指数函数下的电力欧式期权定价

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英文标题：
《European Option Pricing of electricity under exponential functional of
  L\\\'evy processes with Price-Cap principle》
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作者：
Martin Kegnenlezom, Patrice Takam Soh, Antoine-Marie Bogso, Yves
  Emvudu Wono
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose a new model for electricity pricing based on the price cap principle. The particularity of the model is that the asset price is an exponential functional of a jump L\\\'evy process. This model can capture both mean reversion and jumps which are observed in electricity market. It is shown that the value of an European option of this asset is the unique viscosity solution of a partial integro-differential equation (PIDE). A numerical approximation of this solution by the finite differences method is provided. The consistency, stability and convergence results of the scheme are given. Numerical simulations are performed under a smooth initial condition.
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中文摘要：
我们提出了一种新的基于价格上限原则的电价模型。该模型的特殊性在于，资产价格是跳跃过程的指数函数。该模型可以同时捕获电力市场中观测到的均值反转和跳跃。结果表明，该资产的欧式期权的价值是偏积分微分方程（PIDE）的唯一粘性解。用有限差分法对此解进行了数值逼近。给出了该格式的一致性、稳定性和收敛性结果。数值模拟是在光滑的初始条件下进行的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> European_Option_Pricing_of_electricity_under_exponential_functional_of_Lévy_pro.pdf (1.26 MB)

2022-6-24 06:00:03 上传

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关键词：欧式期权 期权定价 Differential Applications Quantitative

具有价格上限原则的电力过程指数函数下的欧式期权定价Martin Kegnenlezom*, Patrice Takam Soh+，Antoine Marie Bogso，andYves Emvudu Wono§2019年6月27日摘要我们提出了一种基于价格上限原则的新电价模型。该模型的特殊性在于，资产价格是跳跃过程的指数函数。该模型可以同时捕捉电力市场中观测到的均值反转和跳跃。结果表明，该资产的欧式期权的价值是偏微分方程（PIDE）的唯一粘性解。通过有限差分法提供了该解决方案的数值近似。给出了该格式的一致性、稳定性和收敛性结果。数值模拟是在光滑的初始条件下进行的。关键词：均值回复跳跃扩散、期权定价、价格上限、积分微分方程、粘度解子类M SC:60H10、60H35、65M06.1金融介绍、期权是帮助防范风险的工具。但是，很难在成熟日期之前知道期权的价值，因为为此，必须估计未来潜在期权的价值。20世纪70年代初，布莱克和斯科尔斯在期权评估方面做出了重大贡献。如果基础isa股份不支付股息，则他们构建了一个风险中性的portofolio，复制期权的获胜利润，允许在封闭公式下执行欧洲期权的理论价值。在指数L'evy Black和Scholes模型的情况下，这个公式是从贴现、统计学、随机和微分学中的一些经典结果推导出来的。

相反，在跳跃-扩散过程中，期权的估值仍然是一个开放的话题，因为额外的跳跃项使期权价格的计算复杂化。几位作者对此进行了调查，如【5】、【24】和【30】。我们可以区分这些作者使用的两种主要方法。第一种方法依赖于基于傅立叶变换的方法，由Carr和Madan【9】引入，用于定价和分析欧式期权价格。许多其他作者也遵循同样的想法来评估期权价格。其中，第1名为【10】、【14】、【22】和【3 1】。这种方法的优点在于，当特征函数可用时，计算效率高。这里的想法是应用直接贴现期望法来评估基础过程的贴现收益和风险中性密度函数的积分。连续和离散傅立叶变换成功地应用于指数L'evy模型的优先选择：经典的Black-Scoles模型（连续指数L'evy模型）、Merton跳跃扩散模型（具有有限到达率的n指数L'evy模型），方差伽马模型（这是一种指数L'evy模型，具有有限的跳跃到达率）。然而*喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。电话：（+237）699 299 181，电子邮件：kegnenlezom@gmail.com+喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。电话：（+237）699 299 181，电子邮件：patricetakam@gmail.com喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。电话：（+237）652 620 452，电子邮件：ambogso@gmail.com§喀麦隆雅温得大学数学系，邮政信箱812。

电话：（+237）699 299 181，电子邮件：yemvudu@yahoo.frfor在许多其他跳扩散过程中，即使应用L'evy-Khinchin表示来确定特征函数的解析表达式，也不可能实现。这可能是由于扩散过程的复杂性，或者两个或多个过程组合在同一个模型中。因此，人们期望用特征函数的近似值来评估期权价格。接下来的辩论是如何选择一个好的近似值。事实上，当特征函数无法明确表示时，Fouriertransform方法需要两级近似，这增加了期权估价的误差水平。为了减少近似误差，一些作者（如[2]、[6]、[11]提出了第二种方法，即基于Feynman-Kac公式的方法。该方法将风险中性估值公式与偏微分方程（PDE）的解（当模型为连续指数l'evy时）或连续l'evy过程的局部积分微分方程（PIDE）的解相关联。偏微分方程（PDE）可能很复杂，其理论分析需要新的数学工具。然而，经过一个数值近似步骤后，该解直接得出选项的值。所以，我们有一个近似水平。然而，近似的理论分析（格式的一致性、稳定性和收敛性）仍然是一个挑战。文献中使用了几种有限差分方案（参见[2]、[12]和[28]）。这些工作大多集中于当标的是由L'evy过程或指数L'evy过程驱动时的期权定价。

一些主要差异与局部积分项有关，这是因为一方面，风险中性密度的近似值通常涉及有限的求和，另一方面，局部积分项需要在理论和数值层面上进行特殊处理。我们可能还有其他困难，如期权价格的平稳性，甚至扩散系数的退化性。为了克服这种差异，Grandall和Lions[13]为PDE引入了粘度溶液的概念，更一般地说，为PIDE引入了粘度溶液的概念（参见例[2]和[6]）。准确地说，可以将积分微分算子分为局部和局部p部分，然后使用隐式步骤处理局部项，使用显式步骤处理局部项。Cont和Voltchkova【12】应用了这一思想，以获得比之前更好的期权价格近似值。在这项工作中，我们应用基于Feynman-Kac公式的方法来评估跳跃扩散模型中的期权价格，该模型代表了价格上限原则下受监管市场中的电力现货价格。实际上，在这种情况下，跳扩散过程的特征函数是不可用的。在下一节中，我们将介绍跳扩散模型并陈述主要假设。然后，我们利用电力价格的马尔可夫性，在第3节中证明欧洲期权价格解决了一个线性PI DE。在第4节中，我们应用显式-隐式格式数值计算前一节中提供的PIDE的粘性解。研究了该格式的一致性、稳定性和收敛性。

近似方法与[12]相似，只是与他们的工作相反（i）市场价格是指数evy过程和L evy过程的总和，（ii）该附加项（见方程式2）的存在在各级分析中产生了额外的差异，因为它仍然取决于过程，（iii）数值模拟中使用的参数是从喀麦隆的背景中推导出来的，并且（iv）还应注意，我们是在时间相关参数的情况下工作的。最后，在光滑初始条件下进行了me数值模拟。2电力现货价格模型我们假设基础资产风险中性动态的形式为dst=（α（t）St-β（t））dt+σtStdWt+（J- 1） Stdqt，（1）α（t）=I（t）- EF（t）和β（t）：=CP（t）+SQ（t）- FU（t），其中：Stre表示电力现货价格过程；I（t）表示通货膨胀率；EF（t）表示效率系数；σ（t）表示波动率；W代表标准布朗运动；CP（t）代表上述情况；SQ（t）表示服务质量处罚（如有）；FU（t）表示不可控成本；J表示比例随机跳跃大小；dq是泊松过程，使得：；dqt=概率为1的0- l概率dt1ldt。在以下假设下：假设1：比例随机ju mp大小J为对数正态分布，E[J]=1。因此，ln J~ N-σJ，σJ.假设2：随机跳跃大小J、泊松过程dqt和扩散dwtar是独立的。该模型的部分灵感来自Littlechild在英国受监管电信市场[23]中提出的经济原则价格上限。这一原则已被重新应用于电力市场[19]。我们将进一步假设电参数α（.），β(.) 和σ（.）是有界的。

根据跳跃扩散过程的It^of ormu la，可得出（1）的精确解为t=SeXt-Ztβ（s）外景-Xsds，（2），其中xt=Ztα（s）-σ（s）ds+Ztσ（s）dWs+Ztln Jdqs。3期权价格的偏积分微分方程本部分旨在评估受监管电力市场中期权（看跌期权或看涨期权）的价格，以及风险中性概率Q，终端收益HT，由以下公式得出：Ct=E[E-r（T-t） HT | Ft]，（3）其中r表示自由风险贴现率，t表示到期日，K表示履约价格。设（1）在T处的解，这是基础方程。HT=H（ST），H（S）=（S- K） +对于EuropeanCall或H（S）=（K- S） +用于欧洲看跌期权。根据马尔可夫性质，CtbecomesC（t，S）=E[E-r（T-t） HT | St=S]。（4） 提案3.1。假设C给出的欧式期权C：（0，T）×（0，∞) → R（t，S）7→ C（t，S）（5）为C1,2，带C类/S和C类/以S为基础，则C为偏积分微分方程：Ct（t，S）+（α（t）S-β（t））CS（t，S）+σ（t）SCS（t，S）- 钢筋混凝土（t，S）+lZRν（dx）[C（t，xS）-C（t，S）]=0（6）（0，t）×（0，∞) 终端条件C（T，S）=H（S），S>0，其中l 表示风险中性测度下Poisson过程的强度，测度ν（dx）是跳跃大小分布。证据证明包括应用It^o公式和跳跃，如【15】中所示，对鞅C（T，St）=e-rtC（t，St）。然后根据漂移项等于零的事实得出结果。通过构造，C是鞅。

将It^o公式应用于▄C，我们得到：d▄Ct=e-rt公司-rC（t，St）+Ct（t，St）+σ（t）StCS（t，St）dt+e-rt公司CS（t，St）dSt+e-rt公司C（t，JSt- ) -C（t，St- ) + （J）- 1） St公司-CS（t，St- )dqt。从（1）中，该方程等效于todCt=e-rt公司-rC（t，St）+Ct（t，St）+σ（t）StCSt（t，St）dt+e-rt公司（α（t）St-β（t））CS（t，St）dt+CS（t，S）Stσ（t）dWt+e-rt[C（t，JSt- ) -C（t，St- )]dqt。加减法lZRν（dx）（C（t，Stx）-C（t，St））dt，一个hasdCt=a（t）dt+dMt，其中（t）=e-rt公司Ct（t，St）+（α（t）St-β（t））CS（t，St）+σ（t）StCS（t，St）-rC（t，St）+lZRν（dx）（C（t，Stx）-C（t，St））anddMt=e-rt公司CS（t，S）Stσ（t）dWt+（C（t，JSt- ) -C（t，St- ))dqt,qt=qt时- lt、 现在我们证明了Mtis是鞅。因为支付函数H是L ipschitz。然后，C也是关于第二个变量S的solipschitz。I ndeed：| C（t，x）-C（t，y）|=e-（T-t） | E[H（SteXT-Xt公司-ZTtβ（s）扩展-Xsds）| St=x]-E[H（SteXT-Xt公司-ZTtβ（s）扩展-Xsds）| St=y]|≤ 总工程师-r（T-t） E[eRTtα（s）-（1/2）σ（s）ds+RTtσ（s）dWs+RTtln Jdqs]| x- y |，自e起每固定t-RTt（1/2）σ（s）ds+RTtσ（s）dws是一个鞅，我们还从假设1得到E[eRTtln Jdqs]=1，然后我们得到| C（t，x）-C（t，y）|≤ c | x- y | eRTtα（s）ds≤ c | x- y |，c=ceRTtα（s）ds。因此，可预测的随机函数Д（t，x）=C（t，xSt-) -C（t，St-) 满意度：EZTZRν（dx）|Д（t，x）| dt≤ E[ZTdtZRν（dx）c（x+1）St]≤ZRc（x+1）ν（dx）EZTStdt公司< ∞,其中，由于跳跃大小的分布ν（dx）假定为对数正态分布，因此最后一条线的质量保持不变。索引d，wehaveRRxν（dx）<∞, 因此E[RTStdt]<∞. 因此，补偿泊松积分-rt[C（t，xSt- ) -C（t，St- )]dqt是一个平方可积m鞅。因为C是L ipschitz，CS（t，.）∈ L∞和CS（t，.）L∞≤ c、 因此，EZTSt公司|CS（t，St）| dt≤ cE【ZTStdt】<∞.此外，利用等距公式和预测结果，得出如下结论：CS（t，St）Stσ（t）dw是一个平方可积函数。

因此，mt也是一个平方可积鞅，意味着Ct- mt是一个平方可积鞅。但是▄Ct- Mt=Rta（t）dt也是一个具有有限变化的连续过程，因此，从理论4.13-450in【18】来看，必须有a（t）=0 Q-几乎可以肯定，从而导致PIDE（6）。请注意，对欧式看涨期权所作的平滑性（尤其是衍生品的一致有界性）假设并未如【11】所述进行一般验证。在这种情况下，期权价格应被视为提案3.1中所述PIDE的粘度解决方案。以下命题给出了选项价格和PIDE粘度解决方案之间的联系。提案3.2。（期权价格作为粘性解决方案）由（4）定义的欧式期权的远期价值是Cau-chy问题（6）的（唯一）粘性解决方案。证据文献[2]讨论了这种抛物型积分微分方程粘性解的存在性和唯一性，其中ν是有限测度。在下文中，我们提出了一个PIDE的数值解，该解收敛于粘度解，如【12】中所证明的。4显式-隐式差分格式在本节中，我们给出了一个数值程序，用于求解命题3.1中得到的PIDE（6）。引入变量x=lnss和τ=T的变化- t和定义：u（τ，x）=erτC（t-τ、 我们得到：u（τ，x）=EH（SteXT-XT公司-τ-ZTT公司-τβ（s）扩展-Xsds）| St=性别= E[H（Yxτ）]，（7），其中Yxτ=性别+XT-XT公司-τ-RTT公司-τβ（s）扩展-Xsds。

然后，我们得到一个关于u的PIDE，由下式给出：uτ=L u，on（0，T）×Ou（0，x）=H（性别），x∈ O、 u（τ，x）=0，x∈ Oc，（8）式中O R是一个不一定有界的开区间，L u（τ，x）=α（T-τ) -σ（T）-τ) -β（T-τ） Sux（τ，x）+σ（T-τ)ux（τ，x）+lZR[u（τ，x+y）- u（τ，x）]glnJ（y）dy，其中glnJ表示lnj的密度函数。该方法的主要思想是将操作符L分成两部分，如【11】所示。我们用有限差分近似代替微分部分，用梯形求积近似代替积分部分。我们用一个显式的时间步来处理积分项，以避免与积分项的离散有关的稠密矩阵的反演问题。然后，我们将PIDE（8）重写如下：uτ=（LD+LJ）u，on（0，T）×Ou（0，x）=H（性别），x∈ O、 u（τ，x）=0，x∈ Oc，（9），其中dU（τ，x）=α（T-τ) -σ（T-τ) -β（T-τ） Sux（τ，x）+σ（T-τ)ux（τ，x），（10）LJu（τ，x）=lZR[u（τ，x+y）- u（τ，x）]glnJ（y）dy.（11）因此，我们使用以下显-隐时间步格式获得近似问题：un+1- 联合国t=LDun+1+LJun。（12） 在显示该格式的稳定性和应用离散化之前，必须将方程局部化到有界域。4.1有界域的局部化为了数值求解Cauchy问题（9），我们首先将空间域扩展到有界区间(-Al，Ar）。通常这会导致在x=-Aland x=Ar。但在这里，由于存在积分项，我们处于椭圆曲线中。因此，我们需要扩展函数u（τ，.）到子集{x+y:x∈ (-Al，Ar），y∈ suppglnJ}，其中suppglnJ=R+，是glnJ的支持。