马尔可夫定价核的马丁积分表示

有时，马林边界点可视为D中的曲线，用t 7表示→ y（t），即k（x；γ）=limt→∞k（x；y（t））。对于D中的有界连通开集U，定义ρ：（D）∪) ×（D）∪) → [0, ∞) 由ρ（z，z）=ZU | k（x；z）- k（x；z）| 1+|k（x；z）- k（x；z）|dx。定理5.1。ρ是（D）上的一个度量∪). 由ρ导出的D上的相对拓扑y等价于欧几里德拓扑。在ρ下，D是开放的， 是D和（D）的边界∪) 它很紧凑。（D）上的拓扑∪ ) 通过ρ，我们称之为马丁拓扑。我们将使用符号“Lim”来表示马丁拓扑中的收敛，并将其与用“Lim”表示的欧几里德拓扑中的收敛区分开来。u中的一个函数∈ 当v∈ CGV和CGV≤ u、 对于某些常数c，v=cu∈ （0,1）.一个点γ 如果k（x；γ）是极小的，则称为极小马丁边界点。所有最小马丁边界点的集合称为最小马丁边界，并用∧表示。以下定理被称为马丁积分表示定理。定理5.2。让G是次临界的。然后每小时∈ CG，在边界∧中的最小集市上存在一个唯一的单位度量u，使得h（x）=Z∧k（x；y）duh（y）。相反，对于最小边界∧，h（x）上支持的每个有限度量u≡Z∧k（x；y）du（y）以CG表示。推论5.3。U∈ 当且仅当某些γ的u（x）=k（x；γ）时，cg最小∈ ∧5.2容许边界我们对一个容许函数感兴趣，它是Lh=-λh如此之多λt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）是鞅。为此，我们排除了不产生鞅的正解。设τDbe为进程从域D退出的时间。

然后，它是一个鞅，当且仅当由xth引起的扩散过程没有爆发，即Prob（τD=∞) = 1.符号h将用于解决Lh=-λh，h>0，符号φ将用于元素集合γ的容许函数∈ 使k（x；γ）可容许的∧称为G的可容许极小边界，并用Γ表示。以下定理是本文的主要结果。定理5.4。（马尔可夫定价核的马丁积分表示）对于任何可容许函数φ，在可容许极小边界Γ上存在唯一的有限测度Φ，使得φ（x）=ZΓk（x，y）dΓφ（y）。相反，对于Γ上支持的每个有限度量u，φ（x）≡ZΓk（x，y）du（y）是一个容许函数。任何可容许函数都可以写成关于可容许极小马丁边界上的有限测度的可容许极小函数的积分。6限制分配在本节中，我们将在允许边界Γ上展示度量u的经济或财务意义。当一个过程是正循环的时，Xtas t的有限分布接近完整性的意义是明确的。然而，如果XT是暂时的，那么限制分布在通常意义上并不存在。在研究极限行为时，这种现象使我们更难研究瞬态过程。马丁代表有助于克服这一点。事实上，度量u可以被视为限制分布的“扩展含义”。定理6.1。让γ∈ 设k（x；γ）为CG中相应的可容许极小函数。设P是关于k（x；γ）的变换测度。

然后极限→∞Xt=γ= 1.这意味着，当市场的主函数是可容许的最小函数时，状态变量XT的长期行为渐近等于相应的马丁曲线。我们现在研究任意主函数的长期行为。我们知道，根据定理5.4，任何主函数都可以写成关于有限测度u的可容许最小函数的积分。在这种情况下，状态变量在客观测度下的长期分布可以用以下方式表示。定理6.2。设φ为主函数，设Φ为对应的有限测度。用P表示关于φ的转换度量。然后极限→∞Xt∈ A.= φ-1（x）·ZAk（x；y）dΓ中任何可测集合A的φ（y）。总之，度量u是市场参与者对客观度量的长期信念。有关限制分布的更多详细信息，请参阅Pinsky。7罗斯恢复奥莱明这一节，我们从马丁表示的角度研究罗斯恢复定理。罗斯恢复定理的目的是在假设1、2和3的前提下，在假设XT的Q动态和利率函数r（·）事先已知的情况下，找到客观度量。7.1多维状态变量我们首先探索具有多维状态变量的罗斯恢复定理。根据定理4.1和4.3，我们有以下命题。建议见7.1。如果存在，这里有一个唯一的容许对（β，φ），使得XT在变换测度下与该对（β，φ）对应是循环的。定理7.1。如果根据客观标准，XT是反复出现的，那么恢复是可能的。在用多维状态变量Xt研究Ross恢复时，由于以下两个原因，t r回复是不可避免的。

首先，如果XT中至少有一个组件是瞬态的，那么进程XT就是瞬态的。在实际金融市场中，状态变量的至少一个组成部分通常是暂时的。例如，考虑一个状态变量xt=（X（t），X（t），X（t）），其中X（t）是标准普尔500指数，X（t）是X（t）的波动率，X（t）是利率过程，在这种情况下，X（t）在客观指标下是暂时的。这一观察结果为研究瞬时恢复提供了一个状态变量示例。第二，即使XT是组件式的循环，XT也可能是暂时的。更准确地说，即使每个分量Xi（t）对于所有i都是重复的∈ {1,2，··，N}，过程本身可能是重要的。众所周知，N维布朗运动bt=（B（t），B（t），·BN（t））对N是瞬态的≥ 3尽管XT在成分上是反复出现的。考虑状态变量Xt=（X（t），X（t），X（t）），其中X（t）是一只股票的波动性，X（t）是另一只股票的波动性，X（t）是利率。我们希望找到一个客观的衡量标准，使得每一个XT都是按组成部分重复出现的，因为利率和波动在实际市场中是重复出现的。这一点表明，当状态变量为多维时，研究瞬态恢复是不可避免的。关于多维瞬态状态变量Xt的罗斯恢复定理的研究很少。我们认为这是因为多维瞬态生态更难研究。从这个意义上说，马丁的表现可以是一个聪明的想法。定理7.2。如果状态变量在客观测度下是瞬态的，则Rossrecovery等价于选择一个带有β的数字β≤β和β上的有限度量单位u。

在这种情况下，对市场前景的长期信念由P表示极限→∞Xt∈ A.= φ-1（x）·ZAk（x；y）dΓ中任何可测集合A的φ（y）。任何确定客观度量的信息都包含主因子β和最终度量u。相反，最小边界上的一个数和一个有限测度决定了客观测度。这个定理意味着，当状态变量XT在目标测度下是瞬态的时，我们需要知道在目标测度下，XT在Mart in拓扑中的β值和极限分布。在客观测量下，人们可能知道马丁地形图中X的“极限分布”，但偶尔也会知道“极限分布”。为了了解这一点，我们研究了以下示例。例7.1。（多维布朗运动）我们研究了当状态变量是（标度）多维布朗运动时，马丁表示如何应用于罗斯恢复。有关详细信息，请参见[20]。Xt=√2 Wt=√2（W（t），··，WN（t））。假设利率为常数且β值已知。设λ：=-r+β。相应的二阶方程为Gh=h+λh=0。如果λ=0且N≥ 3，则马丁边界仅由一个点组成。如果λ<0，则SN-1是马丁边界，即实体中的球体。对于任何γ∈ 锡-1={z∈RN:|z |=1}，k（x；γ）=e√-λγ·xis对应的最小函数和对应的马丁曲线为t7→ γt。可以证明，每个马丁边界都是一个可容许的极小边界。因此，根据定理5.4，φ是可容许的，当且仅当SN上存在有限测度u时-那么φ（x）=ZSN-1e√-λγ·xdu（γ）。假设N=2，利率为r=1，λ=-1 + β < 0.

设X（t）为股价的对数，设X（t）为汇率的对数。在风险中性测度下，假设X（t）=√2 W（t）和X=√2W（t）。我们有理由相信，在客观衡量标准下，X（t）随着t的变化而变化，X（t）是反复出现的。这意味着，在目标测度下，XT的极限分布在拓扑中的MART中是isP极限→∞（X（t），X（t））=γ= 式中，γ产生马丁曲线t7→ （t，0）。很明显，这个P是唯一一个能够满足合理信念的转化度量。相应的最小函数是φ（x）=e√-λxx=（x，x）。Bt:=Wt- (√-λt，0）是关于φ的变换测度下的布朗运动。因此，我们得到了在客观测度下，XtfollowsXt=√2 Wt=√2 Bt+(√-2λt，0）。例如，假设N=2，利率为r=1，λ=-1 + β < 0.设X（t）为一个股价的对数，设X（t）为另一个股价的对数。在风险中性测度下，假设X（t）=√2w（t）和X=√2W（t）。这是一个合理的猜测，在客观度量下，当t接近于完整性时，bot h X（t）和X（t）进入完整性。满足此条件的容许函数的数量是有限的，因此我们需要更多信息来恢复y。假设长期比率q=limt→∞X（t）X（t）已知为p，q>0，p+q=1。这意味着在客观测度下，X在马丁拓扑中的极限分布是极限→∞（X（t），X（t））=γ= 式中，γ产生马丁曲线t7→ （pt，qt）。显然，这个P是唯一一个满足条件的转换度量。相应的最小函数是φ（x）=e√-λ（px+qx），其中x=（x，x）。因此，在客观尺度下，XtfollowsXt=√2 Wt=√2 Bt+(√-2λpt，√-2λqt）。例7.2。

（具有常数系数的状态变量）任何具有常数系数的椭圆算子都可以简化为 + λ、 其中λ是一个常数，通过适当的变换保持Mart在边界上。因此，MARTIN bo undary要么是球体SN-1或一点。通过同样的论证，存在一个唯一的容许函数，使得在相应的变换测度下，X是分量递归的。在本例中，马丁边界是一个点。存在一个唯一的容许函数，使得X（t）在t接近于完整性时变为完整性，并且当β值已知时，X（t），·······，XN（t）在相应的变换测度下（成分）递归。在这种情况下，t7→ （t，0，··，0）isa corr-espo-nding-Martin曲线。存在一个唯一的容许函数，使得X（t），···，Xk（t）趋于一致，接近于长期比率pi+1=limt的一致性→∞Xi（t）Xi+1（t）表示i=1,2，·k- 当β值已知时，1和Xk+1（t），····，XN（t）在相应的变换度量下（分量）是循环的。在这种情况下，t7→ （pt，···，pkt，0，···，0）是已知β值时的相应马丁曲线。例7.3。（二维OU过程）这个例子归功于[7]。考虑一个二维O rnstein-Uhlenbeck过程。dXt=dWt+BXtdt，其中B是2×2非奇异矩阵。我们假设利率是一个常数，与β值相等。对应的二阶方程是gh（x）=h（x）+<Bx，h（x）>=0。尽管XT是一个高斯过程，但直接计算马丁边界似乎并不容易。

如果B的两个特征值都有非正实部，则Xt是循环的。发电机G至关重要。如果B的两个特征值都有正实部，则最小马丁边界为，最小马丁曲线的形式为7→ γ的eBt·γ∈ 设CB:=R∞E-疯牛病-B*由zand z表示B的两个特征值。定义kb（x，t；γ）：=e（z+z）texp-（eBtγ- 十）*C-1B（eBtγ）- 十）- γ*C-1γ.然后，求出对应于γ的最小函数∈ SiskB（x；γ）=c-1γZ∞-∞KB（x，s；γ）ds，其中cγ=R∞-∞KB（0，s；γ）ds。当B有一个正特征值和一个负特征值时，情况更复杂。设z<0<z。通过改变坐标的正交变化，B可以变成三角形，因此我们可以假设B=zb z.定义B=-zb z,然后可以证明，对于mt 7，最小Martin边界是最小Mart in曲线→ e^Bt·γ代表γ∈ S.对应于γ的极小函数∈ Sisk^B（x；γ）=^c-1γZ∞-∞K^B（x，s；γ）ds，其中^cγ=R∞-∞K^B（0，s；γ）ds。总之，马丁边界要么是球体SN-1或一点。让我们批评一下。通过同样的论证，存在一个唯一的容许函数，使得X（t）到单位，s（t）接近单位，并且当β值已知时，X（t），···，XN（t）在相应的变换测度下（分量）是循环的。在这种情况下，t7→ （t，0，·，0）是对应的马丁曲线。存在一个唯一的容许函数，使得X（t），···，Xk（t）趋于一致，接近于长期比率pi+1=limt的一致性→∞Xi（t）Xi+1（t）表示i=1,2，·k- 当β值已知时，1和Xk+1（t），····，XN（t）在相应的变换度量下（分量）是循环的。在这种情况下，t7→ （pt，···，pkt，0，···，0）是已知β值时的相应马丁曲线。根据这些观察，我们得到以下定理。定理7.3。

让G是次临界的。假设马丁边界是SN-1.如果X（t）goesto in finity和X（t），···，XN（t）在客观指标下反复出现，则恢复是可能的。现在我们将注意力转移到主因子β的选择上。当XT是瞬时的，为了恢复客观度量，我们面临一个确定β值的问题。我们如何选择价值？一种方法是使用债券的长期收益率，这是由利姆特确定的→∞-t·log方程-Rtr（Xs）dsi.参考文献参见[17]和[23]。我们可以使用经验数据来计算β。发现β对pic在金融和经济方面具有重要意义。有大量的文献研究和理论与实践方法的发现；班萨尔和亚隆[1]，布里登[4]，坎贝尔和科克伦[5]。通过这些方法，我们可以获得β7.2一维状态变量的适当经验数据。我们探索了一维状态变量Xt的罗斯恢复定理。在这种情况下，马丁边界非常简单，因此可以很容易地分析罗斯恢复。我们可以从所有可行的复苏中挑选出一种独特的复苏，这种复苏也具有经济意义（接近一个边界）。关于不使用马丁理论的一维情况的基本方法，请参阅[19]。定理7.4。设N=1和G=L+β为次临界。那么马丁最小边界是∧={-1, 1}.分别用a和b表示XT范围的左边界和右边界y。由最小函数k（x；1）诱导的微分过程是瞬态的，并进入右边界b。很明显，k（x；1）是CG中唯一一个在t到达单位时诱导扩散过程向右边界移动的函数。类似地，最小函数k（x；-1） 是瞬变的，并到达左边界a.定理7.5。（瞬时恢复）假设我们知道β值，让G=L+β为次临界值。

如果只有k（x；1）和k（x；-1） 是可容许的，那么我们可以从风险中性测度中恢复客观测度。我们研究了另一种短暂恢复的方法。当主f因子β已知时，如果它存在，则存在一个唯一的容许函数，使得当t在相应的变换测度下接近完整时，XT进入右（或左）边界。相应的马丁边界点为{1}（或{-1}).定理7.6。（瞬时恢复）假设我们知道β的值。如果在客观测度P下，当t接近完整性时，XT到达右边界（或左边界），那么我们可以从风险中性测度中恢复客观测度f。当状态变量是股票价格时，这个定理很有用。股票价格的左右边界为0和∞, 分别是（例如，布莱克-斯科尔斯模型）。股票价格过程通常在客观测度下趋于一致，因此当β值已知时，我们可以恢复客观测度。如果我们在客观尺度下达到两个边界，我们需要更多的信息来恢复。设p，q为两个正数，p+q=1。然后，如果存在，则存在一个唯一的容许函数，使得XT以概率p到达左边界，XT以概率q到达右边界{-1,1}满足度u(-1） =p和u（1）=q.8现金流的长期行为。调查了[2]中现金流的长期衰减（或增长）率。在这一部分中，我们将从马丁尼代表的角度来研究他们的工作。建议见8.1。假设G是次临界的，let（D）∪) 是对应的空间。设φ为容许函数，用φ表示相应的测度。