马尔可夫定价核的马丁积分表示

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英文标题：
《The Martin Integral Representation of Markovian Pricing Kernels》
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作者：
Hyungbin Park
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The purpose of this article is to describe all possible beliefs of market participants on objective measures under Markovian environments when a risk-neutral measure is given. To achieve this, we employ the Martin integral representation of Markovian pricing kernels. Then, we offer economic and financial implications of this representation. This representation is useful to analyze the long-term behavior of the state variable in the market. The Ross recovery theorem and the long-term behavior of cash flows are discussed as applications.
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中文摘要：
本文的目的是描述在马尔可夫环境下，当给出风险中性度量时，市场参与者对客观度量的所有可能信念。为了实现这一点，我们使用马尔可夫定价核的马丁积分表示。然后，我们提供这种表述的经济和财务影响。这种表示法有助于分析市场中状态变量的长期行为。作为应用，讨论了罗斯恢复定理和现金流的长期行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> The_Martin_Integral_Representation_of_Markovian_Pricing_Kernels.pdf (199.71 KB)

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关键词：马尔可夫 积分表 Presentation Mathematical Applications

马尔可夫模型的马丁积分表示*纽约大学库兰特数学科学研究所注册日期：2014年11月25日第一版：2015年4月1日摘要本文的目的是描述当给出风险中性度量时，市场参与者对马尔科夫环境下客观度量的所有可能信念。为了实现这一点，我们使用马尔可夫定价核的马丁积分表示。然后，我们讨论这一代表性的经济和财务影响。这种表述用于分析市场中状态变量的长期行为。罗斯恢复定理和cas-h-flows的长期行为作为应用进行了讨论。1导言反融资理论涉及两个相关的概率模型：风险中性度量和客观度量。风险中性指标决定或有目标的市场价格。索赔的价格是预期的贴现现金流，预期为风险中性。它不同于客观指标，客观指标描述了市场的实际随机动态，或者至少是参与者对市场的信念。目标测度上的定价核（或数值）由风险中性测度和目标测度之间的关系确定。我们用Lt表示定价核的倒数。在本文中，将在定价核中假设一种特殊形式，称为马尔可夫结构；Lt=eβtφ（Xt）φ-1（X）对于某些正函数φ，实数β和马尔可夫扩散状态变量Xt。φ函数被称为市场的主函数。这个马尔可夫结构*hyungbin@cims.nyu.edu, hyungbin2015@gmail.c在资产定价理论的许多研究中，定价核被广泛接受。

例如，在[4]，[15]中基于消费的资本资产定价模型（CCAPM）中，pricingkernel具有马尔可夫结构。本文的目的是描述在马尔可夫环境下，当给出风险中性度量时，市场参与者对客观度量的所有可能信念。为了实现这一点，我们采用了马尔可夫核的马丁积分表示。然后，我们讨论这种代表性的经济和财务影响。这种代表性有助于分析市场中状态变量的长期行为。作为应用，讨论了罗斯恢复定理和现金流的长期行为。我们将证明主函数可以由以下两个性质表征。首先，β和φ满足以下二阶偏微分方程（1.1）NXi，j=1aij（x）ijφ（x）+NXi=1ki（x）iφ（x）- r（x）φ（x）=-βφ（x），其中Xt和r（·）满足第2节中的假设1、2和3。第二，eβt-Rtr（Xs）dsφ（Xt）φ-1（X）是风险中性测度下的鞅。任何满足两个性质的函数φ都将被称为容许函数，并且可以作为主函数。因此，描述客观度量的问题转化为确定可容许函数的问题。马丁积分表示理论有助于描述容许函数。任何容许函数φ都可以用φ（x）=ZΓk（x；y）dΓφ（y）表示，其中k是马丁核，Γ是最小边界上的容许马尔特，Γφ是Γ上相应的有限测度。相反，对于Γ上支持的任何有限度量u，φ（x）≡ZΓk（x，y）du（y）是一个容许函数。综上所述，对Γ的客观度量和有限度量之间存在一对一的对应关系。

每个客观指标都可以通过Γ上相应的确定指标来确定。这种表示有助于分析客观测度下状态变量的长期行为。当XTT在客观指标下进入细化时，XTT的“极限分布”可以用相应的指标u来描述。如果一个过程是正循环的，那么极限分布的意义是明确的。然而，如果X是暂时的，那么通常意义上的极限分布并不存在。在研究长期行为的同时，这种现象使瞬态过程更难研究。马丁表示法有助于克服这一问题。事实上，度量u可以被视为限制分布的“扩展含义”。我们将在第6节中看到这个主题。作为应用，罗斯恢复定理将在第7节中讨论。最近，许多作者研究了回收文献中的马尔可夫定价内核。Ross[24]认为，在马尔可夫结构下，从风险中性度量中唯一确定客观度量是可能的。他假设t是一个状态变量，在离散时间t上有无数个状态∈ 作者综合运用了经济论证和数学分析。根据风险中性度量确定马尔可夫环境下客观度量的理论称为罗斯恢复理论。许多作者将原始的R oss恢复定理推广到具有时间齐次马尔可夫扩散过程的连续时间集，该过程具有状态空间R或RN。他们发现（β，φ）满足上述二阶微分方程（1.1）。因此，恢复定理转化为一个问题，即寻找φ（·）>0的特定微分方程的特定解对（β，φ）。

如果这样的解决方案对是唯一的，那么我们可以成功地恢复客观度量。不幸的是，这种方法显然无法实现恢复，因为这样的解决方案对从来都不是唯一的。我们在第4节讨论这个问题。许多作者将罗斯模型推广到连续时间环境，并面临非唯一性问题。为了克服非唯一性问题，他们在模型上使用了更多的条件，使得微分方程（1.1）有一个满足条件的唯一解对。Carr和Yu[6]假设该过程是一个有界区间上的一维时间齐次马尔可夫扩散，在两个端点都有规则的边界。Dubynskiyand Goldstein[9]研究了带有反射边界条件的马尔可夫扩散模型。瓦尔登[25]将Carr和Yu的结果推广到XT是无界过程的情况。瓦尔登证明，如果过程在客观条件下是重复的，那么恢复是可能的。Qin和Linetsky[23]证明，如果在客观测度下XT是重复的，Mokovian-Borel-rightprocess XT的恢复是可能的。Borovicka、Hansen和Scheinkman[2]表明，如果过程在客观测度下是随机稳定的，则恢复是可能的。Borovicka、Hansen和Scheinkman[2]、Qin和Linetsky[23]以及Walden[25]的论文在Xt上假设了一个共同的条件。具体而言，XTI在客观衡量标准下再次出现。该条件的数学原理是克服微分方程（1.1）的非唯一性问题。事实上，如果存在，方程（1.1）有一个唯一的解对（β，φ）满足这个条件。我们将在第7节中回顾这一点。有一些关于瞬态过程Ross恢复的研究。

Par k【19】证明，如果已知β，并且在客观测度下X不被吸引到左（或右）边界，则一维马尔可夫扩散X的恢复是可能的。作者还以图解的方式理解了罗斯恢复定理。在本文中，作为Martin积分表示法的一个应用，我们将研究在客观测度下瞬时的多维Makovian扩散恢复。在研究多维过程时，我们首先讨论为什么短暂恢复是不可避免的。然后，我们将证明Ross恢复等价于选择一个数β和一个有限测度uo nΓβ，其中Γβ是最小边界中相应的容许值。对于另一个应用，我们在第8节中研究了现金流的长期行为。Borovicka、Ha nsen和Scheinkman在[2]中研究了现金流的长期衰减（或增长）率。在这篇文章中，我们从马丁代表的角度来研究他们的工作。以下是本文的概述。我们首先在第2节中建立了马尔可夫经济模型，然后在第3节中研究了风险中性度量和客观度量之间的关系。第4节探讨了重现性/瞬时性的概念。第5节，我们研究了马尔可夫定价核的马丁积分表示。状态变量的长期行为见第6节。第7节，作为马丁理论的应用，讨论了罗斯恢复。此外，我们将在第8节探讨现金流的长期行为。最后一部分对本文进行了总结。2马尔可夫定价核风险中性金融市场定义为概率空间(Ohm, F、 Q）具有无量纲标准布朗运动Wt:=（W（t），W（t），···，WN（t）），过滤系数F=（Ft）∞t=0由Wt生成。

本文中的所有过程都被假定为适应过滤。Q被称为该市场的风险中性度量。我们假设市场中存在一个状态变量XT和一个短期利率过程RTI。设P是市场上关于风险中性测度Q的任何等价测度。在本文中，测度P起到了客观测度的作用。假设3中Q和P之间有一个特殊的关系。将Radon Nikodym导数b设置为∑t:=dQdP我们知道，1/1∑是Q下的鞅ale。利用鞅表示定理，我们可以用SDE格式∑t=∑tρt·d对于某些ρt。众所周知，由（2.1）dBt定义的b=-ρt·dt+dwt是P.假设1下的N维布朗运动。短期利率由Xt决定。更准确地说，有一个连续的正函数r（·），使得rt=r（Xt）。通过Lt=eRtr（Xs）ds/σt确定定价核的倒数。然后（2.2）dLtLt=（r（Xt）+ρt |）dt+ρt·d Bt=r（Xt）dt+ρt·dwt。我们定义了一个定价运算符Ptby（2.3）Pt（f）：=EQhe-Rtr（Xs）dsf（Xt）i.假设2。状态变量Xt=（X（t），X（t），···，XN（t））是一个满足以下随机微分方程的N维时间齐次马尔可夫扩散过程。dXi（t）=ki（Xt）dt+σi（Xt）·dwt，对于i=1，2，··，N，其中σi（·）=（σi1（·），σi2（·），··，σiN（·））。设aij:=Pkσikσkj。我们假设pricingoperator在域D上引导极小的生成器L RNLh（x）=NXi，j=1aij（x）ijh（x）+NXi=1ki（x）ih（x）- r（x）h（x）满足aijand Kia对于所有i，j on D和thatPi是连续的，jaij（x）vivj>0对于所有x∈ D和v∈ 注册护士- { 0}.假设3。（马尔可夫定价核）假设Q和P之间的关系由正函数φ决定∈ C（RN）和一个数β。

更精确地说，LTI由（2.4）Lt=eβtφ（Xt）φ表示-1（X）。等价地，∑写了再见-βt+Rtr（Xs）dsφ-1（Xt）φ（X）。在这种情况下，我们说β，φa分别是关于测度p的p ri ncipal因子和主函数。这对（β，φ）被称为与度量P相对应的主对。例如，CCAPM的标准参数表示pricingkernel由t=eβtU′（c）U′（ct）表示，其中U是代表性代理的可用性，β是折扣因子，CTI是聚合消费过程。3转化测度在本节中，我们研究转化测度的概念。首先，我们看到主对满足一个二阶偏微分方程。将Ito公式应用于（2.4），我们得到了DLTLT=βdt+NXi，j=1aij(ijφ）φ-1+NXi=1ki(iφ）φ-1.（Xt）dt+NXi=1(iφ）φ-1.我！（Xt）·dw与（2.2）相比，我们知道dltlt=r（Xt）dt+ρt·d Wt。通过比较这两个方程，我们得到（3.1）Lφ（x）=-βφ（x），ρt=NXi=1(iφ）φ-1.我！（Xt）=σ*·φφ（Xt）。定理3.1。设（β，φ）为主对。然后（β，φ）满足Lφ=-βφ.然而，任何h>0的解对（λ，h）都不能作为主对。参考下面的定理3.2。Transfor med测量值的定义如下。设（λ，h）为任意解对Lh=-λh，h>0。很容易检查eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）是Q下的局部鞅。当这是一个鞅时，（λ，h）可以通过将Radon-Nikodym导数设为eλt来导出一个新的测度-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）。这项新措施可以作为一项客观的措施。定义3.1。我们说一个解对（λ，h）为lh=-λp是容许对，或者我们说h是关于λ的容许f函数，如果eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）是鞅。定理3.2。主函数是容许函数。

相反，可容许函数可以用作主函数。定义3.2。设（λ，h）为容许对。由风险中性测量Q通过Radon Nikodym导数·dQ获得的测量值Ft=eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）称为关于容许函数h或容许对（λ，h）的变换测度。我们通过（2.1）和（3.1）得到以下命题。建议见3.1。由DBT定义的过程BTT=-σ*·啊（Xt）dt+dwt是关于h的变换测度下的布朗运动。此外，XtfollowsdXi（t）=基爱·啊（Xt）dt+σi（Xt）·dBtwhere ai=（ai1，·aiN）。即使当eλt-Rtr（Xs）dsh（Xt）h-1（X）不是鞅，我们可以考虑与运算符l+a对应的微分过程·hh·其中L=L+r定义3.3。与运算符L+a相对应的扩散过程·hh·被称为由h.4重现和瞬变引起的扩散过程。作为一个数学预备，我们回顾了重现/瞬变和临界之间的关系。本节归功于[21]。为了方便起见，我们把G=Gλ=L+λ。必要的=H∈ C（D）| Gh=0，h（·）>0.定义4.1。我们说（i）G是次临界的，如果它具有格林函数，（ii）G是临界的，如果它不是次临界的，但cg不是空的，（iii）G是超临界的，如果它既不是临界的，也不是次临界的。定理4.1。如果G是临界的，那么cg是一维的。我们感兴趣的是Lh=-λh与正函数h.定理4.2。存在一个数值β>0，即L+λ对于λ<β是亚临界的，对于λ>β是超临界的，对于λ=β是临界的或亚临界的。r（·）是非负的假设对于这个定理是必要的。请参见Pinsky第148页以获取证据。因此，Lh=-λh始终是h>0的解对（λ，h）。我们将临界性的概念与重现性和反应性的概念结合起来。

对于RN中的o笔集U，我们设置σU:=inf{t≥ 0 | Xt/∈ U} 。定义4.2。如果Probx（σB（y）<∞) = 1对于所有x，y∈ D和>0。定义4.3。对于所有x，扩散过程Xton D称为瞬态if∈ D、 Probx（Xtis最终在Dn中）=1，对于所有n=1，2，··，其中{Dn}∞n=1是一系列满足Dn的域 Dn+1和Dn Dn+1和∪∞n=1Dn=D。众所周知，扩散过程要么是周期性的，要么是短暂的，但不能两者兼而有之。临界性和次临界性分别与重现性和瞬时性密切相关。定理4.3。如果G是临界的，那么Xt在相应的变换测度下是循环的。如果G是次临界的，那么在相应的变换测量下，Xt是瞬态的。5马丁积分表示作为一个数学预备，我们回顾了马丁积分表示定理。本节的目的是理解定理5.4。这一节的大部分内容被引用到Pinsky[21]5.1中，Martin kernelAssume认为G是次临界的，并用G（x，y）表示格林函数。对于固定ξ，定义马丁内核byk（x；y）=G（x，y）G（ξ，y），y6=x，y6=ξ，0，y=ξ，x6=ξ，1，y=x=ξ。序列{yn}∞n=1，在D中没有累积点，当n接近所有x的极限时，如果k（x；yn）收敛，则称为马丁序列∈ D.众所周知，limitlimn→∞k（x；yn）在CG中。如果{yn}∞n=1和{y′n}∞n=1是Martin序列和limn→∞k（x；yn）=limn→∞k（x；y′n），则两个马丁序列称为等价t。这样的等价类集合称为马丁边界，并用. 马尔丁边界上的一点用γ表示。对应于γ的cg元素由k（x；γ）表示，t为，k（x；γ）=limn→∞k（x；yn），其中{yn}∞n=1是等效等级γ的任何代表。