家自然科学基金会（编号11271143、11371155）、大学博士点专项研究基金（编号20124407110001）、浙江省国家自然科学基金会（编号Y6110775）和牛津曼定量金融研究所的支持。感谢两位匿名推荐人对我们的论文提出的宝贵意见和有益建议。+广东财经大学数学与计算机科学学院，广州510320，hwyan10@gmail.com伦敦国王学院数学系，英国伦敦WC2R 2LS，格春。liang@kcl.ac.uk§华南师范大学数学科学学院，中国广州510631，yangzhou@scnu.edu.cnexpected比没有衍生工具的情况下更有用的术语。Henderson[13]、Musie la和Za riphopoulou[23]以及Sicar和Zariphopoulou[24]等在马尔可夫环境下使用偏微分方程（PDE）方法，Hu等人[16]、Mania和Schweizer[22]以及Ankirchner等人[2]在一般非马尔可夫环境下使用BSDE方法（见其中更多参考文献）进一步发展了这一思想。另一方面，Becher[3]和Davis[7]使用对偶方法研究差异对冲策略。

然而，现有的研究大多基于这样的假设，即投资者只关心自己的最终财富，而忽略了自己的跨期消费和消费中的风险厌恶。似乎唯一的例外是Cheridito和Hu[5]，他们在Hu等人[16]的框架下，将消费置于终端财富之上。在我们的模型中，投资者不仅考虑了终端财富，还考虑了跨期消费，并且在消费中她是风险规避者，而不是终端财富。与大多数效用差异定价模型不同，在效用差异定价模型中，投资者对其终端财富的风险厌恶严重影响了差异价格，而且之前总体上比较复杂，我们模型中的差异价格独立于投资者的风险厌恶，并与风险中性价格具有显著差异。事实上，我们表明，在我们的模型中，买入价和卖出价都与风险中性价格密切相关，且股息率经过调整。这种偏差实际上是由投资者对风险中性概率测度的不确定性和tr ADIGCONSTRAINTS的存在引起的。模型不确定性是衍生产品定价的一个重要方面。事实上，期权定价模型选择的不确定性可以在期权组合估值中模拟风险，因此必须将风险（已知概率的结果的不确定性）和模糊性（不确定性）分开。在他们的开创性工作中，陈和爱泼斯坦[4]在随机微分效用的框架下引入了一个多先验模型。Cont[6]引入了不同的风险度量来量化模型的不确定性。

在差异定价框架中，Jaimungal a和Sigloch[17]引入了稳健差异定价（利用终端财富）的概念，该概念结合了风险规避和模型不确定性。他们主要使用Anders on等人[1]的思想，通过修改优化表m，使终端财富的预期惩罚效用最大化，同时在一组等效度量上最小化预期的最终效用。由于风险中性概率测度自然是一种主导定价测度，我们采用Chen和Epstein[4]的多先验模型，以纳入模型的不确定性，其中先验集合中的概率测度相当于风险中性主导定价测度。将陈安和爱泼斯坦的多先验模型应用于衍生品定价的想法并不新鲜。例如，郭等人[12]考虑了奇异期权的定价问题，尤其是巴黎期权，也在Chen和Epstein[4]的多先验框架下。然而，他们使用了超级复制的思想，而不是效用差异估值，因此他们获得的是定价界限，而不是价格。另一方面，他们更多地关注定价边界的数值解，这与我们试图在模型不确定性下建立差异定价框架的论文不同。此外，我们的模型还包括模型不确定性顶部的交易约束。实际上，这两个因素导致了我们模型中的市场不完全性。虽然模型不确定性导致买卖价格偏离风险中性价格，但我们证明，如果不存在交易约束，那么即使在模型不确定性下，买卖价格也将与风险中性价格一致。

事实上，如果没有交易约束，投资者可以在标的股票上任意投资头寸，以对冲我们独立定价设置中的模型不确定性。另一方面，如果存在交易约束，则价格将偏离风险中性价格。例如，如果期权的支付相对于标的物的价格是单调的，投资者需要持有相反的头寸，以对冲其风险敞口。卖空约束等交易约束将禁止其任意持仓，从而导致价格不同于风险中性价格。我们应该注意到，价格偏差不仅是由交易约束引起的，而且是由模型不确定性引起的。在欧式期权和美式期权的情况下，这两个事实上的风险纠缠在一起会影响投标和风险价格。当模型不确定性消失时，我们还获得了差异价格与风险中性价格的趋同率（欧洲期权的情况见命题3.5，美式期权的情况见命题4.8）。如果允许投资者在到期前的任何时间行使其期权，如在美国期权设定中，则需要修改相应差异价格的定义。在这种情况下，投资者需要比较两个具有不同时间范围的最优投资问题，并不仅选择其最优交易策略，还选择其最优行使时间。通过时间一致性，我们得出了跨期财富，它不仅包括通常的财富，还包括剩余最优消费的价值（见定义4.2）。

在马尔可夫环境下，我们还有效地利用变分不等式的Alexandrov-Bakel\'man-Pucci（a-B-P）比较原理来推导美式期权的投标和投标价格的各种性质。效用差异定价模型通常表示为两个最优投资组合问题（见（2.7）和（2.8））。具体地说，价格P由方程F（·，P（·））=G（·）和函数F和G确定，其中两个最优随机控制问题的值函数。解决这些问题有两种方法，例如BSDE方法和PDE方法。BSDE方法基于鞅最优性原理（见[16,22]）或风险敏感控制（见亨德森和梁[14]最近的一项工作），价格通过两个BSDE的解来表示。PDE方法基于动态规划原理，价格通过两个HJB方程的解来描述（见[13,23,24]）。由于BSDEs和HJB方程的复杂性，通常很难研究效用差异价格的性质。在我们的模型中，价格仍然由方程F（·，P（·））=G（·）决定，其中F和G是前向后随机方程（FBSDE）的两个最优控制问题的价值函数。在期权情形下，最优控制问题涉及最优停时问题，最优策略由最优消费、最优投资和最优停时组成。为了完全解决这些问题，我们首先分析了两个最优投资组合问题，并通过以下思想将价格表示为非线性BSDE的解。

我们通过从原始随机微分效用（SDU）中提取财富（和或有权益）来定义间接效用，将差异价格表示为具有Lipschitz连续驱动力的BSDE解。在数学上，我们将FBSDE的原始随机控制问题m转化为具有不同驱动因素的B SDE族的最大解。然后根据BSDE的比较原理，我们找到最优解的非线性BSDE，并通过相应的FBSDE表示价格。通过应用Feynman-Kac公式，我们将价格表示为qua-si线性偏微分方程（适用于欧式期权）或变分不等式（VI，适用于美式期权）的解。然后通过偏微分方程的方法，改进了价值函数的正则性，分析了价格、最优投资、消费和停止策略的性质。在本文中，我们给出了一个一般性的和技术性的证明，证明了在终端值和障碍物的正则性较低的情况下，改进了PDE或VI解的正则性。此外，我们还证明了在一般假设下选择适当的障碍物时，偏微分方程是VI的特例。由于改进了规则性，我们获得了一些如上所述的简洁结果。有了这些结果，就很容易用标准方法计算价格或从理论上分析其属性。此外，我们使用了一些偏微分方程估计来显示当模糊市场与标准市场一致时，修正价格的收敛结果。本文的组织结构如下：我们在第二节介绍了我们的差异定价和套期保值模型，并分别在第三节和第四节将其应用于两种具体情况，即欧式期权和美式期权。

附录中提供了有关PDE结果的进一步技术细节。2 T>0的固定时间水平的差异定价和套期保值模型，设W=（W，···，Wn）T为过滤概率空间上的n维布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}，P）满足通常条件，其中F是布朗运动W产生的增强过滤，P被解释为风险中性亲婴儿措施。这里上标T表示矩阵变换。该市场由一个无风险资产B和n个无风险利率r（·）组成，n个风险资产S=（S，···，Sn）T，其在风险中性概率测度P下的价格过程由SIS=Sit+Zstr（u）Siudu+nXj=1Zstσi j（u）SiudWju（2.1）为1给出≤ 我≤ n和0≤ T≤ s≤ 式中σ（·）=（σij（·））1≤i、 j≤这是波动矩阵。系数满足以下假设：假设2.1无风险利率r（·）和波动率矩阵σ（·）是连续函数，波动率矩阵σ（·）是正定义。然而，投资者对风险神经概率测度P不确定，并根据多先验模型对不确定前景进行排序，该模型最初由Chen和Epstein[4]提出。它们代表了一系列的先验知识(Ohm, FT）通过一组相当于P:Θ（Q:dQdP=exp）的概率度量-ZT|ξs|ds-ZT（ξs）TdWs！），对于ξ=（ξ，··，ξn）T∈ Ξ，其中Ξ是在compa-ct和c-onvex子集合中估值的F-适应过程集 RN包括原点0。更一般地说，密度(Ohm, Ft）定义为EP[dQdP | Ft]。

因此，Θ实际上是一组等效概率测度，其中包括风险中性概率测度作为主导定价测度。无论何时开始∈ [0，T]，代表性投资者进行跨期消费，并将剩余财富投资于无风险资产和剩余时间间隔[T，T]内的风险资产，得出其财富等式：XXt；π、 cs=Xt+ZstXXt；π、 特写-Pni=1πiuBudBu+nXi=1ZstπiuSiudSiu-Zstcudu=Xt+Zsthr（u）XXt；π、 特写- cuidu+Zst（πu）Tσ（u）dWu，（2.2）其中（π，c）是组合消费策略，c是跨时间消费率，π=（π，···，πn）T是投资于风险资产S=（S，··，Sn）T的金额，两者都在容许集∏[T，T]，{（π，c）：π∈ LF（t，t；A），c∈ LF（t，t；R+）}与LF（t，t；A），（π：F-适应，在A中取值，和EP“ZTt|πs|ds#<∞),其中A是Rn的闭d子集。注意，投资者实际上是在Q下做出决定的，而不是在P下，因为她不确定风险中性概率P。根据Girsanov的理论，W=（W，···，Wn）Twith Wj=Wj+R··ξJSD是Q下的布朗运动，而投资者在Q下的财富方程（2.2）是XXT；π、 cs=Xt+Zsthr（u）XXt；π、 特写- 铜-nXi，j=1σij（u）πiuξjuidu+nXi，j=1Zstσij（u）πiudWju=Xt+Zsthr（u）XXt；π、 特写- 铜- （πu）Tσ（u）ξuidu+Zst（πu）Tσ（u）dWu。（2.3）因此，投资组合消费策略（π，c）确实会影响投资者的财富XXt；π、 通过它的漂移术语。投资者在先验集合Θ上定义了一个加性效用，它被定义为一个随机微分效用，如Du ffee和Epstein[8]：UQt，EQ“Zτtv（u，cu）- r（u）UQudu+UQτFt#，遗赠在最后时刻T:UQT=XXt；π、 cT，其中τ∈ U[t，t]是F-在[t，t]中取值的停止时间va的集合，v（·，·）是跨时间消耗率c和XXt的时间依赖效用；π、 这是财富的过程。