具有奇异终端条件的BSDE的极小上解

实际上，通过柯西-施瓦兹不等式f（t，y，ψ）- f（t，y，φ）≤ZZ（ψ（z）- φ（z））κy，ψ，φt（z）u（dz）≤ kθkLukψ- φkLu。反过来，sincef（t，y，φ）- f（t，y，ψ）≤ZZ（φ（z）- ψ（z））κy，φ，ψt（z）u（dz），我们得到f（t，y，ψ）- f（t，y，φ）≤ kθkLukψ- φkLu。备注3（关于A5）根据条件A3和A5，过程1/ηq-1必须在L（（0，T）×中Ohm)EZTηq-1tdt<+∞. （4） 让我们只提一下，在A2中只可以假设可积性w.r.t.t.s.（见[5]，备注4.3）。在本节中，我们的主要结果可以总结如下。定理1在假设（A）下，存在一个极小上解（Y，ψ，M）到（1），且具有奇异的终端条件YT=ξ。为了证明定理1，我们按照[3]中的方法进行截断。这个结果的完整陈述和证明分为命题1、命题2、命题3和命题4。对我来说≥ 0我们认为BSDEdYLt=-有界终端条件为YLt=ξ的fL（t，YLt，ψLt）dt+ZZψLt（z）eπ（dz，dt）+dMLt（5）∧ 其中fl（t，y，ψ）=（f（t，y，ψ）- 英尺）+英尺∧ 命题1在假设（A）下，每L>0存在一个唯一解（YL，ψL，ML）到（5），且为YL∈ S（0，T），ψL∈ Lπ（0，T），ML∈ M（0，T）∩M⊥. 此外，在S（0，T）中存在一个独立于L的过程Y，因此对于任何T∈ [0，T]，\'Yt≤ YLt。如果（英尺）-= ξ-= 0，则“Yt=0，YLtis为非负。证据从A1、A2和A4的推论可知，fli是单调的w.r.t.y，Lipschitz连续的w.r.t.ψ，fL（t，0，0）=ft∧L∈ L（（0，T）×Ohm). 此外，对于everyn>0和| y |≤ n:| fL（t，y，0）- fL（t，0，0）|=|f（t，y，0）- 英尺|≤ 副食品|≤n | f（t，y，0）- 英尺|。根据假设A3，映射t7→ 副食品|≤n | f（t，y，0）- ft |在L（（0，T）×中Ohm). 从[23]中的定理1可以得出，在终端条件ξ下，（5）存在唯一解（YL，ψL，ML）∧ L.这一解决方案满足了“sup0”≤T≤T|YLt|+ZTZZ（ψLt（z））u（dz）dt+[ML]T|<+∞.接下来，我们构造下界Y。

让我们取ζ=-ξ-g（t，y，ψ）=（f（t，y，ψ）-（英国《金融时报》）- （英国《金融时报》）-. 带Y的解（\'Y，\'ψ，\'M）∈ 具有数据（ζ，g）的BSDE的S（0，T）不依赖于L，通过比较（文献[23]中的命题4]），我们得到了“Yt”≤ 伊尔塔。s、 无论如何∈ [0，T]。接下来，我们推导了与L无关的族YL的上界。对于每个t，命题2∈ [0，T]随机变量YLtis从byL（1+T）上方开始有界，对于T∈ [0，T）以下估计成立：YLt≤Kθ（T）-t） pEZTtηs+（T- s） p（财政司司长）+lds英尺1/l（7） 其中Kθ是一个常数，仅取决于θ。证据让我们首先考虑三重（At，Bt，Ct）=（L（1+（T- t） ），0，0）。它是具有终端条件L和常数生成器等式L的BSDE的解。通过假设A1，f是单调的，因此它认为f（t，At，Bt）≤ 因此，在fL的定义（6）之前，我们有fL（t，At，Bt）≤ L.根据比较原理（命题4in[23]），我们得到了YLt≤ 在≤ L（T+1）a.s.适用于任何T∈ [0，T]，这个上界取决于L。接下来，我们验证（7）。我们考虑驱动器rh（t，y，ψ）=bLt- pT- ty+f（t，0，ψ）。bLt=ηt（t-t） p+（（英尺）+∧ 五十） 。设ε>0，用（Yε，L，φε，L，Nε，L）表示BSDE在[0，T]上的求解过程- ε] 带驱动器h和终端条件Yε，LT-ε=YL，+T-ε≥ 0.回想一下f（t，0，ψ）≤ZZψ（z）κ0，ψ，0t（z）u（dz）。因此，通过与线性BSDE的解进行比较（见[30]，引理4.1），我们得到了ε，Lt≤ EΓt，t-εYL，+T-ε+ZT-εtΓt，sbLsds英尺t在哪里≤ s≤ T- εΓt，s=exp-ZstpT- 乌杜Vε，Lt，s=T- 圣- TpVε，Lt，sandVε，Lt，s=1+zstzvε，Lt，u-κ0，φε，L，0u（z）eπ（dz，du）。（8） 亨西ε，Lt≤（T）-t） 体育ερVε，Lt，T-εYL，+T-ε+ZT-εtVε，Lt，s（T-s） PBLSD英尺.自《基本法》以来≥ 它认为Yε，Lt≥ 0 a.s.f或每t∈ [0，T]。

因此，根据条件A5fL（t，Yε，Lt，φε，Lt）≤ -P- 1ηq-1t（Yε，Lt）q+fL（t，0，φε，Lt）。下面是fl（t，Yε，Lt，φε，Lt）≤ h（t，Yε，Lt，φε，Lt）-P- 1ηq-1t（Yε，Lt）q-美联社-1t（T）- t） p+pT- tYε，Lt≤ h（t，Yε，Lt，φε，Lt），其中我们使用了年轻的不等式：cp+（p- 1） yq- pcy≥ 0代表所有c，y≥ 0.比较定理暗示了YLt≤ Yε，对于所有t∈ [0，T- ε] ε>0。再次从条件A7中回忆Vε，Lt，。属于香港（0，T）-ε） 为了k≥ 2.从上限YLt开始≤ 在≤ L（T+1）并根据Vε的可积性，Lt，。，通过让ε↓ 我们获得了a.s.EεpVε，Lt，T-εYL，+T-ε英尺-→ 0.根据假设A7和[30]中命题A.1的证明，存在一个常数，即A.s.EZT-εt（Vε，Lt，s）kds英尺≤ Kθ。根据假设A6，可以得出以下结论：- t） pbLt，0≤ T≤ T）属于l（0，T）。因此，通过H"older不等式，我们得到ZT-εtVε，Lt，s（T- s） PBLSD英尺≤ KθEZTt（（T- s） pbLs）lds英尺1/l.因此，我们可以将极限传递为ε↓ 0YLt≤Kθ（T）- t） 体育ZTt（（T- s） pbLs）lds英尺1/l.假设A6暗示了L的单调收敛性→ ∞YLt≤Kθ（T）-t） 体育ZTtηs+（T-s） p（财政司司长）+lds英尺1/l< +∞因此我们得到了（7）中的上界。常数Kθ和l > （7）中的1来自于f w.r.t.ψ的增长条件，以及缺乏对L的ψLindependent的估计。如果我们假设f（t，0，ψ）是有界的，那么我们可以得到一个更简单的估计。引理1如果存在一个非负过程kftsch，a.s.对于任何t和ψ，f（t，0，ψ）≤ Kft和EZT（T-s） pKfsds<+∞ （9） 塞尼利特≤（T）- t） 体育ZTtηs+2（T- s） pKfsds英尺. （10） 证据。主张2的主张与主张2的主张几乎相同。因此，我们仅概述主要修改。注意（9）意味着≤ Kfta。s

我们考虑发电机hgiven byh（t，y，ψ）=h（t，y）=ηt（t- t） p+2英尺- pT- ty=bt- pT- 泰。因为h是线性的，不依赖于ψ，所以我们有：Yε，Lt=（T- t） 体育εpYL，+T-ε+ZT-εt（t）- s） pbsds英尺.因此，当ε为零时，我们可以通过极限，得到t≤（T）- t） 体育ZTt（T-s） pbsds英尺这就是不平等（10）。接下来，我们通过传递到极限L来证明→ ∞ 我们得到了（1）在奇异终端条件ξ下的上解。命题3假设假设（A）成立。设（YL，ψL，ML）是在命题1中得到的SDE（5）的解。这里存在一个过程（Y，ψ，M），使得≤ t<t，yl在S中收敛到Yl（0，t），ψL在L中的收敛lπ（[0，t]）到ψ，并在M中收敛l极限过程（Y，ψ，M）是具有奇异终端条件ξ的BSDE（1）的弱上解。此外，Y满足估计（7）年至今≤Kθ（T）-t） 体育ZTtηs+（T-s） p（财政司司长）+lds英尺1/l.证据比较结果（见[23]中的命题4）得出：≤ YNif N>L.因此，对于所有≤ T我们可以定义为YLtas L的增长极限→ ∞. 回想一下，根据命题1，Yli在L中由某个过程Y从下方均匀地有界∈ S（0，T）。因此，Y也从下方以“Y”为界。通过方程（7），对于固定t<t的随机变量族（YLt，L≥ 0）是从上面限定的：YL，+t≤Kθ（T）- t） 体育ZTtηs+（T-s） p（财政司司长）+lds英尺1/l.同样，假设A6，上面不等式中右边的随机变量是Ll(Ohm). 通过主导收敛，YLTC收敛到Ytin Ll(Ohm) 福特<T。对于（ψL，ML）的收敛性，设0≤ s≤ t<t。对于L和N非负，我们假定为y=YNs- YLs，bψs（z）=ψNs（z）- ψLs（z），cMs=MNs-大联盟。让我们定义一个=lkθkLu/(l -1).

根据附录中的引理9，存在常数Kl仅仅依靠l 这样的晚餐∈[0，t]eas|bYs|l+Zte2au/lZZ | bψu（z）|u（dz）dul/2+Zte2au/ld[cM]ul/2#≤ KlE吃比亚迪|l+Zteau|fu∧ N- 傅∧ L|l杜.自从f∈ Hl（0，t）（见条件A6），当N和Lgo为+∞. 那么（ψL）是L中的一个柯西序列lπ（0，t）并收敛到ψ∈ Llπ（0，t）表示每t<t。M中的序列（ML）也是如此l（0，t）。此外，以前的IELDsup0≤s≤t|Ys|l< +∞.最后，当我到达极限时∞ 在（5）中，意味着（Y，ψ，M）满足（1）到0≤ s≤ t<t。根据BSDE的结构，我们推断Y是[0，T]上的cádlág。换句话说，Y∈ sl（0，T- ε） 对于任何ε>0的情况。由于过滤是准左连续的，我们有：limtTYLt=ξ∧L.事实上，在方程（5）中，使用Fubini的条件期望定理，唯一的不连续项可能是鞅项ML。但过滤的假设表明，MLT在时间T时没有跳跃（见[20]，第25.19条）。现在我要说的是≥ 我们已经收到通知了↑泰特≥ lim inft↑TYLt=ξ∧ 五十、 它给出了理想的不等式lim inftTYt≥ ξ. 特别是，（lim inftTYt）1S=+∞.这就实现了定理的证明。注4在条件（9）下，估计值（10）也是Y的上界。为了完成定理1的证明，让我们证明极限过程的极小性。命题4在命题3中得到的解是极小值。如果（Y′，ψ′，M′）i是（1）的另一个弱上解，且终端条件为ξ，则Y′t≥ 伊塔。s、 f或所有t∈ [0，T]。证据固定L>0，并让（YL，ψL，ML）表示（5）的解，终端条件ylt=ξ∧L.设（Y′，ψ′，M′）是（1）在定义1意义下的弱上解。

SetbYs=Y\'s- YLs，bψs（z）=ψ′s（z）- ψLs（z），cMs=M′s-大联盟。我们有f（t，Y′t，ψ′t）- f（t，YLt，ψLt）=-ctbYt+（f（t，YLt，ψ′t）- f（t，YLt，ψLt））与-ct=f（t，Y′t，ψ′t）- f（t，YLt，ψ′t）bYtbYt6=0。注意，根据条件A1，-计算机断层扫描≤ χ = 0. 对于每个t<t，过程（bY，bψ，cM）求解BSDEdbYs=hcsbYs- （财政司司长）-L）+- （f（s，YLs，ψ′s）- f（s，YLs，ψLs））ids+ZZbψs（z）eπ（dz，ds）+dcMson[0，t]带终端条件byt=Y′t- YLt。此外，从A2可以看出f（s，YLs，ψ′s）- f（s，YLs，ψLs）≥ZZκYL，ψL，ψ′sbψs（z）u（dz）。从[23]中的引理10和[30]中的引理4.1，我们得到了≥ EbYtΓs，t+ZtsΓs，u（傅）- 五十） +du财政司司长式中Γs，t=exp-特斯库杜ζs，两次ζs，s=1和dζs，t=ζs，t-ZZκYL，ψL，ψ′teπ（dz，dt）。我们的假设确保ζ为非负且属于Hk（0，T）。从位置2我们有YLt≤ （1+T）L和亨塞比≥ -（（Y\'t）-+（1+T）L）。ThusbYΓs，。对于某些m>1，从下到下被Sm（0，T）中的一个过程所限定。我们可以应用Fatou引理来获得s=lim inftTEbYtΓs，t+ZtsΓs，u（傅）- 五十） +du财政司司长≥ Elim inftT（bYtΓs，T）财政司司长.过程（Γs，t，s）≤ T≤ T）是cádlág且非负。因此a.s.lim inftT（bYtΓs，T）=（lim inftTbYt）Γs，T-≥ (ξ - ξ ∧ 五十） Γs，T-≥ 0.最后，Y\'s≥ YLSF有什么问题吗∈ [0，T]和L≥ 0.在我去的时候接受极限∞ 产生谎言。备注5注意，如果我们假设过滤也支持布朗运动W，并且如果我们的奇异BSDE的形式为DYT=f（t，Yt，Zt，ψt）dt+ZtdWt+ZZψt（z）eπ（dz，dt）+dMt，其中f满足条件（A）且假设为Lipschitz连续i n z.1.3随机终端时间在本节中，我们考虑终端时间τ为随机的情况。再次，我们通过截断终端条件得到一系列解（YL）L>0到（5），其中有界终端条件YLτ=ξ∧ L.第1.2节中的假设A1、A2和A5仍然有效，而假设A2、A4和A6得到加强。

条件A7用于构造先验估计（7），在这里没有必要。此外，我们需要一个额外的条件b，介于f的随机时间τ和A1中的增长系数χ和A2中的K之间。这个条件用b表示。接下来，我们给出了完整的假设列表。A1。函数y 7→ f（t，y，ψ）是连续单调的：存在χ∈ 就是这样。s、 不管怎样∈ [0, ∞) 和ψ∈ Lu（f（t，y，ψ）- f（t，y′，ψ））（y- y′）≤ χ（y）- y′）。A2。存在一个逐渐可测量的过程κ=κy，ψ，φ：Ohm ×R+×Z→ R-suchthatf（t，y，ψ）- f（t，y，φ）≤ZZ（ψ（z）- φ（z））κy，ψ，φt（z）u（dz）带P Leb u-a.e.对于任何（y，ψ，φ），-1.≤ κy，ψ，φt（z）和|κy，ψ，φt（z）|≤ θ（z）在哪里∈ Lu。如第1.2节所示，我们用K=KθkLu表示fw的Lipschitz常数。r、 t.ψ（参见备注2）。让δ*表示δ的值*=-∞ 如果2χ<K，K+2χ如果2|χ≤ K、 χ1+K√2χ如果2χ>K.（11）B，则存在ρ>δ*使得e（eρτ）<+∞.如果条件B成立，那么我们将*=如果2χ<-K、 2ρρ-δ*+(√ρ-K√2） ρ>2Kif 2 |χ|≤ K、 ρ√ρ+√χ-K√×√ρ-√δ*如果2χ>K.（12）A3′。对于每j>0和n≥ 0，过程Ut（j）=sup | y|≤j | f（t，y，0）-ft |在L（（0，n）×中Ohm) 存在m>h*使ERτUt（j）|mdt<+∞.A4\'。ξ-和（f）-是有界的。A5。存在一个常数q>1和一个正过程η，使得对于任何y≥ 0f（t，y，ψ）≤ -P- 1ηq-1t | y | q+f（t，0，ψ）。p是q.A6\'的霍尔共轭。η和票价有界。注意，假设A3\'和A5意味着EZτη（q-1） msds<+∞. （13） 备注6（关于A1）对于随机终点时间，我们不能假设A1中的w.l.o.g.χ=0。备注7（关于B和A3\'）如果2χ<-K、 对于任何停止时间τ（包括τ=+∞ a、 因为在这种情况下可以选择ρ<0。注意δ*h*是χ和h的非递减函数*是ρ的非增函数，带limρ→δ*H*= +∞ 和limρ→+∞H*= 1.假设（A\'）。

如果所有以下假设都成立：A1、A2、A3’、A4’、A5、A6’和B，我们说条件（A’）是满足的。在上述条件下，下面的命题5表明截断的BSDE（5）有唯一解（YL，ψL，ML）。为了获得具有奇异终端条件的BSDE的上解，与确定终端时间的BSDE的关键区别在于过程族（YL）的一致上界的推导（参见不等式（7））。下面的示例1表明，通常不存在这样的上界，并且存在停止时间τ，使得序列（YLt）收敛到∞ 就像我→ ∞ 对于t<τ。因此，必须限制终端时间的类别。我们从[29]中得到启发，其中首次研究了具有随机终端时间和奇异终端条件的BSDE，并考虑了τ由第一出口时间τ=τDof a diffusionΞ从集合D得出的情况。更准确地说，我们假设过滤F支持一个与π正交的d维布朗运动W，并在Rd中引入一个正向过程，这是一个随机微分方程dΞt=b（Ξt）dt+σ（Ξt）dWt（14）的解，具有一些初始值Ξ∈ 功能b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd×Rdsatisfya全局Lipschitz条件：存在一些K>0，使得x、 y∈ Rdkσ（x）- σ（y）k+kb（x）- b（y）k≤ Kkx- yk。在这个假设下，（14）存在唯一的强解。设D为Rd的开有界子集，其边界至少为C类（关于正则边界的定义，参见第6.2节[11]中的示例）。从现在起，Ξ是固定的，应该是D。我们将停止时间τ定义为D的第一个前时间，即τ=τD=inf{t≥ 0，Ξt/∈ D} 。（15） 条件B在生成器f、集合和SDE（14）的系数之间施加了一些隐含的假设。

在下一个引理中，我们给出了确保B的充分条件。让我们用R表示D:R=sup{x的直径- y |，（x，y）∈ D} ，由kσk表示σkσk=supx的谱范数∈Rdsupv∈路|五号|≤1v。（σ（x）σ*（x） v，通过kbk表示b的sup范数：kbk=supx∈Rd | b（x）|。如果d=1，则定义Jd等于π/4，并等于第一类贝塞尔函数Jd/2的第一个正零-如果≥ 2（对于d=2，j≈ 2.4048).引理21。假设存在ν>0和v∈ 所以对于所有的x∈ R方法是b（x）。五、≥ ν > 0. 如果δ*<νkσk，那么条件B对所有ρ都成立∈ (δ*,νkσk）。假设b=0（没有漂移）和σσ*是一致椭圆的，即存在常数α>0，使得（σσ*)（十）≥ 所有x的αId∈ 如果δ*<2αR（jd），则条件B对所有ρ都成立∈ (δ*,2αR（jd））。证据因为D是有界的，不等于一个单态，所以它认为0<R<+∞.首先假设存在ν>0和v∈ 所以对于所有的x∈ Rd，b（x）和v之间的scalarproduct从下面以ν为界。我们可以假设| v |=1。设t>R/ν。在集合{τ>t}上，它认为Ξ和Ξ在D中。这意味着在集合{τ>t}上，对于任何0≤ s≤ t、 太好了≤s≤t(-v） 。Ξs- Ξ-Zsb（Ξu）du≥ tν- 因此，从定理II。2.2in[27]P（τ>t）≤ Psup0≤s≤t(-v） 。Ξs- Ξ-Zsb（Ξu）du≥ tν- R≤ 经验-（tν- R） kσkt.这意味着对于所有t>R/νthateρtP（τ>t）≤ 经验ρt-（tν- R） kσkt.根据托内利定理e（eρτ）=Z+∞ρeρtP（τ>t）dt+1<+∞假设ρ<νkσk.在s秒的情况下，已知（见Friedman[9]，定理14.10.1）条件物ρτ<∞ 对于小于集合D上Ξ的微元生成器L中的主特征值的所有数ρ，保持不变：Lφ（x）=道σ（x）σ*（x） Dφ（x）,其中Dφ是φ的Hessian矩阵∈ 丙(右)。为了得到假设B的α和R的条件，我们考虑了一个辅助问题。

集合D包含在半径R/2的球B中，τBis是Ξ从B的首次退出时间。显然τ=τD≤ τB。因此我们可以考虑球B上的算子L。而且，L的主特征值比算子（α/2）的主特征值大. 拉普拉斯算子的主特征值在单位球上，由常数（jd）给出。详见[14]。因此（α/2）的主值 在B上由2αR（jd）给出。因此，如果ρ<2αR（jd），B成立。备注8（关于A3’）的界限νkσkrespectively2αR（jd）给出了A3中参数m的最小值（参见附录中的备注7和引理10）。接下来，我们将定义1适用于随机终端时间的情况，并给出本节的主要结果。为此，我们设置τε=inf{t≥ 0区（Ξt）≤ ε} ，（16）其中dist（Ξt）表示Ξ在时间t处的位置与定义2的边界之间的距离（在随机终端时间的情况下为弱上解），我们说三个过程（Y，ψ，M）是具有奇异终端条件Yτ=ξ的BSDE（1）的上解，如果它满足：1。M∈ M⊥, ψ ∈ Gloc（π），并且存在somel > 1.为了所有人≥ 0和ε>0:Esups∈[0，t]| Ys∧τε|l+Zt∧τεZZ |ψs（z）|lu（dz）ds+[M]l/2t∧τε!< +∞;2.Y从下方被一个过程“Y”限定∈ S（0，τ）；3.为了所有人0≤ s≤ t和ε>0:Ys∧τε=Yt∧τε+Zt∧τεs∧τεf（u，Yu，ψu）du-Zt∧τεs∧τεZZψu（z）eπ（dz，du）-Zt∧τεs∧τεdMu。4.在片场{t≥ τ}:Yt=ξ，ψ=M=0 a.s.和lim inft→+∞Yt∧τ≥ ξa.s。我们说（Y，ψ，M）是BSDE（1）if的最小上解，对于任何其他上解（Y′，ψ′，M′），我们有Yt≤ 是的。s、 对于任何t>0的情况。定理2如果τ是（15）给出的退出时间，在假设（A\'）下，存在一个奇异终端条件Yτ=ξ的极小上解（Y，ψ，M）到（1）。如第1.2节所述，我们首先考虑截断的BSDE（5）。命题5假设假设（A\'）成立。