具有奇异终端条件的BSDE的极小上解

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Minimal supersolutions for BSDEs with singular terminal condition and
  application to optimal position targeting》
---
作者：
T Kruse, A Popier (LMM)
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  We study the existence of a minimal supersolution for backward stochastic differential equations when the terminal data can take the value +$\\infty$ with positive probability. We deal with equations on a general filtered probability space and with generators satisfying a general monotonicity assumption. With this minimal supersolution we then solve an optimal stochastic control problem related to portfolio liquidation problems. We generalize the existing results in three directions: firstly there is no assumption on the underlying filtration (except completeness and quasi-left continuity), secondly we relax the terminal liquidation constraint and finally the time horizon can be random.
---
中文摘要：
我们研究了当终端数据以正概率取值为+$\\infty$时，倒向随机微分方程最小上解的存在性。我们处理一般滤波概率空间上的方程和满足一般单调性假设的生成器。利用这个最小上解，我们解决了一个与投资组合清算问题有关的最优随机控制问题。我们从三个方面推广了已有的结果：第一，对基础过滤没有任何假设（除了完备性和拟左连续性），第二，我们放松了终端清算约束，最后时间范围可以是随机的。
---
分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
-->

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：BSDE SDE Applications Differential Optimization

具有奇异终端条件的BSDE的最小上解及其在最优定位中的应用。T、 克鲁斯*, A.Popier+2018年9月1日摘要我们研究了当终端数据可以取值时，倒向随机微分方程最小上解的存在性+∞ 以正概率。我们在一般的过滤概率空间上处理方程，并使用满足一般单调性假设的生成器。利用这个最小上解，我们解决了一个与投资组合清算问题有关的最优随机控制问题。我们从三个方面概括了现有的结果：首先，对潜在的过滤（除点完整性和准左连续性）没有假设，其次，我们假设了终端清算约束，最后，时间范围可以是随机的。本文主要研究具有奇异终端条件的倒向随机微分方程。我们从[28]和[29]中采用弱（超）解（Y，ψ，M）的概念，将其转化为以下形式的BSDE DYT=-f（t，Yt，ψt）dt+ZZψt（z）eπ（dz，dt）+dMt，（1）其中eπ是概率空间上的补偿泊松随机测度(Ohm, F、 P）过滤F=（Ft）t≥0.过滤F应该是完整且连续的。在nParticle中，它可以支持与eπ正交的布朗运动。解分量Mis必须是与eπ正交的局部鞅。函数f：Ohm ×R+×R×Rd→ Ris称为BSDE的驱动程序（或生成器）。这里的特殊性是，我们允许终端条件ξ是奇异的：对于s顶时间τ，随机变量ξ是fτ-可测的，并取其值+∞ 以正概率。在我们的第一个主要结果（定理1）中，我们证明了（1）的最小弱超解的存在性。这个上解是通过下面的近似构造的。

每人*杜伊斯堡-埃森大学，西娅-莱曼街9号，45127埃森，德国，电子邮件：托马斯。kruse@uni-到期。德+缅因大学数学实验室，奥利维尔·梅西恩大道，法国塞德克斯9号勒芒72085号。电子邮件：alexandre。popier@univ-莱曼。frL>0我们考虑（1）的一个截断版本，其终端条件为ξ∧L.我们假设驱动因子f满足y变量的单调性假设，并且对于ψ是Lipschitz连续的。然后，可以从[23]中推导出截断BSDE的解（YL，ψL，ML）的存在性、唯一性和比较结果，其中发展了一般过滤中具有单调驱动的BSDE理论。通过传递到极限L，我们得到了具有奇异终端条件的最小上解（Y，ψ，M）→ ∞.关键的任务是建立适当的先验估计，以确保当达到极限时，解Y不会在时间τ之前爆炸。为此，生成元f不能是Lipschitz连续的w.r.t.y。因此，我们假设f是单调的，并且在y变量中至少以随机系数多项式递减。在τ是确定性的情况下，该条件有助于确保YL的有界性。当τ是随机的时，我们将注意力限制在偏离规则集的第一个出口。文献[3]和[28]中已经研究了具有奇异终端条件的BSDE的确定终端时间（参见[12]中关于BSPDEs的论述），并在文献[29]中研究了随机终端时间。让我们简要概述一下我们的发现在哪些方面概括了这些论文的一些结果实际上，在前面提到的文献中，f被假定为y的非多项式函数（可能加上[12]中ψ函数的一个特定有界函数）。在这里，f只被一个多项式函数W从上方限定。r、 t.y。

我们在这里只假设f相对于ψ是Lipschitz连续的，但不一定有界，这一事实需要对解族（YL）推导出新的先验估计。此外，如[3]中所述，从过程ft=f（t，0，0）可以在时间τ爆炸的意义上讲，生成器可以是奇异的。我们只对F施加一个可积性条件，该条件比[3]中的条件弱。这种较弱的可整合性条件和跳跃的发生意味着，必须更谨慎地处理近似序列（YL）L>0的收敛（具体请参见附录endix中推迟技术细节的命题3的证明）。[19]和[18]研究了发电机在时间变量中具有奇点的BSDE，以解决随机视界下的效用最大化问题一般过滤F。此外，与文献[3]、[28]和[29]相比，我们没有将注意力局限于布朗和泊松噪声产生的过滤。这里的过滤只满足标准假设（完整性和正确的连续性）。因此，额外的局部鞅部分M出现在BSDE中，当我们让L进入时，它必须被控制+∞. F上的拟左连续性条件仅用于确保时间τ：lim inft时Y的下半连续性→τYt≥ ξ.o 随机终止时间τ。据我们所知，[29]是唯一一篇在随机时间τ处理奇异终端条件的论文。在这项工作中，生成函数f等于f（y）=-y | y | q-1对于某些q>1的情况，过滤是由aBrownian运动产生的。当终止时间是随机的时，序列YLI的先验估计的推导比确定性的情况更复杂。对于一般随机时间τ，我们证明极限过程Y可能在时间τ之前有限。

基于这个原因，我们考虑了一个连续离散的正则集的首次退出时间，我们的估计是Keller-Osserman不等式的推广。我们还注意到，我们的结果可以推广到这样的情况，即驱动器是变量Z的Lipschitz连续函数，它代表了马尔廷格尔表示w.r.t.布朗运动中的被积函数（c.f.备注5）。由于Pardoux和Peng[25]的开创性论文已被证明是解决随机最优控制问题的有力工具（参见调查文章[7]或书[26]）。在本文的第二部分中，我们利用弱上解的概念，给出了受控过程具有终端约束的随机控制问题的纯概率解。更准确地说，我们考虑最小化代价函数lj（X）=E的问题Zτηs |αs | p+γs | Xs | p+ZZλs（z）|βs（z）| pu（dz）ds+ξ| Xτ| p（2） 在所有逐步可测量的过程中，满足动力学的X=X+Zsαudu+ZsZZβu（z）π（dz，du）。这里p>1和η、γ和λ的过程是非负逐步可测的。Fτ-可测随机变量ξ取∞ 以正概率。这种奇异性对策略集施加了终端状态约束。事实上，任何不满足终端约束的策略都会产生有限成本。特别是，如果存在某种产生有限成本的策略（在我们施加的成本下，这种策略总是如此），那么这种策略就不可能是最优的。在τ是确定的或首次退出时间的情况下，我们用BSDEdYt=（p- 1） Yqtηq-1tdt+Θ（t，Yt，ψt）dt- γtdt+ZZψt（z）eπ（dz，dt）+dMt（3）→τYt≥ ξ.

这里q>1是p的霍尔共轭，Θ是Lipschitz连续函数（精确定义见（24））。我们证明了有效过程η、γ和λ的充分条件，从而定理1确保（3）存在最小弱超解，并基于惩罚论进行验证。基于随机价格影响下的最优投资组合清算模型，对终端价值受状态约束的最优控制问题进行了分析。当投资者需要在短时间内平仓时，所有交易都可以在不影响市场动态的情况下结算的传统假设并不总是合适的。近年来，最优投资组合清算模型得到了广泛的发展，如[1]、[2]、[8]、[10]、[15]或[22]等。我们定义0·∞ := 0.在[3]、[4]、[31]、[12]或[13]中研究了位置定位问题（2）的变体。在此框架中，状态过程X表示代理人在金融市场中的地位。她有两种方法来控制自己的位置。在每一个时间点t，她可以在主会场内以αt的速率进行交易，该交易产生的成本ηt |αt |由随机价格影响参数ηt构成。此外，她还可以向辅助会场（“暗箱”）提交被动订单。这些指令在泊松随机测度π的跳跃时间执行，并产生所谓的滑移成本rzλt（z）|βt（z）| pu（dz）。我们参考[22]了解更详细的讨论。术语γt | Xt | pca可以理解为与未平仓头寸相关的风险度量。因此，J（X）代表了在[0，τ]时间段内使用策略X关闭初始头寸X的总体预期成本。我们的方法允许将一些新的特征纳入最优清算模型。首先，我们不对过滤施加任何假设（准左连续性除外）。

对于金融模型，这意味着噪声不一定是由布朗运动产生的。此外，清算约束通过以下方式放松。我们的模型没有强制执行条件Xτ=0 a.s.，即必须强制关闭头寸，而是具有足够的灵活性，可以指定一组市场情景 Fτ，其中强制清算：XτS=0。根据剩余的职位大小，可以实施补充Sca处罚。该终端约束由Fτ-可测非负随机变量ξ描述，使得S={ξ=+∞}. 因此，对于Xτ=0，我们取ξ=+∞ a、 对于例外情况，我们可以考虑ξ=∞1s，例如S={maxt∈[0，T]ηT≤ H} 或S={RTηtdt≤ H} 对于给定值，请保持H>0。这意味着，只有在整个清算期间，最大价格影响（或平均价格影响）足够小的情况下，清算才是强制性的。如果市场流动性太高，交易者没有义务平仓。最后，我们的模型考虑了随机时间范围τ。例如，可以考虑对价格敏感的清算期，当未受影响的市场价格S（差异）降至某个阈值水平K>0（即τ=inf{t）以下时，必须在第一次关闭头寸≥ 0 |街≤ K} 。本文分解如下。在第一节中，我们给出了数学设置，并给出了关于BSDE（1）的主要结果。假设集在τ确定性（定理1）和τ随机性（定理2）两种情况下有所不同。我们使用[28]或[3]中的截断参数构造了BSDE（1）的上解，并证明了该解是极小的。

前面提到的主要困难是控制截断BSDE的解序列（见命题2和命题6），并证明近似序列的收敛性。在第2节中，我们利用以前的结果获得了BSDE（3）的最小上解，并验证了该解给出了最优位置目标问题的值函数和最优控制（定理3）。1奇异BSDE的最小上解1。1设置和符号我们考虑过滤概率空间(Ohm, F、 P，F=（Ft）t≥0). 过滤被认为是完整的、连续的。此外，我们假设F是准左连续的，这意味着对于F停止时间的每个序列（τn），对于某些停止时间ττ，我们有τnτ∈NFτn=F＠τ。我们假设(Ohm, F、 P，F=（Ft）t≥0）支持空间Z上强度为u（dz）dt的aPoisson随机测量π Rd\\{0}。度量u是Z上的σ-fine，因此zz（1∧ |z|）u（dz）<+∞.P表示可预测的σ场Ohm ×R+。我们设定P=PB（Z），其中B（Z）是Z.One上的Borelianσ场Ohm = Ohm ×[0，T]×Z，一个iseP可测量的函数，被称为可预测的。Gloc（π）是p可测函数ψ1的集合Ohm 无论如何≥ 0 a.s.ZtZZ（|ψs（z）|∧ |ψs（z）|）u（dz）ds<+∞ .对于任何停止时间∧τ且m>1，集合Lmπ（0，∧τ）包含所有过程ψ∈ Gloc（u）使Z~τZZ |ψs（Z）| mu（dz）ds< +∞.通过Lmu=Lm（Z，u；Rd），我们表示可测函数ψ：Z的集合→ rdkψkmLmu=ZZ|ψ（z）|mu（dz）<+∞.由M⊥我们表示与eπ正交的cádlág局部鞅集。如果我∈ M⊥然后是E(M* π| eP）=0，其中乘积* 表示积分过程（见[17]中的II.1.5）。对于任何停止时间＠τ，集Mm（0，＠τ）是所有鞅的子集，因此[M] M/2τ< +∞.

最后，对于m>1，Sm（0，△τ）是所有渐进可测的cádlág过程F的集合，使得Ehsupt∈[0，|τ]| Ft | mi<+∞. 集合Hm（0，τ）包含所有渐进可测的cádlág过程F，使得ER∧τ| Ft | dtm/2< +∞.1.2确定性终端时间在本节中，设T>0，并设ξ为FT可测量的随机变量。我们用S theset{ξ=+∞}. 因为我们明确地允许ξ取这个值+∞ 对于正概率，我们需要指定（1）解的弱概念。我们放松了通常对BSDE解决方案的定义，只要求（1）在时间T之前严格保持。定义1（确定性终端时间下的弱上解）表示三个过程（Y，ψ，M）是BSDE（1）的上解，如果满足：1，则具有奇异终端条件YT=ξ。M∈ M⊥, ψ ∈ Gloc（π），并且存在somel > 1对于所有t<t:Esups∈[0，t]| Ys|l+ZtZZ |ψs（z）|lu（dz）ds+[M]l/2t！<+∞;2.Y从下方被一个过程“Y”限定∈ S（0，T）；3.为了所有人0≤ s≤ t<t:Ys=Yt+Ztsf（u，Yu，ψu）du-ZtsZZψu（z）eπ（dz，du）-ZtsdMu。4.lim inft→泰斯≥ ξa.s。我们说（Y，ψ，M）是BSDE（1）if的最小上解，对于任何其他上解（Y′，ψ′，M′），我们有Yt≤ 是的。s、 无论如何∈ [0，T）.为了证明BSDE（1）的最小上解的存在性，我们对驱动f施加以下条件：Ohm ×[0，T]×R×Rd→ R.为了便于记法，我们写了eft=f（t，0，0）。A1。函数y 7→ f（t，y，ψ）是连续单调的：存在χ∈ 就是这样。s、 不管怎样∈ [0，T]和ψ∈ Lu（f（t，y，ψ）- f（t，y′，ψ））（y- y′）≤ χ（y）- y′）。A2。存在一个逐渐可测量的过程κ=κy，ψ，φ：Ohm ×R+×Z→ R-suchthatf（t，y，ψ）- f（t，y，φ）≤ZZ（ψ（z）- φ（z））κy，ψ，φt（z）u（dz）带P Leb u-a.e.对于任何（y，ψ，φ），-1.≤ κy，ψ，φt（z）和|κy，ψ，φt（z）|≤ θ（z）在哪里∈ Lu。A3。

对于每一个n>0，它就持有一个sup | y|≤n | f（t，y，0）- 英尺|∈ L（（0，T）×Ohm).A4。ξ的负部分和平方可积：ξ-∈ L(Ohm) 和（f）-∈L（（0，T）×Ohm).条件A1到A4将确保SDE（1）版本解的存在性和唯一性，其中终端条件ξ被ξ取代∧对于一些L>0的情况，用fL（见（6））表示发电机f。通过使L趋向于零，我们得到了具有奇异终端条件ξ的最小上解∞. 以确保→ ∞ 解决方案组件包含该值∞ 在时间T的S上，但在时间T之前是有限的，我们必须对f施加一些进一步的增长行为。我们假设f在变量中至少多项式地减小。A5。存在一个常数q>1和一个正过程η，使得对于任何y≥ 0f（t，y，ψ）≤ -P- 1ηq-1t | y | q+f（t，0，ψ）。p是q.A6的霍尔共轭。存在l > 1使ERTηs+（T-s） p（财政司司长）+lds<+∞.A7。存在k>max(ll-1,2）使rzθ（z）|ku（dz）<+∞.假设（A）。如果所有七个假设A1到A7都成立，我们认为假设（A）是满足的。备注1（关于A1）我们可以假设w.l.o.g.的χ=0。事实上，如果（Y，ψ，M）是（1）的解，那么（\'Y，\'ψ，\'M）与\'Yt=eχtYt，\'ψt=eχtψt，d\'Mt=eχtdmts是一个类似的BSDE，其终端条件为ξ=eχtξ，而生成器为\'f（t，Y，ψ）=eχtf（t，e-χty，e-χtψ）- χyf满足相同的假设，χ=0。在本节的其余部分中，我们将假设χ=0。注2（关于A2）第二个条件A2意味着f在ω、T和y中一致地是Lipschitz连续的w.r.T.ψ。